Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Εισαγωγή στην Πληροφορική Ενότητα 2: Ψηφιακή Λογική Ι Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
3. ΛΟΓΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ- ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 1
ΛΟΓΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μία λογική συνάρτηση n µεταβλητών είναι µία έκφραση της Άλγεβρας Boole που περιλαµβάνει τις n µεταβλητές εισόδου, τους τελεστές των πράξεων της Άλγεβρας Boole και µία µεταβλητή εξόδου που είναι συνάρτηση των µεταβλητών εισόδου.. Ο τελεστής (AND) µπορεί να παραλείπεται στις λογικές συναρτήσεις (για παράδειγµα, x y=xy). Η προτεραιότητα των τελεστών στις λογικές συναρτήσεις είναι: (), NOT, AND, OR. ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ-ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 2
ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΛΗΘΕΙΑΣ Η κάθε µία από τις n µεταβλητές εισόδου µπορεί να πάρειδύοµόνοτιµές,τολογικό 1 καιτολογικό 0. Εποµένως, οι δυνατοί συνδυασµοί των µεταβλητών εισόδου είναι 2 n. Για κάθε συνδυασµό των µεταβλητών εισόδου, η µεταβλητή εξόδου παίρνει µία µόνο τιµή: το λογικό 1 ήτολογικό 0. Ο πίνακας αληθείας της λογικής συνάρτησης περιγράφει αυτή τη σχέση εισόδων-εξόδου. ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ-ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 3
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Η λογική συνάρτηση Y τριώνµεταβλητών A, Bκαι C έχει τον ακόλουθο πίνακα αληθείας: Οπίνακαςαληθείαςέχει 8 (=2 3 ) συνδυασµούς των 3 µεταβλητών εισόδου. Από τον πίνακα αληθείας προκύπτει ότι η συνάρτηση εξόδου είναι Y=1 όταν A=0και (AND) B=0και (AND) C=1 ή (OR) A=1και (AND) B=1και (AND) C=0 Εποµένως, η λογική συνάρτηση Y γράφεται: Y=A B C+ABC A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ-ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 4
ΕΛΑΧΙΣΤΟΙ ΚΑΙ ΜΕΓΙΣΤΟΙ ΟΡΟΙ Ελάχιστοι όροι µίας λογικής συνάρτησης ονοµάζονται όλα τα γινόµενα όλων των όρων της συνάρτησης, όπου ο κάθε όρος (µεταβλητή) εµφανίζεται στην κανονική (αν έχει τιµή 1 ) ή στην συµπληρωµατική του µορφή (αν έχει τιµή 0 ). Μέγιστοι όροι µίας λογικής συνάρτησης ονοµάζονται όλα τα αθροίσµατα όλων των όρων της συνάρτησης, όπου ο κάθε όρος (µεταβλητή) εµφανίζεται στην κανονική (αν έχει τιµή 0 ) ή στην συµπληρωµατική τουµορφή (ανέχειτιµή 1 ). Μία λογική συνάρτηση n µεταβλητών έχει 2 n ελάχιστουςόρουςκαι 2 n µέγιστουςόρους. ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ-ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 5
ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ Κάθε λογική συνάρτηση µπορεί να εκφρασθεί ως: άθροισµα ελάχιστων όρων (ΣΠ µορφή) και γινόµενο µέγιστων όρων (ΠΣ µορφή) Αυτές οι δύο µορφές έκφρασης των συναρτήσεων ονοµάζονται Κανονικές Μορφές. ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ-ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 6
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ Ησυνάρτηση Y=Y(x,y,z)τριώνµεταβλητών x, yκαι zόπου xείναι το περισσότερο σηµαντικό ψηφίο (Most Significant Bit - MSB) και z είναι το λιγότερο σηµαντικό ψηφίο (Least Significant Bit - LSB) έχει οκτώ ελάχιστους όρους και οκτώ µέγιστους όρους (2 3 =8). Ο πίνακας αληθείας της συνάρτησης είναι: x y z Y Ελάχιστοι όροι Μέγιστοι Οροι 0 0 0 0 m0=x'y'z' M0=x+y+z 0 0 1 1 m1=x'y'z M1=x+y+z' 0 1 0 0 m2=x'yz' M2=x+y'+z 0 1 1 0 m3=x'yz M3=x+y'+z' 1 0 0 1 m4=xy'z' M4=x'+y+z 1 0 1 0 m5=xy'z M5=x'+y+z' 1 1 0 0 m6=xyz' M6=x'+y'+z 1 1 1 1 m7=xyz M7=x'+y'+z' - ΣΠ µορφή: Y=x'y'z+xy'z'+xyz=Σ(1,4,7) - ΠΣµορφή: Y=(x+y+z) (x+y'+z) (x+y'+z') (x'+y+z') (x'+y'+z)=π(0,2,3,5,6) ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ-ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 7
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό. Οι όροι χρήσης των έργων τρίτων επεξηγούνται στη διαφάνεια «Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων». Τα έργα για τα οποία έχει ζητηθεί άδεια αναφέρονται στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/από-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.
Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων διαθέσιμο με άδεια CC-BY διαθέσιμο με άδεια CC-BY-SA διαθέσιμο με άδεια CC-BY-ND διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-SA διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-ND διαθέσιμο με άδεια CC0 Public Domain διαθέσιμο ως κοινό κτήμα χωρίς σήμανση Δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, παρά μόνο εάν ζητηθεί εκ νέου άδεια από το δημιουργό. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου και η δημιουργία παραγώγων αυτού με απλή αναφορά του δημιουργού. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού, και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η δημιουργία παραγώγων του έργου. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου και η δημιουργία παραγώγων του. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. Συνήθως δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου.
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.