Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων (συνέχεια)

Transcript

1 Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων (συνέχεια)

2 ο Θεώρημα Castigliano Δ06- Το ο ΘεώρημαCastigliano αποτελεί μια μέθοδο υπολογισμού της μετακίνησης (μετάθεσης ή στροφής) ενός σημείου του φορέα είτε είναι δικτύωμα, δοκός ή πλαίσιο. Το ο ΘεώρημαCastigliano μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Η μετακίνηση δ i ενός σημείου του φορέα κατά τη διεύθυνση εξωτερικής δύναμης P i, που ασκείται στο σημείο στο οποίο ζητείται η μετακίνηση, ισούται με την πρώτη μερική παράγωγο της ελαστικής ενέργειας παραμόρφωσης ως προς τη δύναμη P i. δ ι U = P i i (1) Το ο ΘεώρημαCastigliano, σε αντίθεση με την Αρχή Δυνατών Έργων, εφαρμόζεται μόνο σε γραμμικώς ελαστική συμπεριφορά υλικού και όταν δεν υπάρχουν θερμοκρασιακές μεταβολές ή υποχωρήσεις στηρίξεων.

3 ο Θεώρημα Castigliano: Δικτυώματα Δ06-3 Η ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης σε μέλος δικτυώματος δίνεται από τη σχέση U = N EA () Βάσει των Εξισώσεων (1) & () η μετακίνηση προκύπτει ως U N δ = = P P EA N δ = N P EA (3) όπου δ = μετακίνηση κόμβου δικτυώματος P = εξωτερική δύναμη που ασκείται στον κόμβο που ζητείται η μετακίνηση, στη διεύθυνση της δ N = εσωτερική δύναμη μέλους που προκαλείται από τη δύναμη P και τα πραγματικά (δοσμένα) φορτία του δικτυώματος E = μέτρο ελαστικότητας μέλους = μήκος μέλους, A = εμβαδόν διατομής μέλους

4 ο Θεώρημα Castigliano: Δικτυώματα (...) Δ06-4 Η εξίσωση (3) είναι όμοια με την εξίσωση της Αρχής Δυνατών Έργων ( 1 δ = ΣNN EA ) με τη διαφορά ότι η αξονική δύναμη N αντικαταστάθηκε με τη μερική παράγωγο N P. Για τον υπολογισμό της μερικής παραγώγου N P, είναι αναγκαίο να θεωρηθεί η εξωτερική δύναμη P ως μεταβλητή, και επιπλέον, η δύναμη N κάθε μέλους να εκφραστεί ως συνάρτηση του P.

5 ο Θεώρημα Castigliano: Δικτυώματα (...) Δ06-5 Μεθοδολογία ανάλυσης βάσει του ου θεωρήματος Castigliano: Εξωτερική δύναμη P Στο σημείο που ζητείται η μετακίνηση, εφαρμόζουμε μια δύναμη P κατά τη διεύθυνση της ζητούμενης μετακίνησης. Η εξωτερική αυτή δύναμη θεωρείται ως μεταβλητή. Εσωτερικές δυνάμεις N - Για φόρτιση που περιλαμβάνει τα πραγματικά (δοσμένα) φορτία του φορέα και τη μεταβλητή δύναμη P, υπολογίζουμε την αξονική δύναμη N σε κάθε μέλος του δικτυώματος. Θεωρούμε τις εφελκυστικές δυναμεις θετικές και τις θλιπτικές δυνάμεις αρνητικές. - Υπολογίζουμε τη μερική παράγωγο N P για κάθε μέλος. - Μετά τον υπολογισμό των N και N P, θέτουμε όπου P την αριθμητική τιμή του φορτίου που αντικατέστησε η μεταβλητή δύναμη P. Αν δεν υπήρχε φορτίο στη θέση αυτή, θέτω P=0. Εφαρμογή θεωρήματος Castigliano για προσδιορισμό του δ: N δ = N P EA

6 ο Θεώρημα Castigliano: Δοκοί και Πλαίσια Δ06-6 Η ελαστική ενέργεια καμπτικής παραμόρφωσης σε δοκό ή πλαίσιο δίνεται από τη σχέση U M = EI dx (4) Βάσει των Εξισώσεων (1) & (4) η μετακίνηση προκύπτει ως δ = = P P EI U M dx 0 M dx δ = M 0 P EI (5) όπου δ = μετακίνηση σημείου λόγω των πραγματικών φορτίων του φορέα P = εξωτερική δύναμη που ασκείται στο φορέα στο σημείο και κατά τη διεύθυνση της δ M = εσωτερικήροπήσυναρτήσειτουx που προκαλείται από τη δύναμη P και τα πραγματικά (δοσμένα) φορτία του φορέα E = μέτρο ελαστικότητας μέλους Ι = ροπή αδράνειας της διατομής ως προς τον ουδέτερο άξονα

7 ο Θεώρημα Castigliano: Δοκοί και Πλαίσια (...) Δ06-7 Ηστροφήθ σε ένα σημείο προκύπτει με ανάλογο τρόπο ως θ = M M dx 0 M EI (6) όπου θ = στροφή σε ένα σημείο του φορέα M = εξωτερική ροπή που ασκείται στο σημείο που ζητείται η στροφή.

8 ο Θεώρημα Castigliano: Δοκοί και Πλαίσια (...) Δ06-8 Οι εξισώσεις (5) και (6) είναι όμοιες με την εξίσωση της Αρχής x= Δυνατών Έργων ( 1 δ ( MM EI) dx και = x = 0 x= = x = 0 1 θ ( MM EI ) dx) με τη διαφορά ότι η ροπή M αντικαταστάθηκε με τη μερική παράγωγο M P και M M, αντίστοιχα. Αν απαιτείται μια πιο σύνθετη σχέση για την ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης, τότε πρέπει να ληφθεί υπόψη η ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης λόγω τέμνουσας, αξονικής δύναμης και στρέψης: V U s V V Us = K dx = K 0 0 dx AG P AG P T U t T T Ut = dx = 0 0 dx JG P JG P Εδώ θα θεωρηθεί μόνο ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης λόγω καμπτικής ροπής.

9 ο Θεώρημα Castigliano: Δοκοί και Πλαίσια (...) Δ06-9 Μεθοδολογία ανάλυσης βάσει του ου θεωρήματος Castigliano: Εξωτερική δύναμη P ή ροπή M - Αν ζητείται η μετακίνηση σε ένα σημείο, εφαρμόζουμε μια δύναμη P στο εν λόγω σημείο κατά τη διεύθυνση της ζητούμενης μετακίνησης. Η εξωτερική αυτή δύναμη θεωρείται ως μεταβλητή. - Αν ζητείται η στροφή σε ένα σημείο, εφαρμόζουμε μια ροπή M στοενλόγωσημείο. Η εξωτερική αυτή ροπή θεωρείται ως μεταβλητή. Εσωτερικές ροπές Μ - Υιοθετούμε κατάλληλους άξονες αναφοράς (x 1, x,...) κατά μήκος των μελών του φορέα ώστε να μην υπάρχουν ασυνέχειες φόρτισης. - Για φόρτιση που περιλαμβάνει τα πραγματικά (δοσμένα) φορτία του φορέα και τη μεταβλητή δύναμη P (ή ροπήm ), υπολογίζουμε την εσωτερική ροπή Μ συναρτήσει του P (ή τουm ) και του x i. Υπολογίζουμε επίσης τη μερική παράγωγο M P (ή M M ).

10 Δ06-10 ο Θεώρημα Castigliano: Δοκοί και Πλαίσια (...) - Μετά τον υπολογισμό των Μ και M P (ή M M ), θέτουμε όπου P (ή Μ ) την αριθμητική τιμή του φορτίου που αντικατέστησε η μεταβλητή δύναμη P (ή ηροπήμ ). Αν δεν υπήρχε φορτίο στη θέση αυτή, θέτω P=0 (ή Μ =0). Εφαρμογή του ου θεωρήματος Castigliano για προσδιορισμό της μετατόπισης δ ή στροφής θ: M dx δ = M 0 P EI θ = M M dx 0 M EI Ανητιμήτουδ (ή θ) που προκύπτει είναι θετική, η μετακίνηση μετατόπιση ή στροφή έχει την ίδια φορά με το επιβαλλόμενο φορτίο, P (ή Μ ).