E1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ Ι

Transcript

1 E. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ Ι.Κόστος.Παραγωγή 3.Χρησιµότητα 4.Ζήτηση-Προσφορά 5.Φόρος. Κόστος Θεωρούµε ότι το κόστος παραγωγής (cost) ενός προιόντος είναι συνάρτηση της ποσότητας παραγωγής (production) : = () µε () d Για κάθε ποσότητα παραγωγής, το µέσο κόστος (average cost) d και το οριακό κόστος (marginal cost) ορίζονται µε τα µεγέθη: d A=, M= = : d Γραφικά παριστάνονται µε την κλίση της ακτίνας και της εφαπτόµενης αντίστοιχα, όπως στο γράφηµα. Η συνάρτηση κόστους αποτελείται από το σταθερό κόστος (fixed cost) F και το µεταβλητό κόστος (variable cost) V. Το άθροισµα των δύο δίνει το κόστος που ενίοτε καλείται και συνολικό κόστος (total cost) T. Παρατήρηση. Για ευκολία θα υποθέτουµε ότι το σταθερό κόστος υπάρχει και χωρίς παραγωγή, οπότε θα έχουµε: F= () και η συνάρτηση κόστους θα είναι συνεχής όπως στο πρώτο γράφηµα παραπλεύρως. Αντίθετα, αν το σταθερό κόστος V εµφανίζεται µόνο µε την παραγωγή, τότε η συνάρτηση κόστους θα F F είναι µη συνεχής όπως στο δεύτερο γράφηµα, µε F= lim (), () = Στις εφαρµογές, συνήθως συνυπάρχουν και οι δύο µορφές σταθερού κόστους. Το µέσο µεταβλητό κόστος (average variable cost) ορίζεται µε τον τύπο: V() F AV=, οπότε έχουµε: A= AV+ ίνεται από την κλίση της χορδής όπως στο πρώτο γράφηµα παραπάνω, δηλαδή αγνοώντας το σταθερό κόστος. Παρατήρηση. Το οριακό µεταβλητό κόστος συµπίπτει µε το οριακό κόστος διότι οι δύο συναρτήσεις διαφέρουν κατά µια σταθερά. Ιδιότητες της συνάρτησης κόστους. Η συνάρτηση κόστους έχει συνήθως τα παρακάτω χαρακτηριστικά:. Ως προς την µονοτονία είναι γνήσια αύξουσα, µε γνήσια θετικό οριακό κόστος: >, µε µη µηδενικό σταθερό κόστος: F= () >. Ως προς την κυρτότητα είναι κυρτή:, δηλαδή έχει αύξον οριακό κόστος, τουλάχιστον τελικά, δηλαδή για µεγάλες ποσότητες παραγωγής. Ειδικότερα, µπορεί να είναι: α) γραµµική µε σταθερό οριακό κόστος: = όπως στο πρώτο γράφηµα παρακάτω β) γνήσια κυρτή µε γνήσια αύξον οριακό κόστος: > όπως στο δεύτερο γράφηµα. γ) αρχικά γνήσια κοίλη µε γνήσια φθίνον οριακό κόστος: <, και τελικά κυρτή, όπως στο τρίτο γράφηµα. Στο επόµενο σχήµα δίνουµε τα γραφήµατα τριών τυπικών συναρτήσεων κόστους. Κάτω από το καθένα δίνουµε και τα αντίστοιχα γραφήµατα των συναρτήσεων µέσου, µέσου µεταβλητού και οριακού κόστους. Λέµε ότι σε κάποια επίπεδα παραγωγής έχουµε οικονοµίες κλίµακας (economies of scale) αν το µέσο κόστος είναι γνήσια φθίνον. Στην πρώτη συνάρτηση αυτό ισχύει πάντοτε ενώ στις επόµενες δύο ισχύει µόνο αρχικά µέχρι κάποιο επίπεδο παραγωγής όπου το µέσο κόστος παίρνει την ελάχιστη τιµή και στη συνέχεια γίνεται αύξον. Στις δύο πρώτες συναρτήσεις οι οικονοµίες κλίµακας οφείλονται στην ύπαρξη του σταθερού αρχικού κόστους το οποίο διαµοιράζεται στην παραγωγή ρίχνοντας το µέσο κόστος, ενώ στην τρίτη συνάρτηση οφείλεται και στο φαινόµενο του αρχικά φθίνοντος οριακού κόστους οπότε θα υπήρχε ακόµη και χωρίς σταθερό κόστος.

2 Εφαρµογές στα Οικονοµικά Ιδιότητες µέσου κόστους. Το µέσο κόστος ελαττώνεται γνήσια οπότε και έχουµε οικονοµίες κλίµακας, όταν το οριακό κόστος είναι γνήσια µικρότερο από το µέσο κόστος, και αυξάνει γνήσια όταν είναι γνήσια µεγαλύτερο. Ειδικότερα:. Σε εσωτερικό γνήσιο ελάχιστο του µέσου κόστους το οριακό κόστος συµπίπτει µε το µέσο κόστος, διασχίζοντας το από κάτω προς τα πάνω. 3. Οι παραπάνω ιδιότητες ισχύουν και για το µέσο µεταβλητό κόστος. Απόδειξη. Είναι άµεση συνέπεια του παρακάτω τύπου για την παράγωγο του µέσου κόστους ως προς : = = < < Οι ιδιότητες αυτές επαληθεύονται στα παρακάτω γραφήµατα, όπου σηµειώνουµε µε {,, } το ελάχιστο του µέσου κόστους του µέσου µεταβλητού και του οριακού, αντίστοιχα. = F+ = F+ + = F+ + συναρτήσεις κόστους 3 M A M A A AV AV M= AV = M A= F / + M= + A= F / + + M= + 3 A= F / + + AV= AV= + AV= + συναρτήσεις οριακού µέσου και µέσου µεταβλητού κόστους Παράδειγµα. Υποθέτουµε ότι µια ποσότητα προϊόντος µπορεί να παραχθεί µε δύο διαφορετικές διαδικασίες, µε αντίστοιχο κόστος: = w, = F+ w, όπου w < w Στη δεύτερη περίπτωση έχουµε µικρότερο οριακό κόστος, αλλά έχουµε επιπλέον κάποιο σταθερό κόστος. Αν για κάθε επίπεδο παραγωγής επιλέγουµε τη διαδικασία µε το µικρότερο κόστος, η συνάρτηση κόστους θα ορίζεται τµηµατικά, µε τη σχέση: w αν w w + F F / (w w ) () = min{, } = w + Fαν w w + F F / (w w ) w M= A A = () w M Είναι κοίλη αντί κυρτής, ως min γραµµικών συναρτήσεων. Επίσης εµφανίζει οικονοµίες κλίµακας στις µεγάλες ποσότητες παραγωγής, όπως διαπιστώνουµε στο δεύτερο γράφηµα παραπάνω.

3 Ε ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ I 3 Παράδειγµα. Μια επιχείρηση εκτελεί παραγγελία ποσότητας µε κόστος: = () Αν έχει δύο παραγγελίες: {, }, τότε το µέσο κόστος ανά παραγγελία είναι: = [( ) + ( )] / Αν οι παραγγελίες ήταν σταθερές ίσες µε το µέσο όρο των παραπάνω, τότε θα είχε κόστος ανά παραγγελία: () µε = (+ ) / Παρατηρούµε ότι: Αν η συνάρτηση κόστους είναι κυρτή, τότε η κυµαινόµενη παραγωγή έχει µεγαλύτερο µέσο κόστος από τη σταθερή ενδιάµεση παραγωγή. () Το αντίθετο συµβαίνει αν η συνάρτηση κόστους είναι κοίλη. Απόδειξη. Σύµφωνα µε την χαρακτηριστική γραφική ιδιότητα των κυρτών συναρτήσεων η καµπύλη της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από την χορδή, οπότε έχουµε: () = + ( ) + ( ) = Παρατήρηση. Χρησιµοποιώντας την γενική ιδιότητα των κυρτών συναρτήσεων: (t + t ) t( ) + t( ) για t, t, t + t = αποδεικνύεται, π.χ. επαγωγικά ως προς τον αριθµό των παραγγελιών, ότι το παραπάνω αποτέλεσµα ισχύει για οιοδήποτε αριθµό παραγγελιών.. Παραγωγή Η αντίστροφη της συνάρτησης κόστους καλείται συνάρτηση παραγωγής (production function): = () Συνήθως είναι µηδενική πριν από ένα επίπεδο δαπάνης που αντιστοιχεί στο σταθερό κόστος. Σε κάθε συνάρτηση παραγωγής αντιστοιχούν και τα µεγέθη: = () d A= () /, µέσο προϊόν (average product) F M= (), οριακό προϊόν (marginal product) Γραφικά, ορίζονται από την κλίση της ακτίνας και της εφαπτοµένης αντίστοιχα, στα διάφορα σηµεία της καµπύλης παραγωγής, όπως στο παραπάνω γράφηµα. Λόγω της σχέσης αντιστροφής µεταξύ της συνάρτησης κόστους και της συνάρτησης παραγωγής, το µέσο προϊόν και το οριακό προϊόν είναι τα ανάστροφα του µέσου κόστους και του οριακού κόστους αντίστοιχα, για τα ίδια επίπεδα παραγωγήςκόστους {,} : A= / A, M= / M Ιδιότητες της συνάρτησης παραγωγής Η συνάρτηση παραγωγής έχει συνήθως τις παρακάτω ιδιότητες µονοτονίας και κυρτότητας:. Ως προς την µονοτονία, είναι µηδενική πριν από ένα επίπεδο δαπάνης που αντιστοιχεί στο σταθερό κόστος, και στη συνέχεια είναι γνήσια αύξουσα µε γνήσια θετικό οριακό προϊόν: >.. Παραβλέποντας το αρχικό κοµµάτι, ως προς την κυρτότητα είναι κοίλη:, δηλαδή έχει φθίνον οριακό προϊόν. Ειδικότερα, µπορεί να είναι γραµµική µε σταθερό οριακό προϊόν: = όπως στο πρώτο γράφηµα παρακάτω, ή γνήσια κοίλη µε γνήσια φθίνον οριακό προϊόν: < όπως στο δεύτερο γράφηµα. Σε ορισµένες περιπτώσεις µπορεί να έχει ένα αρχικό τµήµα όπου είναι γνήσια κυρτή: > πριν τελικά γίνει κοίλη, όπως στο τρίτο γράφηµα Οι αντίστροφες των συναρτήσεων κόστους που δώσαµε σε προηγούµενο γράφηµα µας δίνουν τις αντίστοιχες συναρτήσεις παραγωγής µε τα παρακάτω γραφήµατα. Βρίσκονται παίρνοντας τα συµµετρικά ως προς την διαγώνιο. Αναλυτικά, η δεύτερη και η τρίτη δίνονται σε πλεγµένη µορφή. Σε όλες τις περιπτώσεις η παραγωγή αρχίζει µετά από κάποιο επίπεδο δαπάνης που αντιστοιχεί στο σταθερό κόστος F. ίνουµε και τα γραφήµατα των αντίστοιχων συναρτήσεων µέσου προϊόντος και οριακού προϊόντος. d 3

4 Εφαρµογές στα Οικονοµικά Παρατήρηση. Σε επόµενο κεφάλαιο θα εξετάσουµε την παραγωγή ως συνάρτηση των συντελεστών παραγωγής. Στην απλούστερη περίπτωση µπορεί να έχουµε την παραγωγή ως συνάρτηση ενός µόνο συντελεστή παραγωγής, π.χ. της εργασίας (Labor) L, στη µορφή: = (L) θεωρώντας τους υπόλοιπους συντελεστές σταθερούς. Οι συναρτήσεις αυτές έχουν γενικά τις ίδιες ιδιότητες µε τις συναρτήσεις παραγωγής που εξετάσαµε παραπάνω. Εξάλλου στην απλούστερη περίπτωση µπορούµε να κάνουµε αλλαγή µεταβλητής: L, υποθέτοντας το κόστος αύξουσα συνάρτηση της εργασίας.. = F + + F= συναρτήσεις παραγωγής συναρτήσεις οριακού και µέσου προϊόντος F= 3. Χρησιµότητα Τα παραπάνω αφορούν την παραγωγή. Θεωρούµε τώρα το άλλο σκέλος της οικονοµίας που είναι η κατανάλωση. Σένα πρώτο επίπεδο η θεωρία της κατανάλωσης παρουσιάζει αντιστοιχίες µε την θεωρία παραγωγής, όπου θεωρούµε ότι η κατανάλωση (consumption) X µε την γενική έννοια της δαπάνης ή ειδικότερα της κατανάλωσης µιας ποσότητας κάποιου αγαθού, παράγει χρησιµότητα (utility) U. Η σχέση µεταξύ των µεγεθών {X,U} εκφράζεται µε µια συνάρτηση χρησιµότητας (utility function): U= U(Χ) Ο βασικός ρόλος της είναι να ορίζει καταρχήν µια διάταξη προτίµησης (preference ordering) στο σύνολο {X} οπότε µας ενδιαφέρουν οι ιδιότητες µονοτονίας. Συνήθως είναι γνήσια αύξουσα αλλά µπορεί να έχει και διαστήµατα αδιαφορίας όπου η τιµή της είναι σταθερή ή ακόµη και σηµείο κορεσµού µετά το οποίο γίνεται φθίνουσα. ύο συναρτήσεις χρησιµότητας ορίζουν την ίδια διάταξη προτίµησης αν είναι διατακτικά ή µονότονα ισοδύναµες (order equivalent) όπου η κάθε µία είναι γνήσια αύξων µετασχηµατισµός της άλλης: V= V(U) µε V (U) > Η συνάρτηση χρησιµότητας µπορεί να έχει και αρνητικές τιµές. Εξάλλου συνήθως ποσοτικοποιείται όχι η ίδια η χρησιµότητα αλλά η διαφορά της από κάποια κατανάλωση αναφοράς. Έτσι, η διαφορά: U(Χ) U(Χ ) A M M µπορεί να εκφράζει την προτίµηση του Χ ως προς το Χ, στη µορφή του επιπλέον ποσού ή προσπάθειας ή και ρίσκου που είναι διατεθειµένος να καταβάλει ένας καταναλωτής για να αποκτήσει την επιπλέον ποσότητα αν Χ> Χ, ή να εισπράξει για να συµβιβαστεί µε τη µικρότερη ποσότητα αν Χ< Χ οπότε και θα έχει αρνητική τιµή. Π.χ. η διαφορά: U(X) U() εκφράζει την πρόσθετη χρησιµότητα που αντλεί ο καταναλωτής από την ποσότητα κατανάλωσης Χ σε σχέση µε την µη κατανάλωση. εδοµένου ότι η µονάδα µέτρησης και η κατανάλωση αναφοράς ορίζονται A M A 4

5 Ε ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ I 5 συµβατικά, δύο συναρτήσεις χρησιµότητας σ αυτό το πλαίσιο θα είναι γραµµικά ισοδύναµες (linearly equivalent) αν η µια είναι αύξων γραµµικός µετασχηµατισµός της άλλης: V= αu+ β µε α> Π.χ. οι παρακάτω συναρτήσεις χρησιµότητας είναι διατακτικά ισοδύναµες. Η η και η 4η είναι γραµµικά ισοδύναµες µεταξύ τους. Η η και η 3η παίρνουν και αρνητικές τιµές: Χ, + Χ, Χ, lnχ, ln( + Χ) Σηµαντική είναι επίσης και η έννοια της οριακής χρησιµότητας (marginal utility) που δίνεται από την παράγωγο της συνάρτησης χρησιµότητας: U (Χ) Εκφράζει την πρόσθετη χρησιµότητα µιας επιπλέον µονάδας του αγαθού της κατανάλωσης, οριακά. 4. Ζήτηση-Προσφορά Θεωρούµε τώρα µια αγορά στην οποία έχουµε παραγωγή και κατανάλωση στη µορφή προσφοράς και ζήτησης ενός αγαθού. Η συνολική ζήτηση για ένα αγαθό χαρακτηρίζεται από την ποσότητα ζήτησης: και από την µοναδιαία τιµή:. Γενικά υπάρχει µία σχέση µεταξύ των δύο µεγεθών, η οποία παριστάνεται µε µια συνάρτηση ζήτησης (demand function): = () Θα ασχοληθούµε µόνο µε κανονικά αγαθά (normal goods) για τα οποία η συνάρτηση ζήτησης είναι σταθερή ή γνήσια φθίνουσα. Συνήθως παριστάνουµε την συνάρτηση ζήτησης µε τον άξονα οριζόντιο οπότε το γράφηµα που προκύπτει είναι αυτό της αντίστροφης συνάρτησης ζήτησης (inverse demand function): = () Από τη µεριά της συνολικής προσφοράς υπάρχει επίσης µια σχέση µεταξύ της µοναδιαίας τιµής και της προσφερόµενης ποσότητας η οποία εκφράζεται τώρα µε µια συνάρτηση προσφοράς (supply function): = () Συνήθως είναι γνήσια αύξουσα, αλλά µπορεί να είναι και σταθερή, ή ακόµη και γνήσια φθίνουσα σε πολύ ειδικές περιπτώσεις. Όπως και για τη συνάρτηση ζήτησης το γράφηµά της παριστάνεται συνήθως µε τον άξονα οριζόντιο οπότε το γράφηµα που προκύπτει είναι αυτό της αντίστροφης συνάρτησης προσφοράς (inverse supply function): = () Παρατήρηση. Αν η ζήτηση είναι σταθερή ανεξάρτητα της τιµής τότε το γράφηµα της αντίστροφης συνάρτησης είναι κατακόρυφη ευθεία και λέµε ότι η ζήτηση είναι πλήρως ανελαστική (perfectly inelastic). Αντίθετα αν η τιµή είναι σταθερή ανεξάρτητα της ζήτησης τότε το γράφηµα είναι οριζόντια ευθεία και λέµε ότι η ζήτηση είναι πλήρως ελαστική. Αντίστοιχη ορολογία χρησιµοποιούµε για την προσφορά. Ένα ζεύγος ζήτησης-προσφοράς, δίνει δύο καµπύλες στο επίπεδο των {,}. Η τοµή τους καθορίζει την ποσότητα και την τιµή ισορροπίας της αγοράς (market equilibrium). Βρίσκονται λύνοντας το παρακάτω σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους: = () = () ή (, ) = () = () Έτσι, στην ισορροπία η ποσότητα ζήτησης συµπίπτει µε την ποσότητα προσφοράς, και η τιµή του καταναλωτή συµπίπτει µε την τιµή του παραγωγού. Στην ισορροπία οι καταναλωτές και οι προµηθευτές αντιµετωπίζουν την ίδια τιµή και την ίδια ποσότητα, οπότε και το κόστος της κατανάλωσης συµπίπτει µε το έσοδο της παραγωγής, και δίνεται από το εµβαδόν του παραλληλογράµµου, όπως στο παρακάτω σχήµα: E = Παράδειγµα. Θεωρούµε τις παρακάτω γραµµικές συναρτήσεις ζήτησηςπροσφοράς, µε όλους τους συντελεστές θετικούς: α /β α γ : = α β =, : = γ+ δ = + β β δ δ Η ποσότητα και η τιµή ισορροπίας βρίσκονται ως λύσεις του συστήµατος: γ /δ : = α β α+ γ αδ βγ =, = : = γ+ δ β+ δ β+ δ 5

6 Εφαρµογές στα Οικονοµικά Για να έχουµε ισορροπία, δηλαδή για να τέµνονται οι καµπύλες στη θετική περιοχή και τα παραπάνω µεγέθη να είναι θετικά, πρέπει η µέγιστη τιµή ζήτησης να είναι µεγαλύτερη από την ελάχιστη τιµή προσφοράς: αδ> βγ α /β> γ /δ 6

7 Ε ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ I 7 5. Φόρος Αν επιβληθεί φορολογία τότε η αγορά καταλήγει σε µια νέα ισορροπία, στην οποία η ποσότητα ζήτησης είναι πάλι ίδια µε την ποσότητα προσφοράς αλλά τώρα οι τιµές είναι διαφορετικές, οπότε θα έχουµε τρεις µεταβλητές:, {, } Σε κάθε περίπτωση η φορολογία µπορεί να επιβληθεί είτε στην κατανάλωση είτε στην παραγωγή. ιακρίνουµε δύο ειδών φόρους:. Φόρος στην αξία (ad valorem, value tax). Είναι ο συνήθης ποσοστιαίος φόρος στην τιµή. Με συντελεστή φορολογίας t (ποσοστιαίο φόρο: %T= t ), οι τιµές θα συνδέονται µε τη σχέση: = + t = (+ t) για φόρο στην κατανάλωση s = t = /( t) για φόρο στην παραγωγή Στην πρώτη περίπτωση ο φόρος προστίθεται στην τιµή του προµηθευτή ενώ στη δεύτερη αφαιρείται από την τιµή του καταναλωτή. Υπολογιστικά, οι δύο περιπτώσεις δεν διαφέρουν πολύ διότι το t είναι µικρό δεκαδικό, οπότε έχουµε την γνωστή γραµµική προσέγγιση: t t +. Φόρος στην ποσότητα (quantity tax). Επιβάλλεται µοναδιαίος φόρος T, δηλαδή φόρος ανά µονάδα προϊόντος, όπως γίνεται συνήθως στα καύσιµα ή στον καπνό, οπότε οι τιµές συνδέονται µε τη σχέση: = T Τώρα οι δύο περιπτώσεις είναι ακριβώς ίδιες. εν παίζει ρόλο αν ο φόρος προστεθεί στην παραγωγή ή αφαιρεθεί από την κατανάλωση. Υποθέτοντας για ευκολία ότι έχουµε φόρο στην ποσότητα, η ισορροπία θα καθορίζεται από τα συστήµατα εξισώσεων: = () = () = T Το παραπάνω σύστηµα καθορίζει πλεγµένα τα νέα µεγέθη ισορροπίας:,, Για την γραφική παρουσίαση θα αντικαταστήσουµε το από την τρίτη εξίσωση, οπότε θα έχουµε τελικά δύο εξισώσεις για τις µεταβλητές: {, }. Παριστάνοντας την τιµή προσφοράς µε: = : προ φόρου τιµή, καταλήγουµε στο σύστηµα: = () T = () Όπως φαίνεται στο πρώτο γράφηµα παρακάτω η νέα ισορροπία βρίσκεται µετατοπίζοντας την καµπύλη της αντίστροφης συνάρτησης ζήτησης προς τα κάτω κατά τον όρο T. Τώρα σε κάθε τιµή = η ζήτηση είναι µικρότερη από προηγουµένως διότι στην πραγµατικότητα η κατανάλωση αντιµετωπίζει µεγαλύτερη τιµή. Σε κάθε περίπτωση µετά την επιβολή φόρου, η τιµή ισορροπίας του καταναλωτή µεγαλώνει και του παραγωγού µικραίνει, όπως φαίνεται στο πρώτο γράφηµα παρακάτω, όπου για ευκολία χρησιµοποιήσαµε γραµµικές συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς. Στο ίδιο σχήµα διακρίνουµε και τα εξής µεγέθη ως εµβαδά παραλληλογράµµων:. E =, δαπάνη καταναλωτή και έσοδο παραγωγού χωρίς φόρο.. E =, δαπάνη καταναλωτή µε φόρο 3. E =, έσοδο παραγωγού µε φόρο Φ= E E, συνολικός φόρος (σκιαγραφηµένο τµήµα). 4. 7

8 Εφαρµογές στα Οικονοµικά Παρατήρηση. Στο δεύτερο γράφηµα παρακάτω δίνουµε την λύση στην περίπτωση που έχουµε φόρο στην αξία. Με τις ίδιες αντικαταστάσεις βρίσκουµε ότι τώρα πολλαπλασιάζουµε την καµπύλη ζήτησης µε τον συντελεστή /(+ t) : = () = (+ t) = () = () /(+ t), όπου: = = () Φ T Φ φόρος στην ποσότητα φόρος στην αξία Παράδειγµα. Θεωρούµε γραµµικές συναρτήσεις ζήτησης/προσφοράς: : = α β, : = γ+ δ, µε α/β> γ /δ όπου υποθέτουµε ότι όλοι οι συντελεστές είναι θετικοί. Με επιβολή µοναδιαίου φόρου ποσότητας T, η ποσότητα και η προ φόρου τιµή στην ισορροπία θα ικανοποιούν το σύστηµα: = α β = α β( + T) α+ γ βt = γ+ δ = = γ+ δ β+ δ β+ δ = + T Βρίσκουµε τα παρακάτω µεγέθη ως συναρτήσεις του T, επαληθεύοντας όλες τις ιδιότητες: α+ γ βt α+ γ δt. = =, = + T= + β + δ β + δ β + δ β + δ αδ βγ βδt αδ βγ βδ βδ α γ. = γ+ δ = Φ= T= T T = T T β+ δ β+ δ β+ δ β+ δ β+ δ δ δ Όταν ο φόρος T είναι µικρός τότε το φορολογικό έσοδο Φ είναι µικρό διότι το έσοδο ανά µονάδα προιόντος είναι µικρό. Όταν ο φόρος είναι µεγάλος τότε το έσοδο είναι πάλι µικρό αλλά τώρα διότι η διακινούµενη ποσότητα είναι µικρή. Ενδιάµεσα έχουµε µέγιστο φορολογικό έσοδο όταν: αδ βγ α γ Φɺ = T = = βδ β δ Φ(T) όπου µε πάνω τελεία παριστάνουµε παραγώγιση ως προς την παράµετρο T. Είναι το ενδιάµεσο µεταξύ της µέγιστης τιµής = α /β για να υπάρξει T ζήτηση, και της ελάχιστης τιµής = γ / δ για να υπάρξει προσφορά. Έτσι: αύξηση του φόρου T θα προκαλέσει µείωση του φορολογικού εσόδου Φ αν το T είναι µεγαλύτερο από την παραπάνω κρίσιµη τιµή T. 8