ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Η ενότητα αυτή στοχεύει στην παρουσίαση των αρχών της κυματικής φυσικής και ιδιαίτερα της οπτικής Αρχικά εξετάζεται η απλή αρμονική ταλάντωση και οι σχετικές βασικές έννοιες Με βάση αυτή περιγράφονται στην συνέχεια τα κύματα και ιδιαίτερα τα μονοδιάστατα μηχανικά ενώ εισάγεται η πολύ βασική έννοια της υπέρθεσης κυμάτων και οι συνέπειές της Στην συνέχεια το ενδιαφέρον επικεντρώνεται στα ηλεκτρομαγνητικά κύματα και την οπτική φυσική που επάγεται από αυτά Ιδιαίτερο βάρος δίνεται στην γεωμετρική οπτική και την λειτουργία του ματιού και των μικροσκοπίων Τέλος, η ενότητα ολοκληρώνεται με την επέκταση της γεωμετρικής οπτικής στην κυματική οπτική όπου με βάση την κυματική φύση του φωτός εξετάζονται τα φαινόμενα της περίθλασης Απλή Αρμονική Ταλάντωση Κάθε κίνηση που επαναλαμβάνεται σε τακτά χρονικά διαστήματα λέγεται περιοδική κίνηση και μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση ημίτονων και συνημίτονων Επειδή ο όρος «αρμονικός» χρησιμοποιείται για εκφράσεις που περιέχουν τις συναρτήσεις αυτές, η περιοδική κίνηση ονομάζεται συχνά απλή αρμονική κίνηση ή απλή αρμονική ταλάντωση (ΑΑΤ) Παραδείγματα τέτοιων ταλαντώσεων είναι η κίνηση του εκκρεμούς, της χορδής ενός βιολιού, των μορίων του αέρα καθώς περνά ένα ηχητικό κύμα, η κίνηση ενός σώματος που προσδέθηκε σε ένα ελατήριο αλλά και οι ηλεκτρικές ταλαντώσεις ηλεκτρονικών κυκλωμάτων Ο χρόνος που χρειάζεται ένα σώμα για να εκτελέσει ένα πλήρη κύκλο κίνησης ονομάζεται περίοδος,, και στο Διεθνές Σύστημα μονάδων (σύστημα SI) μετριέται σε sec Το μέγεθος που δείχνει πόσες φορές επαναλαμβάνεται η κίνηση στη μονάδα του χρόνου ονομάζεται συχνότητα,, και δίνεται από το αντίστροφο της περιόδου, δηλαδή: (31) Η μονάδα μέτρησης της συχνότητας στο σύστημα SI είναι το 1/sec (ή sec -1) που ονομάζεται Hertz και συμβολίζεται Ηz Στη Φυσική χρήσιμη θεωρείται η κυκλική (γωνιακή) συχνότητα, ω, που ορίζεται ως η γωνία που διαγράφει το σώμα στη μονάδα χρόνου Η κυκλική συχνότητα μετριέται σε rad/sec, όπου το 1 rad (ακτίνιο) είναι η γωνία που αντιστοιχεί σε τόξο μήκους όσο η ακτίνα του κύκλου, με ένα πλήρη κύκλο να είναι 2π rad (δηλαδή 2π rad = 360 ) Έτσι: (32) Στη συνέχεια θα θεωρήσουμε ως παράδειγμα αρμονικής κίνησης την οριζόντια κίνηση σώματος μάζας δεμένου σε ελατήριο όπως φαίνεται στο σχήμα 31 Το σώμα βρίσκεται αρχικά στη θέση ισορροπίας του Σχήμα 31 Στη συνέχεια εκτρέπουμε το σώμα στη μέγιστη απομάκρυνσή του στη θέση Θεωρώντας ότι δεν υπάρχουν τριβές αν αφήσουμε το σώμα τότε αυτό θα εκτελεί απλή αρμονική 1
ταλάντωση μεταξύ των σημείων μέγιστης κι ελάχιστης απομάκρυνσης και αντίστοιχα Θεωρούμε μηδενικές τις τριβές Η κίνησή του περιγράφεται από την σχέση, (33) Στη σχέση αυτή, είναι η μετατόπιση, το πλάτος της μετατόπισης, ο χρόνος, η κυκλική συχνότητα και η αρχική φάση (που στην περίπτωσή μας είναι μηδέν εφόσον το σωμάτιο βρίσκονταν αρχικά στη θέση μέγιστης απομάκρυνσης) Η ποσότητα είναι η φάση της ταλάντωσης και μετράται σε rad Στο σχήμα 32 δίνονται παραδείγματα ταλαντώσεων για διαφορετικές παραμέτρους της σχέσης 33 10 a 10 05 05 00 00-05 -05-10 -10 00 10 05 10 15 20 25 30 00 10 c 05 05 00 00-05 -05-10 -10 00 05 10 15 20 25 30 b 05 10 15 20 25 30 d 00 05 10 15 20 25 30 35 40 t (rad) Σχήμα 32: (a) ΑΑΤ με μηδενική αρχική φάση (αναφοράς) (b) ΑΑΤ μισού πλάτους μετατόπισης (μπλε) (c) ΑΑΤ με μη μηδενική αρχική φάση (πράσινη) (d) ΑΑΤ με διπλάσια περίοδο (μαύρη) Ταχύτητα στην ΑΑΤ Η ταχύτητα της ταλαντευόμενης μάζας στην ΑΑΚ προκύπτει από την παραγώγιση της εξίσωσης κίνησης του, δηλ της σχέσης 33 (34) Η ταχύτητα έχει αρνητικό πρόσημο διότι όσο αυξάνει η μετατόπιση μειώνεται η ταχύτητα μέχρι μηδενισμού της στην θέση μέγιστης απομάκρυνσης Η μέγιστη τιμή της είναι στη θέση ισορροπίας Επιτάχυνση στην ΑΑΤ Η επιτάχυνση της ταλαντευόμενης μάζας στην ΑΑΚ προκύπτει από την παραγώγιση της εξίσωσης ταχύτητάς του, δηλ της σχέσης 34 (35) 2
Η επιτάχυνση έχει αρνητικό πρόσημο διότι πάντα αντιτίθεται στην αύξηση της μετατόπισης Η μέγιστη τιμή της είναι στις θέσεις μέγιστης απομάκρυνσης, ενώ η ελάχιστη τιμή της είναι στη θέση ισορροπίας Τα παραπάνω φαίνονται παραστατικά στο σχήμα 33 Σχήμα 33: Γραφήματα της μετατόπισης, ταχύτητας και επιτάχυνσης στην ΑΑΤ Δύναμη στην ΑΑΤ Με βάση τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα επιτάχυνσης 35 η δύναμη προκύπτει ίση με και την σχέση της (36) Η δύναμη είναι αυτή που ασκεί το ελατήριο στην μάζα και τείνει να το επαναφέρει στη θέση ισορροπίας του Θεωρώντας ότι η δύναμη αυτή είναι ανάλογη της απομάκρυνσης (νόμος Hooke), δηλαδή,, προκύπτει ότι κι άρα η γωνιακή συχνότητα γράφεται ως (37) Αυτή είναι η περίπτωση του γραμμικού απλού αρμονικού ταλαντωτή Ο όρος "γραμμικός" αναφέρεται στο ότι η δύναμη είναι ανάλογη της απομάκρυνσης κι όχι κάποιας δύναμής της Τέλος από τη σχέση 32 προκύπτει ότι η περίοδός του είναι (38) 3
Παρατηρείστε ότι για μεγάλη τιμή της σταθεράς ελατηρίου, που αντιστοιχεί σε σκληρό ελατήριο, συνεπάγεται μεγάλη συχνότητα ταλαντώσεων και μικρή περίοδο Το αντίθετο συμβαίνει για μικρές τιμές του Παράδειγμα 31 Ο κύβος του σχήματος 31 έχει μάζα 680 g ενώ η σταθερά ελατηρίου είναι k=65 N/m Σύρουμε τον κύβο σε απόσταση 11 cm από τη θέση ισορροπίας στο y=0 και τον απελευθερώνουμε με μηδενική αρχική ταχύτητα τη στιγμή t=0 Να βρεθούν: α) Οι τιμές της γωνιακής συχνότητας, η συχνότητα και η περίοδος β) Το πλάτος ταλάντωσης γ) Το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας δ) το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης ε) Η εξίσωση της κίνησης α) β), διότι είναι η μέγιστη απομάκρυνση γ) δ) ζ) Η εξίσωση της κίνησης είναι η Τότε προκύπτει ότι Θέτουμε για t=0 Άρα η εξίσωση κίνησης τελικά γράφεται Ενέργεια στην ΑΑΤ Κατά την ταλάντωσή του το σώμα μάζας έχει και κινητική και δυναμική ενέργεια Η κινητική του ενέργεια είναι (λαμβάνοντας υπόψη την σχέση της ταχύτητας 34) (39) Παρατηρούμε πως η κινητική ενέργεια, όπως και η ταχύτητα, έχει μέγιστη τιμή στην θέση ισορροπίας ενώ μηδενίζεται στις θέσεις μέγιστης απομάκρυνσης Η δυναμική ενέργεια υπολογίζεται ως (310) Παρατηρούμε πως η δυναμική ενέργεια, σε αντίθεση με την κινητική, έχει μέγιστη τιμή στις θέσεις μέγιστης απομάκρυνσης, ενώ μηδενίζεται στην θέση ισορροπίας Αυτό είναι απόρροια του γεγονότος ότι το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας, που είναι η μηχανική ενέργεια, είναι σταθερό και ίσο με (311) 4
Ουσιαστικά κατά την διάρκεια της ταλάντωσης η ενέργεια μετατρέπεται από κινητική σε δυναμική και το αντίστροφο έτσι ώστε το άθροισμά τους να παραμένει σταθερό Φυσικά όλα τα παραπάνω ισχύουν εφόσον έχουν παραλειφθεί δυνάμεις τριβής οι οποίες αν ληφθούν υπόψη θα οδηγήσουν τελικά σε σταμάτημα της κίνησης αφού όλη η αρχική ενέργεια που δώσαμε στο σύστημα με την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του θα μετατραπεί σε θερμότητα Οι ρεαλιστικές ταλαντώσεις έχουν πάντα δυνάμεις τριβής ή άλλου τύπου αποσβεστικές δυνάμεις οι οποίες πρέπει να λαμβάνονται υπόψη για να περιγραφεί σωστά η κίνηση ΑΑΤ και ομοιόμορφη κυκλική κίνηση Η απλή αρμονική ταλάντωση είναι η προβολή της ομαλής κυκλικής κίνησης σε μια διάμετρό του κύκλου στον οποίο εκτελείται η κυκλική κίνηση Αυτό μπορεί εύκολα να φανεί από το σχήμα 34 Το σωματίδιο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με σταθερό μέτρο γωνιακής ταχύτητας Σε κάθε χρόνο η γωνιακή θέση του είναι η Η προβολή της θέσης του σωματίου στον άξονα μιας διαμέτρου του δίνει τη θέση του σε αυτόν το άξονα Με βάση απλή τριγωνομετρία η θέση του είναι η Τα υπόλοιπα προκύπτουν όμοια με την μέχρι τώρα περιγραφή Σχήμα 34 Επειδή πολλά φαινόμενα στη Φυσική συνδέονται με την ομαλή κυκλική κίνηση για το λόγο αυτό και είναι πιο εύχρηστη η κυκλική συχνότητα Η αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας) Είναι δυνατόν κάποιο σώμα να εκτελεί ταυτόχρονα περισσότερες από μια διαφορετικές ταλαντώσεις κι όχι απαραίτητα στην ίδια διεύθυνση Η αρχή της υπέρθεσης δηλώνει ότι η συνιστάμενη κίνηση του σημείου θα προκύψει από το διανυσματικό άθροισμα των επί μέρους κινήσεων Σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να χειριστούμε τις μετατοπίσεις που οφείλονται στην κάθε ξεχωριστή ταλάντωση διανυσματικά γράφοντας για την κάθε μετατόπιση της εξίσωση κίνησής της ως και αθροίζοντας το σύνολό τους Εμείς θα περιοριστούμε στη μια διάσταση οπότε δεν υπάρχει ανάγκη να χρησιμοποιήσουμε διανυσματική περιγραφή των κινήσεων, οπότε μια απλή αλγεβρική άθροιση είναι αρκετή Για παράδειγμα για δυο ΑΑΤ η εξίσωση κίνησης θα είναι η (312) 5
Προβλήματα 1 Ένα ταλαντωτικό σύστημα ελατηρίου σώματος χρειάζεται 075 s για να αρχίσει να επαναλαμβάνει την κίνηση Βρείτε (α) την περίοδο, (β) την συχνότητα και (γ) τη γωνιακή συχνότητα 2 Η συνάρτηση δίνει την ΑΑΤ ενός σώματος Τη στιγμή t=20 s πόση είναι (α) η μετατόπιση, (β) η ταχύτητα, (γ) η επιτάχυνση και (δ) η φάση της κίνησης επίσης πόση είναι (ε) η συχνότητα και (στ) η περίοδος 3 Ταλαντωτής αποτελείται από ένα σώμα συνδεδεμένο με ελατήριο σταθεράς k=400 Ν/m Κάποια στιγμή, η θέση (μετρημένη από τη θέση ισορροπίας), η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώματος είναι αντίστοιχα, και Υπολογίστε τη (α) τη συχνότητα της ταλάντωσης, (β) τη μάζα του σώματος και (γ) το πλάτος της κίνησης 4 Σε κάποιο λιμάνι η παλίρροια κάνει την επιφάνεια του ωκεανού να ανεβαίνει και να κατεβαίνει κατά απόσταση d με ΑΑΤ περιόδου 125h Πόσο χρόνο παίρνει στο νερό να χαμηλώσει κατά απόσταση 025d από την υψηλότερη στάθμη; 5 Ένα ταλαντούμενο σύστημα σώμα-ελατήριο έχει μηχανική ενέργεια 100 J, πλάτος 100 cm και μέγιστη ταχύτητα 120 m/s Βρείτε (α) τη σταθερά του ελατηρίου, (β) τη μάζα του σώματος και (γ) τη συχνότητα της ταλάντωσης 6 Εάν η γωνία ταλάντωσης κάποιου συστήματος σώματος-ελατηρίου σε ΑΑΤ είναι π/6 rad και η θέση του σώματος δίνεται από τη σχέση, πόσος είναι ο λόγος της κινητικής ενέργειας προς τη δυναμική ενέργεια τη χρονική στιγμή ; 7 Ένα σωματίδιο εκτελεί ΑΑΤ με συχνότητα 25 Hz γύρω από το σημείο Τη στιγμή t=0 έχει μετατόπιση και μηδενική ταχύτητα Να προσδιοριστούν (α) η περίοδος, (β) η γωνιακή συχνότητα, (γ) το πλάτος, (δ) η μετατόπιση, (ε) η ταχύτητα, (στ) η μέγιστη ταχύτητα, (ζ) το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης, (η) η μετατόπιση για t=30 s και (θ) το μέτρο της ταχύτητας για t=30 s 8 Ένα σώμα μάζας 010 Kg ταλαντώνεται κατά μήκος ευθείας γραμμής σε οριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβές Η μετατόπισή του από την αρχή περιγράφεται από τη σχέση (α) Πόση είναι η συχνότητα της ταλάντωσης; (β) Πόση είναι η μέγιστη ταχύτητα που αποκτά το σώμα; (γ) Για ποια τιμή του συμβαίνει αυτό; (δ) Πόσο είναι το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης του σώματος; (ε) Για ποια τιμή του συμβαίνει αυτό; (στ) Για ποια τιμή του η δυναμική ενέργεια του σωματιδίου είναι ίση με το μισό της συνολικής ενέργειας; (ζ) Πόσο χρόνο παίρνει στο σωματίδιο για να μετακινηθεί από τη θέση ισορροπίας σ' αυτή τη θέση ; 6
Κύματα Κύμα ως ταλάντωση Όταν μια διαταραχή σε ένα μέσο (πχ βότσαλο που ρίχνεται στην επιφάνεια νερού) διαδίδεται στο χώρο και το χρόνο λέμε ότι σχηματίζεται ένα κύμα Τα κύματα είναι περιοδικά φαινόμενα και για το λόγο αυτό περιγράφονται στο πλαίσιο των ταλαντώσεων Στη Φυσική η περιγραφή των κυμάτων αποτελεί ένα από τα βασικότερα εργαλεία της στην προσπάθεια ερμηνείας των φυσικών φαινομένων Χωρίς να εισάγουμε στεγανά τα κύματα μπορούν να διακριθούν σε τρεις κατηγορίες: 1 Μηχανικά κύματα Περιλαμβάνουν τα κύματα στο νερό, τα ηχητικά κύματα, τα σεισμικά κύματα και γενικά τα κύματα σε που σχηματίζονται σε κάποιο ρευστό ή στερεό μέσο Υπακούουν τους νόμους της Μηχανικής του Νεύτωνα και μπορούν να υπάρξουν μόνο εντός κάποιου μέσου 2 Ηλεκτρομαγνητικά κύματα Περιλαμβάνουν τα ραδιοκύματα, τα τηλεοπτικά κύματα, τα μικροκύματα, την υπέρυθρη ακτινοβολία, το ορατό φως, την υπεριώδη ακτινοβολία, τις ακτίνες Χ και τις ακτίνες γ Τα κύματα αυτά δεν χρειάζονται κάποιο μέσο για να παραχθούν και να διαδοθούν Μάλιστα στο κενό διαδίδονται με σταθερή ταχύτητα ίση με αυτή της ταχύτητας του φωτός c=3 x 10 8 m/s 3 Υλικά κύματα Αυτά είναι τα λιγότερο οικεία κύματα ωστόσο σε αυτά βασίζεται όλη η μοντέρνα τεχνολογία Σχετίζονται με τα στοιχειώδη σωματίδια και θα τα εξετάσουμε στο κεφάλαιο της σύγχρονης φυσικής Μηχανικά κύματα Στη συνέχεια θα εστιαστούμε στα μηχανικά κύματα που είναι και πιο οικεία Το απλούστερο παράδειγμα είναι η διάδοση μιας διαταραχής σε τεντωμένη χορδή όπως φαίνεται στο σχήμα 35 Έστω ότι ο άνθρωπος αρχίζει να κινεί το χέρι του πάνω-κάτω και μάλιστα εκτελώντας ΑΑΤ Τότε η διαταραχή στο ένα άκρο της χορδής διαδίδεται κατά μήκος του σκοινιού (μέσο) του οποίου τα σημεία αρχίζουν κι αυτά να εκτελούν ΑΑΤ ίδιας συχνότητας με αυτή του χεριού του ανθρώπου Σχήμα 35 Βέβαια υποθέσαμε μηδενικές δυνάμεις τριβής και πολύ μεγάλο μήκος σκοινιού έτσι ώστε να μην ανακλαστεί το κύμα Αυτό είναι ένα τυπικό εγκάρσιο κύμα καθώς η μετατόπιση κάθε σημείου της χορδής είναι κάθετη στην διεύθυνση διάδοσης του κύματος Ένας άλλος τύπος κυμάτων είναι το διάμηκες κύμα όπου η μετατόπιση κάθε σημείου του μέσου είναι παράλληλη στην διεύθυνση διάδοσης του κύματος Παράδειγμα διαμηκών κυμάτων είναι τα ηχητικά κύματα τα οποία σχηματίζονται από τα πυκνώματα κι αραιώματα του αέρα όπως για παράδειγμα στο σωλήνα του σχήματος 36 Καθώς το χέρι του ανθρώπου εκτελεί ΑΑΤ χρησιμοποιώντας το έμβολο σχηματίζονται πυκνώματα και αραιώματα του μέσου (αέρας) εξαιτίας της πίεσης που ασκεί το έμβολο Εξίσωση κύματος Καλούμαστε τώρα να περιγράψουμε μαθηματικά την παραπάνω εικόνα για όλα τα σημεία του μέσου Εφόσον θεωρήσαμε ότι η ταλάντωση σε κάθε σημείο είναι ΑΑΤ τότε το χρονικό μέρος της συνάρτησης που επιζητούμε θα είναι αυτό της εξίσωσης της ΑΑΤ δηλ η σχέση 7
Σχετικά με το χωρικό μέρος τώρα παρατηρούμε ότι το κάθε σημείο του μέσου ξεκινά την ταλάντωσή του καθυστερημένα σε σχέση με την αρχική διαταραχή κατά χρόνο ίσο με αυτόν που χρειάστηκε να το κύμα να φτάσει σε αυτό, δηλ, όπου ο άξονας διάδοσης και η ταχύτητα διάδοσης του κύματος η οποία εξαρτάται αποκλειστικά από το μέσο Η καθυστέρηση αυτή αντιστοιχεί σε μια φάση κι επομένως η κυματική εξίσωση στο σημείο γράφεται Εάν η καθυστέρηση είναι ίση με μια περίοδο της ταλάντωσης τότε η φάση είναι 2π Η απόσταση στην οποία η φάση μεταβάλλεται κατά 2π καθορίζει το μήκος κύματος λ όπως φαίνεται και στο σχήμα 37 Επομένως η φάση γράφεται Ωστόσο είθισται αντί του μήκους κύματος λ να χρησιμοποιείται ο κυματικός αριθμός (ή κυματάριθμος) k (313) Τότε η κυματική εξίσωση στη γενικότερη περίπτωση γράφεται ( (314) όπου η αρχική φάση του κύματος Ταχύτητα κύματος Τα κύματα που εξετάσαμε μέχρι τώρα είναι τρέχοντα (ή οδεύοντα) κύματα Το πλάτος τους, η περίοδός τους και η κυκλική συχνότητά τους είναι όπως ακριβώς τα ορίσαμε στις ταλαντώσεις Αυτό είναι εύκολο να το δει κανείς θέτοντας στην σχέση 314 Αξίζει να σημειωθεί εδώ ότι η ταλάντωση αναφέρεται στην κίνηση ενός σημείου του χώρου ενώ το κύμα είναι μια οντότητα που εκτείνεται σε όλο τον χώρο του μέσου όπου διαδίδεται Σχήμα 36 Για να το καταλάβουμε καλύτερα μπορούμε να φανταστούμε το κύμα «παγωμένο» στον χρόνο θέτοντας στην σχέση 314, οπότε προκύπτει και η χωρική κατανομή του Η ταχύτητά του κύματος μπορεί να υπολογισθεί ως εξής: Στο σχήμα 36 παρουσιάζονται δυο στιγμιότυπα που αντιστοιχούν στην διάδοση κατά τη θετική φορά του άξονα Παρατηρούμε ότι το κύμα μετακινείται κατά σε χρόνο Επομένως ο λόγος (ή καλύτερα ) είναι η ταχύτητα του κύματος Επίσης κάθε σημείο Α ταλαντώνεται μόνο κατά τον άξονα και δεν μεταφέρεται κατά τον άξονα Ωστόσο το σημείο της κυματομορφής που αντιστοιχεί σε μετατόπιση μεταφέρεται κατά τον άξονα διατηρώντας την φάση του σταθερή, δηλ =σταθερή Παραγωγίζοντας την τελευταία σχέση ως προς τον χρόνο προκύπτει ότι (315) κι επομένως (316) 8
Άρα η ταχύτητα ενός κύματος είναι ένα μήκος κύματος ανά περίοδο Στα ίδια συμπεράσματα θα καταλήγαμε εάν είχαμε υποθέσει διάδοση του κύματος κατά την αρνητική φορά του άξονα Τότε η κυματική εξίσωση γράφεται ως και η υπολογιζόμενη ταχύτητα ως Παράδειγμα 32 Κύμα περιγράφεται από την εξίσωση όπου οι τιμές δίνονται σε μονάδες SI Να βρεθούν: α) Το πλάτος του κύματος β) Το μήκος κύματος, η περίοδος και η συχνότητας γ) Η ταχύτητα του κύματος δ) Η μετατόπιση για =225 cm και =189 s Συγκρίνοντας την δοθείσα εξίσωση κύματος με την γενική εξίσωση 314 προκύπτει α) β), γ) δ) Ισχύς κύματος Όπως ήδη είπαμε, κατά τη διάδοση του κύματος, τα σημεία του μέσου δεν μεταφέρονται αλλά απλά ταλαντώνονται γύρω από την θέση ισορροπίας τους κι άρα δεν υπάρχει μεταφορά μάζας Υπάρχει όμως μεταφορά ενέργειας η οποία προσφέρεται από την πηγή διαταραχής Αποδεικνύεται ότι η μεταφερόμενη μέση ισχύς (μέση ενέργεια ανά μονάδα χρόνου) δίνεται από τη σχέση (317) όπου σταθερά που εξαρτάται από την συχνότητα και την ταχύτητα Ρεαλιστικά κύματα Η παραπάνω περιγραφή των κυμάτων ισχύει για τα μονοδιάστατα κύματα που διέπονται από την ΑΑΤ Ωστόσο τα ρεαλιστικά κύματα είναι πιο πολύπλοκα Αποδεικνύεται ότι κάθε οδεύον κύμα μπορεί να περιγραφεί από μια συνάρτηση (318) Επίσης τα περισσότερα κύματα που γνωρίζουμε διαδίδονται σε δυο ή και τρεις διαστάσεις Στο σχήμα 37 φαίνονται δισδιάστατα επιφανειακά κύματα ενός υγρού που προκαλούνται από σημειακή πηγή (πχ σταγόνα) και διαδίδονται απομακρυνόμενα από αυτή 9
Σχήμα 37 Με τον τρόπο αυτό δημιουργούνται επάνω στην επιφάνεια ομόκεντροι κύκλοι που αποτελούνται από όλα τα σημεία στα οποία το κύμα φτάνει την ίδια χρονική στιγμή Οι κύκλοι αυτοί ονομάζονται μέτωπα κύματος (ή κυματομέτωπα) Όλα τα σημεία ενός κυματομετώπου ταλαντώνεται με το ίδιο πλάτος και την ίδια φάση (συμφασικά) Αντίστοιχα για τα σφαιρικά κύματα τα κυματομέτωπα είναι ομόκεντρες σφαίρες με κέντρο την πηγή, όπως πχ δείχνεται στο σχήμα 38α Είθισται για λόγους ευκολίας να αναπαριστούμε τα σφαιρικά κύματα με δισδιάστατα επιφανειακά κυματομέτωπα, κάνοντας μια τομή της σφαίρας με ένα επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο της όπως πχ στο σχήμα 38β Από το σχήμα επίσης γίνεται φανερό ότι σε μεγάλες αποστάσεις από την εστία και σε τοπικό επίπεδο τα σφαιρικά κύματα φαίνονται σχεδόν επίπεδα (όπως πχ η επιφάνεια της γης), εξ ου και η ονομασία τους ως επίπεδα κύματα Σχήμα 38α Σχήμα 38β Στα ρεαλιστικά κύματα έχει σημασία η μεταφορά ενέργειας του κύματος Για παράδειγμα σε ένα σφαιρικό κύμα αν θεωρήσουμε ότι η πηγή του προσφέρει ισχύ (ενέργεια ανά μονάδα χρόνου) τότε σε μια ακτίνα έχει μοιραστεί ομοιόμορφα όλη η ενέργεια του κύματος Επομένως η μέση ένταση σε κάθε σημείο της επιφάνειας ακτίνας θα είναι (319) Παρατηρούμε ότι σε ένα ρεαλιστικό κύμα η έντασή του μειώνεται με την απόσταση κι άρα μειώνεται και το πλάτος του Είναι εύκολο να δείξει κανείς ότι τα σφαιρικά περιγράφονται από την εξής σχέση μειούμενου πλάτους: 10
(320) Συμβολή Κυμάτων Η αρχή της υπέρθεσης εφαρμόζεται και στην περίπτωση των κυμάτων εφόσον δυο ή περισσότερα κύματα μπορούν να βρίσκονται στον ίδιο χώρο Για παράδειγμα τα ηχητικά κύματα από διάφορες πηγές (ομιλίες, μουσική, θόρυβος, κτλ) που συνυπάρχουν στο χώρο μας Όπως και στις ταλαντώσεις το τελικό αποτέλεσμα προκύπτει από το διανυσματικό άθροισμα των επί μέρους κυμάτων Ωστόσο για ευκολία θα θεωρήσουμε κι εδώ την υπέρθεση σε μια διάσταση δυο κυμάτων Το αποτέλεσμα θα είναι το αλγεβρικό άθροισμά τους ως (321) Αξίζει να σημειώσουμε εδώ ότι τα αλληλοεπικαλυπτόμενα δεν επηρεάζουν το ένα τη διάδοση του άλλου, απλά αθροίζονται (διανυσματικά ή αλγεβρικά) Υποθέτουμε τώρα ότι στέλνουμε δυο ημιτονοειδή κύματα ίδιου πλάτους, ίδιας συχνότητας αλλά διαφορετικής φάσης κατά την ίδια κατεύθυνση κατά μήκος τεντωμένης χορδής Με βάση την αρχή της υπέρθεσης η χορδή θα δονείται με βάση το αλγεβρικό άθροισμα των δυο κυμάτων που προκαλούν την ταλάντωσή της, δηλ (322) Με βάση την αλγεβρική σχέση η 322 γράφεται ή (323) Παρατηρούμε ότι το συνιστάμενο κύμα, αυτό που θα παρατηρήσει κανείς δηλαδή, είναι επίσης ημιτονοειδές με την ίδια συχνότητα, που διαδίδεται στην ίδια κατεύθυνση με τα δυο αρχικά κύματα Η βασική διαφορά είναι ότι το πλάτος του,, εξαρτάται από την αρχική διαφορά φάσης,, των δυο κυμάτων Εαν πχ η φάση είναι μηδενική,, τότε το πλάτος είναι διπλάσιο του αρχικού πλάτους των δυο κυμάτων, ενώ αν είναι τότε το πλάτος μηδενίζεται κι επομένως η χορδή δεν πάλλεται! Το φαινόμενο αυτό της αύξησης ή μείωσης του πλάτους μιας συνιστάμενης ταλάντωσης ονομάζεται συμβολή και τότε λέμε ότι τα κύματα συμβάλλουν Όταν η αύξηση του πλάτους είναι μέγιστη, δηλαδή το διπλάσιο του πλάτους των δυο κυμάτων, έχουμε την λεγόμενη ενισχυτική συμβολή ενώ όταν το πλάτος είναι μηδενικό έχουμε τη λεγόμενη αποσβεστική (ή καταστρεπτική ή αναιρετική) συμβολή Για όλες τις άλλες τιμές του πλάτους έχουμε τη λεγόμενη ενδιάμεση συμβολή Μπορεί κανείς να πει ότι η συμβολή είναι ουσιαστικά η υπέρθεση κυμάτων όταν οι φάσεις τους έχουν συγκεκριμένες τιμές και δεν είναι χρονικά τυχαίες Εάν οι φάσεις αλλάζουν συνέχεια τότε το αποτέλεσμα δεν έχει σταθερή μορφή και μοιάζει περισσότερο με την τρικυμία στη θάλασσα ή τον ηχητικό θόρυβο Στο σχήμα 39 παρουσιάζονται μερικές περιπτώσεις συμβολής κυμάτων με διαφορετικέ φάσεις 11
Σχήμα 39 Παράδειγμα 33 Δύο όμοια κύματα που διαδίδονται προς την ίδια κατεύθυνση συμβάλλουν μεταξύ τους Το πλάτος του κάθε κύματος είναι και η διαφορά φάσης τους είναι α) Ποιο το συνιστάμενο πλάτος της συμβολής; β) Τι είδους συμβολή είναι; Με βάση την εξίσωση συμβολής 323 προκύπτει ότι α) β) Ενδιάμεση εφόσον 13 < 2 98 Μέση ισχύς στη συμβολή: Κάθε σημείο ταλαντώνεται με πλάτος Εφόσον η μέση ισχύς που μεταφέρεται σε κάθε σημείο είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους θα έχουμε (324) Επομένως, όταν είναι, δηλαδή σε συνθήκες ενισχυτικής συμβολής, τότε κάθε σημείο πάλλεται με διπλάσιο πλάτος και η μέση ισχύς είναι τετραπλάσια της μέσης ισχύος του κάθε κύματος ξεχωριστά Όταν είναι, δηλαδή σε συνθήκες αποσβεστικής συμβολής, τότε το κάθε σημείο είναι ακίνητο (μηδενικό πλάτος ταλάντωσης) και φυσικά η μέση ισχύς του είναι μηδενική Στάσιμα Κύματα Τα στάσιμα κύματα είναι μια ιδιαίτερη και πολύ σημαντική περίπτωση συμβολής κυμάτων Θεωρούμε, όπως και παραπάνω στη συμβολή, ότι στέλνουμε δυο ημιτονοειδή κύματα ίδιου πλάτους, ίδιας συχνότητας και ίδιας (μηδενικής) φάσης κατά την αντίθετη κατεύθυνση κατά μήκος τεντωμένης χορδής Με βάση την αρχή της υπέρθεσης η χορδή θα δονείται με βάση το αλγεβρικό άθροισμα των δυο κυμάτων που προκαλούν την ταλάντωσή της, δηλ 12
(325) όπου μετά την τριγωνομετρική άθροιση καταλήγουμε στη σχέση (326) Η εξίσωση 326 δεν περιγράφει τρέχον κύμα αφού δεν είναι της μορφής Από την μορφή του κύματος μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι ένα αρμονικό κύμα συχνότητας πλάτους Τα κύματα αυτά λέγονται στάσιμα Η βασική διαφορά με τα τρέχοντα κύματα είναι ότι στα τελευταία το πλάτος ταλάντωσης είναι ίδιο για κάθε σημείο ενώ στο στάσιμο κύμα εξαρτάται από την θέση Για παράδειγμα για τα σημεία που ισχύει η συνθήκη, το πλάτος της ταλάντωσης είναι μηδενικό και είναι ακίνητα καθ' όλη τη διάρκεια της ταλάντωσης Οι θέσης αυτές προκύπτουν από την απαίτηση που με βάση τη σχέση δίνει (327) Η εξίσωση αυτή περιγράφει τα σημεία μηδενικού πλάτους τα οποία ονομάζονται δεσμοί Όμοια μπορούμε να αναζητήσουμε τα σημεία μέγιστου πλάτους Αυτά προκύπτουν από την απαίτηση που με βάση τη σχέση δίνει (328) Τα σημεία μέγιστου πλάτους τα οποία ονομάζονται κοιλίες Παρατηρούμε πως τόσο διαδοχικοί δεσμοί όσο και διαδοχικές κοιλίες απέχουν μεταξύ τους απόσταση λ/2, ενώ η απόσταση μεταξύ διαδοχικών κοιλιών και δεσμών είναι λ/4 Στο σχήμα 310 δίνεται το παράδειγμα ενός στάσιμου κύματος με τα βασικά χαρακτηριστικά του Σχήμα 310 13
Προβλήματα 1 Ημιτονοειδές κύμα συχνότητας 500 Hz έχει ταχύτητα 350 m/s (α) Πόσο απέχουν μεταξύ τους δυο σημεία που έχουν διαφορά φάσης π/3 rad; (β) Για ένα συγκεκριμένο σημείο πόση είναι η διαφορά φάσης μεταξύ δυο μετατοπίσεων που αντιστοιχούν σε χρονικές στιγμές που διαφέρουν κατά 1 ms; 2 Η εξίσωση ενός εγκάρσιου κύματος που διαδίδεται κατά μήκος μιας πολύ μακριάς χορδής είναι, όπου τα είναι εκπεφρασμένα σε εκατοστά και το σε δευτερόλεπτα Προσδιορίστε (α) το πλάτος, (β) το μήκος κύματος, (γ) τη συχνότητα, (δ) την ταχύτητα, (ε) την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος και (στ) τη μέγιστη εγκάρσια ταχύτητα ενός σωματιδίου της χορδής (ζ) Πόση είναι η εγκάρσια μετατόπιση στο σημείο όταν ; 3 Χρησιμοποιήστε την κυματική εξίσωση για να βρείτε την ταχύτητα ενός κύματος που δίνεται από την έκφραση 4 Ένα τρέχον κύμα σε χορδή περιγράφεται από τη συνάρτηση, όπου τα είναι εκπεφρασμένα σε εκατοστά και το σε δευτερόλεπτα (α) Για σχεδιάστε το ως συνάρτηση του για Επαναλάβετε το (α) για και για Από τις γραφικές παραστάσεις σας προσδιορίστε (γ) την ταχύτητα του κύματος και (δ) την κατεύθυνση προς την οποία διαδίδεται το κύμα 5 Δυο κύματα περιγράφονται από τις συναρτήσεις και, όπου τα είναι εκπεφρασμένα σε μέτρα και το σε δευτερόλεπτα Όταν αυτά τα δυο κύματα συνδυαστούν, δημιουργείται ένα τρέχον κύμα Πόσο είναι (α) το πλάτος, (β) η ταχύτητα και (γ) το μήκος κύματος αυτού του τρέχοντος κύματος; 6 Ποια η διαφορά φάσης μεταξύ δυο πανομοιότυπων τρεχόντων κυμάτων, κινούμενων προς την ίδια κατεύθυνση κατά μήκος μιας τεντωμένης χορδής, έχει αποτέλεσμα το συνιστάμενο κύμα να έχει πλάτος 150 φορές το κοινό πλάτος των δυο συμβαλλομένων κυμάτων; Εκφράστε την απάντησή σας (α) σε μοίρες, (β) σε ακτίνια και (γ) σε μήκη κύματος 14
Ηλεκτρομαγνητικά Κύματα και Φως Στο κεφάλαιο του Ηλεκτρισμού & Μαγνητισμού είδαμε ότι οι εξισώσεις Maxwell περιγράφουν πως χρονικά μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά πεδία δρουν ως πηγές μαγνητικών πεδίων (νόμος Ampere) και ομοίως χρονικά μεταβαλλόμενα μαγνητικά πεδία δρουν ως πηγές ηλεκτρικών πεδίων (νόμος Faraday) Με άλλα λόγια όταν μεταβάλλεται με το χρόνο είτε ένα ηλεκτρικό είτε ένα μαγνητικό πεδίο επάγεται το πεδίο του άλλου είδους στο χώρο της μεταβολής Επομένως τα δυο πεδία είναι αλληλένδετα με αποτέλεσμα την εμφάνιση μιας ηλεκτρομαγνητικής διαταραχής στο χώρο ακόμη κι αν δεν υπάρχει ύλη σε αυτόν Η διαταραχή αυτή έχει τα χαρακτηριστικά κύματος και ο κατάλληλος όρος περιγραφής της είναι ηλεκτρομαγνητικό κύμα Η απόδειξη του ότι η ηλεκτρομαγνητική διαταραχή είναι κύμα απαιτεί ανώτερα μαθηματικά και ξεφεύγει του σκοπού του μαθήματος Να τονιστεί πως ένα σταθερό ηλεκτρικό πεδίο (πχ ακίνητο φορτίο) ή ένα σταθερό μαγνητικό πεδίο (πχ σταθερό ρεύμα σε αγωγό) δεν παράγει ηλεκτρομαγνητικό κύμα Είναι απαραίτητη η μεταβολή του πεδίου για την επαγωγή ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων Για παράδειγμα ένα επιταχυνόμενο φορτίο παράγει ηλεκτρομαγνητικά κύματα στον περιβάλλοντα χώρο του Ένας εύκολος τρόπος επιτάχυνσής του είναι να το θέσουμε σε απλή αρμονική ταλάντωση μέσω της άσκησης εναλλασσόμενης τάσης σε μια κεραία (ηλεκτρικό δίπολο) που είναι και η αρχή λειτουργίας ενός πομπού ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων Η ταχύτητα των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων μετρήθηκε για πρώτη φορά από τον γερμανό φυσικό H Hertz ο οποίος βρήκε την τιμή της ίση με αυτή της ταχύτητας διάδοσης του φωτός, επαληθεύοντας έτσι την θεωρητική πρόβλεψη των εξισώσεων Maxwell Προς τιμήν του δόθηκε η μονάδα συχνότητας Hz στο SI Οι λύσεις των εξισώσεων Maxwell μπορεί να είναι αρκετά περίπλοκες για τα δυο πεδία και, ωστόσο μπορεί κανείς να αναζητήσει τις απλούστερες λύσεις οι οποίες δεν είναι άλλες από αυτές των λεγόμενων επιπέδων κυμάτων που αντιστοιχούν σε όσα μελετήσαμε για τα κύματα που προκύπτουν από ΑΑΤ Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε τις λύσεις κατά τα γνωστά ως (329) όπου τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των διευθύνσεων ταλάντωσης των πεδίων και αντίστοιχα, ενώ το κύμα διαδίδεται στον άξονα Με βάση τις παραπάνω απλές λύσεις μπορούμε να συνοψίσουμε τα βασικά χαρακτηριστικά όλως των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων ως εξής: 1 Το ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι η ταυτόχρονη διάδοση ενός ηλεκτρικού και ενός μαγνητικού πεδίου 2 Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα δεν απαιτούν κάποιο μέσο ταλάντωσης για την διάδοσή τους όπως πχ τα μηχανικά κύματα 3 Το κύμα διαδίδεται στο κενό με την ταχύτητα διάδοσης του φωτός στο κενό Η τιμή της είναι 4 Το κύμα είναι εγκάρσιο Τα πεδία και είναι κάθετα στην κατεύθυνση διάδοσης του κύματος και κάθετα μεταξύ τους Η κατεύθυνση διάδοσης είναι η κατεύθυνση του διανυσματικού γινομένου 5 Ο λόγος των μέτρων των πεδίων και είναι ίσος με την ταχύτητα του φωτός: Με βάση τα παραπάνω μια γραφική απεικόνιση ενός επιπέδου ηλεκτρομαγνητικού κύματος παρουσιάζεται στο σχήμα 311 15
Σχήμα 311 Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα καλύπτουν ένα ευρύτατο φάσμα μηκών κυμάτων και συχνοτήτων Ξεκινώντας από τις μικρότερες συχνότητες (μεγαλύτερα μήκη κύματος) περιλαμβάνει τα ραδιοφωνικά και τηλεοπτικά κύματα, τα μικροκύματα, την υπέρυθρη, ορατή και υπεριώδη ακτινοβολία, τις ακτίνες Χ και τις ακτίνες γ Στο σχήμα 312 δίνεται μια παραστατική απεικόνιση του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος με αντιστοιχίες στις πηγές που τα παράγουν και τις τυπικές διαστάσεις γνωστών αντικειμένων Παραδείγματα Σχήμα 312 34 Laser CO 2 εκπέμπει ηλεκτρομαγνητικό κύμα με μήκος κύματος λ=10,6 μm Το κύμα διαδίδεται στο κενό κατά την αρνητική διεύθυνση του άξονα x ενώ το πεδίο Ε έχει μέγιστο μέτρο 15 MV/m και είναι παράλληλο στον άξονα z Να γράψετε τις διανυσματικές εξισώσεις για τα και Είναι, 16
και τη διάδοση στην αρνητική κατεύθυνση: Άρα γράφουμε για 35 Γιατί τα φαγητά πρέπει να περιστρέφονται μέσα στο φούρνο μικροκυμάτων; Στο εσωτερικό του φούρνου μικροκυμάτων δημιουργούνται στάσιμο ηλεκτρομαγνητικό κύμα με λ=122 cm, που είναι το μήκος κύματος που απορροφάται έντονα από το νερό που περιέχουν τα τρόφιμα, με αποτέλεσμα την θέρμανσή τους Το στάσιμο κύμα έχει δεσμούς με διαδοχική απόσταση λ/2=61 cm στους οποίους η ταλάντωση έχει μηδενικό πλάτος Εάν τα τρόφιμα δεν περιστρέφονταν τμήματά τους στην περιοχή γύρω από τους δεσμούς θα έμεναν άψητα 17