ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 24 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες Θεωρία. 2 (4 µονάδες)

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 4 ιάρκεια εξέτασης: ώρες Θεωρία (4 µονάδες) (α) Μια συνάρτηση f() έχει την παράγωγο του f () γραφήµατος παραπλεύρως. Να βρεθεί η µέγιστη τιµή της για, υποθέτοντας f() =.5 (β) Να βρεθούν η γραµµική και η παραβολική προσέγγιση της συνάρτησης f() = ( ) στο σηµείο =. (γ) Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση f() = είναι κοίλη και να βρεθεί η ελάχιστη τιµή της στο διάστηµα: 4. (δ) Να γίνει το γράφηµα και να υπολογιστεί το εµβαδό της περιοχής που βρίσκεται µεταξύ του θετικού y ηµιάξονα, και των καµπύλων των συναρτήσεων: {f() =, g() = / } (4 µονάδες) (α) Τα µεγέθη {,y}συνδέονται µε την εξίσωση: + y = 9. Για ( =,y = ) να υπολογιστεί η παράγωγος και η y ελαστικότητα του ως προς y. (β) Στο γράφηµα παραπλεύρως δίνονται δύο ισοσταθµικές µιας συνάρτησης f(, y). Να εκτιµηθεί η µερική παράγωγος y f = 6 f = 4 σηµείο (γ) Να βρεθούν και να χαρακτηριστούν τα (ελεύθερα) στάσιµα της συνάρτησης: f(, y) = y y, στη θετική περιοχή: {, y } (δ). Να βρεθεί η λύση του προβλήµατος περιορισµένης βελτιστοποίησης: min{+ y + y = 5}, στη θετική περιοχή: {, y } Εφαρµογές. ( µονάδa) Θεωρούµε το πρόβληµα µεγιστοποίησης χρησιµότητας U στην κατανάλωση δύο αγαθών σε ποσότητες {X,Y}, µε δοσµένες µοναδιαίες τιµές {v,w} και δοσµένη δαπάνη c : ma{u= X+ Y C= vx+ wy= c} {X,Y} α) Να βρεθεί η λύση {,y} γραφικά και αναλυτικά. β) Να διερευνηθούν και να ερµηνευτούν οι ιδιότητες οµογένειας της λύσης ως προς τις παραµέτρους {v,w,c}. γ) Να διαπιστωθεί ότι ο λόγος συµµετοχών των δύο αγαθών στη δαπάνη: v / wy, εξαρτάται µόνο από το λόγο των µοναδιαίων τιµών: v / w. Να υπολογιστεί και να ερµηνευτεί η αντίστοιχη ελαστικότητα. 4.( µονάδα) Σε µια οικονοµία, θεωρούµε την εξέλιξη σε συνεχή χρόνο t του εθνικού εισοδήµατος (ΑΕΠ): Y= Y(t) και του δηµόσιου χρέους ( Χ): D= D(t). Υποθέτουµε ότι:. Το ΑΕΠ αυξάνει µε σταθερό ετήσιο ρυθµό 4%, οπότε έχουµε: Y =.4Y. Το Χ αυξάνει λόγω ελλειµµάτων σε σταθερό ποσοστό % του ΑΕΠ και λόγω τόκων µε σταθερό επιτόκιο %, οπότε έχουµε: D =.Y+.D α). Να διαπιστωθεί ότι το Χ ως ποσοστό του ΑΕΠ: S σύµφωνα µε την διαφορική εξίσωση: S =.S+. β). Να διερευνηθεί αν το Χ, ως ποσοστό του ΑΕΠ, θα αυξάνει ή θα ελαττώνεται στο χρόνο, υποθέτοντας ότι αρχικά αντιστοιχεί στο %. ΤΕΛΟΣ = D / Y, εξελίσσεται στο χρόνο

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιάρκεια εξέτασης: ώρες Θεωρία (4 µονάδες) (α) Μια συνάρτηση f() έχει την παράγωγο του γραφήµατος παραπλεύρως. Να βρεθεί η µέγιστη τιµή της για, υποθέτοντας f() =.5 Λύση. Η συνάρτηση είναι αύξουσα µέχρι το σταθερή. Εποµένως το µέγιστό της βρίσκεται στο στο αρχικό f() =.5 το ολοκλήρωµα της f () εµβαδόν του τριγώνου: E= / = Εποµένως η µέγιστη τιµή της f() είναι f =.5+ =.5 ιαγώνισµα 4. ΛΥΣΕΙΣ =, στη συνέχεια είναι φθίνουσα και µετά =. Η τιµή του βρίσκεται προσθέτοντας στο διάστηµα [,] που δίνεται από το (β) Να βρεθούν η γραµµική και η παραβολική προσέγγιση της συνάρτησης f() = ( ) στο σηµείο =. Λύση. {Περιλήψεις: κεφ., άσκ. 5(α)}. Υπολογίζουµε τις τιµές της ης και της ης παραγώγου στο σηµείο: f() = ( ) {f () = ( ),f () = ( ) } {f() =, f () =, f () = } Γραµµική προσέγγιση: f() f() + f () = + Παραβολική προσέγγιση: f() f() + f ()+ f () = + + (γ) Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση f() = είναι κοίλη και να βρεθεί η ελάχιστη τιµή της στο διάστηµα: 4. Λύση. {Περιλήψεις: κεφ. 4, άσκ. } Είναι (γνήσια) κοίλη ως άθροισµα (γνήσια) κοίλης µε γραµµική κοίλη. Εξάλλου έχει η παράγωγο (γνήσια) αρνητική: / / / f() = f () = f () = / < Επειδή είναι κοίλη το ελάχιστο θα βρίσκεται υποχρεωτικά στο σύνορο, όπου έχουµε: f() = f(4) =. Εποµένως η ελάχιστη τιµή είναι min f =. (δ) Να γίνει το γράφηµα και να υπολογιστεί το εµβαδό της περιοχής που βρίσκεται µεταξύ του θετικού y ηµιάξονα, και των καµπύλων των συναρτήσεων: {f() =, g() = / } Λύση. {Περιλήψεις: κεφ. 5, άσκ. (β)} Οι δύο καµπύλες τέµνονται στο: = / =, και το εµβαδό δίνεται από το ολοκλήρωµα της διαφοράς των δύο συναρτήσεων στο διάστηµα [,] : / E = ( )d= d d / = ( ) ( ) = = =.5 f () /

3 (4 µονάδες) (α) Τα µεγέθη {,y}συνδέονται µε την εξίσωση: + y = 9. Για ( =,y = ) να υπολογιστεί η παράγωγος και η ελαστικότητα του ως προς y. Λύση. {Περιλήψεις: κεφ.7, άσκ.4} Θα βρούµε την παράγωγο µε πλεγµένη παραγώγιση ως προς y, θεωρώντας το συνάρτηση του y : + y = 9 + ( y + y ) = = = 6 / 5=. Εναλλακτικά µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τον τύπο πλεγµένης παραγώγου: d fy y f(, y) = + y = 9 = = = =. dy f + y y (.) Υπολογίζουµε και την ελαστικότητα από τον τύπο: Ey= = =.4 (β) Στο γράφηµα παραπλεύρως δίνονται δύο ισοσταθµικές µιας συνάρτησης f(,y). Να εκτιµηθεί η µερική παράγωγος f στο σηµείο. Λύση. {Περιλήψεις: κεφ.8, άσκ.6.} Μεταβάλλοντας µόνο το y, πηγαίνουµε από το σηµείο στο σηµείο, και βρίσκουµε: yf = f() f() = 4 6= yf fy = = y= y y y 5.5 = 4.5 (γ) Να βρεθούν και να χαρακτηριστούν τα (ελεύθερα) στάσιµα της συνάρτησης: f(, y) = y y, στη θετική περιοχή: {, y } Λύση. {Περιλήψεις: κεφ.9, παράδειγµα σελ.5} Οι εξισώσεις στασιµότητας µας δίνουν: f = y = f(, y) = y y (=, y= ) στάσιµο στη θετική περιοχή fy = = Για τον Εσσιανό πίνακα βρίσκουµε: f = y = { f =,fyy =,fy = }, = ffyy fy = < fy = = Είναι αόριστος, οπότε το στάσιµο σηµείο είναι σαγµατικό, ειδικά δεν είναι ακρότατο. (δ). Να βρεθεί η λύση του παρακάτω προβλήµατος περιορισµένης βελτιστοποίησης, κάνοντας και το σχετικό γράφηµα: min{+ y + y = 5}, στη θετική περιοχή: {, y } Λύση. {Περιλήψεις: κεφ., παράδειγµα σελ.} Από το γράφηµα διαπιστώνουµε ότι το περιορισµένο στάσιµο Γ δίνει µέγιστο. Το ελάχιστο βρίσκεται σένα από τα δύο σηµεία του συνόρου {,}, όπου η αντικειµενική συνάρτηση f(, y) = + y έχει τις τιµές: : (=, + y = 5) (=,y = 5) f() = + 5 = 5 : (y=, + y = 5) (= 5, y= ) f() = 5+ = 5 Εποµένως το περιορισµένο ελάχιστο βρίσκεται στο συνοριακό σηµείο. Εξάλλου οι ισοσταθµικές της αντικειµενικής συνάρτησης έχουν κλίση : f(, y) = + y= c y= c οπότε, όπως φαίνεται και στο γράφηµα, η µικρότερη ισοσταθµική που τέµνει την καµπύλη του περιορισµού είναι αυτή που διέρχεται από το σηµείο. y y f = 6 min f Γ f = 4

4 Εφαρµογές. ( µονάδa) Θεωρούµε το πρόβληµα µεγιστοποίησης της χρησιµότητας U στην κατανάλωση δύο αγαθών σε ποσότητες {X,Y} µε δοσµένες µοναδιαίες τιµές {v,w} και δοσµένη δαπάνη c : ma{u= X+ Y C= vx+ wy= c} {X,Y} α) Να βρεθεί η λύση {,y} γραφικά και αναλυτικά. β) Να διερευνηθούν και να ερµηνευτούν οι ιδιότητες οµογένειας της λύσης ως προς τις παραµέτρους {v,w,c}. γ) Να διαπιστωθεί ότι ο λόγος συµµετοχών στη δαπάνη: v / wy, εξαρτάται µόνο από το λόγο των µοναδιαίων τιµών: v / w. Να υπολογιστεί και να ερµηνευτεί η αντίστοιχη ελαστικότητα. Λύση α) Γραφικά η λύση δίνεται όπως στο γράφηµα παραπλεύρως. Y Παρατηρούµε ότι είναι πάντοτε εσωτερική, εποµένως περιορισµένη στάσιµη. Εφόσον δεν ζητείται ο πολλαπλασιαστής Lagrange, την βρίσκουµε και από τις εξισώσεις περιορισµένης στασιµότητας: U UX CX / X v Y v = = = Y= 4v X / w UY CY / Y w X w vx+ 4v X / w = c (,y) C= c vx+ wy= c vx+ wy= c cw 4cv =,y= είναι η λύση C= c X vw+ 4v w + 4vw β) Οι συναρτήσεις της λύσης {(v,w,c), y(v,w,c)} εκφράζουν την ζήτηση αγαθών ως συνάρτηση των τιµών τους και του διαθέσιµου εισοδήµατος για δαπάνη. Είναι αµφότερες οµογενείς βαθµού διότι παραµένουν αναλλοίωτες αν πολλαπλασιάσουµε όλες τις παραµέτρους µε τον ίδιο συντελεστή, επειδή οι όροι στους αριθµητές και στους παρονοµαστές είναι του ίδιου βαθµού. Πράγµατι έχουµε: (tc)(tw) t cw cw (tv, tw,tc) = = = = (v, w,c), και το ίδιο για το y (tv)(tw) + 4(tv) t (vw+ 4v ) vw+ 4v Σηµαίνει ότι η ζήτηση αγαθών δεν εξαρτάται από τις µονάδες µέτρησης του χρήµατος. ηλαδή δεν υπάρχει ψευδαίσθηση χρήµατος. Παρατήρηση. Ανεξάρτητα από τη λύση, το συµπέρασµα προκύπτει γενικότερα από την παρατήρηση ότι το πρόβληµα παραµένει το ίδιο αν πολλαπλασιάσουµε όλες τις παραµέτρους µε τον ίδιο συντελεστή, διότι ο περιορισµός παραµένει αµετάβλητος: (tv)x + (tw)y = (tc) vx+ wy= c γ) Για τον λόγο συµµετοχής των δύο αγαθών στη συνολική δαπάνη, βρίσκουµε: v w + 4vw w v = = = wy 4 vw+ 4v 4v 4 w Εξαρτάται µόνο από το λόγο των τιµών, και µάλιστα έχει σταθερή ελαστικότητα διότι είναι απλή δύναµη ίση µε : E v/w (v / wy) = Εποµένως αν αυξηθεί η τιµή του ενός αγαθού σε σχέση µε το άλλο κατά κάποιο ποσοστό, τότε (οριακά) η αντίστοιχη δαπάνη θα ελαττωθεί σε σχέση µε την δαπάνη στο άλλο αγαθό κατά το ίδιο αυτό ποσοστό. Υπενθυµίζουµε ότι οριακά (δηλαδή για µικρές µεταβολές) η ποσοστιαία µεταβολή ενός λόγου ισούται µε την διαφορά της ποσοστιαίας µεταβολής του παρονοµαστή από αυτή του αριθµητή. Παρατήρηση. Η παραπάνω σχέση βρίσκεται και απευθείας από την εξίσωση περιορισµένης στασιµότητας: = y = = = UX CX v w v w UY CY w y 4v wy 4v

5 4.( µονάδα) Σε µια οικονοµία, θεωρούµε την εξέλιξη σε συνεχή χρόνο t του εθνικού εισοδήµατος (ΑΕΠ): Y= Y(t) και του δηµόσιου χρέους ( Χ): D= D(t). Υποθέτουµε ότι:. Το ΑΕΠ αυξάνει µε σταθερό ετήσιο ρυθµό 4%, οπότε έχουµε: Y =.4Y. Το Χ αυξάνει λόγω ελλειµµάτων σε σταθερό ποσοστό % του ΑΕΠ και λόγω τόκων µε σταθερό επιτόκιο %, οπότε έχουµε: D =.Y+.D α). Να διαπιστωθεί ότι το Χ ως ποσοστό του ΑΕΠ: S= D / Y, εξελίσσεται στο χρόνο σύµφωνα µε την διαφορική εξίσωση: S =.S+. β). Να διερευνηθεί αν το Χ, ως ποσοστό του ΑΕΠ, θα αυξάνει ή θα ελαττώνεται στο χρόνο, υποθέτοντας ότι αρχικά αντιστοιχεί στο %. Λύση. {Εφαρµογές: κεφ.ε9, παράγραφος.7, σελ.6} α) Αρκεί να επαληθεύσουµε ότι ικανοποιείται η διαφορική εξίσωση. Αντικαθιστώντας στο αριστερό µέρος για τις παραγώγους, βρίσκουµε το ζητούµενο: D D Y DY (.Y+.D)Y D(.4Y).Y.DY S= S = = = Y Y Y Y D =.. = S+. Y Παρατήρηση. Εναλλακτικά µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την γνωστή ιδιότητα για τον σχετικό ρυθµό του λόγου. Έχουµε: Y D Y S D Y Y =.4, =. +. = = Y D D S D Y D Εποµένως: S =.. S =.S+. S S β) Το µέγεθος S ικανοποιεί µια γραµµική αυτόνοµη εξίσωση µε τιµή ισορροπίας:. S =.S+.= S = =.5. Είναι ευσταθής διότι έχει αρνητικό συντελεστή.και εποµένως το µέγεθος S(t) θα συγκλίνει µονότονα προς την τιµή ισορροπίας που αντιστοιχεί στο 5% του ΑΕΠ. Εφόσον αρχίζει µε % (δηλαδή S = ) συµπεραίνουµε ότι θα αυξάνει στο χρόνο. Παρατήρηση. Το (β) µπορεί να απαντηθεί ανεξάρτητα από την επίλυση του (α). ΤΕΛΟΣ