P A B P(A) P(B) P(A. , όπου l 1

Transcript

1 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, ΜΑΡΤΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

2 ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P AB P(A) P(B) P(A B) Α. i. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; ii. Να δώσετε τον ορισμό της μέσης τιμής ενός συνόλου ν παρατηρήσεων. Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη. lim f x =l α) Αν xxo και xxo lim g x =l xx o, όπου l, l lim f x g x =l l R, τότε ισχύει: β) Η σχετική συχνότητα μιας τιμής της μεταβλητής Χ μπορεί να πάρει και αρνητικές τιμές.. γ) Αν η καμπύλη συχνοτήτων για το χαρακτηριστικό που εξετάζουμε είναι κανονική ή περίπου κανονική, τότε περίπου το 95% των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημαx s, x s. δ) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, τότε ισχύει : f x g x f x g x για κάθε x R ε) Για δύο ενδεχόμενα Α και Β του δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P A B =P(A) P(A B) ΛΥΣΗ Α. Θεωρία, απόδειξη σελίδα 5 σχολικού βιβλίου. Α. i. Ορισμός, σελίδα 3,σχολικό βιβλίο ii. Ορισμός, σελίδα 85,σχολικό βιβλίο. Α3. α. Σωστό. β. Λάθος. γ. Λάθος. δ. Σωστό. ε. Σωστό.

3 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f με: Β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Β. Να βρείτε το όριο: x f(x) lim f(x) x x x x+ Β3. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. Β. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της ΛΥΣΗ Α, f. Β. Πρέπει x 0 και x 0 (που ισχύει για κάθε x 0 είναι το A 0, Β. Έχουμε: x x x x x+ x x+ x+ lim f(x) lim lim x x x x x+ x+. x ), άρα το πεδίο ορισμού της f x+ x+ lim lim lim x+ x x x x Β3. Η είναι παραγωγίσιμη στο 0,, ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο 0, και συνεχής στο 0, με: f(x) x x x x x x f (x) x, x>0 x Άρα f (x) 0 για κάθε x 0, επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της 0,. Β. Έχουμε: f

4 Έστω ω η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης τηςf στο σημείο της A, f με τον άξονα x x.έχουμε: ΘΕΜΑ Γ εφ f (διότι 0 ) Οι χρόνοι (σε λεπτά) που χρειάστηκαν οι μαθητές ενός σχολείου για να μεταβούν από το σπίτι τους στο σχολείο, έχουν ομαδοποιηθεί σε πέντε κλάσεις ίσου πλάτους c, όπως στον παρακάτω πίνακα: Χρόνοι (σε λεπτά) κλάσεις Κέντρο κλάσης x i Αριθμός μαθητών 5,... 0 Αθροιστική Συχνότητα Ν i Σχετική συχνότητα f i % Αθροιστική σχετική συχνότητα F i %..., , , ,... Σύνολα ν... Γ. Να αποδείξετε ότι το κοινό πλάτος των κλάσεων είναι c=0. Γ. i. Αν η μέση τιμή των χρόνων είναι x 30, να αποδείξετε ότι v 30. ii. Να μεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα στο τετράδιό σας συμπληρωμένο. Να δικαιολογήσετε τις τιμές των τεσσάρων τελευταίων στηλών. Γ3. Να βρείτε την διάμεσο και την διακύμανση των χρόνων.

5 Γ. i. Πόσοι μαθητές χρειάστηκαν τουλάχιστον 0 λεπτά για να μεταβούν από το σπίτι τους στο σχολείο; ii. Αν επιλέξουμε τυχαία έναν μαθητή, να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α: «ο μαθητής να χρειάστηκε λιγότερο από 5 λεπτά για να πάει στο σχολείο του». ΛΥΣΗ Γ. Επειδή το κοινό πλάτος των κλάσεων είναι c, τα άκρα των τριών πρώτων κλάσεων είναι: η κλάση: [5, 5 c) η κλάση: [5 c, 5 c) 3 η κλάση: [5 c, 5 3 c) Αφού το κέντρο της τρίτης κλάσης είναι 30 έχουμε: Γ. α) 5 c 5 3c 0 5c c 50 c 0 Κέντρο κλάσης x i Αριθμός μαθητών x i ν 0 ν ν=70+ ν ν Επειδή x 30 έχουμε: 800 0ν ν ν β) , , , 5 00 vi fi % 00 ( i,, 3,, 5) v Επομένως οι σχετικές συχνότητες % είναι: v 0 v 30 v3 00 v 30 v5 0 f % 0, f % 5, f3 % 50, f % 5, f5 % 0 v v v v v Ακόμα οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες είναι:

6 F % f % 0, F % f % f % 0 5 5, F % F % f % F % F % f % Ο συμπληρωμένος πίνακας είναι ο επόμενος. Χρόνοι (σε λεπτά) κλάσεις Κέντρο κλάσης x i Αριθμός μαθητών Αθροιστική Συχνότητα Ν i Σχετική συχνότητα f i % Αθροιστική σχετική συχνότητα F i % 5, 5 5, 5 5, 35 35, , Σύνολα ν=00 00 Γ3. Επειδή οι 00 παρατηρήσεις κατανέμονται ομοιόμορφα στην κλάση 5, 35 προκύπτει ότι στο διάστημα 5, 30 βρίσκονται παρατηρήσεις, επομένως κάτω από την τιμή 30 βρίσκονται =00 παρατηρήσεων, άρα η διάμεσος είναι δ=30. Εναλλακτικά: παρατηρήσεις, δηλαδή το 50% του συνόλου των Κατασκευάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις % ( F i % ). Διακύμανση s :

7 Κέντρο κλάσης x i Αριθμός μαθητών Άρα : 000 s 0 00 Γ.α) Το πλήθος των μαθητών που χρειάστηκαν τουλάχιστον 0 λεπτά για να μεταβούν από το σπίτι τους στο σχολείο είναι: β) Επειδή το ποσοστό των μαθητών που χρειάστηκαν χρόνο λιγότερο από 5 λεπτά για να πάνε στο σχολείο τους είναι 5% προκύπτει ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου Α είναι: ΘΕΜΑ Δ Δίνεται συνάρτηση: 5 PA 0,5. 00 f x x Ρ Β x 6 Ρ Α, x R όπου Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, για τα οποία ισχύει ότι: Δ. Να αποδείξετε ότι Δ. Αν επιπλέον ισχύει B Α Ρ Α 9Ρ Β Ρ +6Ρ Β P(Α) και Α Β, Α Β, Α Β. P(Β) 3 P(Α Β), να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : 6 Δ3. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. Δ. Να αποδείξετε ότι ισχύει x x 3 0, για κάθε x R.

8 Δ5. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της M με τετμημένη P Α. ΛΥΣΗ Δ και Άρα και. 3 Δ Επειδή τα ενδεχόμενα και είναι ξένα μεταξύ τους έχουμε: Έχουμε διαδοχικά: Ακόμα: Εναλλακτικά: Σημείωση: PA Β PA Β PA PA B PA PB A P A [ P B P A B ] P A P B P A B PA Β PA PΒ PA Β ' ' ' ' ' ' Στην περίπωση αυτή θα πρέπει να αποδειχθούν οι τύποι ' ' ' και ' ' ' με τη χρήση διαγραμμάτων Venn (γνωστοί ως τύποι του De Morgan). Δ3. f x x x x x f x x x 5 6 5, f ' x x 3

9 ' 3 3 f x x 0 x x πίνακας προσήμου της f ' x ' f ( x) - + f (x) γν.φθίνουσα γν.αύξουσα +00 f ' (0) 0 Μονοτονία: η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα και γνησίως αύξουσα στο διάστημα, Ακρότατα: Η συνάρτηση f παρουσιάζει για Δ. Επειδή η συνάρτηση f παρουσιάζει για για κάθε x R. f x f ' Δ5. P και f f 0, 8, x τοπικό (ολικό) ελάχιστο το x ολικό ελάχιστο το f x x x 5 x x 3 0 f 5 f ισχύει: Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της M με τετμημένη P είναι y 8x. Επειδή το σημείο,0 ανήκει στην ευθεία y 8x έχουμε 0 8 άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y 8x Επιστημονική επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ρουμελιώτης Αντώνης, Καθηγητής Μαθηματικών