ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Α. ΟΜΑΔΑ Ι 1 α) Η ποσότητα ζήτησης ενός αγαθού εξαρτάται από την μοναδιαία τιμή του P και από το εισόδημα Y, σύμφωνα με την σχέση: = P Y. Αν η τιμή αυξηθεί κατά %, να εκτιμηθεί πόσο πρέπει να μεταβληθεί το εισόδημα ώστε να μην αλλάξει η ζήτηση. β) Η συνολική δαπάνη για την αγορά ενός αγαθού είναι E= P, όπου είναι η ποσότητα και P η μοναδιαία τιμή. Αν η ποσότητα αυξηθεί κατά 6% και η τιμή ελαττωθεί κατά 4% να εκτιμηθεί η ποσοστιαία μεταβολή στη συνολική δαπάνη. Η πραγματική μεταβολή θα είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από την παραπάνω εκτίμηση; α) Η ποσότητα ζήτησης ενός αγαθού εξαρτάται από την μοναδιαία τιμή του P και από το εισόδημα Y, σύμφωνα με την σχέση: = P+ Y+ 1. Αν αρχικά έχουμε {P=,Y = 10}, και στη συνέχεια το εισόδημα αυξηθεί κατά %, να βρεθεί σε τι ποσοστό πρέπει να αυξηθεί η τιμή ώστε να μην αλλάξει η ζήτηση. β) Η συνολική δαπάνη για την αγορά ενός αγαθού είναι E= P, όπου είναι η ποσότητα και P η μοναδιαία τιμή. Αν η ποσότητα αυξηθεί κατά 6% και η τιμή αυξηθεί επίσης κατά 6% να εκτιμηθεί η ποσοστιαία αύξηση στη συνολική δαπάνη. Η πραγματική αύξηση θα είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από την παραπάνω εκτίμηση; 3 Το ετήσιο έσοδο από την πώληση ενός προϊόντος είναι E= P, όπου P είναι η μοναδιαία τιμή του και η ποσότητα ζήτησης. Δίνεται ότι η τιμή ελαττώνεται με ρυθμό 0.5% ετησίως, και ότι η ελαστικότητα ζήτησης είναι ε=. (α). Να προσδιοριστεί αν το έσοδο θα μεγαλώνει ή θα μικραίνει, και να εκτιμηθεί ο ετήσιος ρυθμός μεταβολής του. (β). Να εκτιμηθεί το ύψος του ετήσιου εσόδου μετά την παρέλευση 4 ετών αν το τωρινό έσοδο είναι E0 = 100. 4 α) Αν το εθνικό εισόδημα Y αυξηθεί 3%, και ο πληθυσμός L μειωθεί %, να εκτιμηθεί η μεταβολή του κατά κεφαλή εισοδήματος y= Y / L. β) Αν το εισόδημα A του συζύγου αυξηθεί 3% και το εισόδημα B της συζύγου ελαττωθεί 3%, να εκτιμηθεί η μεταβολή του οικογενειακού εισοδήματος = A+ B. 5 Έχει διαπιστωθεί ότι ο δείκτης τιμών P εξαρτάται θετικά από την δαπάνη κατανάλωσης η οποία εξαρτάται αρνητικά από το επιτόκιο καταθέσεων r, όπου: 1. Η ελαστικότητα του P ως προς είναι 0.5.. Αύξηση του r κατά 0.5 προκαλεί μείωση του κατά % Να εκτιμηθεί πόσο πρέπει να μεταβληθεί το επιτόκιο ώστε ο δείκτης τιμών να υποχωρήσει κατά %. 6 Σε μια οικονομία με εθνικό εισόδημα Y, ο πληθυσμός L αυξάνει συνεχώς με ετήσιο ρυθμό %. Να βρεθούν: α) Ο ρυθμός μεταβολής του κατά κεφαλή εισοδήματος y= Y / L αν το εθνικό εισόδημα Y αυξάνει με ρυθμό 1% β) Ο ελάχιστος ρυθμός αύξησης του εθνικού εισοδήματος Y που θα επιτρέψει στο κατά κεφαλή εισόδημα y= Y / L να διπλασιαστεί σε 0 χρόνια. 7 Σε μια οικονομία με εθνικό εισόδημα E, το χρέος X αυξάνει συνεχώς με ετήσιο ρυθμό %. Να βρεθούν: α) Ο ρυθμός μεταβολής του χρέους ως ποσοστού του εθνικού εισοδήματος: x= X / E, αν το εθνικό εισόδημα E αυξάνει με ετήσιο ρυθμό 3%
β) Ο ελάχιστος ρυθμός αύξησης του εθνικού εισοδήματος E έτσι ώστε το χρέος ως ποσοστό του εισοδήματος να ελαττωθεί στο ήμισυ σε t= 0 έτη. 8 Σε μια εθνική οικονομία, το εθνικό εισόδημα Y αυξάνει συνεχώς με ετήσιο ρυθμό 4% και ο πληθυσμός L αυξάνει συνεχώς με ετήσιο ρυθμό 1%. Να βρεθούν τα παρακάτω: α) Ο ετήσιος ρυθμός μεταβολής του κατά κεφαλή εισοδήματος y= Y / L. β) Το κατά κεφαλή εισόδημα στο τέλος μιας δεκαετίας αν στην αρχή της ήταν 10 χιλιάδες ευρώ, υποθέτοντας τους παραπάνω ρυθμούς σταθερούς. 9 Σε μια οικογένεια το εισόδημα της συζύγου είναι τριπλάσιο από αυτό του συζύγου. Αν το εισόδημα της συζύγου μειωθεί κατά %, τότε: α) Πόσο θα μεταβληθεί το οικογενειακό εισόδημα αν το εισόδημα του συζύγου αυξηθεί κατά %? β) Πόσο πρέπει να αυξηθεί το εισόδημα του συζύγου ώστε το οικογενειακό εισόδημα να παραμείνει το ίδιο? 10 Σε μια οικογένεια το εισόδημα της συζύγου είναι τριπλάσιο από αυτό του συζύγου. Αν το εισόδημα της συζύγου αυξηθεί κατά % και το εισόδημα του συζύγου αυξηθεί κατά 3%, να εκτιμηθεί η αύξηση του οικογενειακού εισοδήματος. 11 Το συνολικό εισόδημα Y ενός πληθυσμού N ήταν {Y1 = 00, Y = 50} δισεκατομμύρια ευρώ κατά τα έτη {t1= 000, t = 010}, αντίστοιχα. Να εκτιμηθεί ο ετήσιος ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής του εισοδήματος. 1 Σε μια εθνική οικονομία, το εθνικό εισόδημα Y και ο πληθυσμός L κατά τα έτη {t1= 000, t = 010}, βρέθηκαν να έχουν αντίστοιχα τις τιμές: {Y1 = 500, Y = 600} δισεκατομμύρια ευρώ {L1 = 10, L = 11} εκατομμύρια πληθυσμός α) Να εκτιμηθούν ο ετήσιος ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής του εθνικού εισοδήματος, του πληθυσμού, και του κατά κεφαλή εισοδήματος y= Y / L. β) Να εκτιμηθεί το κατά κεφαλή εισόδημα το έτος t= 00 σε χιλιάδες ευρώ. 13 Ένα μονοπώλιο παράγει ποσότητα την οποία διαθέτει με μοναδιαία τιμή P που καθορίζεται από την φθίνουσα συνάρτηση ζήτησης = (P). Να διαπιστωθεί ότι καθώς η τιμή αυξάνει το έσοδο R= P θα αυξάνει όταν η ζήτηση είναι ανελαστική. 14 Ένα μονοπώλιο παράγει ποσότητα την οποία διαθέτει με μοναδιαία τιμή P που καθορίζεται από την φθίνουσα συνάρτηση ζήτησης = (P). Να διαπιστωθεί ότι καθώς η ποσότητα αυξάνει το έσοδο R= P θα αυξάνει όταν η ζήτηση είναι ελαστική. 15 Ένας καταθέτης θέλει να εξασφαλίσει το ποσό των 100 χιλιάδων ευρώ μετά από 10 έτη. Να βρεθεί το ποσό της αρχικής κατάθεσης, υποθέτοντας συνεχή ανατοκισμό με ετήσιο ονομαστικό επιτόκιο: 4% τα πρώτα 5 έτη και 6% τα επόμενα 5 έτη. ΟΜΑΔΑ ΙΙ 16 Σε μια επιχείρηση, ο διευθυντής πωλήσεων αμείβεται με 0% επί των ετήσιων εισπράξεων. Αν η ποσότητα ζήτησης του προιόντος ως συνάρτηση της μοναδιαίας τιμής P είναι = 100 P, και το κόστος παραγωγής είναι = 10+, να βρεθεί η τιμή P που μεγιστοποιεί το κέρδος: 1. για τον επιχειρηματία. για τον πωλητή αντίστοιχα.
17 Ένας εκδότης έχει διαπιστώσει ότι ο αριθμός πωλήσεων ενός βιβλίου εξαρτάται από την τιμή του P, όπου = α βp είναι η συνάρτηση ζήτησης. Το κόστος της έκδοσης ανά βιβλίο είναι w, ενώ τα συγγραφικά δικαιώματα ορίζονται ως ένα ποσοστό με συντελεστή m< 1 των συνολικών εσόδων από την πώληση. Να διαπιστωθεί ότι η τιμή διάθεσης που μεγιστοποιεί το κέρδος για τον εκδότη είναι μεγαλύτερη από την τιμή διάθεσης που μεγιστοποιεί το έσοδο για τον συγγραφέα. Ισχύει το ίδιο για οιαδήποτε φθίνουσα συνάρτηση ζήτησης; 18 Σε μια επιχείρηση, ο πωλητής αμείβεται με 10% επί των εισπράξεων. Αν η ζήτηση του προιόντος ως συνάρτηση της τιμής είναι = 100 P, και το κόστος παραγωγής είναι = 10+, να βρεθούν ως συναρτήσεις της ποσότητας, τα παρακάτω: α) Το κέρδος, το οριακό κέρδος και το μέσο κέρδος για τον επιχειρηματία β) Τα γραφήματα των παραπάνω 19 Μία παραγωγική μονάδα λειτουργεί με οριακό () κόστος (), και με τιμή διάθεσης μιας μονάδας του προιόντος σταθερή: P, όπως στο παραπλεύρως E σχήμα. Να διερευνηθεί αν η επιχείρηση είναι E + P βιώσιμη. 0 1 Μια επιχείρηση παράγει ποσότητα, με: 1. Συνάρτηση εσόδων R() αύξουσα κοίλη με R(0) = 0.. Συνάρτηση κόστους () αύξουσα κυρτή με (0) = 0. Αν υπόκειται και σε φορολογία t ανά μονάδα παραγόμενου προϊόντος α) Να διαπιστωθεί ότι η παραγόμενη ποσότητα που μεγιστοποιεί το κέρδος είναι φθίνουσα συνάρτηση του συντελεστή φορολογίας t. β) Να διερευνηθεί η περίπτωση να μην υπάρξει παραγωγή αν ο συντελεστής φορολογίας είναι πολύ υψηλός. 1 3 Μια συνάρτηση κόστους της μορφής = α + β + γ+ δ έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. Να βρεθούν οι συνθήκες που θα πρέπει να ικανοποιούν οι συντελεστές {α,β,γ,δ} ΟΜΑΔΑ ΙΙΙ Θεωρούμε τις παρακάτω 3 συναρτήσεις κόστους: = () 3 1. = 1+. = 1+ + 3. = 1+ + Να γίνουν τα γραφήματά τους, και σε κάθε περίπτωση να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά το ελάχιστο μέσο μεταβλητό κόστος: min{av= V() / }, όπου V() = () (0) 3 Θεωρούμε τις παρακάτω τρεις συναρτήσεις κόστους: = () 3 1. = 1+. = 1+ + 3. = 1+ + Να γίνουν τα γραφήματά τους, και σε κάθε περίπτωση να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά το ελάχιστο μέσο κόστος: min{a= () / }
4 Θεωρούμε τρεις συναρτήσεις κόστους: = (), με τα παρακάτω γραφήματα. Να γίνουν τα αντίστοιχα γραφήματα των συναρτήσεων οριακού κόστους και μέσου μεταβλητού κόστους: M= (), AV= V() / στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων για την κάθε περίπτωση.. 5 Θεωρούμε τρεις συναρτήσεις κόστους: = (), με τα παρακάτω γραφήματα. Να γίνουν τα αντίστοιχα γραφήματα των συναρτήσεων οριακού κόστους και μέσου κόστους: M= (), A= () / στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων για την κάθε περίπτωση. 6 Θεωρούμε τις παρακάτω τρεις συναρτήσεις κόστους: = () 3 1. = 1+. = 1+ + 3. = 1+ + Να γίνουν τα γραφήματά του μέσου μεταβλητού κόστους και του μέσου κόστους στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων για την κάθε συνάρτηση. AV= V() /, A= () / 7 Θεωρούμε τις παρακάτω τρεις συναρτήσεις κόστους: = () 3 1. = 1+. = 1+ + 3. = 1+ + Να βρεθούν οι αντίστοιχες συναρτήσεις οριακού κόστους, μέσου μεταβλητού κόστους, και μέσου κόστους: M= (), AV= V() /, A= () / και να γίνουν τα γραφήματά τους, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων για την κάθε συνάρτηση. 8 Θεωρούμε τις παρακάτω τρεις συναρτήσεις κόστους: = () 3 1. = 1+. = 1+ + 3. = 1+ + Υποθέτοντας συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού, να βρεθούν σε κάθε περίπτωση η ελάχιστη συμφέρουσα τιμή και η εξίσωση προσφοράς του προϊόντος 9 Θεωρούμε τις παρακάτω τρεις συναρτήσεις κόστους: = () 3 1. = 1+. = 1+ + 3. = 1+ + Υποθέτοντας συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού, να βρεθούν σε κάθε περίπτωση: 1. Η ελάχιστη συμφέρουσα τιμή. Η ελάχιστη κερδοφόρα τιμή
30 Θεωρούμε τις παρακάτω τρεις συναρτήσεις κόστους: = () 3 1. = 1+. = 1+ + 3. = 1+ + Υποθέτοντας συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού, να βρεθούν σε κάθε περίπτωση 1. Η ελάχιστη συμφέρουσα τιμή. Η εξίσωση προσφοράς του προϊόντος, και το σχετικό γράφημα. 31 Για τρεις συναρτήσεις κόστους: = (), δίνουμε παρακάτω τα γραφήματα οριακού μέσου μεταβλητού και μέσου κόστους. Υποθέτοντας συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού, να βρεθούν σε κάθε περίπτωση, γραφικά: 1 1. Η ελάχιστη συμφέρουσα τιμή p 0, και η εξίσωση προσφοράς: p= S (q). H ελάχιστη κερδοφόρα τιμή p 1 M A M A A AV AV M= AV 3 Χρησιμοποιώντας εργασία L, μια επιχείρηση παράγει ένα προιόν σε ποσότητα: = ln(1+ L), με κόστος: = wl. Το προιόν διατίθεται στην αγορά με τιμή μονάδος: p= 1. Η επιχείρηση λειτουργεί μεγιστοποιώντας το κέρδος, μόνο εφόσον είναι θετικό. Να βρεθούν τα παρακάτω: α) Η συνθήκη υπό την οποία θα υπάρξει παραγωγή. β) Το κέρδος π ως συνάρτηση του μοναδιαίου κόστους εργασίας w. Να διερευνηθούν οι ιδιότητες μονοτονίας και κυρτότητας αυτής της συνάρτησης και να γίνει το γράφημά της.