Ενεργειακή Θεώρηση των Ταλαντώσεων

Κεφάλαιο : Ενεργειακή Θεώρηση των Ταλαντώσεων Κεφάλαιο : Ενεργειακή Θεώρηση των Ταλαντώσεων Ο μηχανισμός της ταλάντωσης ενός μηχανικού συστήματος είναι η συνεχής ιακίνηση ενέργειας μεταξύ των ελαστικών και των αρανειακών στοιχείων του. Σκοπός του παρόντος κεφαλαίου είναι η ανάλυση της έννοιας της ενέργειας καθώς επίσης και ο ορισμός των ελαστικών και των αρανειακών στοιχείων ενός μηχανικού συστήματος.. Η έννοια της ενέργειας Ενέργεια ονομάζεται η ικανότητα ενός συστήματος να παράγει έργο. Για παράειγμα ένα συμπιεσμένο ελατήριο, μια κρεμασμένη μάζα έχουν αποθηκευμένη ενέργεια γιατί μπορούν να παράγουν έργο. Ένα μηχανικό σύστημα που ιατηρεί σταθερό το ποσό της ενέργειας που ιαθέτει ονομάζεται συντηρητικό. Στην πράξη εν υπάρχουν συντηρητικά συστήματα, γιατί πάντα επεμβαίνουν μη-συντηρητικές υνάμεις, όπως η τριβή που προκαλούν απώλεια ενός μέρους της ιαθέσιμης μηχανικής ενέργειας. Η ιαθέσιμη μηχανική ενέργεια ιακρίνεται σε υο είη: α) Δυναμική ενέργεια είναι η ενέργεια που κατέχει ένα μηχανικό σύστημα λόγω της σχετικής θέσης των στοιχείων που το αποτελούν. β) Κινητική ενέργεια είναι η ενέργεια που κατέχει ένα μηχανικό σύστημα λόγω της σχετικής κίνησης των στοιχείων που το αποτελούν. Π.χ. Η ανύψωση ενός φορτίου από το έαφος συνεπάγεται για το σύστημα γη-φορτίο αύξηση της υναμικής ενέργειας, λόγω μεταβολής θέσης του φορτίου. U m g h (.) όπου m: μάζα και g: επιτάχυνση βαρύτητας. m m Σχήμα. h Αντίστοιχα εάν μια μάζα m κινείται με μια ταχύτητα v, τότε περιέχει κινητική ενέργεια Μονάα μέτρησης της ενέργειας στο SΙ είναι το Joue. T mv (.) 9

Σημειώσεις για το μάθημα: Μηχανικές Ταλαντώσεις και Θεωρία Μηχανισμών Ας μελετήσουμε τις έννοιες «υναμική» και «κινητική» ενέργεια της απλής μηχανικής ιάταξης του απλού μαθηματικού εκκρεμούς. Έστω ένα υλικό σημείο με μάζα m αναρτημένο από το σημείο Ο με αβαρές νήμα μήκους. Έστω ότι η μάζα m έχει εκτραπεί από την κατακόρυφη θέση κατά γωνία θ. Από το σχήμα: ΑΒ h και ΟΒ ΟΓ. Σχήμα. OA OA Στο τρίγωνο ΟΑΓ έχουμε cosθ ΟΑ cosθ ΟΓ Από το σχήμα: ΑΒ ΟΒ ΟΑ cos θ > ΑΒ ( cos θ ) Στη θέση Γ η μάζα m ιαθέτει υναμική ενέργεια λόγω θέσης U Γ m g h. Αν από αυτή τη θέση το εκκρεμές αφεθεί ελεύθερο, τότε στην κατακόρυφη θέση Β αποκτά ταχύτητα v και κινητική ενέργεια T Γ η μάζα ιαθέτει συγχρόνως και υναμική και κινητική ενέργεια. Εάν μάλιστα εν υπάρχουν απώλειες τότε ισχύει η αρχή ιατήρησης της ενέργειας για τις υο θέσεις Β και Γ και έχουμε: U Γ Τ Β > g( cosθ ) B mv. Σε οποιαήποτε άλλη ενιάμεση θέση μεταξύ του Β και του v, ανεξάρτητη της μάζας. Αριθμητική εφαρμογή: Για m Kgr, m, θ 6 o προκύπτει U Γ T B.95 Joue, v. m/sec.. Στοιχεία που αποθηκεύουν ενέργεια Όπως αναφέρθηκε, ένα φυσικό σύστημα μπορεί να κατέχει και υναμική και κινητική ενέργεια είτε ταυτόχρονα είτε σε ιαφορετικές στιγμές. Η ενέργεια αυτή αποθηκεύεται σε ιάφορα ομικά στοιχεία του συστήματος. Έτσι άλλα στοιχεία είναι κατάλληλα για εναποθήκευση υναμικής και άλλα για εναποθήκευση κινητικής ενέργειας, χωρίς αυτός ο ιαχωρισμός να έχει απόλυτο φυσικό χαρακτήρα. Για παράειγμα ένα αβαρές ελατήριο μπορεί να αποθηκεύσει μόνο υναμική ενέργεια. Σε αντίθεση μια μάζα μπορεί να κατέχει κινητική ενέργεια όταν κινείται αλλά σε μια άλλη περίπτωση μπορεί να αποθηκεύσει και υναμική ενέργεια εάν αυξήσει την υψομετρική της στάθμη.. Ελαστικά στοιχεία Με τον όρο ελαστικά χαρακτηρίζονται τα ομικά στοιχεία ενός φυσικού συστήματος που μπορούν να εναποθηκεύσουν υναμική ενέργεια. Το βασικότερο μηχανικό ελαστικό στοιχείο είναι το αβαρές γραμμικό ελατήριο, το οποίο αντιρά στην παραμόρφωση του με μια ύναμη επαναφοράς που είναι ανάλογη προς την παραμόρφωση, ηλαή: x (.)

Κεφάλαιο : Ενεργειακή Θεώρηση των Ταλαντώσεων όπου [Ν] είναι η ύναμη επαναφοράς, x [m] η παραμόρφωση του (επιμήκυνση ή συσπείρωση) και [Ν/m] η σταθερά του ελατηρίου. Για πραγματικά ελατήρια η σταθερά καθορίζεται από τις ιιότητες υλικού, τη γεωμετρία και τον τρόπο φόρτισης. Η υναμική ενέργεια που αποθηκεύεται στο ελατήριο ισούται με το γραμμοσκιασμένο εμβαό του σχήματος, ηλαή: U x (.) Σχήμα. Αλλά και μια ελαστική οκός ιατομής Α και μήκους, φορτισμένη με αξονική ύναμη, συμπεριφέρεται ως γραμμικό ελατήριο: Από το νόμο του Hooe έχουμε: σ Ε ε A AΕ με x Ε AΕ x x (.5) AE/ Σχήμα. x Σε αντιστοιχία με το γραμμικό αβαρές ελατήριο ένα στρεπτικό ελατήριο (Σχήμα.5) αντιρά στην στρέψη του με μια ροπή επαναφοράς που είναι ανάλογη προς στην σχετική στροφή των άκρων του, ηλαή Σχήμα.5 M θ (.5α) όπου Μ [Ν*m] είναι η ροπή επαναφοράς, θ [rad] η σχετική στροφή των υο άκρων του και [Ν*m/rad] η σταθερά του ελατηρίου. Με την ίια λογική μπορούμε να βρούμε την ισούναμη σταθερά ελατηρίου από πάρα πολλά μηχανικά στοιχεία. Μερικές τιμές σταθερών ελατηρίου τυπικών μηχανικών ελαστικών στοιχείων φαίνονται στον πίνακα..

Σημειώσεις για το μάθημα: Μηχανικές Ταλαντώσεις και Θεωρία Μηχανισμών Πίνακας... Αρανειακά στοιχεία

Κεφάλαιο : Ενεργειακή Θεώρηση των Ταλαντώσεων Με τον όρο αρανειακά χαρακτηρίζονται τα ομικά στοιχεία ενός φυσικού συστήματος που μπορούν να εναποθηκεύσουν κινητική ενέργεια. Το πιο κοινό μηχανικό αρανειακό στοιχείο είναι η μάζα, η κίνηση της οποίας περιγράφεται από τον Δεύτερο Νόμο του Newton. Για μονοιάστατη παράλληλη μετάθεση (μεταφορική κίνηση) μάζας m με καταστατική μεταβλητή x(t) ο εύτερος νόμος του Newton γράφεται: d x m (.6) dt όπου η ύναμη που προκαλεί επιτάχυνση μεταφορική κίνηση ίνεται από την.. d x. Η κινητική ενέργεια της μάζας σε dt Αντίστοιχα, για περιστροφική κίνηση γύρω από άξονα ο ος νόμος του Newton γράφεται: M d θ I (.7) dt όπου Μ είναι η στρεπτική ροπή, Ι είναι η μαζική ροπή αράνειας του περιστρεφόμενου d θ στερεού, θ(t) η καταστατική μεταβλητή που ορίζει τη γωνιακή θέση και η γωνιακή dt επιτάγχυνση του σώματος. Η κινητική ενέργεια της περιστρεφόμενης μάζας με γωνιακή ταχύτητα ω ίνεται από τη σχέση: ω T I (.8) Χαρακτηριστικά παραείγματα μαζικών ροπών αράνειας απλών σωμάτων μάζας Μ είναι τα εξής: Κύλινρος ακτίνας R: I mr ως προς τον άξονα συμμετρίας Ράβος μήκους L: I ml ως προς το κέντρο της και I ml ως προς το άκρο της Η μαζική ροπή αράνειας ως προς οποιοήποτε άλλο παράλληλο άξονα από αυτόν που είναι ορισμένη μπορεί να βρεθεί με το θεώρημα του Steiner: I I M (.9) όπου είναι η απόσταση των υο αξόνων. Στοιχεία ιάχυσης Ένα φυσικό σύστημα εκτός από τα στοιχεία που αποθηκεύουν υναμική και κινητική ενέργεια, περιέχει και στοιχεία τα οποία προκαλούν ιάχυση (απώλεια) ενέργειας. Ο πιο γνωστός μηχανισμός ιάχυσης είναι αυτός της τριβής. Η πιο ενιαφέρουσα μορφή τριβής είναι η εσωτερική τριβή των υλικών, η οποία είναι γνωστή ως απόσβεση του υλικού. Ένας

Σημειώσεις για το μάθημα: Μηχανικές Ταλαντώσεις και Θεωρία Μηχανισμών άλλος ενιαφέρον μηχανισμός απώλειας ενέργειας είναι η λεγόμενη ιξώη απόσβεση που παρουσιάζουν τα ρευστά, όπου η αποθηκευμένη ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα. Σε ένα σύστημα υο πλακών η μια σταθερή και η άλλη κινούμενενη με ταχύτητα v, όπου ανάμεσα τους υπάρχει ρευστό (συνήθως λάι), η ύναμη η οποία εκφράζει την ύναμη της αντίστασης που αναπτύσσεται στο ρευστό είναι ευθέως ανάλογη με την ταχύτητα v, ηλαή: c v (.) όπου c είναι μια σταθερά, η οποία ονομάζεται σταθερά απόσβεσης.. Γραμμικά ελατήρια Πολλές φορές έχουμε ένα συνυασμό πολλών γραμμικών ελατηρίων. Αυτά τα ελατήρια μπορούν να συνεθούν σε ένα από ισούναμο ελατήριο. Οι πιο συνηθισμένες συνεσμολογίες είναι να είναι τα ελατήρια συνεεμένα (α) σε σειρά και (β) παράλληλα.. Ελατήρια συνεεμένα στη σειρά Σχήμα.6 Θεωρούμε n ελατήρια με σταθερές,,..., n,συνεεμένα σε σειρά, όπως φαίνεται στο σχήμα.6. Εάν στο άκρο Ο του n ελατηρίου ασκήσουμε μια ύναμη τότε τα ελατήρια θα παραμορφωθούν και έστω,,..., n, η παραμόρφωση του καθενός. Η ολική μετατόπιση του άκρου Ο θα είναι:... n (.) Η ύναμη, λόγω ράσης-αντίρασης ασκείται σε κάθε ελατήριο και επομένως από την (.) έχουμε. n n (.) Όμοια για το ισούναμο ελατήριο ισχύει

Κεφάλαιο : Ενεργειακή Θεώρηση των Ταλαντώσεων (.) Αντικαθιστώντας τις (.) και (.) στην (.) έχουμε:... n... (.) n Η (.) για υο ελατήρια γράφεται: (.5). Ελατήρια συνεεμένα παράλληλα Θεωρούμε n ελατήρια με σταθερές,,..., n,συνεεμένα παράλληλα, όπως φαίνεται στο σχήμα.7. Εάν στο άκρο Ο ασκήσουμε μια ύναμη και με την υπόθεση ότι οι αβαρής πλάκες ΑΒ και ΓΔ παραμένουν παράλληλες, όλα τα ελατήρια θα έχουν την ίια παραμόρφωση. Σχήμα.7 Η ισορροπία των υνάμεων στην αβαρή πλάκα ΓΔ είναι η εξής: Σ... n (.6) Όμοια, αντικαθιστώντας τις (.) και (.) στην (.6) έχουμε:... n... n (.7) Σημειώνεται ότι (.6) εν είναι γενική, αλλά όπως ήη αναφέρθηκε ισχύει μόνο όταν οι πλάκες ΑΒ και ΓΔ παραμένουν παράλληλες. 5

Σημειώσεις για το μάθημα: Μηχανικές Ταλαντώσεις και Θεωρία Μηχανισμών. Λυμένες ασκήσεις κεφαλαίου Άσκηση Η γερανογέφυρα του σχήματος με οκό μήκους L και καμπτική στιβαρότητα ΕΙ, σηκώνει ένα φορτίο χρησιμοποιώντας υο καλώια μήκους, ιαμέτρου d και μέτρου ελαστικότητας Ε. Υπολογίστε τη σταθερά του ισούναμου ελατηρίου ανάμεσα στον γάντζο και το έαφος στην κατακόρυφη θέση, όταν ο γάντζος βρίσκεται στη μέση της οκού. Από τον πίνακα. για την αμφιέρεστη οκό με φορτίο στη μέση η σταθερά του ισούναμου ελατηρίου είναι: 8EI b (i) L Όμοια από τον πίνακα. για το καλώιο σε εφελκυσμό η σταθερά του ελατηρίου είναι: EA Eπd c (ii) Η ύναμη του φορτίου μεταφέρεται μέσω των καλωίων στην αμφιέρεστη οκό και επομένως η τελευταία συνέεται παράλληλα με τα υο καλώια. Σε αντίθεση τα υο καλώια παίρνουν την ίια μετατόπιση και τη μισή ύναμη το καθένα και επομένως μεταξύ τους είναι συνεεμένα σε σειρά. Σύμφωνα με τα παραπάνω, το απλοποιητικό μοντέλο της γερανογέφυρας φαίνεται στο σχήμα. Εφαρμόζοντας την (.7) τα υο εν παραλλήλω καλώια έχουν σταθερά ισούναμου ελατηρίου c. Τα ελατήρια b.και c είναι σε σειρά και εφαρμόζοντας την (.) και λαμβάνοντας υπόψη τις (i) και (ii)προκύπτει: c b 8EI Eπd L Eπd 8EI L 8EIπd πd L b c b c c b c b 96 Άσκηση Να βρεθεί η ισούναμη σταθερά ελατηρίου του μηχανικού συστήματος. I 6

Κεφάλαιο : Ενεργειακή Θεώρηση των Ταλαντώσεων Έστω, και οι παραμορφώσεις των τριών ελατηρίων και η παραμόρφωση του ισουνάμου ελατηρίου. Ισορροπία στην αβαρή ράβο: Δυνάμεις: Σ> Ροπές στο άκρο που ασκείται η : ΣΜ > ( ) Από (i) και (ii) προκύπτει / Σε κάθε ελατήριο ισχύει: (i) (ii) (iii) : (iv) ( iii) : (v) ( iii) : (vi) : (vii) To κάτω άκρο του ελατηρίου κατεβαίνει κατά και το άνω κατά. Άρα η παραμόρφωση του ελατηρίου είναι: - (viii) Από τα όμοια τρίγωνα έχουμε x x x x x x x ( ) ( ix) x Η (viii) από (ix) και (iv) (vii) γίνεται 7

Σημειώσεις για το μάθημα: Μηχανικές Ταλαντώσεις και Θεωρία Μηχανισμών 8 Άσκηση Να βρεθεί η ισούναμη σταθερά ελατηρίου του μηχανικού συστήματος. Έστω, και οι παραμορφώσεις των τριών ελατηρίων και η παραμόρφωση του ισουνάμου ελατηρίου. Σε κάθε ελατήριο ισχύει: : (i) : (ii) : (iii) Ισορροπία στην αβαρή ράβο: Ροπές ως προς το Ο: Μ Σ (iv) Από όμοια τρίγωνα: ) ( iv (v) To κάτω άκρο του ελατηρίου κατεβαίνει κατά και το άνω κατά. Άρα η παραμόρφωση του ελατηρίου είναι: - (vi) Η (vi) αντικαθιστώντας τις (i)-(v) γράφεται:

Κεφάλαιο : Ενεργειακή Θεώρηση των Ταλαντώσεων 5. Άλυτες ασκήσεις κεφαλαίου Άσκηση : Να βρεθεί η ισούναμη σταθερά ελατηρίου (Απάντηση: 5 ) 6 Άσκηση : Να βρεθεί η ισούναμη σταθερά ελατηρίου (Απάντηση: 5.8666 N / m) Άσκηση : Η μάζα του σώματος είναι gr. Να βρεθεί η ισούναμη σταθερά ελατηρίου 5 7 για τα παρακάτω συστήματα (Απάντηση: 6.8 N / m, 8.85 N / m ) 9