ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ ΠΡΟΦΙΛ: Ε-mail: ediaitero@gmail.com Τηλ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν για να βοηθήσουν αποτελεσματικά τους μαθητές της Γ Λυκείου στο δύσκολο έργο τους. Οι σημειώσεις περιέχουν βασικές λυμένες ασκήσεις που καλύπτουν όλες τις κατηγορίες ασκήσεων των μιγαδικών αριθμών, καθώς και άλυτες προτεινόμενες ασκήσεις (με τις απαντήσεις) όλων των επιπέδων, με αυξανόμενο βαθμό δυσκολίας. Από τη θέση αυτή ευχαριστώ τους φίλους και συναδέλφους μου για την πολύτιμη βοήθειά τους στη συγγραφή των σημειώσεων αυτών. Κάθε πρόταση-παρατήρηση που σκοπό έχει τη βελτίωση των σημειώσεων αυτών με χαρά θα γίνει δεκτή. ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

3 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Να λυθεί στο η εξίσωση: 6 Λύση: Θέτουμε x yi με xy, πραγματικούς και αντικαθιστούμε στην εξίσωση: x yi ( x yi) 6 3x yi 6 3 x ( y) i 6 0i 3x 6 και y 0 x και y 0 Άρα η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι ο.. Να λυθεί στο η εξίσωση Λύση: Αρχικά υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του τριωνύμου: Δ=...=-4<0. 4 i ( 4) Άρα οι λύσεις δίνονται από τη θεωρία:, i. 3 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

4 3. Να λυθεί στο η εξίσωση 3 0. Λύση: Στην εξίσωση θέτουμε x yi οπότε έχουμε: ( x yi) ( x yi) 3 0 x xyi y x yi 3 0 x y x 3 (xy y) i 0 0i 3 0 () και yx ( ) 0 () x y x Από την () προκύπτει ότι: y 0 ή x Για y 0 έχουμε () x x x ή x 3 Άρα προκύπτουν δύο λύσεις: και 3. Για x έχουμε () y 0 y 0 Άρα προκύπτει Να λυθεί στο η εξίσωση 4 ( ). Λύση: ( ) ( ) ( ) 6 Αντικαθιστούμε στην αρχική εξίσωση και έχουμε: ( ) 4 4 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

5 5. Να λυθεί στο η εξίσωση i ( i) 0. Λύση: Α τρόπος Έχουμε ότι: i i i i i ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 ( i )( ) 0 ή i i Β τρόπος Θέτουμε x yi οπότε έχουμε: i( x yi) ( i)( x yi) 0 i( x xyi y ) x yi xi y 0 ( xy x y ) ( x y)( x y ) i 0 ( xy x y ) (x y y x) i 0 xy x y 0 () και ( x y)( x y ) 0 () Από την () προκύπτει ότι: y x ή yx Για y x έχουμε () x x 0 (αδύνατη) Για yx έχουμε ()... xx ( ) 0 x 0 ή x Άρα οι λύσεις είναι οι μιγαδικοί i και. 5 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

6 ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 6. Αν είναι γνωστό ότι 0 τότε να δείξετε ότι 003 την τιμή της παράστασης και να υπολογίσετε Λύση: Έχουμε ότι: ( )( ) 0 ( ( )( ) ) Για να υπολογίσουμε την τιμή της δοθείσας παράστασης θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση που δείξαμε: Έχουμε ότι: 3. ( ) ( ) Επομένως: ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

7 7. Αν τα σημεία Α( ), Β( ), Γ( 3 ) ανήκουν σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ= και επιπλέον ισχύει ότι 3 0, τότε να δείξετε ότι: Α.,, 3 3 B Γ. Δ Λύση: Α. Από την εκφώνηση είναι γνωστό ότι: 3 Επομένως έχουμε: Με αντίστοιχο τρόπο προκύπτουν ότι: Β. Από τη δοθείσα σχέση έχουμε: και Γ. Θεωρούμε την ταυτότητα: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

8 Δ. Έχουμε ότι: 0 ( ) 0 ( 3 0, επειδή 3 ) ( ) ( ) Με αντίστοιχο τρόπο προκύπτουν ότι: και ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

9 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟΙ Βασικές Προτάσεις: & i * 8. Αν w με και i, τότε να δείξετε ότι ο w είναι φανταστικός i αριθμός αν και μόνο αν ο είναι φανταστικός αριθμός. Λύση: Έχουμε διαδοχικά: i i w w w i i i i ( i)( i ) ( i )( i) i i i i i i ( 0 ) 9. Να δειχθεί ότι για κάθε και για κάθε ( i) ( i) είναι πραγματικός. * ο αριθμός Λύση: ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) Επομένως. 9 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

10 ΔΥΝΑΜΕΙΣ 0. Να υπολογίσετε τo παρακάτω άθροισμα: Λύση: Έχουμε διαδοχικά: i i i i i i i i i i i i 4 3 i i i i i i i i i i i i i i i 0 i i i i. Να υπολογίσετε την παράσταση που ακολουθεί: Λύση: ( i) ( i ) 0 0 Έχουμε: ( ) i i i i i και ( ) i i i i i Επομένως: ( i ) ( i ) ( i ) ( i ) i i i 006 i i i ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

11 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας Μ( ) του μιγαδικού όταν είναι γνωστό ότι: Λύση: i i. Παρατηρούμε ότι είναι Θέτουμε x yi και έχουμε: i. Άρα το σημείο Μ δεν μπορεί να είναι το (0,-). i x yi i x ( y ) i i x yi i x ( y ) i x ( y) x ( y) 4 x ( y) x ( y) x y x y x y y x y y ( ) 4[ ( ) ] x 3y y 0 x y 4y 0 x y y x ( y ) 4 0 x ( y ) 4 x ( y ) Άρα το Μ κινείται σε κύκλο με κέντρο Κ(0,-) και ακτίνα ρ=. Ο κύκλος αυτός δεν περιλαμβάνει το σημείο (0,-). Προσοχή στους περιορισμούς! Αν το (0,-) βρισκόταν πάνω στον κύκλο, τόπος δεν θα ήταν όλος ο κύκλος γιατί θα έπρεπε να εξαιρεθεί το σημείο (0,-). ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

12 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ 3. Αν 0 και να δείξετε ότι τα σημεία: O(0), Α( ), Β( ) είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου. Λύση: Αρκεί να δείξουμε ότι: ΟΑ=ΟΒ=ΑΒ. Άρα πρέπει:. Θέτουμε w, ( 0 ) Τότε θέλουμε να δείξουμε: w w Από τη δοθείσα σχέση έχουμε διαδοχικά: w w w w 0 Οι λύσεις του τριωνύμου είναι: w, i 3 Επομένως εύκολα επαληθεύεται ότι w w που είναι το ζητούμενο. ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

13 Εναλλακτικός τρόπος επίλυσης της άσκησης: Έχουμε ότι: ( ) ( ) () Αντίστοιχα έχουμε: ( ) ( ) () Από τις () και () με διαίρεση κατά μέλη ( 0, 0 ) έχουμε: 3 3 Aπό την () έχουμε: Επομένως αποδείχτηκε το ζητούμενο:. 3 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

14 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ 4. Να δείξετε ότι ( ) ( ) για κάθε 0. Λύση: Αν 0 η ανισότητα είναι προφανής ( ). Έστω 0 τότε θέτουμε ( ) ( ) w και έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) w ( ) w ( ) w ( ) w w w w 0 w ( w w ) 0 () Όμως είναι: w w w ( w)( w) w ww w w w w ( w w) Re( w) Επομένως η () γίνεται: w Re( w) 0 Για να ισχύει η παραπάνω ανίσωση, αρκεί η διακρίνουσα του τριωνύμου να είναι μη θετική. Πράγματι έχουμε με w x yi : 4x 4( x y ) 4y 0 4 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

15 Εναλλακτικός τρόπος επίλυσης της άσκησης: Έχουμε διαδοχικά: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 0, που ισχύει. 5 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

16 ΜΕΓΙΣΤΑ & ΕΛΑΧΙΣΤΑ 5. Αν 6 i 3 να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης 3 5i καθώς και οι αντίστοιχοι μιγαδικοί. Λύση: Έχουμε ότι: 35i 33 i 4i 3 6 i 4i 3 Από την τριγωνική ανισότητα ( ) έχουμε: 6 i 4i 3 6 i 4i 3 6 i 4i i 4i i 4i i 4i i 8 Για να βρούμε τις συντεταγμένες του που καθιστούν ελάχιστη ή μέγιστη την ζητούμενη παράσταση πρέπει να λύσουμε τα παρακάτω συστήματα: 6 i 3 3 5i και 6 i 3 3 5i 8 6 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

17 6. Αν, ώστε 3i, τότε να δείξετε ότι: 5. Λύση: Α τρόπος 3 i ( 3 i) οπότε με εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας έχουμε: 3 i ( 3 i) 3i 3 ( 3 i) () και 3 () Από την () έχουμε, που ισχύει. Από την () έχουμε Β τρόπος Ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών που ικανοποιούν τη σχέση 3i είναι κύκλος κέντρου (0,3) και ακτίνας ρ=, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Από το σχήμα παρατηρούμε ότι ο μιγαδικός που έχει το ελάχιστο μέτρο είναι αυτός του οποίου η εικόνα είναι το Α(0,) δηλαδή ο 0 i. Ο μιγαδικός με το μέγιστο μέτρο είναι αυτός που έχει εικόνα το Β(0,5) δηλαδή ο 0 5i 5. Άρα για κάθε μιγαδικό του κύκλου έχουμε 5. 7 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

18 7. Δίνονται οι μιγαδικοί w, για τους οποίους ισχύουν: 3 4i 5 και w 6 8i 0 Α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w., Β. Να βρείτε το μέγιστο μέτρο των w., Γ. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w. Δ. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους το w γίνεται μέγιστο και ελάχιστο. Λύση: Α. Έστω ότι: x yi και w i. Έχουμε ότι: 3 4i 5 (3 4 i) 5 Άρα οι εικόνες των είναι τα σημεία του κυκλικού δίσκου με κέντρο Κ(3,4) και ακτίνα ρ=5 και η εξίσωση του κύκλου είναι: Αντίστοιχα έχουμε: w68i 0 w (6 8 i) 0 ( x3) ( y 4) 5 Επομένως οι εικόνες του w είναι τα σημεία του κυκλικού δίσκου κέντρου Λ(6,8) και ακτίνας ρ =0 και η εξίσωση του κύκλου είναι: ( 6) ( 8) 00 8 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

19 4 Β. Η ευθεία ΟΚ έχει εξίσωση y x. Για να βρούμε το μέγιστο φέρνουμε την 3 ΟΚ που τέμνει τον κύκλο κέντρου Κ στο Α ( Το Α συμπίπτει με το Λ). Τότε το μέγιστο μέτρο είναι max =ΟΚ+ΚΑ=ρ=0. Αντίστοιχα το μέγιστο μέτρο w είναι w = ρ =0 max Γ. Το μέγιστο w είναι w =ΟΒ=0 max Το ελάχιστο w είναι w =0 min Δ. Για να βρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους το w γίνεται μέγιστο πρέπει να βρούμε τους μιγαδικούς που έχουν εικόνες το Ο και το Β. Ο μιγαδικός που έχει εικόνα το Ο είναι ο 0 0i ενώ για τον μιγαδικό που έχει εικόνα το Β πρέπει να λύσουμε το σύστημα: Κάνουμε τις απαραίτητες πράξεις: 4 y x 3 ( x 6) ( y 8) ( x 6) ( x 8) 00 x x 36 x x x x x x x x x x 9x 08x 6x 9x 0 5x 300x 0 5 x( x ) 0 x 0 ή x Για x 0 είναι y 0, ενώ για x είναι 4 y 6 3 Επομένως ο ένας είναι ο 0 0i και ο άλλος είναι ο 6i. 9 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

20 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Αν 5i και w 3i τότε να υπολογίσετε τις παρακάτω ποσότητες: A. w Β. w Γ. w Δ. w (Απ. Α. i, Β. 8i, Γ. 5 (3 5)i, Δ i ) 0 0. Να βρείτε το μέτρο των παρακάτω μιγαδικών αριθμών: Α. i Β. 3 Γ. 3 3i Δ. 4 i ( i)( 3 i) 5 (Απ. Α. 5, Β. 3, Γ. 3 3, Δ. 4 ) 6 0 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

21 3. Στις περιπτώσεις που ακολουθούν να κάνετε τις απαραίτητες πράξεις και να γράψετε το αποτέλεσμα στη μορφή x yi. Α. Β. i ( )( ) ( ) i i i i i 3i w 3i 3i (Απ. Α. 3 4i, Β. w i) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς xy, για τους οποίους ισχύει: A. 3x y yi 9 7i B. i ( x 3) i 3x x 6 (Απ. Α. ( xy, ) ( 5,7), Β. x ) 5. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς xy, έτσι ώστε οι w, να είναι συζυγείς μιγαδικοί. (Απ. ( xy, ) (, ) ) x i y ( 3 ) 38 και w ( x y) ( i)( x y) ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

22 6. Να γράψετε τον μιγαδικό που ακολουθεί στη μορφή x yi 3i 6 i i i (Απ. 7 7 i 3 3 ) 7. Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα: A. I i i i i i i I i i i i Β Γ. Δ. Ε. I3 ( i) i 7 I4 ( i) ( i) 5 I i i i i i (Απ. Α. I 0, Β. I i, Γ. I3 0, Δ. I4 0, Ε. I5 i) 8. Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα: A. Β. I ( i) ( i) I ( i) ( i) 3 3 (Απ. Α. 53 I, Β. I 4 ) ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

23 9. Να βρείτε τον μιγαδικό για τον οποίο ισχύει ότι: (Απ. ) ( i) 3 i 0. Να βρείτε τον μιγαδικό για τον οποίο ισχύει ότι: (Απ. 3 i ή 3 i, ή ). Να λύσετε τις εξισώσεις που ακολουθούν: A. iw w 3i Β. w iw i (Απ. Α. 5 w3 i, Β. 4 3 w i). Να λύσετε το παρακάτω σύστημα: i w i w 4 i (Απ. 3 i, 7 w i) 3 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

24 3. Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: Α. Β. 0 0 ( x yi) ( y xi) 0 ( i) ( i) Να αποδείξετε ότι Α. Re( ) Β. Im( ) i 5. Έστω ότι των xy., και x yi. Να εκφράσετε το w 3i w σαν συνάρτηση (Απ w x y x y 6x y 6y 9x 9y ) 6. Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί τότε να αποδείξετε ότι ισχύει η παρακάτω ισότητα: Υπόδειξη: Να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα των μιγαδικών αριθμών:. 4 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

25 7. Έστω ο μιγαδικός αριθμός w για τον οποίο ισχύει w5 w 3. Να αποδείξετε ότι θα ισχύει και w 8. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με Σωστό ή Λάθος. Α. Β. Γ. Δ. Ε. i Πανελλαδικές Εξετάσεις 00 (Απ. Α. Σωστό, Β. Λάθος, Γ. Λάθος, Δ. Σωστό, Ε. Σωστό) 5 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

26 9. Αν 3 4i και 3i να κάνετε την αντιστοίχιση στον πίνακα που ακολουθεί. Πανελλαδικές Εξετάσεις 00 (Απ.. ζ,. γ, 3. α, 4. δ, 5. β) 0. Αν ισχύουν τα παρακάτω: i w, i * και i τότε: Α. να αποδειχθεί ότι ο w είναι φανταστικός αριθμός αν και μόνο αν ο είναι φανταστικός αριθμός. Β. να αποδειχθεί ότι ισχύει w αν και μόνο αν ο είναι πραγματικός αριθμός. Υπόδειξη: Ισχύει από τη θεωρία ότι:. Αν τότε και αντίστροφα. Αν τότε και αντίστροφα 6 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

27 . Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,, 3 με 3 3 Α. Δείξτε ότι: 9 Β. Δείξτε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός Γ. Δείξτε ότι: Πανελλαδικές Εξετάσεις 005. Δίνεται η παρακάτω συνάρτηση: ( 4) i h () i Αν x i και y h() i τότε Α. Να δείξετε ότι xy 3 4i Β. Να βρείτε το x αν είναι γνωστό ότι x y. Γ. Να λύσετε την εξίσωση h( ) i, όπου μιγαδικός με i (Απ. Β. x y i ή x y i, Γ. 3 i) ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

28 3. Έστω ότι ισχύουν τα παρακάτω: x yi, 0 και w Να δείξετε ότι η εικόνα του w κινείται σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων. (Απ. Η εικόνα του w κινείται σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ=) 4. Nα παραστήσετε γραφικά το σύνολο των τιμών του μιγαδικού για τις οποίες ισχύει ότι: 3 3 (Απ. ( x 5) y 6, κύκλος με κέντρο (-5,0) και ακτίνα 4) 5. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών w για τους οποίους ισχύει ότι: A. Β. Re( w ) 5Re( w) w Im( w ) 3Im( w) w (Απ. Α. Κύκλος με κέντρο το (0,0) και ακτίνα ρ=, Β. Κύκλος με κέντρο το (0,0) και ακτίνα ρ= ) 8 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

29 6. Έστω ότι w x yi με y 0 και σταθερός πραγματικός αριθμός με 0. Να κάνετε τις αντιστοιχίσεις στον πίνακα που ακολουθεί. Σχέση που ικανοποιεί ο w Im( w) Γεωμετρικός τόπος του w y x Re( w) y x Re( w) Im( w) x Re( w) Im( w) y 7. Θεωρούμε τους μιγαδικούς w, και w τέτοιους ώστε w i και w i, *. Να δείξετε ότι, αν το μεταβάλλεται στο P του στο μιγαδικό επίπεδο, κινείται σε μια υπερβολή. Πανελλαδικές Εξετάσεις 994 * και ισχύει w w, τότε η εικόνα του (Απ. Η εικόνα του κινείται στην υπερβολή με εξίσωση: x y ) 9 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

30 8. Δίνεται ότι ισχύει η παρακάτω σχέση: w x 3 (y ) i, όπου xy, Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ( xy, ) με w 3i 3 είναι κύκλος. (Απ. Κύκλος με κέντρο ( 7 4, ) και ακτίνα ρ= ) 9. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί, w, k με k w. Α. Αν ισχύει ότι w w () τότε να δείξετε ότι ο k είναι φανταστικός αριθμός. B. Αν ακόμα ισχύει ότι w i τότε να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών. Υπόδειξη: Α. Υψώστε στο τετράγωνο την () και κατόπιν χρησιμοποιήστε την ιδιότητα των μιγαδικών αριθμών: (Απ. Β. Ευθεία με εξίσωση: y x). Αρκεί να δείξετε ότι: k k 30. Δίνεται η παρακάτω σχέση: ( i ) 5 h( ), i i Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του στην περίπτωση που ο h () είναι πραγματικός. (Απ. Κύκλος με κέντρο 5 ( 3, ) και ακτίνα ) ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

31 3. Έστω ότι ισχύει η παρακάτω σχέση: i f ( ), 0 Α. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός w f() 00 είναι φανταστικός. Β. Να βρείτε την εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο του για την οποία ισχύει ότι f( ) (Απ. Β. Ευθεία με εξίσωση: y ) 3. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει η παρακάτω σχέση: Re( ) Im( ) 33. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει η παρακάτω σχέση: Re( ) Im( ) 34. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει η παρακάτω σχέση: i i Im( ) 0 3 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

32 35. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς και w ισχύουν τότε να βρείτε: ( i ) 6 και w( i) w (3 3 i) Α. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. Β. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w. Γ. την ελάχιστη τιμή του w. Δ. την ελάχιστη τιμή του w. Πανελλαδικές Εξετάσεις 008 Υπόδειξη: Δ. Για να λύσετε το ερώτημα αυτό πρέπει να χρησιμοποιήσετε την παρακάτω ιδιότητα των μιγαδικών αριθμών: w w (Απ. Α. Κύκλος με κέντρο (0,0) και ακτίνα ρ=, Β. Ευθεία με εξίσωση: xy 4, Γ., Δ. ) 3 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

33 36. Έστω ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει η παρακάτω σχέση: ( w i) 8( w i) 4 4 Α. Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών w βρίσκονται πάνω σε κύκλο. Β. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w. Υπόδειξη: Ισχύει ότι: ( w i) 8( w i) ( w i) 8( w i) ( w i) 3( w i) ( w i) 3( w i)... (Απ. Α. Κύκλος με κέντρο 5 3 (0, ) και ακτίνα, Β. w 4., w ). 37. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός i, με. i Α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=. Β. Έστω, οι μιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο για 0 και για αντίστοιχα. i i Ι. Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών και. ΙΙ. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: ( ) ( ) για κάθε φυσικό αριθμό ν. Πανελλαδικές Εξετάσεις 007 (Απ. Β. I. ) 33 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

34 38. Έστω ένας μιγαδικός αριθμός και f ( ) i, *. Να δείξετε ότι f (3) f (8) f (3) f (8) 0. Πανελλαδικές Εξετάσεις Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί i και 3 4i Α. Αν x yi,, xy, να αποδείξετε ότι x και y. Β. Αν μια ρίζα της εξίσωσης x x 0, όπου, είναι η, να βρείτε τις τιμές των και. Γ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών για τους οποίου ισχύει Εξετάσεις Ελλήνων του Εξωτερικού 00 (Απ. Β. 5,, Γ. Κύκλος με κέντρο (,-4) και ακτίνα ρ=5) 34 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

35 40. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί i, και 3 i. Α. Να αποδείξετε ότι: Β. Αν για το μιγαδικό ισχύει τότε να αποδείξετε ότι: I. Re( ) Im( ).. 3 II. Για 0 να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A Εξετάσεις Ελλήνων του Εξωτερικού 007 (Απ. Β. ΙΙ. A 0 ) 4. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς ( ) i, όπου. Α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών. Β. Αν ισχύει να βρείτε το Re( ). Γ. Αν και Im( ) 0, να βρείτε το. Πανελλαδικές Εξετάσεις Εσπερινών Λυκείων 007 (Απ. Α. Ευθεία με εξίσωση: yx 4, B. Re( ) 4, Γ. ) ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

36 4. Δίνεται η εξίσωση, όπου, είναι πραγματικοί αριθμοί 3 0 Α. Αν ο αριθμός i είναι ρίζα της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι 6, 6 και να βρείτε τη δεύτερη ρίζα της εξίσωσης. Β. Να αποδείξετε ότι: Ι. ΙΙ Πανελλαδικές Εξετάσεις Εσπερινών Λυκείων 008 (Απ. Α. i) 43. Α. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί ( ) i,. I. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι η ευθεία yx II. Ποιοι από αυτούς τους μιγαδικούς αριθμούς έχουν ; Β. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς, ισχύει να δείξετε ότι και ( i) ( i) Εξετάσεις Ελλήνων του Εξωτερικού 008 (Απ. Α. ΙΙ. i ή ) 36 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

37 44. Έστω μιγαδικός αριθμός, με i και w. Α. Να αποδείξετε ότι αν ο w είναι πραγματικός, τότε ο είναι πραγματικός ή. Β. Να λύσετε, στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών, την εξίσωση 3 3 Γ. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (Β), να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: K ( ) 4 ( ) 3 i Εξετάσεις Ελλήνων του Εξωτερικού (Απ. Β. i ή i, Γ. i K ) 7 37 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

38 45. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς x yi, όπου xy, πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους υπάρχει ώστε να ισχύει: Να αποδείξετε ότι: Α. αν Im( ) 0, τότε, i ( ) i i Β. αν 0, τότε 0, Γ. για τον πραγματικό αριθμό ισχύει: 0, Δ. οι εικόνες Μ των μιγαδικών αυτών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν σε κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Πανελλαδικές Εξετάσεις Εσπερινών Λυκείων 004 (Απ. Δ. Κύκλος με κέντρο (0,0) και ακτίνα ρ=) 38 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

39 46. Αν * με, να αποδείξετε ότι ισχύουν τα παρακάτω: Α. Β Υπόδειξη: Για να αποδείξετε το ζητούμενο να χρησιμοποιήσετε τον παρακάτω μετασχηματισμό: 0 ( )( ) Αν Μ και Μ είναι οι εικόνες των μιγαδικών και αντίστοιχα και ισχύει 4 ότι τότε να αποδείξετε ότι: Όταν το Μ κινείται σε ένα κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα 4 τότε το Μ κινείται σε μια έλλειψη. (Απ. Έλλειψη με εξίσωση: x y ) Έστω ότι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού ανήκει σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του μιγαδικού: w Υπόδειξη: Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα αν λύσετε την παραπάνω σχέση ως προς και χρησιμοποιήσετε το δεδομένο της άσκησης:. (Απ. Κύκλος με κέντρο (,0) και ακτίνα ρ=) 39 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

40 49. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί w, για τους οποίους ισχύει η παρακάτω σχέση: iw 6w i 3 Αν η εικόνα του ανήκει σε κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ= τότε: A. να δείξετε ότι η εικόνα του w ανήκει σε ομόκεντρο κύκλο ακτίνας, Β. να υπολογίσετε το w. Υπόδειξη: Β. Ισχύει ότι: w w (Απ. Β. w ) 50. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: I. II (Απ. I. i ή 3i, II. ή ή i 3 ) 4 5. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύουν Να αποδείξετε ότι: ( i 3 ) και 40 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

41 5. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί 0, w τέτοιοι ώστε οι εικόνες των και w σχηματίζουν με την αρχή των αξόνων Ο, ορθογώνιο τρίγωνο στο Ο. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι οι διχοτόμοι των αξόνων χωρίς το σημείο τομής τους. Υπόδειξη: Ισχύει ότι: Υπενθύμιση: Ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσματος έστω ( xy, ) y δίνεται από τον τύπο:. x 4 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

42 53. Να βρείτε τα,, αν ισχύει η παρακάτω σχέση: 8 8 i i i 5 (Απ., 0 ) 54. Έστω ότι x yi, με xy,. Να αποδείξετε ότι ισχύει η παρακάτω σχέση: x y 55. Έστω η παρακάτω ισότητα: 3 8 x i y x ( x ) i με, xy, Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του x yi. (Απ. Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το διάγραμμα της συνάρτησης: 3 y( x) x x x ) 56. Αρχικά να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης 3, όταν ισχύει ότι 4i και στη συνέχεια να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του, όταν το 3 είναι ίσο με το μέγιστό του. Υπόδειξη: Να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα: (Απ. 3 6, Κύκλος με κέντρο το (3,0) και ακτίνα 6) 4 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

43 57. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς Να αποδείξετε ότι: A. ( t) ( t) 4 ( t) ( t) ( t), t it. Β. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών t () είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο (,0) και ακτίνα. 4 4 Γ. Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών t () και σημεία του προηγούμενου κύκλου. 4 ( ), t * t είναι αντιδιαμετρικά Δ. Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών (), ( 4) και (00) είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου. Υπόδειξη: Γ. Αρκεί να δείξετε ότι: 4 ( t) ( ) t Δ. Σύμφωνα με το ερώτημα Γ. τα (), ( 4) είναι αντιδιαμετρικά σημεία και επομένως οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών (), ( 4) και (00) είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από τις εικόνες των (), ( 4). Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

44 58. Αν είναι ρίζα της εξίσωσης τότε να δείξετε ότι. Υπόδειξη: Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα με τη βοήθεια της τριγωνικής ανισότητας και απαγωγή σε άτοπο (Αρχική υπόθεση: Έστω ). 59. Έστω ότι, είναι ρίζες της εξίσωσης Να αποδείξετε ότι ο w 4i 8i είναι φανταστικός αριθμός. 60. Έστω ο μιγαδικός ( i) i,. Α. Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία ανήκει η εικόνα του. Β. Για ποια τιμή του, το γίνεται ελάχιστο; Γ. Υποθέτουμε ότι 0. Αν και I. Να αποδείξετε ότι 3. w 3 i τότε: II. Να βρείτε τις τιμές του θετικού ακέραιου αριθμού ν, ώστε Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 00 (Απ. Α. yx, Β. 0, Γ. ΙΙ. ν άρτιος) w. 44 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

45 6. Έστω ότι ισχύει η σχέση: i 6 0 με Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του για. (Απ. Κύκλος με κέντρο (,) και ακτίνα ρ=4) 6. Δίνεται ο παρακάτω μιγαδικός αριθμός: ln i( ), 0 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο. (Απ. Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το διάγραμμα της συνάρτησης: ln x y( x) x, x 0 ) x 63. Έστω ο μιγαδικός αριθμός με 0. Α. να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών, ισοπλεύρου τριγώνου. και i 3 είναι κορυφές Β. Στην περίπτωση που το εμβαδόν του ισοπλεύρου είναι ίσο με 3, τότε να υπολογίσετε το μέτρο του. (Απ. Β. ) 45 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

46 64. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 0 και μιγαδικών και w είναι κάθετες. w. Οι διανυσματικές ακτίνες των Α. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του κινούνται σε δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους. Β. Να αποδείξετε ότι 4 0. Γ. Έστω ότι, επιπλέον ισχύει:. Ι. Να αποδείξετε ότι:. ΙΙ. Να αποδείξετε ότι: i 5 m i 0 5. ΙΙΙ. Να βρείτε το μέτρο του u για τον οποίο ισχύει: 3 4. u ( i) Υπόδειξη: Β. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα με τη βοήθεια του Α. Ερωτήματος και πράξεις ( 4 ( x xi) ). (Απ. Α. Ο γεωμετρικός τόπος είναι οι ευθείες y=x, y=-x (εκτός από την αρχή των αξόνων) που προφανώς είναι κάθετες, Γ. ΙΙΙ. u ) 5 46 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

47 65. Δίνονται οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύουν: 3 3 5(7 ) (3 4 i)( 7) 0 και i 4 w ( ) 5 Α. Να αποδείξετε ότι. Β. Να βρείτε την απόσταση των εικόνων Α, Β των μιγαδικών και 5iw αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο. Υπόδειξη: Β. Πρόταση: Η απόσταση των εικόνων δύο μιγαδικών ισούται με το μέτρο της διαφοράς τους. (Απ. Β. 5iw 4) 66. Δίνεται ο μιγαδικός 5 i, με πραγματικό αριθμό. i Α. Να αποδειχθεί ότι όταν ο είναι φανταστικός, τότε ισχύει ότι 0 i. Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός των σημείων του επιπέδου που είναι οι εικόνες των μιγαδικών. Γ. Να βρεθούν οι μιγαδικοί 3 w i. Δ. Για τους μιγαδικούς u, u, u 3 έχουμε u u u3 u με ( u), ( u), ( u3). Έστω ότι 3 w o είναι μια μη φανταστική λύση της εξίσωσης του Γ. ερωτήματος με w o u u u u i. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. (Απ. Β. Κύκλος με κέντρο Κ(0,-) και ρ=3, Γ. w i, 3 w i) 47 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

48 67. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς, w και w τέτοιους ώστε w i και * w i με. Α. Να δείξετε ότι, αν ο μεταβάλλεται στο εικόνα Ρ του στο μιγαδικό επίπεδο κινείται σε μια υπερβολή. Β. Να βρεθεί το ελάχιστο μέτρο του μιγαδικού. * και ισχύει ότι w w, τότε η Γ. Αν οι μιγαδικοί και κινούνται σε διαφορετικούς κλάδους της υπερβολής τότε να βρεθεί το ελάχιστο του καθώς και οι και. (Απ. Α. y x, Β., Γ. min i, i, ) min 48 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

49 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Πράξεις στο σύνολο των μιγαδικών Πρόσθεση: ( i) ( i) ( ) ( ) i Πολλαπλασιασμός: ( i)( i) ( ) ( ) i Διαίρεση: i i i Δυνάμεις μιγαδικών αριθμών i i... Αν 4 0 τότε i i 0 Αν 4 τότε i i i Αν 4 τότε i i Αν 4 3 τότε 3 i i i 49 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

50 Ιδιότητες συζυγών Αν x yi και x yi τότε ισχύουν τα παρακάτω: x y x Re( ) yi Im( ) i Έστω ότι x yi, τότε:. Αν τότε και αντίστροφα. Αν τότε και αντίστροφα 50 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

51 Επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης Έστω 0 () στο μιγαδικό επίπεδο με,, και 0 Αρχικά υπολογίζουμε την διακρίνουσα: 4 Αν 0 τότε η () έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες:, Αν 0 τότε η () έχει μια διπλή πραγματική ρίζα: i Αν 0 τότε η () έχει δύο ρίζες μιγαδικούς συζυγείς:, 5 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

52 Μέτρο μιγαδικών αριθμών Έστω ο μιγαδικός αριθμός x yi και M() η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο. Μέτρο του x yi ονομάζεται η απόσταση του M() από την αρχή (0,0) των αξόνων. ( ) x y 5 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

53 Ιδιότητες μέτρου μιγαδικών αριθμών Έστω ότι x yi, τότε:......, με ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

54 Εξίσωση κύκλου στο μιγαδικό επίπεδο Έστω ο μιγαδικός αριθμός o xo yoi και ένας θετικός πραγματικός αριθμός ρ. Η εξίσωση o και ακτίνα ρ. o είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο την εικόνα ( x, y ) του o o 54 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

55 Εξίσωση της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί,. Η εξίσωση είναι εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος με άκρα τα ( ) και ( ). 55 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

56 Εξίσωση έλλειψης στο μιγαδικό επίπεδο Έλλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του μιγαδικού επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία (εστίες Ε, Ε) είναι σταθερό και ισούται με. Η αναλυτική εξίσωση της έλλειψης είναι: x y με και εστίες Ε (-,0) και Ε(,0) 56 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

57 Εξίσωση υπερβολής στο μιγαδικό επίπεδο Υπερβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του μιγαδικού επιπέδου των οποίων οι αποστάσεις από δύο σταθερά σημεία έχουν απολύτως σταθερή διαφορά. Τα σταθερά σημεία Ε και Ε λέγονται εστίες της υπερβολής. Η απόσταση των εστιών Ε και Ε λέγεται εστιακή απόσταση και συμβολίζεται γ, ενώ η σταθερή διαφορά συμβολίζεται α<γ. Ε Ε=γ και ΜΕ - ΜΕ =α Η εξίσωση της υπερβολής με εστίες Ε (-γ,0) και Ε(γ,0) και σταθερή διαφορά α είναι: x y με Μ(x,y) Ε (-γ,0) Α Ο Α Ε(γ,0) 57 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

58 Απόσταση των εικόνων Α, Β δύο μιγαδικών και w Η απόσταση ( ) των εικόνων Α, Β δύο μιγαδικών και w είναι ίση με Προσοχή: H παράσταση την εικόνα του w, διότι: w ( w). w. w παριστάνει την απόσταση της εικόνας του από 58 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

59 Ισοσκελές και ισόπλευρο τρίγωνο στο μιγαδικό επίπεδο Το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές με κορυφή το A αν ισχύει: 3. Το τρίγωνο ABC θα ήταν ισόπλευρο αν επιπλέον: ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

60 Συνευθειακά σημεία στο μιγαδικό επίπεδο Ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε τρία διαφορετικά ανά δύο σημεία A, B, C εικόνες των μιγαδικών,, 3 αντιστοίχως να είναι συνευθειακά είναι: 3 Απόδειξη: Αρκεί να υπάρχει τέτοιος ώστε: C ( C) ( 3 ) 3 3 Αν το Β είναι το μέσο του AC με ανάλογο τρόπο προκύπτει ότι: ( ) 3 60 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

61 Καθετότητα διανυσματικών ακτίνων στο μιγαδικό επίπεδο Με προϋπόθεση ότι τα σημεία Ο, Α, Β είναι διαφορετικά ανά δύο ισχύει: w Απόδειξη: w w w ( w)( w) w w w w w w w w w Αντίστοιχα ισχύει ότι: C 3 6 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

62 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. Μιγαδικοί Αριθμοί μεθοδολογία: Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γιώργος Α. Καρεκλίδης. Άλγεβρα ης Δέσμης: Κωνικές τομές Μιγαδικοί Πιθανότητες Κ. Γκατζούλης 3. Μιγαδικές Μεταβλητές, McGraw-Hill, New York, ΕΣΠΙ, Αθήνα Murray R. Spiegel 4. Μιγαδικοί αριθμοί + Εφαρμογές στην Γεωμετρία + μετασχηματισμοί Mobius Ρ. Μπόρης 5. Μιγαδικές Συναρτήσεις και Εφαρμογές, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης R. Churchill & J. Brown 6. Θεωρία Μιγαδικών Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής, Εκδόσεις Συμμετρία Στ. Νεγρεπόντη 7. Μαθηματικά Γ Γ Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης Βασίλης Παπαδάκης 8. Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση, Εκδόσεις Συμμετρία Σ. Κ. Μερκουράκη & Τ. Ε. Χατζηαφράτη 9. Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 6 ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ