Μαθηματική Λογική και Απόδειξη
|
|
- Σωτήριος Πανταζής
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο σε δυο ίσα τμήματα. Ο πρώτος άνθρωπος που ασχολήθηκε συστηματικά με τη Λογική και διατύπωσε κανόνες απόδειξης, ήταν ο Αριστοτέλης ( π.χ.). Αυτός που αξιοποίησε τη διδασκαλία του Αριστοτέλη, κάνοντας αποδείξεις στα μαθηματικά, ήταν ο Ευκλείδης (~350 π.χ.). Ο Ευκλείδης, όταν τελείωνε μια απόδειξη, έγραφε: «περ δει δε ξαι», δηλαδή, «αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί (εννοείται) αποδείχθηκε». Ο πρώτος που κατάλαβε πόσο σημαντική ήταν η εισαγωγή συμβολισμού, στην παρουσίαση μιας λογικής διαδικασίας, ήταν ο G. Leibniz ( ). Θεμελιωτές της «Συμβολικής» ή «Τυπικής» ή «Μαθηματικής» Λογικής, θεωρούνται οι A. De Morgan ( ) και G. Boole ( ). Τέλος, από τους νεότερους, ξεχωρίζουν οι: G. Frege ( ), B. Russel ( ) και K. Gödel ( ). Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής: α) Λογική Πρόταση ή σκέτο Πρόταση, είναι κάθε δήλωση (διατύπωση), που μπορεί (δύναται) να χαρακτηριστεί αληθής (Α) ή ψευδής (Ψ). Εμείς θα χρησιμοποιήσουμε, αντί για το αληθές (Α), το σωστό (Σ), και αντί για το ψευδές (Ψ), το λάθος (Λ), προκειμένου να εξυπηρετήσουμε καλύτερα τους διδακτικούς μας στόχους. Συνηθισμένα σύμβολα (ονόματα) προτάσεων είναι τα: p, q, r, s, Παραδείγματα: 1. Η p: «ο 4 είναι περιττός αριθμός», είναι πρόταση, αφού μπορεί να χαρακτηριστεί (Λ). 2. Η q: «ο είναι πρώτος αριθμός», είναι πρόταση, αφού δύναται να χαρακτηριστεί (Σ) ή (Λ). Ασφαλώς, δυσκολευόμαστε να απαντήσουμε αν ταιριάζει το (Σ) ή (Λ), αν και γνωρίζουμε από το Γυμνάσιο τη μέθοδο «κόσκινο του ÉΕρατοσθένη». Όμως, δεν θα πρέπει να μπερδέψουμε τη δικιά μας δυσκολία ή αδυναμία, με το δύναται, που σημαίνει «η ανθρωπότητα δύναται». 3. Η r: «Πάντα υπάρχει στον κόσμο άνθρωπος, τέτοιος, που κανείς άνθρωπος δεν έχει περισσότερες τρίχες από αυτόν». Προφανώς η (r) είναι πρόταση και μάλιστα σωστή (Σ). Σημαντικό: Στα λεγόμενα «Θεωρήματα Ύπαρξης», αποδεικνύουμε την ύπαρξη Μαθηματικών «αντικειμένων», χωρίς να εξασφαλιζόμαστε ότι θα «δούμε» τα αντικείμενα αυτά. 4. Η s: «ο χ είναι μεγαλύτερος του 3» δεν είναι πρόταση, αφού δεν μπορεί να χαρακτηριστεί ούτε (Σ) ούτε (Λ). β) Ανοικτή πρόταση ή Προτασιακός τύπος, είναι μια δήλωση (διατύπωση), η οποία εξαρτάται από μεταβλητές, οι οποίες παίρνουν τιμές από ένα σύνολο αναφοράς, παράγοντας προτάσεις. Ο s(χ): «ο χ είναι μεγαλύτερος του 3», με σύνολο αναφοράς το, είναι προτασιακός τύπος, και παράγει προτάσεις, κάθε φορά που ο χ παίρνει μια τιμή από το σύνολο αναφοράς. Έτσι για χ=1, η s(1): «ο 1 είναι μεγαλύτερος του 3», είναι πρόταση και μάλιστα (Λ). Το (3,+ ), λέγεται σύνολο αληθείας του s(χ), αφού για κάθε χ (3,+ ), προκύπτει πρόταση (Σ). 1
2 γ) Προτασιακοί σύνδεσμοι, λέγονται οι: (a) «και» σύζευξη, με σύμβολο ( ) (b) «είτε» διάζευξη, με σύμβολο ( ) (c) «όχι» άρνηση, με σύμβολο ( ) (d) «αν τότε», με σύμβολο ( ) (e) «αν και μόνο αν», με σύμβολο ( ) δ) Απλές και σύνθετες προτάσεις. Αρχική ή απλή πρόταση, λέγεται η πρόταση που δεν περιλαμβάνει συνδέσμους. Σύνθετη λέγεται η πρόταση που περιλαμβάνει συνδέσμους. Πίνακες αλήθειας: Στους πίνακες αλήθειας, βλέπουμε πώς μπορούμε να συμπεράνουμε τις τιμές αλήθειας [(Σ) ή (Λ)] μιας σύνθετης πρότασης, από τις τιμές αλήθειας των απλών προτάσεων που τη συνθέτουν. (a) Πίνακας αληθείας για το σύνδεσμο σύζευξης «και», με σύμβολο ( ). Παρατηρούμε ότι αν p, q είναι δυο προτάσεις, τότε η σύζευξή τους p q, είναι σωστή (Σ), Σ Σ Σ όταν και μόνο όταν και οι δυο προτάσεις είναι σωστές (Σ). Σ Λ Λ Ενώ για να είναι η p q λάθος (Λ), Λ Σ Λ αρκεί μία (τουλάχιστο) από τις p, q να είναι λάθος (Λ). Λ Λ Λ π.χ.: Η σύνθετη πρόταση r: «3 < 2 5 < 7» (Λ). (Λ) (Σ) (b) Πίνακας αληθείας για το σύνδεσμο διάζευξης «είτε», με σύμβολο ( ). Παρατηρούμε ότι αν p, q είναι δυο προτάσεις, Σ Σ Σ τότε η διάζευξή τους p q, είναι λάθος (Λ), Σ Λ Σ όταν και μόνο όταν και οι δυο προτάσεις είναι λάθος (Λ). Λ Σ Σ Ενώ για να είναι η p q σωστή, Λ Λ Λ αρκεί μία (τουλάχιστο) από τις p, q να είναι σωστή (Σ). π.χ.: Η σύνθετη πρόταση r: «3 < 2 5 < 7» (Σ). (Λ) (Σ) Προσοχή: Στα σχολικά βιβλία, αντί για το «είτε», χρησιμοποιείται το σύμβολο «ή». (c) Πίνακας αληθείας για το σύνδεσμο άρνησης «όχι», με σύμβολο ( ). Παρατηρούμε ότι μια πρόταση p αληθεύει (Σ), p p p ( p) «τότε και μόνο τότε» αν η άρνησή της, p, είναι λάθος (Λ). Σ Λ Λ Ομοίως η p είναι (Λ), «τότε και μόνο τότε» αν η p είναι (Σ). Λ Σ Λ Συνεπώς η σύζευξή τους είναι πάντα (Λ). Η σύζευξη μιας πρότασης p και της άρνησής της p, λέγεται αντίφαση, αφού είναι (Λ), για κάθε πρόταση p. Έτσι η ύπαρξη αντίφασης, είναι εγγύηση ύπαρξης λάθους. Παραδείγματα: (a) p: «ο αριθμός 2 είναι άρτιος» (Σ), p: «ο αριθμός 2 δεν είναι άρτιος» (Λ) και επειδή όταν ένας φυσικός αριθμός δεν είναι άρτιος είναι περιττός, μια «ισοδύναμη» έκφραση της p είναι η p: «ο αριθμός 2 είναι περιττός» (Λ). ( p): «ο αριθμός 2 δεν είναι περιττός» (Σ) και ομοίως μια «ισοδύναμη» έκφραση είναι ( p): «ο αριθμός 2 είναι άρτιος» (Σ). Παρατηρούμε δηλαδή ότι η άρνηση της άρνησης μιας πρότασης, «είναι» η ίδια η πρόταση. 2
3 (b) p: «3>12» (Λ) p: «3 12» (Σ) Σ Σ Σ (1) Σ Λ Λ (2) Λ Σ Σ (3) Λ Λ Σ (4) Παρατηρούμε ότι η πρόταση 3 12 είναι σωστή, αφού σωστό είναι ένα από τα δύο που δηλώνει. (c) p: «3=1+1» (Λ) p: «3 1+1» (Σ) Στους πραγματικούς αριθμούς η p γράφεται, σε «ισοδύναμη» έκφραση: p: «3<1+1 ή 3>1+1» (Σ). Λογική, και αποδεικτική διαδικασία: (d) Πίνακας αληθείας για το σύνδεσμο «αν τότε», με σύμβολο ( ). Παρατηρούμε ότι: (1), (2) Με Σωστή συνεπαγωγή, Σωστή πρόταση p, συνεπάγεται πάντα Σωστή πρόταση q. (3) Με Σωστή συνεπαγωγή, Λάθος πρόταση p, μπορεί να συνεπάγεται σωστή πρόταση q. (2), (4) Με Σωστή συνεπαγωγή, Λάθος πρόταση q, συνεπάγεται μόνο από Λάθος πρόταση p. Ευθεία απόδειξη (συνθετική μέθοδος) Η ευθεία απόδειξη, είναι η πλέον συνηθισμένη διαδικασία απόδειξης. Ο εκπαιδευόμενος οφείλει να αξιοποιήσει τα δεδομένα για να αποδείξει ότι τα ζητούμενα ισχύουν (είναι σωστά). Ξεκινώντας από την υπόθεση (δεδομένα) του «προβλήματος», που θεωρείται σωστή, και αξιοποιώντας τις γνώσεις από τη Θεωρία, που επίσης θεωρείται σωστή, κάνουμε λογικά βήματα με σωστές συνεπαγωγές, (που είτε η ορθότητά τους είναι γνωστή από τη θεωρία, είτε τις αποδεικνύουμε), καταλήγοντας στο ζητούμενο. Έτσι, επειδή όπως είδαμε, με σωστή συνεπαγωγή, «σωστό» συνεπάγεται πάντα «σωστό», έχουμε το νόμιμο δικαίωμα να ισχυριστούμε ότι αποδείξαμε το ζητούμενο. Άσκηση 1 η : Να αποδειχθεί ότι αν α +β + γ =0, τότε ισχύει α Απόδειξη: Αν α +β + γ =0, τότε (1) α +β = γ α +β = γ, άρα (3) α , δηλαδή (4) α , δηλαδή (5) α 3 και συνεπώς (6) α Σημειώσεις: Τα «τότε», «επομένως», «άρα» και «συνεπώς» είναι συμπερασματικά και μπορούν να αντικατασταθούν από το σύμβολο της συνεπαγωγής ( ). Το «δηλαδή» δηλώνει ισοδυναμία και μπορεί να αντικατασταθεί από το σύμβολο της ισοδυναμίας ( ) ή για «οικονομία» από το σύμβολο της συνεπαγωγής ( ), αφού όπου ισχύει ισοδυναμία ισχύει και συνεπαγωγή. Η ισοδυναμία είναι ισχυρότερη από τη συνεπαγωγή και επομένως έχουμε λιγότερες πιθανότητες να την εξασφαλίσουμε. Στην ευθεία απόδειξη, αρκεί συνεπαγωγή, και επομένως όποιος απαιτεί ισοδυναμία, ζητά περισσότερα από τα αναγκαία, θέτοντας σε κίνδυνο την επιτυχία της απόδειξης. Ακόμα κι όταν διαπιστώνουμε ισοδυναμία, μπορούμε να μην την καταγράψουμε αν η αιτιολόγησή της απαιτεί επιπλέον χρόνο. Επεξηγήσεις: (1) «τότε (1)» Σχολικό βιβλίο σελίδα 12. α = β α+ γ = β + γ. α +β + γ =0 α +β + γ +( γ)=0+( γ) α +β = γ (2) «επομένως (2)» Σχολικό βιβλίο σελίδα 16. α = β α = β. (3) «άρα (3)» Έχουμε δικαίωμα να αντικαθιστούμε παραστάσεις, με άλλες που είναι εκ ταυτότητος ίσες τους. (4) «δηλαδή (4)» Όπως στο (1). (5) «δηλαδή (5)» Όπως στο (3). Με ταυτότητες παραγοντοποίησης. (6) «συνεπώς (6)» Από την υπόθεση α +β + γ =0 γ = α β και αντικατέστησα. Προσοχή: Η σχολαστικότητα, είχε εκπαιδευτικό χαρακτήρα, και δεν προτείνεται. 3, επομένως (2)
4 Μέθοδος της απαγωγής σε άτοπο Όταν δεν μπορούμε να αποδείξουμε ότι είναι Σωστή η ζητούμενη πρόταση (p), αποδεικνύουμε ότι η άρνησή της η ( p) είναι Λάθος. Για να αποδείξουμε ότι η ( p) είναι Λάθος, αποδεικνύουμε ότι συνεπάγεται Λάθος. Όπως έχουμε δει: «Λάθος πρόταση q, συνεπάγεται μόνο από Λάθος πρόταση p». Η αντίφαση είναι το εμφανέστερο Λάθος, είναι το πλέον χαρακτηριστικό ΑΤΟΠΟ. Άσκηση 2 η : Σε τρίγωνο ΑΒΓ, να αποδειχθεί ότι αν δ β = δ γ, τότε β = γ. (δ β, δ γ διχοτόμοι) Απόδειξη: Επειδή, με δεδομένο δ β = δ γ δεν μπορούμε να αποδείξουμε ότι β = γ, με ευθεία απόδειξη, θα δοκιμάσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Έστω ότι ισχύει η άρνηση του ζητούμενου, δηλαδή έστω ότι β γ. Α B φ ψ Ζ Στο τρίγωνο ΑΒΓ, ΑΒ=γ, ΑΓ=β και ΒΔ= δ β =δ γ =ΓΕ. Από το Ε φέρνουμε παράλληλο προς την ΒΔ και από Δ φέρνουμε παράλληλο προς την ΑΒ. Οι δυο αυτές ευθείες τέμνονται στο Ζ. Αφού υποθέσαμε ότι β γ, άρα β > γ ή β < γ. Έστω, «χωρίς βλάβη της γενικότητας», ότι β > γ. Ε Δ Αφού β > γ, άρα (α) ˆ ˆ ˆ ˆ, επομένως χ φ ω και συνεπώς ˆ. ˆ φ ω Τα τρίγωνα ΕΓΒ και ΔΒΓ έχουν τη ΒΓ κοινή, Γ ΓΕ=ΒΔ από την υπόθεση και ˆ ˆ (δυο ζεύγη ίσων αντίστοιχων πλευρών και τις περιεχόμενες γωνίες άνισες) και επομένως (β) απέναντι από τις άνισες γωνίες, θα βρίσκονται ομοίως άνισες πλευρές, δηλαδή ΓΔ > ΒΕ (1). Επειδή το ΒΕΖΔ είναι παραλληλόγραμμο από κατασκευής, άρα ˆ, ΒΕ=ΔΖ και ΕΖ=ΒΔ, και αφού ΒΔ=ΕΓ, άρα ΕΖ=ΕΓ, δηλαδή το τρίγωνο ΕΓΖ είναι ισοσκελές και συνεπώς. ˆ ˆ ˆ ˆ Όμως ˆ ˆ και επομένως (γ) ˆ. ˆ Αφού, ˆ ˆ στο τρίγωνο ΔΓΖ θα έχουμε (δ) ΒΕ=ΔΖ>ΔΓ, και άρα ΒΕ > ΓΔ (2). ΑΤΟΠΟ αφού έχουμε αντίφαση: ΓΔ > ΒΕ (1) και (ε) ΒΕ > ΓΔ (2). Σε ΑΤΟΠΟ μας οδήγησε η υπόθεση β γ. Επομένως είναι μια λαθεμένη υπόθεση και συνεπώς σωστή είναι η άρνησή της η β = γ. «περ δει δε ξαι» Σημειώσεις: Όταν γράφουμε «χωρίς βλάβη της γενικότητας», εννοούμε ότι αυτό που φαίνεται ειδικό, στην πραγματικότητα υπηρετεί το γενικό. Αποφεύγουμε τέτοιες δύσκολες διατυπώσεις, εκτός και αν είμαστε σίγουροι ότι αυτό που υποθέτουμε δεν βλάπτει την πληρότητα της απόδειξης. Άλλη διατύπωση: Αφού υποθέσαμε ότι β γ, άρα β > γ ή β < γ. Έστω β > γ. ΑΤΟΠΟ. Ομοίως αν β < γ. Επεξηγήσεις: 1. «άρα (α)» και «έχουμε (δ)» Σε κάθε τρίγωνο, απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται ομοίως άνισες γωνίες και αντιστρόφως. Θεώρημα 3.11 (σ. 54) 2. «επομένως (β)» Σχολικό βιβλίο Εφαρμογή 3 η, σελίδα «και (ε)» Στην πραγματικότητα αντίφαση θα είχαμε αν ΓΔ > ΒΕ και ΒΕ ΓΔ. Όμως ΒΕ > ΓΔ ΒΕ ΓΔ «περ δει δε ξαι». ˆ ˆ ˆ ˆ και ˆ ˆ. ˆ ˆ 4. «επομένως (γ)» Θα πρέπει να αποδείξουμε ότι Απόδειξη με απαγωγής σε άτοπο: Έστω ότι ˆ, ˆ δηλαδή ότι ˆ ˆ ή. ˆ ˆ Αν, ˆ ˆ τότε ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ΑΤΟΠΟ αφού. ˆ ˆ Αν, ˆ ˆ προσθέτοντας κατά μέλη με την ˆ, ˆ θα έχουμε ˆ ˆ ˆ ˆ ΑΤΟΠΟ, αφού. ˆ ˆ ˆ ˆ Άρα το είναι ˆ ˆ Λάθος και συνεπώς το ˆ ˆ είναι Σωστό. 4
5 Άσκηση 3 η : Να αποδειχθεί ότι, για κάθε α, β, ισχύει Απόδειξη: ( ) Έστω ότι α = β =0. Τότε ( ) (Με απαγωγή σε ΑΤΟΠΟ) Έστω ότι Τότε α 0 είτε β 0, δηλαδή ΑΤΟΠΟ, αφού α = β =0, και συνεπώς α +β =0 α = β =0. α +β =0. α +β =0, και έστω ότι α 0 είτε β 0. α >0 είτε β >0 και επομένως α +β >0. α +β =0. Άρα είναι λάθος α 0 είτε β 0 και συνεπώς α = β =0. (e) Πίνακας αληθείας για το σύνδεσμο «αν και μόνο αν», με σύμβολο ( ) Σ Σ Σ (1) Σ Λ Λ Λ Σ Λ Λ Λ Σ (2) Παρατηρούμε ότι: (1) Με Σωστή ισοδυναμία, Σωστή πρόταση p είναι πάντα ισοδύναμη με Σωστή πρόταση q. (2) Με Σωστή ισοδυναμία, Λάθος πρόταση p είναι πάντα ισοδύναμη με Λάθος πρόταση q. Αναλυτική μέθοδος απόδειξης Επειδή όταν δυο προτάσεις είναι ισοδύναμες, είναι και οι δυο σωστές ή και οι δυο λαθεμένες, ξεκινάμε από το ζητούμενο και με σωστές ισοδυναμίες προσπαθούμε να καταλήξουμε σε μια πρόταση προφανώς σωστή, ή πιο εύκολα αποδείξιμη από το ζητούμενο. Άσκηση 4 η : Να αποδειχθεί ότι, για κάθε α, β, ισχύει α β α+β. (1) (2) Απόδειξη: α β α+β α β α+β α β α+β 2 (3) 2 (2) α + β 2 αβ α +β +2αβ α +β 2 αβ α +β +2αβ αβ αβ Όμως η αβ αβ είναι σωστή από τον Πίνακα 1(σελίδα 38) του σχ. βιβλίου. Επομένως και η ισοδύναμή της α β α+β είναι επίσης σωστή. ν ν Επεξηγήσεις: (1) Για α, β [0,+ ) και ν \{0} α β α β, Πίνακας 4(σ. 30) (2) α = α, από τον Πίνακα 1(σελίδα 38) του σχ. βιβλίου. (3) αβ= αβ, από τον Πίνακα 1(σελίδα 40) του σχ. βιβλίου. Σχόλιο: Στην αναλυτική μέθοδο, ζητάμε ισοδυναμία, ενώ θα μας ικανοποιούσε η συνεπαγωγή ( ). Όμως μια τέτοια διαδικασία δεν είναι πάντα εύκολα διαχειρίσιμη. Άσκηση 5 η : Να αποδειχθεί ότι, για κάθε α, β, ισχύει α β α β. Απόδειξη: Για να ισχύει η α β α β, αρκεί να ισχύουν οι α α και β β, γιατί τότε με πρόσθεση κατά μέλη θα έχω το ζητούμενο. Οι σχέσεις αυτές όμως ισχύουν, από τον Πίνακα 1(σελίδα 38) του σχ. βιβλίου. «περ δει δε ξαι» Σχόλιο: Χρησιμοποιήσαμε τη λέξη αρκεί, αντί για το σύμβολο ( ). Είναι σα μια ευθεία απόδειξη, που την «περπατάμε» ανάποδα. Όταν αυτό είναι κατορθωτό, είναι περισσότερο πιθανό να επιτευχθεί, αφού αντί για την ισχυρή ( ), ζητάμε την ασθενέστερη συνεπαγωγή ( ). Τα παρακάτω ισχύουν και για προτάσεις και για προτασιακούς τύπους. Ανάγνωση: 1. Όταν p q διαβάζουμε: «p συνεπάγεται q» ή «p αρκεί για q» ή «για p πρέπει q» ή «για q αρκεί p» ή «αν p τότε q». Επίσης «η p είναι ικανή συνθήκη της q» ή «η q είναι αναγκαία συνθήκη της p». 5
6 Παράδειγμα: Είναι γνωστό ότι, αν ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, τότε οι διαγώνιοί του είναι ίσες. Η συνθήκη «οι διαγώνιο του τετράπλευρου είναι ίσες», είναι αναγκαία, για τη συνθήκη «το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο». Αναγκαία σημαίνει, ότι χωρίς αυτή, δεν ισχύει η συνθήκη «το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο». Πράγματι, αν έχουμε ένα τετράπλευρο που οι διαγώνιοί του δεν είναι ίσες, τότε το τετράπλευρο, δεν μπορεί να είναι ορθογώνιο, γιατί αν είναι ορθογώνιο, τότε οι διαγώνιοί του θα είναι ίσες και θα έχουμε ΑΤΟΠΟ. Νόμος της Αντιθετοαντιστροφής Κάθε φορά που μας διαθέτουν μια συνεπαγωγή, έστω p q, μπορούμε να διατυπώσουμε και μια άλλη, την q p. (Ι) Στο προηγούμενο παράδειγμα γνωρίζαμε ότι: Δίνεται τετράπλευρο. «το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο» «οι διαγώνιοι του τετράπλευρου είναι ίσες» και διατυπώνουμε: «οι διαγώνιοι του τετράπλευρου δεν είναι ίσες» «το τετράπλευρο δεν είναι ορθογώνιο» (ΙΙ) Είναι γνωστό ότι, για κάθε α, β και ν \{0}, ισχύει α = β α ν = β ν Τώρα γνωρίζουμε επίσης ότι, για κάθε α, β και ν \{0}, ισχύει α ν β ν α β. 2. Όταν p Û q διαβάζουμε: «p ισοδυναμεί με q» ή «p τότε και μόνο τότε αν q» ή «p αν και μόνο αν q» ή «για να είναι p πρέπει και αρκεί q» Επίσης «η p είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη της q». Επειδή ( p Û q) Û (q Û p ) όλα τα παραπάνω γράφονται και ανάποδα, δηλαδή αν στη θέση του p γράψω q και στη θέση του q γράψω p. Νόμοι του De Morgan (a) (p q) Û [( p) ( q)] Εφαρμογή: p: «α=0» και q: «β=0» (α, β ) p: «α 0» και q: «β 0» (p q) Û {α=0 ή β=0} Û (α β =0) Û α β 0 [( p) ( q)] Û{α 0 και β 0 } Û α β 0 (p q) Û [( p) ( q)] (b) (p q) Û [( p) ( q)] Εφαρμογή: p: «α=0» και q: «β=0» (α, β ) p: «α 0» και q: «β 0» (p q) Û {α=0 και β=0} Û (α 2 +β 2 =0) Û α 2 +β 2 0 [( p) ( q)] Û{α 0 ή β 0} Û α 2 +β 2 0 (p q) Û [( p) ( q)] Ας δούμε τέλος, το νόμο της Αντιθετοαντιστροφής, σε συνδυασμό με τους νόμους του De Morgan. Είναι γνωστό ότι, αν θ>0, τότε: x θ θ x< θ, Πίνακας 3, (σ. 38). x θ θ x< θ, δηλαδή x θ θ x< θ και θ x< θ x θ. Επομένως (1) θ x< θ x θ και (2) x θ θ x< θ Έτσι θ x< θ x θ. θ x< θ θ x και x< θ θ x ή x< θ θ xήx θ και θ θ. Άρα θ θ ή θ Πίνακας 4, (σ.39). x x x x x 6
Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2
A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων
Διαβάστε περισσότεραK15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΠρόταση. Αληθείς Προτάσεις
Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο
Διαβάστε περισσότεραΥποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια
Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας
Διαβάστε περισσότεραΠροτάσεις. Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών. Ποιες είναι προτάσεις; Προτάσεις 6/11/ ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη)
Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών 5 ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη) Προτάσεις Η πρόταση είναι μια γλωσσική ενότητα, η οποία εκφράζει κάποιο νόημα. Παραδείγματα: Η Μαρία σχεδιάζει ένα
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ
ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:
1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται
Διαβάστε περισσότεραΣ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου.
Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Η προσέγγιση των εννοιών αυτών θα γίνει με τη βοήθεια απλών παραδειγμάτων,
Διαβάστε περισσότερα, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.
Διαβάστε περισσότερα3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία
Διαβάστε περισσότεραμε μ,ν ακέραιους και ν 0 και δημιουργήθηκε το σύνολο Q ( ρητοί). Το σύνολο Ζ επεκτάθηκε με την προσθήκη αριθμών της τύπου
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Η ΑΛΓΕΒΡΑ ασχολείται με τους αριθμούς και τις μεταξύ τους σχέσεις Οι φυσικοί αριθμοί (συμβολίζονται με το γράμμα Ν) Ν={ 1,,3 }επινοήθηκαν από τον
Διαβάστε περισσότεραVAN HIELE GEOMETRY TEST * (USISKIN) ΟΔΗΓΙΕΣ
VAN HIELE GEOMETRY TEST * (USISKIN) ΟΔΗΓΙΕΣ Μην γυρίσετε την επόμενη σελίδα πριν σας το πουν. Για το test αυτό πρέπει να γνωρίζετε ότι: Δεν επηρεάζει τη βαθμολογία σου στο σχολείο. Χρησιμοποιείται αποκλειστικά
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα
Διαβάστε περισσότεραΟι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη
Διαβάστε περισσότεραΑ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.
Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου
Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου Συλλογή-Επιμέλεια: Γ. Κοντογιάννης, Μαθηματικός ΜPhil Α Λυκείου Άλγεβρα Θέματα Εξετάσεων
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2.
Διαβάστε περισσότεραΌμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.
Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 30 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 23 Φεβρουαρίου 2013 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Λύση (α) Έχουμε
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΘΗΝ Τηλ 665-6778 - Fax: 605 e-mail : info@hmsgr, wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία. I. Εισαγωγή
I. Εισαγωγή Γεωμετρία Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι μαθητές έχουν έρθει σε
Διαβάστε περισσότεραp p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q
Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά
Διαβάστε περισσότεραA. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
Μάθηµα 1 Κεφάλαιο: Εισαγωγικό Θεµατικές Ενότητες: A. Το Λεξιλόγιο της Λογικής B. Σύνολα A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Ορισµός Πρόταση λέµε κάθε φράση που µε βάση το νοηµατικό της περιεχόµενο µπορούµε να
Διαβάστε περισσότεραΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Με τις ερωτήσεις του τύπου αυτού καλείται ο εξεταζόμενος να επιλέξει την ορθή απάντηση από περιορισμένο αριθμό προτεινόμενων απαντήσεων ή να συσχετίσει μεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΗ διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 7ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Διατυπώστε το θεώρημα του Θαλή, κάνετε σχήμα και γράψτε την αναλογία που εκφράζει το θεώρημα του Θαλή στο συγκεκριμένο σχήμα. Απάντηση: «Αν τρείς τουλάχιστον παράλληλες ευθείες
Διαβάστε περισσότεραVERSION :00. α) Γνωρίζουμε από την Α Λυκείου 5.7 ότι οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο
VERSION 16-11-014 17:00 _18975 α) Γνωρίζουμε από την Α Λυκείου 5.7 ότι οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο του οποίου η απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα 3 του μήκους της αντίστοιχης
Διαβάστε περισσότεραΤεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.
Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel
Διαβάστε περισσότεραAλγεβρα A λυκείου α Τομος
Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 30 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 23 Φεβρουαρίου 2013 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Λύση (α) Έχουμε
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 3 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-36778 - Fax: 3605 e-mail : info@hms.gr, www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 3, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΚΗ - ΣΥΝΟΛΑ ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
ΛΟΓΙΚΗ - ΣΥΝΟΛ ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Η συνεπαγωγή ν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q τότε λέμε ότι το P συνεπάγεται το Q και γράφουμε P Q Π.χ, όταν α=β
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου ο Θέμα Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (14/11/014) Θέματα ης Ομάδας GI_V_GEO 18975 Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ= = = = = = Α =ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΓΕΒΡΑ Α ΥΚΕΙΟΥ ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΚΗΕΙ ΘΕΩΡΙΑ. Οι πράξεις και οι ιδιότητες τους Αν α, β, γ, δ πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύουν οι ιδιότητες : α = β Û α + γ = β + γ Αν γ ¹ 0, α = β Û αγ = βγ αβ = 0 Û α
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Υπογραφή :
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2018 2019 ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά ΤΑΞΗ : Γ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 5 / 6 / 2019 ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Βαθμός : Ολογράφως
Διαβάστε περισσότερα66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την
Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα Η έννοια του λόγου ορίζεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ως εξής: Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών η κατά πηλικότητά ποια σχέσις Λόγον έχειν προς άλληλα
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ Α Ψ Α Ψ viii) 9. Α Ψ ix) Α Ψ xi) Α Ψ xii) 0 0. Α Ψ xiii) Α Ψ xiv) Α Ψ xv)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ 1. Σε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν θεωρείτε ότι ο ισχυρισμός που διατυπώνετε είναι αληθής, ενώ αν θεωρείτε ότι είναι ψευδής να κυκλώσετε το Ψ. Οι
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ. Ημερομηνία: 29/04/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30
ΟΔΗΓΙΕΣ: ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Γ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΚΑΤΩ ΤΩΝ 15 1/2 ΕΤΩΝ «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 29/04/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 36 η Εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «Ο ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» 23 Φεβρουαρίου 2019 Θέματα και ενδεικτικές λύσεις μεγάλων τάξεων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 036653 367784 Fax: 036405 e mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Paneistimiou (Εleftheriou Venizelou)
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Προτασιακής Λογικής
Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις (Μαθηματική)
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2018 3 η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 3.1 [1 μονάδα] Έστω Α={1,2,3,{1,3},4,{5,6}}. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; i. {5,6} Α vi.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο
Διαβάστε περισσότεραΕ.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
1 Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Η συνεπαγωγή Η πρόταση P Q σηµαίνει ότι, όταν αληθεύει (ισχύει) ο ισχυρισµός P, θα αληθεύει (ισχύει) και o Q. Το σύµβολο διαβάζεται : άρα τότε συνεπάγεται.. Η ισοδυναµία
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΣυνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα
Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Συνοπτική θεωρία Οι σημαντικότερες αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΚΕΦΑΙΑΟ 9 ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Προτασιακής Λογικής
Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικές Συναντήσεις
Μαθηματικές Συναντήσεις ΣΗΜΕΙΩΜΑ 1 / ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 16 Ενδεικτικά θέματα μαθηματικών για τις Α, Β και Γ τάξεις του Γενικού Λυκείου Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Τα
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση
Διαβάστε περισσότεραΟρθογώνιο (version )
Ορθογώνιο (version --06) Ορισμός: Ορθογώνιο λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει μια γωνία ορθή. Επειδή στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες, ενώ δύο διαδοχικές γωνίες παραπληρωματικές (ως
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα
Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 Εν. 1: Διανύσματα 1. Να ονομάσετε τα στοιχεία ενός διανύσματος.. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω
Διαβάστε περισσότερα: :
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θεωρήματα καθώς και το Θεώρημα Ι σ. 104 είναι SOS όχι μόνο για θεωρία αλλά και για χρήση στις ασκήσεις, οπότε πρέπει να κατανοήσετε τι λένε, να ξέρετε την απόδειξη και να είστε έτοιμοι
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη
Διαβάστε περισσότεραΕΙΝΑΙ ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ;
ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ; Γιώργου Τσαπακίδη Είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι τα συμμετρικά σχήματα έχουν πολύ περισσότερες ιδιότητες από τα μη συμμετρικά σχήματα. Το ισοσκελές τρίγωνο, που έχει άξονα
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)
Διαβάστε περισσότερα4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ
4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Με τις ερωτήσεις του τύπου αυτού καλείται ο εξεταζόµενος να επιλέξει την ορθή απάντηση από περιορισµένο αριθµό προτεινόµενων απαντήσεων ή να συσχετίσει µεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης
Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 68 ου ΘΑΛΗΣ 24 Νοεμβρίου 2007 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 68 ου ΘΑΛΗΣ 4 Νοεμβρίου 007 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ( 00 :8 00) 00 : ( 8 ) 76 3 007. Α= + + + + + + ( 5 00) ( 00 :0 76) 5 ( 0 76) = + + + + + = + + = 5 + 78 = 007.. Αν ω είναι ο αριθμός
Διαβάστε περισσότερατα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Διαβάστε περισσότεραΚαρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές
Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία
Διαβάστε περισσότερα1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή
Διαβάστε περισσότεραΔ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α
Διαβάστε περισσότεραΦεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29)
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (29) -2- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος
Διαβάστε περισσότεραΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου
Διαβάστε περισσότεραΚύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.
ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές
Διαβάστε περισσότεραΠαράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία. είναι «επί τα αυτά».
Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία Οι γωνίες που βρίσκονται ανάμεσα στις ευθείες ε 1 και ε ονομάζονται «εντός» (των ευθειών)και όλες οι άλλες «εκτός». Οι γωνίες B 4, B 3, 1, είναι εντός
Διαβάστε περισσότεραVan Hiele Test. τρίγωνο. Λ Μ Ν Κ Λ. 5. Ποια από τα παρακάτω σχήµατα είναι παραλληλόγραµµα;
ΤΖΙΦΑΣ ΙΟΣ 1 Van Hiele Test 1. Ποια από τα παρακάτω σχήµατα είναι τετράγωνα; a. Το µόνο b. Το µόνο c. Το µόνο d. Το και το e. Όλα είναι τετράγωνα. 2. Ποια από τα παρακάτω σχήµατα είναι τρίγωνα; a. ανένα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI
Διαβάστε περισσότεραΒ.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες
Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (14) -- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...
Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών
Διαβάστε περισσότεραB τάξη Γυμνασίου ( 2 2) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 17 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2009
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 7 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 009 B τάξη Γυμνασίου Πρόβλημα. Αν ισχύει ότι 4x 5y = 0, να βρείτε την τιμή της παράστασης Η
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 Θέμα 1 ο A. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) +
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
Διαβάστε περισσότερα1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα
Διαβάστε περισσότερα2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί
Διαβάστε περισσότεραΑς θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «
.1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 3 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 3.1 [1 μονάδα] Έστω p(x) και q(x) κατηγορήματα με πεδίο ορισμού Ω με σύνολα αλήθειας Α και Β αντίστοιχα (Σύνολα αλήθειας:
Διαβάστε περισσότεραΚόλλιας Σταύρος 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
Κόλλιας Σταύρος http://users.sch.gr/stkollias 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου
Διαβάστε περισσότεραΓραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x
1. Οι Πρωταρχικές Γεωμετρικές Έννοιες Σημείο Γραμμή Δεν έχει διαστάσεις!! Υπάρχει μόνο στο μυαλό μας. Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή αποτελείται από άπειρα σημεία. Ευθεία Δεν είναι εύκολο
Διαβάστε περισσότερα6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που
Διαβάστε περισσότεραΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών
Διαβάστε περισσότερα