Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής στο Λύκειο, με στόχο να κατανοηθούν από τους μαθητές έννοιες κλειδιά, όπως η συνεπαγωγή και η ισοδυναμία που βρίσκονται στον πυρήνα της αποδεικτικής διαδικασίας στα Μαθηματικά. Στις δεκαετίες του 1970 και 1980 τα σχολικά βιβλία περιείχαν ένα εισαγωγικό κεφάλαιο για τις λογικές πράξεις, τους πίνακες αλήθειας και τους ποσοδείκτες, στοιχεία τα οποία καταργήθηκαν με το νέο βιβλίο Άλγεβρας της Α Λυκείου που κυκλοφόρησε το 1990 (και διατηρείται μέχρι σήμερα), μέσα στο γενικότερο κλίμα αποκαθήλωσης των λεγόμενων Νέων Μαθηματικών. Η ολοένα και διευρυνόμενη όμως αδυναμία των περισσότερων μαθητών να κατανοήσουν τις βασικές αρχές της αποδεικτικής διαδικασίας (αδυναμία που εκδηλώνεται με τον πιο οδυνηρό για τους μαθητές τρόπο στις Πανελλαδικές Εξετάσεις) οδήγησε σε μια απόπειρα μερικής επαναφοράς. Στην αναθεωρημένη έκδοση της Άλγεβρας Α Λυκείου οι συγγραφείς έχουν συμπεριλάβει ένα εισαγωγικό κεφάλαιο στο οποίο γίνεται μια νέα απόπειρα να παρουσιαστούν στους μαθητές οι βασικές έννοιες της μαθηματικής λογικής. Έχω τη γνώμη ότι το διδακτικό πρόβλημα της μαθηματικής λογικής και της απόδειξης γενικά, δεν βρίσκεται στην ύπαρξη ή έλλειψη σχετικών παραγράφων στα σχολικά βιβλία, αλλά στην απουσία διδακτικών προτάσεων που λαμβάνουν υπόψη την πραγματική φύση των δυσκολιών που αντιμετωπίζουν οι μαθητές. Στην εισήγησή μου θα παρουσιάσω μερικές τέτοιες προτάσεις οι οποίες στηρίζονται στη μελέτη ερευνών της Διδακτικής των Μαθηματικών που έχουν εξετάσει λεπτομερώς ορισμένα σημεία αιχμής στην κατανόηση της αποδεικτικής διαδικασίας. Πρέπει βέβαια να τονιστεί ότι όσα ακολουθούν δεν αποτελούν έτοιμες διδακτικές προτάσεις συνταγές για χρήση σε οποιαδήποτε σχολική τάξη (δεν υπάρχουν τέτοιες συνταγές!), αλλά ανήκουν σ εκείνο το ευρύτερο πλαίσιο γνώσεων, υλικού και ιδεών
2 που πρέπει να διαθέτει κάθε εκπαιδευτικός, ώστε να αποφασίσει για το είδος της διδακτικής παρέμβασης που είναι κατάλληλο σε κάθε περίπτωση. Οι δυσκολίες των μαθητών με την έννοια της απόδειξης: Διάγνωση, έκταση και αιτίες του προβλήματος. Έχουν γίνει πολλές έρευνες διεθνώς για τα προβλήματα διδασκαλίας και μάθησης που συνδέονται με την έννοια της απόδειξης, στις οποίες εξετάστηκαν με κατάλληλες γραπτές δοκιμασίες και συνεντεύξεις οι γνώσεις μαθητών Γυμνασίου και Λυκείου αλλά και φοιτητών. Τα προβλήματα μάθησης που καταγράφηκαν και φαίνεται ότι είναι πολύ διαδεδομένα, μπορούν να συνοψιστούν στα εξής σημεία: Αδυναμία διατύπωσης αποδεικτικού λόγου Σύγχυση μεταξύ υποθέσεων και συμπεράσματος μιας υποθετικής πρότασης: Πολλοί μαθητές (και φοιτητές) πιστεύουν ότι η αντίστροφη πρόταση ενός θεωρήματος είναι πάντοτε αληθής (συγχέουν αναγκαία με ικανή συνθήκη). Πολλοί μαθητές (και φοιτητές) πιστεύουν ότι το συμπέρασμα ενός θεωρήματος είναι αληθές μόνο όταν είναι αληθής η υπόθεση του. Αδυναμία διάκρισης μεταξύ συνεπαγωγής και ισοδυναμίας. Υπάρχουν πολλές αιτίες για τα προβλήματα αυτά, που συνδέονται τόσο με ζητήματα γνωστικής ανάπτυξης όσο και με τον τρόπο διδασκαλίας. Μερικές από τις αιτίες, που ανήκουν κυρίως στη δεύτερη κατηγορία, είναι οι εξής: Η έμφαση της διδασκαλίας των Μαθηματικών στην ποσότητα της ύλης εις βάρος της ποιότητας. Η αναντιστοιχία της ποσότητας ύλης με το διαθέσιμο διδακτικό χρόνο. Η έμφαση στην εξάσκηση των μαθητών να εφαρμόζουν διαδικασίες και όχι στην εμβάθυνση κατανόηση των εννοιών. Η υποβάθμιση της διδασκαλίας της θεωρίας. Η έλλειψη κατάλληλων διδακτικών προτάσεων για εισαγωγή στην αποδεικτική διαδικασία. Στις έρευνες τέλος θίγεται η γενική υποβάθμιση της διδασκαλίας της απόδειξης που παρατηρείται διεθνώς και προβάλλονται ισχυρά επιχειρήματα για την κεντρική θέση που πρέπει να κατέχει η έννοια της απόδειξης στους σκοπούς και τους στόχους της διδασκαλίας των Μαθηματικών. Τέτοια επιχειρήματα είναι μεταξύ άλλων τα εξής: Η απόδειξη αποτελεί το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της μαθηματικής δραστηριότητας.
3 Η μαθηματική απόδειξη λειτουργεί ως πρότυπο σκέψης στην σύγχρονη εποχή, όπου συχνά προκύπτει η ανάγκη εξαγωγής λογικών συμπερασμάτων και διατύπωσης προβλέψεων με βάση ορισμένες εύλογες ή πιθανές παραδοχές. Η χρήση των νέων τεχνολογιών στη διδασκαλία των Μαθηματικών δίνει μεγάλη έμφαση στις διαδικασίες πειραματικής επαλήθευσης εικασιών, με αποτέλεσμα να υποβαθμίζεται επικίνδυνα ο ρόλος της απόδειξης. Τα προηγούμενα φέρνουν στην επιφάνεια ορισμένα ερωτήματα σχετικά με τη μέθοδο και τους στόχους της διδασκαλίας: Αρκεί η ένταξη των ορισμών και των συμβόλων των λογικών πράξεων στο σχολικό βιβλίο και η επίλυση ασκήσεων του τύπου Σωστό Λάθος για να αντιμετωπιστούν προβλήματα όπως η σύγχυση ανάμεσα σε συνεπαγωγή και ισοδυναμία; Η παράθεση μεγάλου αριθμού αποδείξεων στον πίνακα από τον διδάσκοντα και η απομνημόνευση αποδείξεων από τον μαθητή μπορούν να εγγυηθούν αποτελεσματική μάθηση της αποδεικτικής διαδικασίας, τέτοια που μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε νέες και σχετικά άγνωστες καταστάσεις; Μήπως πρέπει αντικείμενο της διδασκαλίας να είναι η επιλογή ορισμένων χαρακτηριστικών αποδείξεων και η σε βάθος ανάλυσή τους, κυρίως στη μορφή δραστηριοτήτων, έτσι ώστε να γίνονται φανερά τα σημεία στα οποία συναντούν δυσκολίες οι μαθητές;
4 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Διδασκαλία της Λογικής στην Α Λυκείου Μερικές ιδέες και δραστηριότητες για την εισαγωγή στις βασικές έννοιες της λογικής. Η δραστηριότητα που ακολουθεί έχει στόχο να εισάγει τους μαθητές διαδοχικά στις έννοιες της διάζευξης, της σύζευξης και της συνεπαγωγής μέσω ενός απλού αριθμητικού προβλήματος. Οι ερωτήσεις κλιμακώνονται ως προς τη δυσκολία, έτσι ώστε να εμπλακούν στην επίλυση του προβλήματος όσο το δυνατόν περισσότεροι μαθητές. Επισημαίνουμε ότι κεντρικός στόχος της δραστηριότητας είναι η έννοια της συνεπαγωγής με την ορθή μαθηματική της σημασία, η οποία γίνεται φανερή στον αντίστοιχο πίνακα αλήθειας. Δραστηριότητα 1.1 Να βρείτε όλους τους αριθμούς ν του συνόλου Α = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} που επαληθεύουν κάθε μια από τις ιδιότητες: α) Ο ν είναι άρτιος β) Ο ν είναι πρώτος γ) Ο ν είναι άρτιος ή ο ν είναι πρώτος (διάζευξη) δ) Ο ν είναι άρτιος και ο ν + 1 είναι πρώτος (σύζευξη) ε) Αν ο ν είναι άρτιος, τότε ο ν + 1 είναι πρώτος (συνεπαγωγή) Οι απαντήσεις στα ερωτήματα της δραστηριότητας: Ερώτηση (α): Ο ν είναι άρτιος Λ = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} Ερώτηση (β): Ο ν είναι πρώτος Λ = {2, 3, 5, 7, 11, 13 17, 19} Ερώτηση (γ): Ο ν είναι άρτιος ή ο ν είναι πρώτος Λ = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20} Ερώτηση (δ): Ο ν είναι άρτιος και ο ν + 1 είναι πρώτος Λ = {2, 4, 6, 10, 12, 16, 18} Ερώτηση (ε): Αν ο ν είναι άρτιος, τότε ο ν + 1 είναι πρώτος Λ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19}
5 Η επόμενη δραστηριότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί εναλλακτικά αντί της προηγούμενης ή να δοθεί στους μαθητές ως άσκηση. Δραστηριότητα 1.2 Να βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς ν που επαληθεύουν τις ιδιότητες: α) ν 10 και ν 20 (σύζευξη) Λ = {10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} β) Αν ν 10, τότε ν 20 (συνεπαγωγή) Λ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} Υποθετική πρόταση και συνεπαγωγή. Βασικό γνώρισμα μιας υποθετικής πρότασης είναι ότι από την αλήθεια της υπόθεσης συνεπάγεται η αλήθεια του συμπεράσματος. Η λογική συνεπαγωγή, η οποία γενικεύει την έννοια της υποθετικής πρότασης στη μορφή μιας σχέσης (πράξης) στο σύνολο των λογικών προτάσεων, οφείλει να διατηρήσει αυτό το γνώρισμα και ταυτόχρονα να διαφοροποιηθεί από τις υπόλοιπες λογικές πράξεις (όπως η σύζευξη και η ισοδυναμία). Έτσι λοιπόν, η μόνη περίπτωση που μια συνεπαγωγή θεωρείται ψευδής είναι να ισχύει η υπόθεση και να μην ισχύει το συμπέρασμα. Με το αυτό το κριτήριο, το σύνολο αλήθειας ενός προτασιακού τύπου συνεπαγωγής συμπεριλαμβάνει και τα εκείνα στοιχεία του συνόλου αναφοράς που δεν έχουν αιτιώδη σχέση υπόθεσης συμπεράσματος (περιπτώσεις (ε) και (β) αντίστοιχα στις δραστηριότητες 1.1 και 1.2). Διαφορετικές όψεις μιας υποθετικής πρότασης. Στις τέσσερις δραστηριότητες που ακολουθούν ο στόχος είναι να κατανοηθούν οι διαφορετικές όψεις μιας υποθετικής πρότασης και συγκεκριμένα η σημασία των προτάσεων που παράγονται από μια συνεπαγωγή με αντιστροφή ή άρνηση της υπόθεσης και του συμπεράσματος. Το ζητούμενο από τους μαθητές σε κάθε δραστηριότητα είναι αν εξετάσουν την αλήθεια των αντίστοιχων προτάσεων. Δραστηριότητα 1.3 Ένα παράδειγμα από την καθημερινή εμπειρία Αρχική συνεπαγωγή: Αν βρέχει, τότε υπάρχουν σύννεφα στον ουρανό. Αντίστροφη συνεπαγωγή: Αν υπάρχουν σύννεφα στον ουρανό, τότε βρέχει. Αντίθετη συνεπαγωγή: Αν δεν βρέχει, τότε δεν υπάρχουν σύννεφα στον ουρανό. Αντιθετοαντίστροφη συνεπαγωγή: Αν δεν υπάρχουν σύννεφα στον ουρανό, τότε δεν βρέχει.
6 Δραστηριότητα 1.4 Ένα παράδειγμα από τη Γεωμετρία Αρχική συνεπαγωγή: Αν ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος, τότε οι διαγώνιες του τετραπλεύρου τέμνονται κάθετα. Αντίστροφη συνεπαγωγή: Αν οι διαγώνιες ενός τετραπλεύρου τέμνονται κάθετα, τότε το τετράπλευρο είναι ρόμβος. Αντίθετη συνεπαγωγή: Αν ένα τετράπλευρο δεν είναι ρόμβος, τότε οι διαγώνιες του τετραπλεύρου δεν τέμνονται κάθετα. Αντιθετοαντίστροφη συνεπαγωγή: Αν οι διαγώνιες ενός τετραπλεύρου δεν τέμνονται κάθετα, τότε το τετράπλευρο δεν είναι ρόμβος. Δραστηριότητα 1.5 Ένα παράδειγμα από την Άλγεβρα Αρχική συνεπαγωγή: α = β α 2 = β 2 Αντίστροφη συνεπαγωγή: α 2 = β 2 α = β Αντίθετη συνεπαγωγή: α β α 2 β 2 Αντιθετοαντίστροφη συνεπαγωγή: α 2 β 2 α β Δραστηριότητα 1.6 Ένα παράδειγμα από την Τριγωνομετρία Αρχική συνεπαγωγή: Αν η τελική πλευρά της γωνίας φ ανήκει στο δεύτερο τεταρτημόριο, τότε είναι συνφ 0. Αντίστροφη συνεπαγωγή: Αν είναι συνφ 0, τότε η τελική πλευρά της γωνίας φ ανήκει στο δεύτερο τεταρτημόριο. Αντίθετη συνεπαγωγή: Αν η τελική πλευρά της γωνίας φ δεν ανήκει στο δεύτερο τεταρτημόριο, τότε είναι συνφ > 0. Αντιθετοαντίστροφη συνεπαγωγή: Αν είναι συνφ > 0, τότε η τελική πλευρά της γωνίας φ δεν ανήκει στο δεύτερο τεταρτημόριο. Αντίστροφη και αντιθετοαντίστροφη συνεπαγωγή. Η διατύπωση της αντίστροφης συνεπαγωγής ενός θεωρήματος δεν είναι πάντοτε φανερή ή εύκολη. Για να εκτιμηθεί η δυσκολία αυτού του εγχειρήματος, ας επιχειρήσει ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης να διατυπώσει, υπό μορφήν άσκησης, την αντίστροφη συνεπαγωγή του θεωρήματος της Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού ή του θεωρήματος Lagrange της Θεωρίας Ομάδων.
7 Από τα προηγούμενα παραδείγματα γίνεται εύκολα κατανοητό ότι μια συνεπαγωγή και η αντιθετοαντίστροφή της είναι πάντοτε ταυτόχρονα αληθείς ή ταυτόχρονα ψευδείς. Αυτή η παρατήρηση μας οδηγεί στην έννοια της λογικής ισοδυναμίας δύο προτάσεων (μια πρόταση και η αντιθετοαντίστροφή της επιβεβαιώνουν την ύπαρξη τέτοιων προτάσεων). Φυσικά πρέπει να γίνει άμεσα κατανοητό ότι δύο ισοδύναμες προτάσεις δεν είναι αναγκαστικά δύο αντιθετοαντίστροφες συνεπαγωγές. Η δραστηριότητα που ακολουθεί (δεν απαιτεί τίποτε περισσότερο από τον ορισμό της ανισότητας) έχει στόχο να αναδείξει το χαρακτηριστικό γνώρισμα δύο ισοδύναμων προτάσεων, δηλαδή ότι είναι ταυτόχρονα αληθείς ή ταυτόχρονα ψευδείς, ακόμη και όταν δεν είναι άμεσα φανερό ποιο από τα δύο ισχύει. Δραστηριότητα 1.7 Να αποδειχθεί ότι οι δύο επόμενες ανισότητες είναι λογικά ισοδύναμες προτάσεις: p: 3 20000 > 2 30000 q: 2 30000 < 3 20000 Παρουσιάζει βέβαια ξεχωριστό ενδιαφέρον να διαπιστώσουν οι μαθητές αν τελικά αυτές οι ισοδύναμες προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς. Αυτό αποτελεί μια πολύ ενδιαφέρουσα άσκηση που μπορεί να λυθεί με διάφορους τρόπους.
8 ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Διδασκαλία της Απόδειξης στην Α Λυκείου Μερικές ιδέες και δραστηριότητες για την κατανόηση της έννοιας απόδειξη. Ο στόχος μας σ αυτήν την ενότητα είναι να δείξουμε ότι, αντί για την μονότονη παράθεση των αποδείξεων των διαφόρων προτάσεων του σχολικού βιβλίου στον πίνακα (ιδιαίτερα στην Ευκλείδεια Γεωμετρία), είναι προτιμότερο να επιλεγούν ορισμένες βασικές προτάσεις και να αποδειχθούν με πολύ αναλυτικό τρόπο στην τάξη. Με τον τρόπο αυτό η απόδειξή δεν λειτουργεί μόνο ως μέσο πειθούς για την αλήθεια αυτών των προτάσεων (για την οποία βεβαίως οι μαθητές δεν έχουν την παραμικρή αμφιβολία!), αλλά κυρίως ως φορέας γνώσης πάνω στα ζητήματα που σχετίζονται με την αποδεικτική διαδικασία (π.χ. έλεγχος των υποθέσεων, κεντρική ιδέα της απόδειξης, τέχνασμα στο οποίο στηρίζεται η απόδειξη κ.α.) Μια διαφορετική προσέγγιση ορισμένων αποδείξεων που γνωρίζουν οι μαθητές από το Γυμνάσιο. Οι μαθητές έχουν συναντήσει την απόδειξη της πρότασης για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου στο βιβλίο Μαθηματικών της Α Γυμνασίου (Μέρος Β, 3 ο Κεφάλαιο, Τρίγωνα-Παραλληλόγραμμα-Τραπέζια, σ.222) και έχουν χρησιμοποιήσει επανειλημμένα αυτό το αποτέλεσμα στις επόμενες τάξεις. Στην Α Λυκείου, κατά τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, ο διδάσκων πρέπει να καταβάλει μεγάλη προσπάθεια για να πείσει τους μαθητές ότι απαγορεύεται να χρησιμοποιήσουν αυτή τη γνώση μέχρι το 4 ο Κεφάλαιο (Παράλληλες Ευθείες, σ.83), όπου θα αποδείξουν εκ νέου αυτό που ήδη γνωρίζουν πολύ καλά και μάλιστα με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που αποδείχτηκε στην Α Γυμνασίου! Είναι προφανές ότι αυτή η απαγόρευση όχι μόνο δεν προσφέρει τίποτε στις γνώσεις των μαθητών, αλλά ίσως να καλλιεργεί σε πολλούς εξ αυτών αρνητικές στάσεις για τα Μαθηματικά. Θεωρώ ότι είναι διδακτικά πολύ πιο αποτελεσματικό να αξιοποιηθεί αυτό το θεώρημα (καθώς και άλλα που είναι γνωστά από το Γυμνάσιο) ώστε να γίνει μια εμβάθυνση σε βασικά ζητήματα της αποδεικτικής διαδικασίας, όπως είναι π.χ. ο έλεγχος των υποθέσεων. Στις δύο δραστηριότητες που ακολουθούν, οι μαθητές μελετούν μια νέα απόδειξη του θεωρήματος καθώς και την απόδειξη που ήδη γνωρίζουν με στόχο να εντοπίσουν τη βασική υπόθεση στην οποία στηρίζεται κάθε μία.
9 Δραστηριότητα 2.1 Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180 ο ΑΠΟΔΕΙΞΗ A 1 2 Έστω x το άθροισμα των γωνιών και ΑΔ τυχαίο τμήμα. Στο τρίγωνο ΑΒΔ είναι: Α 1 + Β + Δ 1 = x Στο τρίγωνο ΑΓΔ είναι: Α 2 + Γ + Δ 2 = x B 1 Δ 2 Γ Με πρόσθεση κατά μέλη: Α 1 + Β + Δ 1 + Α 2 + Γ + Δ 2 = 2x A + B + Γ + Δ 1 + Δ 2 = 2x x + 180 ο = 2x x = 180ο Ερώτημα: Ποια είναι η βασική υπόθεση στην προηγούμενη απόδειξη; Δραστηριότητα 2.2 Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180 ο ΑΠΟΔΕΙΞΗ Φέρουμε από το Α την ευθεία ε παράλληλη 1 A 2 ε προς την ΒΓ. Είναι Α 1 = Β και Α 2 = Γ ως εντός εναλλάξ. Άρα έχουμε Α + Β + Γ = Α + Α 1 + Α 2 = 180 ο B Γ Ερώτημα: Ποια είναι η βασική υπόθεση στην προηγούμενη απόδειξη; Η διάκριση των εννοιών διερεύνηση και απόδειξη. Σε πολλούς μαθητές εμφανίζεται συχνά μια σύγχυση ανάμεσα στις έννοιες της απόδειξης και της διερεύνησης. Αυτή η σύγχυση δεν είναι ίσως άσχετη με το γεγονός ότι η εισαγωγή των παραμετρικών εξισώσεων και της διερεύνησης στο βιβλίο Άλγεβρας της Α Λυκείου γίνεται στο πλαίσιο ενός σχολίου, χωρίς κανένα πρόβλημα
10 που καθιστά φανερή τη σημασία αυτών των εννοιών και δίνει κίνητρα στους μαθητές. Το σχετικό απόσπασμα του σχολικού βιβλίου είναι το εξής (σ.56): Όπως βλέπουμε, η διερεύνηση (μια διαδικασία που οι μαθητές συναντούν για πρώτη φορά στην Α Λυκείου) εισάγεται με τελείως θεωρητικό τρόπο και αμέσως μετά εκτοξεύεται κατά των μαθητών μια παραμετρική εξίσωση. Στις επόμενες δύο δραστηριότητες η έννοια της διερεύνησης εισάγεται μέσω ενός προβλήματος. Δραστηριότητα 2.3 Επίλυση προβλημάτων με τη βοήθεια εξισώσεων Ένας πατέρας είναι 52 ετών και ο γιος του 27 ετών. Σε πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι διπλάσια από την ηλικία του γιου; Αν ονομάσουμε x το ζητούμενο, οι μαθητές δεν θα δυσκολευτούν να καταλήξουν στην επόμενη εξίσωση και λύση: 52 + x = 2.(27 + x) x = 52 54 = 2 Προκαλούμε στην τάξη μια συζήτηση για την ερμηνεία της αρνητικής λύσης (κάτι που οι μαθητές γνωρίζουν ήδη από το Γυμνάσιο), αλλά και τη δυνατότητα να γίνει μια επαναδιατύπωση του προβλήματος με τρόπο που καθιστά περιττή τη χρήση των αρνητικών αριθμών: Ένας πατέρας είναι 52 ετών και ο γιος του 27 ετών. Πριν πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα ήταν διπλάσια από την ηλικία του γιου; 52 x = 2.(27 x) x = 54 52 = 2
11 Δραστηριότητα 2.4 Γενίκευση και Διερεύνηση Ένας πατέρας είναι α ετών και ο γιος του β ετών. Πότε η ηλικία του πατέρα γίνεται διπλάσια από την ηλικία του γιου; α + x = 2.(β + x) x = α 2β Η σημασία των περιορισμών και της διερεύνησης: 1. Οι αριθμοί α, β πρέπει να είναι θετικοί. 2. Να μην υπερβαίνουν κάποιο φυσιολογικό όριο ηλικιών. 3. Να είναι α > β. 4. Οι περιπτώσεις α 2β < 0, α 2β = 0, α 2β > 0 προσδιορίζουν αν το ζητούμενο έχει συμβεί στο παρελθόν, συμβαίνει στο παρόν ή θα συμβεί στο μέλλον. Αμέσως μετά τις δύο προηγούμενες δραστηριότητες, η επόμενη χρησιμοποιεί το ίδιο ακριβώς πρόβλημα με μια διατύπωση που δείχνει τη στενή σχέση αλλά και τη διαφορετικότητα των εννοιών διερεύνηση και απόδειξη. Δραστηριότητα 2.5 Γενίκευση και Απόδειξη Ένας πατέρας είναι α ετών και ο γιος του β ετών. α) Να βρείτε σε πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι διπλάσια από την ηλικία του γιου. β) Να αποδείξετε ότι αυτό μπορεί να συμβεί μόνο αν η σημερινή ηλικία του πατέρα είναι μεγαλύτερη από το διπλάσιο της ηλικίας του γιου. Μια πολυδιάστατη διδακτική προσέγγιση ορισμένων αποδείξεων που οι μαθητές συναντούν πρώτη φορά στο Λύκειο. Στις επόμενες δραστηριότητες θα χρησιμοποιήσουμε μια απόδειξη που οι μαθητές συναντούν για πρώτη φορά στο Λύκειο και θα την αξιοποιήσουμε όχι ως μέσο πειθούς των μαθητών για την προφανέστατη αλήθεια της αντίστοιχης πρότασης, αλλά ως φορέα γνώσης σχετικά με όψεις της αποδεικτικής διαδικασίας που σπανίως γίνονται αντικείμενο συζήτησης στη σχολική τάξη. Πρόκειται για την απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας, την οποία οι επίσημες οδηγίες αφαιρούν (κάκιστα κατά τη γνώμη μου) από τη διδακτέα ύλη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στην Α Λυκείου.
12 Η πρώτη δραστηριότητα αποτελείται από ένα πρόβλημα και έχει στόχο να αναδείξει, με όσο το δυνατό πιο απροσδόκητο τρόπο, τη σημασία της τριγωνικής ανισότητας. Δραστηριότητα 2.6 Το σπίτι του Πλάτωνα απέχει από τη Σχολή 5 στάδια, ενώ το σπίτι του Αριστοτέλη απέχει από τη Σχολή 2 στάδια. Πόσο απέχει το σπίτι του Πλάτωνα από το σπίτι του Αριστοτέλη; Το σπίτι του Πλάτωνα απέχει από τη Σχολή 5 στάδια, ενώ το σπίτι του Αριστοτέλη απέχει από τη Σχολή 2 στάδια. Πόσο απέχει το σπίτι του Πλάτωνα από το σπίτι του Αριστοτέλη; Π 5km Σ 2km Α Π 3km Α 2km Σ Σ 5km 2km Α Π? Στη διαχείριση αυτής της δραστηριότητας χρειάζεται διδακτική δεξιοτεχνία, ώστε να αξιοποιηθεί η τάση πολλών μαθητών να θεωρούν μόνο τη γραμμική διάταξη των τριών σημείων, γεγονός που θα κάνει φανερή τη σημασία της τριγωνικής ανισότητας για την εκτίμηση της ζητούμενης απόστασης στη γενική περίπτωση. Η δεύτερη δραστηριότητα αυτής της ενότητας εισάγει στην τάξη έναν προβληματισμό για την σκοπιμότητα απόδειξης της τριγωνικής ανισότητας. Ο στόχος είναι να προκληθεί μια συζήτηση η οποία, με την κατάλληλη καθοδήγηση, μπορεί να οδηγήσει σε ένα κατάλογο λόγων που εξηγούν με πειστικό τρόπο γιατί πρέπει να αποδείξουμε μια τόσο προφανή σχέση όσο η τριγωνική ανισότητα. 1 1 Όπως έχει δείξει η διδασκαλία αυτής της δραστηριότητας, η συζήτηση στην τάξη μπορεί να ενισχυθεί σε μεγάλο βαθμό και να αποκτήσει πολύ ενδιαφέρουσες προεκτάσεις αν γίνουν μερικές ιστορικές αναφορές για τις αντιδράσεις που προκάλεσε στους αρχαίους φιλοσόφους η απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας από τον Ευκλείδη στα Στοιχεία. Βλ. σχετικά στο βιβλίο μας Γλώσσα, Ιστορία και
13 Δραστηριότητα 2.7 Η τριγωνική ανισότητα Ο συντομότερος δρόμος μεταξύ δύο σημείων είναι η ευθεία Α Β Γ Αμφισβητεί κανείς ότι ΒΓ < ΑΒ + ΑΓ; Χρειάζεται απόδειξη; Γιατί πρέπει να αποδείξουμε την τριγωνική ανισότητα; Η μέθοδος ανάπτυξης μιας μαθηματικής θεωρίας συνίσταται στην παραδοχή ορισμένων βασικών αναπόδεικτων αρχών (αξιώματα) και την παραγωγή όλων των συνεπειών τους με τους κανόνες της λογικής (διαφορά των Μαθηματικών από τις Φυσικές επιστήμες). Η τριγωνική ανισότητα είναι διαισθητικά ( φυσικά ) προφανής, αλλά στα Μαθηματικά μας ενδιαφέρει ο τρόπος παραγωγής της από τις προηγούμενες προτάσεις της θεωρίας. Η τριγωνική ανισότητα είναι σημαντική γιατί εκφράζει μια θεμελιώδη ιδιότητα του χώρου αλλά και γιατί αποτελεί το κριτήριο κατασκευής ενός τριγώνου με πλευρές 3 δεδομένα ευθύγραμμα τμήματα. Η τρίτη δραστηριότητα αυτής της ενότητας ασχολείται με μια λεπτομερή ανάλυση της απόδειξης της τριγωνικής ανισότητας που περιέχεται στο σχολικό βιβλίο (είναι η ίδια ακριβώς που έδωσε ο Ευκλείδης στα Στοιχεία πριν από 2300 χρόνια). Η ανάλυση μπορεί να γίνει από το διδάσκοντα με τη μέθοδο των ερωτήσεων απαντήσεων ή να ανατεθεί σε μια ομάδα μαθητών που θα συνεργαστούν και θα την παρουσιάσουν στην τάξη. Ο στόχος είναι να προβληθούν και να διευκρινιστούν ορισμένα βασικά στοιχεία Ευκλείδεια Γεωμετρία: Μια δοκιμή διαθεματικής προσέγγισης στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Εκδόσεις Πανεπιστημίου Μακεδονίας, Θεσσαλονίκη 2006.
14 της απόδειξης, όπως η κεντρική ιδέα στην οποία στηρίζεται και το τέχνασμα που συνδέει τα δεδομένα με τις προηγούμενες προτάσεις της θεωρίας. Δραστηριότητα 2.8 Η απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας Απόδειξη: Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ κατά τμήμα ΑΔ = ΑΓ. Τότε είναι ΒΔ = ΑΔ + ΑΒ = ΑΓ + ΑΒ. Άρα αρκεί να δείξουμε ότι ΒΓ < ΒΔ. Γνωρίζουμε ότι σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες γωνίες βρίσκονται ομοίως άνισες πλευρές. Δημιουργούμε το τρίγωνο ΒΔΓ φέροντας το τμήμα ΔΓ. Το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκελές και άρα γωναγδ = γωναδγ. Επειδή γωναγδ < γωνβγδ, θα είναι και γωναδγ < γωνβγδ. Άρα στο τρίγωνο ΔΒΓ, επειδή γωνβδγ < γωνβγδ, θα είναι και ΒΓ < ΒΔ. Ζητούμενο: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΒΓ < ΑΓ + ΑΒ Δ Α Β Γ Επεξηγηματικά σχόλια Η κεντρική ιδέα της απόδειξης: Η σύγκριση πλευρών ανάγεται στη σύγκριση αντίστοιχων απέναντι γωνιών σύμφωνα με σχετική πρόταση που έχει ήδη αποδειχθεί. Το τέχνασμα της απόδειξης: Προεκτείνεται μια πλευρά ώστε να δημιουργηθεί ευθύγραμμο τμήμα ίσο με το άθροισμα των δύο πλευρών του τριγώνου. Το τμήμα αυτό γίνεται πλευρά ενός νέου τριγώνου.
15 Η επόμενη δραστηριότητα μπορεί να τεθεί αρχικά ως πρόκληση για την αναζήτηση μιας διαφορετικής απόδειξης, που δεν θα χρησιμοποιεί την προέκταση της πλευράς του τριγώνου. Όπως το έθεταν οι αρχαίοι φιλόσοφοι, κατηγορώντας τον Ευκλείδη: Όχι μόνο αποδεικνύεις με τόσο πολύπλοκο τρόπο μια τελείως προφανή ιδιότητα του τριγώνου, αλλά επιπλέον πηγαίνεις και έξω από αυτό για να το πετύχεις! H απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας που ακολουθεί, επινοήθηκε από τους μαθητές του Ευκλείδη ως απάντηση στους επικριτές του δασκάλου τους. Δραστηριότητα 2.9 Ένα διαφορετικό τέχνασμα για την απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας Αρκεί να δείξουμε ότι η πλευρά ΒΓ χωρίζεται σε δύο τμήματα που είναι μικρότερα από τις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Φέρουμε τη διχοτόμο ΑΔ. Τότε είναι: Α γωναδβ > γωνδαγ = γωνδαβ και από το τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε ΒΔ < ΑΒ (1) Ομοίως: γωναδγ > γωνδαβ = γωνδαγ και από το τρίγωνο ΑΔΓ έχουμε Β Δ Γ ΔΓ < ΑΓ (2) Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι ΒΓ < ΑΒ + ΑΓ Θα κλείσω την παρουσίαση με μια δραστηριότητα που αναφέρεται σε απόδειξη αλγεβρικής πρότασης. Οι τύποι του Vieta και ο τρόπος κατασκευής μιας εξίσωσης 2 ου βαθμού με δεδομένες ρίζες, αποδεικνύονται στο βιβλίο Άλγεβρας της Α Λυκείου χωρίς να έχει προηγηθεί κάποια διατύπωση των αντίστοιχων προτάσεων και των υποθέσεων στις οποίες στηρίζονται οι αποδείξεις. Στη δραστηριότητα που ακολουθεί θα ζητηθεί αρχικά από τους μαθητές να μελετήσουν τον τρόπο παρουσίασης που υιοθετείται στο σχολικό βιβλίο και στην συνέχεια να απαντήσουν στα ερωτήματα που ακολουθούν:
16 Δραστηριότητα 2.10 Εξίσωση 2ου βαθμού και τύποι του Vieta στο βιβλίο Άλγεβρας της Α Λυκείου (σ.66) Ερώτημα: Ποιες είναι οι υποθέσεις και ποια τα συμπεράσματα στις προηγούμενες αποδείξεις; Ερώτημα: Ποια είναι η διατύπωση των προτάσεων που αποδεικνύονται Η δυνατότητα των μαθητών της Α Λυκείου (και όχι μόνο) να απαντήσουν σε ερωτήματα αυτού του είδους αποτελεί ένα σημαντικό δείκτη για τη διδασκαλία που προηγήθηκε σχετικά με την έννοια της απόδειξης, αλλά και για το σχεδιασμό των μελλοντικών διδακτικών παρεμβάσεων. Με ή χωρίς τη συμβολή των μαθητών, η λογική ανάλυση των αποδείξεων του σχολικού βιβλίου για το άθροισμα και γινόμενο των ριζών της εξίσωσης 2ου βαθμού θα μας οδηγήσει στη διατύπωση του επόμενου θεωρήματος και πορίσματος.
17 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν α, β, γ, x 1, x 2 R με α 0 και β 2 > 4αγ, τότε οι σχέσεις x 1 + x 2 = β και x 1 x 2 = γ α α αποτελούν ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε οι αριθμοί x 1, x 2 να είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx 2 + βx + γ = 0. ΠΟΡΙΣΜΑ Οι αριθμοί x 1, x 2 με x 1 + x 2 = S και x 1 x 2 = P είναι ρίζες της εξίσωσης x 2 Sx + P = 0. (οι αποδείξεις αφήνονται ως άσκηση στον αναγνώστη) Επίμετρο Οι δραστηριότητες για τη διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης που παρουσιάστηκαν σ αυτήν την εισήγηση μπορεί να φαίνονται ξένες προς το πνεύμα και το γράμμα του σχολικού βιβλίου ή τις καθιερωμένες αντιλήψεις για τη διδασκαλία των Μαθηματικών. Βρίσκονται όμως σε απόλυτη συμφωνία με όσα αναφέρονται στο ισχύον αναλυτικό πρόγραμμα Μαθηματικών του Λυκείου (Φ.Ε.Κ.1342/τα.Β /30 6 1999). Στην εισαγωγή αυτού του αναλυτικού προγράμματος αναφέρονται μεταξύ άλλων και τα εξής: Το Πρόγραμμα Σπουδών του Λυκείου αποτελεί συνέχεια αυτών του Γυμνασίου Πιο συγκεκριμένα, στο Λύκειο οι μαθηματικές γνώσεις των μαθητών θα πρέπει να εμπεδωθούν, να αναπτυχθούν και να επεκταθούν σε πιο θεωρητικό επίπεδο. Επιπλέον στο σχεδιασμό του Π.Σ. έχουν ληφθεί υπόψη η σύνδεση των μαθηματικών γνώσεων με τον πραγματικό κόσμο, η παρουσία των νέων τεχνολογιών στη διδασκαλία, καθώς και η ενεργητική συμμετοχή των μαθητών κατά τη διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών εννοιών. Το Π.Σ. του Λυκείου συγκροτήθηκε με βάση τις ίδιες αρχές που ισχύουν για το Π.Σ. του Γυμνασίου. Πιο συγκεκριμένα: Ι. Η διδασκαλία των Μαθηματικών οργανώνεται στη βάση της αρμονικής συνύπαρξης ενός σχεδιασμού κατάλληλων και πλούσιων δραστηριοτήτων και ενός προγραμματισμού μιας επιθυμητής τελικής συμπεριφοράς. Με τον τρόπο αυτό το Π.Σ. συντίθεται από τρεις στήλες. Στην πρώτη στήλη αναγράφονται τα περιεχόμενα, δηλαδή οι μαθηματικές ενότητες που έχουν επιλεγεί για κάθε τάξη του Λυκείου. Στη δεύτερη στήλη αναγράφονται οι επιθυμητοί στόχοι, ενώ στην τρίτη δίνονται οδηγίες και αναφέρονται ενδεικτικά παραδείγματα προβλημάτων και δραστηριοτήτων, μέσω των οποίων οι στόχοι αυτοί θα υλοποιηθούν. ΙΙ. Το Π.Σ. του Λυκείου περιέχει τις μαθηματικές ενότητες που διεθνώς θεωρούνται κατάλληλες για τις αντίστοιχες ηλικίες των μαθητών, με τη διδασκαλία των οποίων οι μαθητές θα αναπτύξουν τέτοιες δεξιότητες, ώστε να μπορούν:.
18 ΙΙΙ. Οι προηγούμενες δεξιότητες, μπορούν να υλοποιηθούν με κατάλληλες δραστηριότητες. Προκειμένου να επιλεγεί η κατάλληλη δραστηριότητα, επισημαίνεται ότι: 1. Μια δραστηριότητα πρέπει: Να είναι κατανοητή από όλους τους μαθητές ώστε να μη δημιουργεί παρανοήσεις. Να αφήνει περιθώρια για έρευνα και αυτενέργεια. Να ενθαρρύνει τη συνεργατικότητα και την ομαδική εργασία, προτρέποντας τους μαθητές και τις ομάδες σε νοητικό ανταγωνισμό. Να επιτρέπει προσέγγιση σε μία ή σε περισσότερες από μία λύσεις. 2. Το πρόβλημα από το οποίο προκύπτει η δραστηριότητα πρέπει να είναι πλούσιο σε εμπλεκόμενες έννοιες, να είναι αρκετά σημαντικό αλλά όχι δύσκολο, ώστε να μπορέσει ο μαθητής να το λύσει. 3. Η επίλυση του προβλήματος πρέπει να μπορεί να γίνει (όπου είναι δυνατόν) σε διάφορα αναπαραστασιακά συστήματα, π.χ. σε αριθμητικό-αλγεβρικό, σε γραφικό, σε γεωμετρικό κτλ., μεταξύ των οποίων ο μαθητής θα μπορέσει να κάνει τις κατάλληλες αντιστοιχίσεις και μεταφράσεις των εννοιών. ΙV. Η θέση της μαθηματικής απόδειξης στο Π.Σ. του Λυκείου αποτέλεσε αντικείμενο ιδιαίτερης προσοχής. Από τη μια μεριά, μέσω των δραστηριοτήτων, οι μαθητές προσεγγίζουν διαισθητικά μια έννοια, αναπτύσσουν εικασίες και τέλος κατανοούν την αναγκαιότητα της απόδειξης. Από την άλλη, ιδιαίτερα στη Δευτέρα και Τρίτη Λυκείου και στις αντίστοιχες θετικές και τεχνολογικές κατευθύνσεις, η μαθηματική απόδειξη έχει μια πιο τυπική μορφή, διατυπωμένη με όρους και συμβολισμούς που πλησιάζουν τις απαιτήσεις οι οποίες έχουν καθιερωθεί από την μαθηματική κοινότητα. Στο ίδιο μήκος κύματος με τα παραδείγματα που χρησιμοποίησα σ αυτή την εργασία είναι δυνατό να δημιουργηθούν δραστηριότητες που καλύπτουν τη διδακτέα ύλη και τους στόχους της διδασκαλίας των Μαθηματικών σε ολόκληρο το φάσμα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. 2 2 Ένα παράδειγμα που αφορά τη διδασκαλία της Ανάλυσης στην Γ Λυκείου υπάρχει στο βιβλίο μου Μαθηματικά & Εξετάσεις. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη 2009 (κεφάλαιο IV).