EIII.9 ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ

Transcript

1 EIII.9 ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ.Εισοδηματικός περιορισμός.μεγιστοποίηση χρησιμότητας 3.Γραμμική χρησιμότητα 4.Λογαριθμική χρησιμότητα τύπου C-D 5.Χρησιμότητα τύπου Leontief-min 6.Μεγιστοποίηση χρησιμότητας-κανονικές συναρτήσεις ζήτησης κατά Marshall 7.Τροχιές ανάπτυξης 8.Καμπύλη Engel-Ομοθετική χρησιμότητα 9.Καμπύλη Engel-Ημιγραμμική χρησιμότητα.λογαριθμική χρησιμότητα τύπου Stone-Geary.Μή Αγαθά.Ελαχιστοποίηση δαπάνης-αντισταθμισμένη ζήτηση κατά Hiks. Εισοδηματικός περιορισμός Υποθέτοντας ανταγωνιστικές συνθήκες στην αγορά αγαθών με την έννοια ότι οι μοναδιαίες τιμές τους είναι εξωγενώς καθορισμένες και δεν επηρεάζονται από την ζήτηση, το κόστος κατανάλωσης δύο αγαθών σε ποσότητες {,} με μοναδιαίες τιμές {v,}, θα είναι: C= v+ Αν το διαθέσιμο εισόδημα προς κατανάλωση είναι, τότε οι επιτρεπτοί συνδυασμοί κατανάλωσης είναι αυτοί που ικανοποιούν την ανισότητα: C= v+ με, Σχηματίζουν την περιοχή κατανάλωσης. Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα τα αντίστοιχα σημεία ορίζουν μια τριγωνική περιοχή του επιπέδου που είναι η κάτω σταθμική της αντίστοιχης ευθείας ισοκόστους (isoost), η οποία αποτελεί και τον εισοδηματικό περιορισμό (budget onstraint): C= v+ = Ο ρυθμός υποκατάστασης μεταξύ των αγαθών με διατήρηση του κόστους είναι σταθερός ίσος με την κλίση των ευθειών ισοκόστους: C= v+ = dc= vd+ d= d v = d εισοδηματικός περιορισμός: C= v+ Παρατήρηση. Η περιοχή κατανάλωσης έχει τις παρακάτω ιδιότητες:. Όταν αυξάνει το εισόδημα η ευθεία ισοκόστους μετατοπίζεται παράλληλα στον εαυτό της προς τα έξω. Η περιοχή κατανάλωσης μεγαλώνει όπως στο πρώτο γράφημα παραπάνω.. Όταν αυξάνει η τιμή v του αγαθού στον οριζόντιο άξονα, τότε η κλίση της μεγαλώνει καθώς περιστρέφεται περί το σημείο τομής με τον κατακόρυφο άξονα. Η περιοχή κατανάλωσης μικραίνει όπως στο δεύτερο γράφημα. 3. Όταν αυξάνει η τιμή του αγαθού στον κατακόρυφο άξονα, τότε η κλίση της μικραίνει καθώς περιστρέφεται περί το σημείο τομής με τον οριζόντιο άξονα. Η περιοχή κατανάλωσης μικραίνει όπως στο τρίτο γράφημα. Παραπάνω εξετάσαμε εισοδηματικούς περιορισμούς της μορφής: vx+ y= όπου οι τρεις παράμετροι {v,,} είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους. Σε πολλές περιπτώσεις το εισόδημα είναι σε μορφή κατοχής ποσότητας του ενός η αμφοτέρων των αγαθών οπότε εξαρτάται από τις τιμές τους. Έτσι αν υποθέσουμε ότι ο καταναλωτής κατέχει αρχικό πλούτο (initial endoment) στη μορφή ποσότητας αγαθών (x,y ) τις οποίες μπορεί να διαθέσει στις τρέχουσες τιμές, τότε ο εισοδηματικός περιορισμός θα έχει την μορφή: vx+ y= vx + y Είναι μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο (x,y ). Καθώς οι τιμές μεταβάλλονται ο εισοδηματικός περιορισμός περιστρέφεται όπως και προηγουμένως αλλά τώρα γύρω από αυτό το σταθερό σημείο. Γίνεται πιο κατακόρυφος όταν αυξάνει το v όπως στο πρώτο γράφημα παραπλεύρως, και πιο οριζόντιος όταν αυξάνει το όπως στο δεύτερο γράφημα. / v / v v (x,y ) v (x,y )

2 Παρατήρηση. Στα προβλήματα ζήτησης με αρχικές ποσότητες κατοχής, διακρίνουμε τα παρακάτω: συνολική ζήτηση (total demand) που είναι οι τελικές ποσότητες:(x,y) καθαρή ζήτηση (net demand) που είναι η διαφορά τους από τις αρχικές ποσότητες: (x x,y y ). Αν η καθαρή ζήτηση είναι θετική έχουμε αγορά, ενώ αν είναι αρνητική έχουμε πώληση. Επίσης: η συμπεριφορά της ζήτησης ως προς μεταβολές στις τιμές είναι τώρα πιο πολύπλοκη, διότι μια αύξηση στην τιμή ενός προιόντος το κάνει πιο ακριβό αλλά ταυτόχρονα αυξάνει και τον διαθέσιμο πλούτο.. Μεγιστοποίηση χρησιμότητας Θεωρούμε δύο αγαθά {,} με μοναδιαίες τιμές {v,} και υποθέτουμε ότι η κατανάλωσή τους αποφέρει χρησιμότητα U= U(, ) με δαπάνη C= v+. Το βασικό πρόβλημα βελτιστοποίησης στην κατανάλωση αφορά την μεγιστοποίηση της χρησιμότητας με περιορισμό στη δαπάνη: max{u= U(, ) C= v+ } {,} Υποθέτοντας την συνάρτηση χρησιμότητας γνήσια αύξουσα, η βέλτιστη κατανάλωση θα εξαντλήσει τον εισοδηματικό περιορισμό του κόστους και έτσι θα βρούμε την ίδια λύση αν στον περιορισμό αντικαταστήσουμε την ανισότητα με ισότητα: max{u= U(, ) C= v+ = } {,} Η λύση του προβλήματος βρίσκεται στο σημείο του εισοδηματικού περιορισμού που συναντάει την καμπύλη αδιαφορίας με την υψηλότερη χρησιμότητα. Υποθέτοντας ότι η λύση είναι εσωτερική όπως στο πρώτο γράφημα του παρακάτω σχήματος, θα είναι περιορισμένη στάσιμη: U C U v U = = U U C U ή v = C= v+ = v+ = Δηλαδή: για μέγιστη χρησιμότητα διατηρώντας σταθερή την δαπάνη, έχουμε υποκατάσταση μεταξύ των δύο αγαθών μέχρις ότου ικανοποιηθεί μια από τις παρακάτω ισοδύναμες συνθήκες. Ο ρυθμός υποκατάστασης στην χρησιμότητα είναι ίσος με τον ρυθμό υποκατάστασης στο κόστος. Οι οριακές χρησιμότητες ανά μονάδα δαπάνης για τους δύο συντελεστές είναι ίσες. Παρατήρηση. Σε ειδικές περιπτώσεις η λύση θα είναι συνοριακή. Αυτό μπορεί να συμβεί όταν οι μοναδιαίες τιμές είναι ακραίες όπως στο δεύτερο γράφημα παρακάτω ή όταν η συνάρτηση χρησιμότητας δεν είναι κανονική, όπως στο τρίτο γράφημα. Αυτό το τελευταίο εμφανίζεται όταν δύο αγαθά είναι ασύμβατα και δεν συνδυάζονται οπότε υπάρχει προτίμηση για ακραίους συνδυασμούς, παρά για ενδιάμεσους, δηλαδή υπάρχει προτίμηση για κατανάλωση μόνο του ενός ή μόνο του άλλου. Σαν συνέπεια η συνάρτηση χρησιμότητας θα έχει χαμηλότερες τιμές στους ενδιάμεσους συνδυασμούς, δηλαδή θα είναι οιονεί κυρτή αντί να είναι οιονεί κοίλη. Τώρα η στάσιμη λύση Lagrange δίνει ελάχιστη χρησιμότητα όπως στο τρίτο γράφημα και το μέγιστο θα βρίσκεται στο σύνορο όπου θα καταναλώνεται μόνο το ένα αγαθό. max min εσωτερική και συνοριακή κατανάλωση Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τη βέλτιστη κατανάλωση για τους παρακάτω τρεις χαρακτηριστικούς τύπους συνάρτησης χρησιμότητας, όπου οι συντελεστές {α,β} είναι γνήσια θετικοί:. U= α+ β, γραμμική. α β U= ln = αln + βln,λογαριθμική Cobb-Douglas (C-D) /α αν /α /β 3. U= min{/α, /β} =, Leontief-min /β αν /α /β

3 Παρατήρηση. Υπενθυμίζουμε ότι θα βρούμε τις ίδιες λύσεις (,) αν αντί των παραπάνω χρησιμοποιήσουμε διατακτικά ισοδύναμες συναρτήσεις, δηλαδή γνήσια αύξοντες μετασχηματισμούς τους. Π.χ. αντί της γραμμικής, τις συναρτήσεις: α+ β+ γ, (α+ β), ln(α+ β) αντί της λογαριθμικής C-D τις συναρτήσεις: α β α β α β s sα sβ sln,, ( ) = με s> Αυτό μας επιτρέπει να υποθέσουμε ότι στην λογαριθμική C-D οι δύο συντελεστές {α,β} αθροίζουν σε : α+ β= διότι σε κάθε περίπτωση μπορούμε να την πολλαπλασιάσουμε με s= / (α+ β). Έτσι, μπορούμε να θεωρήσουμε τους δύο συντελεστές ως βάρη όσον αφορά την προτίμηση στα δύο αγαθά. 3. Γραμμική χρησιμότητα: U= α+ β Χαρακτηρίζεται από σταθερό ρυθμό υποκατάστασης μεταξύ των αγαθών στη χρησιμότητα: d α U = α + β = u du = αd + βd = d = β Δηλαδή, α είναι η οριακή χρησιμότητα του αγαθού και β είναι η χρησιμότητα του αγαθού, και: β μονάδες του αγαθού υποκαθιστούν α μονάδες του αγαθού στην προτίμηση. Λέμε ότι τα δύο αγαθά είναι τέλεια υποκατάστατα (perfet substitutes) στην κατανάλωση. Όπως φαίνεται και στο παρακάτω γράφημα: με γραμμική χρησιμότητα η λύση θα είναι συνοριακή οπότε δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις Lagrange, αλλά μπορούμε να βρούμε τη λύση απευθείας αντικαθιστώντας από τον περιορισμό: C= v+ = Εναλλακτικά μπορούμε να βρούμε την λύση είτε γραφικά, είτε ως την κορυφή με την μεγαλύτερη χρησιμότητα. Υπολογίζουμε πρώτα την χρησιμότητα στις δύο κορυφές: : = /v, = U = α / v { } { } : =, = / U = β / Η λύση θα είναι: α β β α αν, : αν v v Συμπεραίνουμε ότι, με γραμμική χρησιμότητα: Καταναλώνουμε μόνο το αγαθό που είναι σχετικά προτιμότερο, με την έννοια ότι έχει μεγαλύτερη χρησιμότητα ανά μονάδα δαπάνης. Δηλαδή παίρνουμε υπόψη εκτός από τις οριακές χρησιμότητες: {α,β}, και τις αντίστοιχες τιμές: {v,}. 4. Λογαριθμική χρησιμότητα Cobb-Douglas (C-D): α β U= ln = αln + βln Όπως φαίνεται και στο γράφημα, οι καμπύλες αδιαφορίας είναι υπερβολικές και χαρακτηρίζονται από σταθερό ποσοστιαίο ρυθμό υποκατάστασης μεταξύ των αγαθών, ίδιο με αυτόν της συνάρτησης: α β V = οπότε έχουμε: %d α V = %dv = α(%d) + β(%d) = %d = β β% επιπλέον του αγαθού υποκαθιστά α% του αγαθού, στην προτίμηση, οριακά. Όπως φαίνεται στο γράφημα η λύση θα είναι πάντοτε εσωτερική και επομένως περιορισμένη στάσιμη. Οι εξισώσεις Lagrange μας δίνουν: U v α v = = α β U β x =, y= C= v+ = α+ β v α+ β όπου με μικρά γράμματα {x,y} παριστάνουμε τη λύση που δίνεται από τις βέλτιστες ποσότητες κατανάλωσης. Συμπεραίνουμε ότι με χρησιμότητα τύπου C-D: 3

4 . Η ζήτηση του κάθε αγαθού είναι φθίνουσα συνάρτηση της τιμής του.. Η δαπάνη για το κάθε αγαθό είναι μια σταθερή αναλογία της συνολικής δαπάνης, σε αντιστοιχία με τα βάρη στην προτίμηση: α β vx α vx=, y= = α+ β α+ β y β /α αν /α /β 5. Χρησιμότητα τύπου Leontief-min: U= min{/α, /β} = /β αν /α /β Τώρα δεν υπάρχει υποκατάσταση μεταξύ των δύο αγαθών. Τα αγαθά καταναλώνονται στη σταθερή αναλογία που δίνεται από τη σχέση: β = = α β α Οτιδήποτε περίσσευμα του ενός ή του άλλου αγαθού δεν προσφέρει επιπλέον χρησιμότητα. Λέμε ότι τα δύο αγαθά είναι τέλεια συμπληρώματα (perfet omplements) στην κατανάλωση. Αναλυτικά η λύση μπορεί να βρεθεί με αντικατάσταση χρησιμοποιώντας την τμηματικά ορισμένη συνάρτηση χρησιμότητας. Γραφικά, διαπιστώνουμε ότι η λύση βρίσκεται πάντοτε στην κορυφή όπου ο εισοδηματικός περιορισμός κόβει την παραπάνω ευθεία: α β {v+ =, = } x =, y= /α= /β α β αv+ β αv+ β Συμπεραίνουμε με χρησιμότητα τύπου Leontief:. Για το κάθε αγαθό η ζήτηση είναι φθίνουσα ως προς τις τιμές αμφοτέρων λόγω συμπληρωματικότητας.. Το ποσοστό της δαπάνης για το κάθε αγαθό αυξάνει με την τιμή του, λόγω αδυναμίας υποκατάστασης. Ειδικότερα ο λόγος των αντίστοιχων δαπανών ικανοποιεί τη σχέση: vx αv = y β 6. Μεγιστοποίηση χρησιμότητας-κανονική ζήτηση κατά Marshall Θεωρούμε το γενικό πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας με εισοδηματικό περιορισμό: max{u= U(, ) C= v+ = } {,} Στην παραπάνω γενική μορφή του προβλήματος εμφανίζονται τρεις παράμετροι {v,,} που εκφράζουν τις μοναδιαίες τιμές των αγαθών και το διαθέσιμο εισόδημα. Λύνοντας το πρόβλημα βελτιστοποίησης, π.χ. με απλή αντικατάσταση από τον περιορισμό ή με την μέθοδο Lagrange, βρίσκουμε τις βέλτιστες ποσότητες κατανάλωσης ως συναρτήσεις των παραμέτρων: x= x(v,,) κανονικές συναρτήσεις ζήτησης (κατά Marshall) y= y(v,,) Είναι οι συναρτήσεις ζήτησης των δύο αγαθών εκφρασμένες μέσω των τιμών τους και του διαθέσιμου εισοδήματος. Παρατηρούμε ότι: Οι κανονικές συναρτήσεις ζήτησης είναι ομογενείς μηδενικού βαθμού ως προς τις τρεις παραμέτρους με την έννοια ότι εξαρτώνται μόνο από τους λόγους: {v /, / }. Λέμε ότι δεν υπάρχει ψευδαίσθηση χρήματος. Απόδειξη. Για εσωτερικές λύσεις το παραπάνω συμπέρασμα είναι άμεση συνέπεια των εξισώσεων περιορισμένης στασιμότητας στις οποίες εμφανίζονται μόνο οι παραπάνω λόγοι. Γενικότερα, παρατηρούμε ότι αν πολλαπλασιάσουμε και τις τρεις παραμέτρους με τον ίδιο συντελεστή, ο περιορισμός θα μείνει ο ίδιος: v+ (tv) + (t) (t) Επομένως η λύση δεν θα μεταβληθεί, που είναι το ζητούμενο. 4

5 7. Τροχιές ανάπτυξης Στη συνέχεια θα εξετάσουμε την εξάρτηση της ζήτησης των συντελεστών από τις παραμέτρους. Καθώς μια από τις παραμέτρους {v,,} μεταβάλλεται, η ευθεία του εισοδηματικού περιορισμού μετακινείται και ο καταναλωτής αντιμετωπίζει καινούργιους συνδυασμούς αγαθών μεταξύ των οποίων καλείται να επιλέξει αυτόν με την μεγαλύτερη χρησιμότητα. Στο παρακάτω σχήμα δείχνουμε τα εξής:. Στο πρώτο γράφημα ο εισοδηματικός περιορισμός μετατοπίζεται παράλληλα προς τον εαυτό του όταν αυξάνει μόνο το εισόδημα.. Στο δεύτερο γράφημα ο εισοδηματικός περιορισμός περιστρέφεται προς μεγαλύτερη κλίση καθώς αυξάνει μόνο η τιμή v του αγαθού στον οριζόντιο άξονα 3. Στο τρίτο γράφημα ο εισοδηματικός περιορισμός περιστρέφεται προς μικρότερη κλίση καθώς αυξάνει μόνο η τιμή του αγαθού στον κατακόρυφο άξονα. Σε κάθε περίπτωση η λύση ορίζει ένα σημείο (x,y) στον εισοδηματικό περιορισμό, και καθώς μια παράμετρος μεταβάλλεται το σημείο αυτό μετακινείται στο επίπεδο σχηματίζοντας μια τροχιά η οποία γενικά καλείται τροχιά ανάπτυξης ή ειδικότερα τροχιά κατανάλωσης. Στα παρακάτω τρία γραφήματα δείχνουμε με μαύρη καμπύλη ενδεικτικές τροχιές κατανάλωσης ως προς την διαθέσιμη δαπάνη και ως προς τις τιμές των αγαθών. Χρησιμοποιούνται και οι παρακάτω ορολογίες. Καθώς η διαθέσιμη δαπάνη αυξάνει λέμε ότι ένα αγαθό είναι κανονικό (normal) αν η κατανάλωσή του επίσης αυξάνει, και ότι είναι κατώτερo (inferior) αν αντίθετα η κατανάλωσή του ελαττώνεται. Καθώς η μοναδιαία τιμή ενός αγαθού αυξάνει λέμε ότι το αγαθό είναι συνηθισμένο (ordinary) αν η κατανάλωσή του ελαττώνεται και ότι είναι τύπου Giffen αν αντίθετα η κατανάλωσή του αυξάνει. Καθώς η μοναδιαία τιμή ενός αγαθού αυξάνει, λέμε ότι το άλλο αγαθό είναι υποκατάστατο (substitute) αν η κατανάλωσή του αυξάνει και ότι είναι συμπληρωματικό (omplement) αν ελαττώνεται. v / / v τροχιές ανάπτυξης Παρατήρηση.. Στο πρώτο γράφημα το δεύτερο αγαθό είναι πάντοτε κανονικό ενώ το πρώτο αγαθό είναι κανονικό για εισοδήματα μικρότερα του, αλλά γίνεται κατώτερο για μεγαλύτερα εισοδήματα.. Στο δεύτερο γράφημα καθώς η τιμή v του πρώτου αγαθού αυξάνει, το αγαθό είναι τύπου Giffen για τιμές μικρότερες του v και συνηθισμένο για μεγαλύτερες, ενώ το δεύτερο αγαθό στον κατακόρυφο άξονα είναι συμπληρωματικό διότι η κατανάλωσή του ελαττώνεται καθώς η τιμή του πρώτου αυξάνει. 3. Τέλος στο τρίτο γράφημα καθώς η τιμή του αγαθού στον κατακόρυφο άξονα αυξάνει το ίδιο αγαθό είναι συνηθισμένο και η κατανάλωσή του πέφτει, ενώ το δεύτερο αγαθό στον οριζόντιο άξονα είναι συμπληρωματικό για τιμές μικρότερες του και υποκατάστατο για μεγαλύτερες τιμές. Παράδειγμα. Στα τρία γραφήματα του παρακάτω σχήματος δείχνουμε για τους τρεις τύπους συνάρτησης χρησιμότητας που εξετάσαμε πως μεταβάλλεται η ζήτηση για τα δύο αγαθά καθώς η τιμή v του πρώτου αγαθού αυξάνει. Σόλες τις περιπτώσεις το αγαθό είναι συνηθισμένο ως προς την τιμή του, διότι η κατανάλωσή του πέφτει καθώς η τιμή του v αυξάνει.. Για την μεταξύ τους σχέση, παρατηρούμε τα εξής: / v γραμμική Cobb-Douglas Leontief τροχιές κατανάλωσης όταν v 5

6 . Στην γραμμική χρησιμότητα για μικρά v έχουμε μηδενική κατανάλωση του. Αλλά μόλις η κλίση του περιορισμού περάσει την κλίση της χρησιμότητας: v α α β β v οπότε το δεύτερο αγαθό γίνεται σχετικά προτιμότερο, η κατανάλωση περνάει απότομα από την κορυφή στην κορυφή, όπου καταναλώνεται μόνο το (σε σταθερή ποσότητα) υποκαθιστώντας πλήρως το. Επομένως, στην χρησιμότητα γραμμικού τύπου η κατανάλωση του αυξάνει καθώς το v αυξάνει, οπότε είναι υποκατάστατο του πρώτου.. Στη χρησιμότητα τύπου Cobb-Douglas, η κατανάλωση του μένει σταθερή καθώς το v αυξάνει, οπότε είναι ουδέτερο. 3. Στη χρησιμότητα τύπου Leontief η κατανάλωση πέφτει καθώς το v αυξάνει οπότε το δεύτερο είναι συμπληρωματικό του πρώτου. 8. Καμπύλη Engel-Ομοθετική χρησιμότητα Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η εισοδηματική τροχιά ανάπτυξης, δηλαδή η εξέλιξη της κατανάλωσης καθώς αυξάνει το διαθέσιμο εισόδημα. Καλείται και καμπύλη Engel. Στα τρία παραδείγματα που εξετάσαμε: γραμμική, Cobb-Douglas, και Leontief, διαπιστώσαμε ότι η εξάρτηση της κατανάλωσης από το εισόδημα είναι γραμμική ομογενής: x=, y= B οπότε και η τροχιά ανάπτυξης ως προς το εισόδημα είναι ακτίνα, όπως φαίνεται στο παρακάτω γράφημα. Οι τρείς αυτές συναρτήσεις χρησιμότητας έχουν την χαρακτηριστική ιδιότητα ότι οι καμπύλες αδιαφορίας έχουν σταθερή κλίση κατά μήκος κάθε ακτίνας διότι ο ρυθμός υποκατάστασης d / d εξαρτάται μόνο από το λόγο /, δηλαδή είναι σταθερός κατά μήκος μιας ακτίνας. Επομένως καθώς το εισόδημα αυξάνει και η ευθεία του εισοδηματικού περιορισμού μετακινείται παράλληλα, το σημείο επαφής με τις καμπύλες αδιαφορίας θα σχηματίζει ως τροχιά την ευθεία της αντίστοιχης ακτίνας. Έχουμε: m {y= mx, vx+ y= } x =, y= v+ m v+ m Συμπεραίνουμε ότι για τις συναρτήσεις με την παραπάνω ιδιότητα: η κατανάλωση είναι ισοελαστική ως προς το διαθέσιμο εισόδημα, με την έννοια ότι κάθε ποσοστιαία αύξηση του εισοδήματος προκαλεί την ίδια ποσοστιαία αύξηση στη ζήτηση όλων των αγαθών. Σε αντίθεση με τα παραπάνω, λέμε ότι ένα κανονικό αγαθό είναι αναγκαίο (neessity) αν η κατανάλωσή του είναι ανελαστική ως προς το εισόδημα, και πολυτελείας (luxury) αν είναι ελαστική. Έτσι όταν το διαθέσιμο εισόδημα μεταβάλλεται, η κατανάλωση του αναγκαίου αγαθού θα μεταβληθεί κατά μικρότερο ποσοστό από το εισόδημα και του πολυτελείας κατά μεγαλύτερο ποσοστό. 9. Ημιγραμμική χρησιμότητα (semilinear) καλείται η συνάρτηση χρησιμότητας της μορφής: U= f() + β Οι καμπύλες αδιαφορίας είναι κατακόρυφες μετατοπίσεις η μία της άλλης. Πράγματι, οι καμπύλες: f() + β= u = f() /β+ u /β προκύπτουν από την = f() /β με κατακόρυφη μετατόπιση κατά u /β, όπως οι διακεκομμένες γραμμές στο πρώτο γράφημα παρακάτω. Επομένως η κλίση θα είναι ίδια κατά μήκος της κάθε κατακόρυφης και συμπεραίνουμε όπως και στην προηγούμενη περίπτωση ότι καθώς το εισόδημα αυξάνει, η τροχιά ανάπτυξης θα είναι κατακόρυφη ευθεία, όπως φαίνεται στο παρακάτω γράφημα. Δηλαδή: Στην ημιγραμμική χρησιμότητα, καθώς το εισόδημα αυξάνει, στην αρχή αυξάνει η κατανάλωση μόνο του πρώτου αγαθού, αλλά μετά από κάποιο εισόδημα η κατανάλωση του παραμένει σταθερή και όλο το επιπλέον εισόδημα αναλώνεται στο δεύτερο αγαθό. Παράδειγμα. Για το παρακάτω πρόβλημα με ημιγραμμική συνάρτηση χρησιμότητας: max{u= ln + C= v+ = } αντικαθιστούμε από τον περιορισμό: v+ = = ( v) / και βρίσκουμε τη κοίλη συνάρτηση χρησιμότητας μιας μεταβλητής, με στάσιμο: 6

7 v U= ln + ( v) = = =, = v Η λύση ισχύει μόνο εφόσον, άλλως το θα είναι συνοριακό μηδενικό, όπως φαίνεται στο πρώτο γράφημα παραπάνω, όπου δείχνουμε και την τροχιά ανάπτυξης καθώς η δαπάνη αυξάνει. Συμπεραίνουμε ότι ανάλογα του εισοδήματος, η λύση είναι:. Αν x =, y=. Αν x =, y= v v Δηλαδή εφόσον το εισόδημα είναι μικρό αναλώνεται όλο στο πρώτο αγαθό μέχρι ένα επίπεδο κατανάλωσης που στη συνέχεια μένει σταθερό, όπως φαίνεται στο δεύτερο γράφημα, οπότε όλο το επιπλέον εισόδημα αναλώνεται στο δεύτερο αγαθό όπως φαίνεται στο τρίτο γράφημα. Παρατηρούμε ότι μετά από κάποιο εισόδημα:, η κατανάλωση του πρώτου αγαθού γίνεται σταθερή και επομένως ανελαστική ως προς το εισόδημα, ενώ του δεύτερου γίνεται ελαστική ως προς το εισόδημα. Δηλαδή, το πρώτο αγαθό γίνεται αναγκαίο και το δεύτερο γίνεται πολυτελείας. ημιγραμμική χρησιμότητα. Λογαριθμική χρησιμότητα τύπου Stone-Geary Σε πολλές περιπτώσεις η κατανάλωση ενός αγαθού μπορεί να προκαλεί βλάβη αντί για όφελος. Συχνά αυτό συμβαίνει σε μεγάλες ποσότητες κατανάλωσης οπότε λέμε ότι έχουμε κορεσμό (saturation), αλλά μπορεί να εμφανιστεί και σε άλλες περιπτώσεις με κατάλληλη διεύρυνση της έννοιας του «αγαθού» ώστε να καλύπτει και το «μη αγαθό». Παράδειγμα. Ένας εργαζόμενος εργάζεται L ώρες ημερησίως, και έχει διαθέσιμο για κατανάλωση ποσό C ημερησίως, με συνάρτηση χρησιμότητας: U= ln[c(6 L)] = ln C+ ln(6 L) με L 6 UC = / C> UL = /(6 L) < Καλείται λογαριθμική χρησιμότητα τύπου Stone-Geary, και έχει τις εξής ιδιότητες C μονοτονίας και κυρτότητας, όπως φαίνεται και στο γράφημα:. Είναι C αύξουσα, αλλά L φθίνουσα, με καμπύλες αδιαφορίας: α α C(6 L) = α L= 6, { C, L 6 },α> C C Είναι αρνητικές υπερβολές μετατοπισμένες προς τα πάνω κατά 6. Έχουν θετική κλίση και ορίζουν αντιστάθμιση. Η αύξηση της εργασίας αντισταθμίζεται με αύξηση της κατανάλωσης.. Η συνάρτηση χρησιμότητας είναι οιονεί κοίλη με τις πάνω σταθμικές κυρτές, οπότε ενδιάμεσοι συνδυασμοί κατανάλωσης-εργασίας είναι προτιμότεροι από ακραίους όπου η εργασία και η κατανάλωση είναι αμφότερα πολύ μικρά ή αμφότερα πολύ μεγάλα. 3. Καθώς η εργασία αυξάνει πλησιάζοντας το πάνω όριο L 6, όλο και περισσότερη κατανάλωση απαιτείται για να αντισταθμίσει επιπλέον εργασία. Δηλαδή έχει αύξοντα ρυθμό αντιστάθμισης της εργασίας με κατανάλωση. Κάθε επιπλέον αύξηση της εργασίας αντισταθμίζεται με όλο και μεγαλύτερη αύξηση της κατανάλωσης. Παράδειγμα. Υποθέτουμε ότι ο εργαζόμενος του προηγούμενου παραδείγματος αμείβεται με ωρομίσθιο ενώ έχει και ένα πρόσθετο ημερήσιο εισόδημα e από άλλες πηγές. Θα λύσουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας όπου η κατανάλωση περιορίζεται από τον εισοδηματικό περιορισμό: C L+ e C L e L 6 7

8 Μπορούμε να αντικαταστήσουμε την ανισότητα με ισότητα διότι η χρησιμότητα είναι αύξουσα ως προς την κατανάλωση και επομένως θα εξαντλήσει τον περιορισμό. Μπορούμε να βρούμε τη λύση χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις Lagrange, ή και απευθείας με αντικατάσταση του C από τον ισοτικό περιορισμό, οπότε η χρησιμότητα εκφράζεται ως συνάρτηση του L : C = L + e U(L) = ln(l+ e) + ln(6 L) με L 6 Είναι κοίλη ως άθροισμα κοίλων, με παράγωγο: 6 e U (L) = U () = = L+ e 6 L e 6 6e Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:. U () e / 6 Η αμοιβή της εργασίας είναι χαμηλή σε σχέση με το διαθέσιμο εισόδημα, και το άτομο δεν ενδιαφέρεται να εργαστεί. Η λύση θα είναι συνοριακή: L=.. U () > > e / 6 Η αμοιβή της εργασίας είναι ικανοποιητική σε σχέση με το διαθέσιμο εισόδημα και το άτομο θα εργαστεί προσφέροντας ποσότητα εργασίας που δίνεται από την στάσιμη λύση: 6 e e U (L) = L= = 8 l l Επομένως, η λύση είναι: 8 8 e l = { αν 6 e }, 8 αν 6 > e Στα γραφήματα παραπλεύρως δείχνουμε την προσφορά e εργασίας l ως φθίνουσα συνάρτηση του εισοδήματος 6 e / 6 e και ως συνάρτηση της αμοιβής. Παρατηρούμε ότι από τις διαθέσιμες 6 ώρες η μέγιστη προσφορά εργασίας είναι 8ώρες, ακόμη και με μηδενικό επιπλέον εισόδημα.. Μη αγαθά Θεωρούμε το πρόβλημα της βέλτιστης προσφοράς εργασίας που εξετάσαμε παραπάνω: max{u= ln C(6 L) E= C L= e, C, L 6}, Η εργασία L είναι μη αγαθό που αντιστοιχεί σε προσφορά εργασίας και η «απόκτησή του» συνεπάγεται επιδότηση, δηλαδή αρνητική τιμή. Αλλάζουμε τώρα την προοπτική χρησιμοποιώντας αντί του μη αγαθού της εργασίας το αγαθό του ελεύθερου χρόνου, δηλαδή της σχόλης (leisure): T= 6 L, το αρνητικό ενός αγαθού είναι μη αγαθό και αντιστρόφως Αντικαθιστώντας και στην χρησιμότητα και στο περιορισμό, η διατύπωση του προβλήματος στο επίπεδο {C,T} θα έχει την μορφή: max{v= ln CT M= C+ T= e+ 6, C, T 6} C,T Τώρα η σχόλη T είναι αγαθό και η απόκτησή του γίνεται με κόστος. Επίσης ο εισοδηματικός περιορισμός εκτός από το εισόδημα e έχει και ένα αρχικό απόθεμα σχόλης T = 6 που αποτιμάται επίσης με αξία. Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα το πρόβλημα είναι τώρα σε κανονική μορφή και καθώς το του αγαθού T στον κατακόρυφο άξονα αυξάνει η εισοδηματική ευθεία περιστρέφεται γύρω από τον αρχικό πλούτο: (C = e,t = 6) προς μικρότερη κλίση. Υποθέτοντας ότι η σχόλη συμπεριφέρεται γενικά ως κανονικό και συνηθισμένο αγαθό, αύξηση του ωρομίσθιου έχει δύο αντικρουόμενες συνέπειες.. Αντιστοιχεί σε αύξηση της τιμής του ελεύθερου χρόνου και επομένως μείωση της ζήτησής του ως κανονικού αγαθού, δηλαδή μεγαλύτερη προσφορά εργασίας.. Ταυτόχρονα προκαλεί αύξηση του εισοδήματος 6 στο δεξιό μέρος που οδηγεί σε αύξηση της ζήτησής του ως συνηθισμένου αγαθού, δηλαδή λιγότερη προσφορά εργασίας. 8

9 T 6 T 6 e C e αύξηση εργασίας μείωση εργασίας αύξηση της αμοιβής: C Στο δεύτερο γράφημα δείχνουμε πως με διαφορετική συνάρτηση χρησιμότητας αύξηση του ωρομισθίου μπορεί να προκαλέσει αύξηση της σχόλης δηλαδή μείωση της προσφοράς εργασίας. Για την συγκεκριμένη συνάρτηση χρησιμότητας υπερισχύει η πρώτη επίδραση και έχουμε αύξηση της εργασίας με το ωρομίσθιο, όπως στο πρώτο γράφημα.. Ελαχιστοποίηση δαπάνης-αντισταθμισμένη ζήτηση κατά Hiks Λύνοντας το πρόβλημα για μέγιστη χρησιμότητα εκφράσαμε τις βέλτιστες ποσότητες κατανάλωσης των δύο αγαθών ως συναρτήσεις των μοναδιαίων τιμών τους και της διαθέσιμης δαπάνης: x= (v,,} max{u(, ) C= v+ } y = (v,,} Βρήκαμε έτσι τις κανονικές συναρτήσεις ζήτησης κατά Marshall που είναι οι γνωστές συναρτήσεις ζήτησης αγαθών. Στη γενική θεωρία της κατανάλωσης εμφανίζεται και το συμμετρικό του παραπάνω προβλήματος που αφορά την ελαχιστοποίηση της δαπάνης για επιδιωκόμενη χρησιμότητα. Λύνοντας αυτό το πρόβλημα βρίσκουμε τις βέλτιστες ποσότητες κατανάλωσης ως συναρτήσεις των μοναδιαίων τιμών και της επιδιωκόμενης χρησιμότητας: x= (v,,u) min{c= v+ U(, ) u} y = (v,,u) Καλούνται αντισταθμισμένες συναρτήσεις ζήτησης κατά Hiks (ompensated demand). Παράδειγμα. Θεωρούμε τα δύο συμμετρικά προβλήματα βελτιστοποίησης στην κατανάλωση με λογαριθμική συνάρτηση χρησιμότητας τύπου C-D: α β U= ln = αln + βln. max{u= αln + β ln C= v+ = } Σε προηγούμενο παράδειγμα βρήκαμε τις κανονικές συναρτήσεις ζήτησης κατά Marshall: α β x =, y= α+ β v α+ β. min{c= v+ U= αln + βln u} Βρίσκουμε τις αντισταθμισμένες συναρτήσεις ζήτησης κατά Hiks: v U v α β β α α u u = = α β α β α β α β α β v + + α β v U β x= e, y e α β u U= u = e α = β α β Υπενθυμίζουμε ότι όσον αφορά την εξάρτηση των κανονικών συναρτήσεων ζήτησης κατά Marshall από τις παραμέτρους των μοναδιαίων τιμών των αγαθών και του διαθέσιμου εισοδήματος, η μονοτονία δεν είναι καθορισμένη. Όσον αφορά τις αντισταθμισμένες συναρτήσεις ζήτησης κατά Hiks, διαπιστώνουμε καταρχήν ότι ως προς την χρησιμότητα η μονοτονία επίσης δεν είναι καθορισμένη, και έχουμε την ίδια διάκριση μεταξύ αγαθών κανονικών και κατώτερων. Αλλά όσον αφορά την εξάρτηση από τις τιμές, διαπιστώνουμε ότι: Ως προς τις τιμές των αγαθών, οι αντισταθμισμένες συναρτήσεις ζήτησης είναι ομογενείς μηδενικού βαθμού, δηλαδή εξαρτώνται μόνο από τον λόγο των τιμών. Επίσης, η ζήτηση για το κάθε αγαθό είναι φθίνουσα συνάρτηση της τιμής του και αύξουσα συνάρτηση της τιμής του άλλου αγαθού. 9

10 Απόδειξη. Για εσωτερικές λύσεις η ομογένεια είναι άμεση συνέπεια των εξισώσεων Lagrange όπου οι τιμές εμφανίζονται μόνο ως προς το λόγο τους. Γενικότερα, παρατηρούμε ότι αν πολλαπλασιάσουμε τις τιμές με τον ίδιο συντελεστή t τότε οι αντίστοιχες δαπάνες: v+, (tv) + (t)= t(v+ ) θα έχουν μέγιστο στο ίδιο σημείο διότι η μία συνάρτηση κόστους είναι αύξων μετασχηματισμός της άλλης. Όσον αφορά την μονοτονία παρατηρούμε καταρχήν ότι η ζήτηση, την οποία για ευκολία υποθέτουμε εσωτερική (δηλαδή μη μηδενική), θα ικανοποιεί την συνθήκη περιορισμένης στασιμότητας: Ux v =, με U= u : σταθερό U y Καθώς το v αυξάνει, το δεξιό επομένως και το αριστερό μέρος της πρώτης εξίσωσης θα πρέπει να αυξάνουν. Παρατηρούμε τώρα ότι το αριστερό μέρος είναι η απόλυτη τιμή του ρυθμού υποκατάστασης της συνάρτησης χρησιμότητας για την οποία υποθέτουμε ότι είναι οιονεί κοίλη, ώστε η λύση να είναι εσωτερική και επομένως ότι έχει φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης. Συμπεραίνουμε ότι όταν το αριστερό μέρος αυξάνει θα πρέπει η συμμετοχή του x να ελαττώνεται και του y να αυξάνει που είναι και το ζητούμενο. Θεωρούμε τα δύο γραφήματα παρακάτω που αφορούν: ελαχιστοποίηση δαπάνης: min{c= v+ U(, ) u}. Στο πρώτο γράφημα δίνουμε ένα παράδειγμα όπου καθώς η επιδιωκόμενη χρησιμότητα αυξάνει, η αντισταθμισμένη ζήτηση του αυξάνει αλλά του ελαττώνεται, καθώς πάμε από το Α στο Β. Έτσι το είναι κατώτερο και το κανονικό. B B. Στο δεύτερο γράφημα δίνουμε ένα παράδειγμα όπου καθώς αυξάνει η τιμή v του πρώτου αγαθού, η αντισταθμισμένη ζήτηση για δοσμένη χρησιμότητα ελαττώνεται για το ίδιο και αυξάνει για το άλλο καθώς πηγαίνουμε από το στο B. Παρατηρούμε επίσης ότι τώρα η δαπάνη είναι μεγαλύτερη. Δηλαδή: Όταν η τιμή ενός αγαθού αυξάνει τότε προκειμένου να μείνουμε στο ίδιο επίπεδο χρησιμότητας θα πρέπει να αυξηθεί το εισόδημα ως αντιστάθμιση. Γιαυτό και καλούνται αντισταθμισμένες συναρτήσεις ζήτησης.