0 אלגברה לינארית α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π ϖ θ ϑ ρ σ ς τ υ ω ξ ψ ζ גיא סלומון לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת מתמטיקה באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים בפני קורס חשוב זה הספר עוסק באלגברה לינארית והוא מתאים לתלמידים במוסדות להשכלה גבוהה אוניברסיטאות או מכללות הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד, בהתאם לתוכניות הלימוד השונות הניסיון מלמד כי ל תרג ל בקורס זה חשיבות יוצאת דופן, ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים המופיעים בו לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר wwwgoolcoil הפתרונות מוגשים בסרטוני פלאש המלווים בהסבר קולי, כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית, שיטתית ופשוטה, ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה לדוגמאות: wwwgoolcoil/linearithtml תקוותי היא, שספר זה ישמש מורה-דרך לכם הסטודנטים ויוביל אתכם להצלחה גיא סלומון לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
תוכן פרק - פתרון וחקירת מערכות של משוואות לינאריות פרק - מטריצות 0 פרק - דטרמיננטות 6 פרק - 4 מרחבים וקטורים פרק - 5 ערכים עצמיים, וקטורים עצמיים, לכסון 0 פרק - 6 העתקות (טרנספורמציות) לינאריות 4 פרק - 7 מטריצות והעתקות לינאריות 6 פרק - 8 וקטורים פרק - 9 מספרים מרוכבים 45 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
תרגילים פרק פתרון וחקירת מערכות של משוואות לינאריות () מצא אילו מהמערכות הבאות הן מערכות שקולות: x + y = (4 x + y = ( x 4y = 7 ( x + 0y = ( x + y = 4 x y = 0 x y = x y = 0 () רשום את המטריצות המתאימות למערכות המשוואות הבאות: x = (4 x + y + z = ( x 4y + z = 7 ( x + 0y = ( x + y = 4 x z = 0 x y = x = 0 z + t = 8 x + y + z = 5 x + y = () בצע על כל אחת מהמטריצות הבאות את הפעולות הרשומות מתחתיה בזו אחר זו ומצא את המטריצה המתקבלת (סדר הפעולות הוא משמאל לימין ומלמעלה למטה) 4 8 ( 4 0 ( 5 0 ( 6 0 0 4 4 5 0 5 0 6 R R R, R R + R R 4 R, R R + R R R, R R + R 5R 8R R R, R R R R R + R, R R (4) מצא איזה פעולה אלמנטרית אחת יש לבצע על המטריצה שמשמאל כדי לקבל את המטריצה מימין: 4 6 9 ( 4 4 0 4 0 4 ( 4 0 7 0 0 4 0 0 4 0 0 ( 0 4 4 4 4 4 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
4 א הסבר והדגם את המושגים מטריצה מדורגת, מטריצה מדורגת קנונית ודירוג מטריצות ב הבא את המטריצות הבאות לצורה מדורגת (בסעיפים,,5,7 גם לצורה מדורגת קנונית): (5) 5 8 4 7 ( 6 6 5 4 ( 4 5 8 6 4 4 7 5 8 ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (6 5 5 6 5 4 (5 4 5 0 5 5 (4 + i i i + + i + i F = C, F= R (* 9 (8 4 4 9 0 5 5 6 6 5 (7 5 6 5 4 5 * בתרגיל 9, עליך לדרג את המטריצה פעם מעל השדה Rופעם מעל השדה C פתור את מערכות המשוואות הבאות בשיטת גאוס (כלומר, על ידי דרוג) 8x 4y = 0 ( 4x + 8y = 0 ( x + y = 8 ( 6x + y = x + 6y = 4 5x 4y = (6) x + y + z = (6 x + y + z = (5 x x x = 5 (4 4x + 6y + 6z = 8 x + y z = 5 x x + x = 5 x + y + 7z = x + y z = 0x 6x x = x y = (9 4x 7 y = 0 (8 x + y = (7 9x + 6y = 8x 4y = x + y = 6x 4y = 6x + 8y = 4 x y = x + y + z = ( x + 5x + 4x x = ( x + y z + t = (0 4 x y z = 5 x x + x + 5x = x + 5y 8z + 6t = 5 4 x 5y + z = 4 x + x + x 4x = 0 6x + 8y 0z + 4t = 8 x + 8y + z = 0 4 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
5 (7) מצא לאילו ערכי א פתרון יחיד k (אם יש כאלה) יש למערכות הבאות: ב אף פתרון ג אינסוף פתרונות x + ky + z = 0 ( x + ky + z = ( x y + z = ( x + y + kz = x + y + kz = 5x 7 y + ( k + ) z = k + x + 9ky + 5z = kx + y + z = x y + ( k + ) z = x + ky + z = (6 kx y = (5 x y + z = 0 (4 kx y + z = 4 ( k ) x + ky = x + y z = 0 x + y + + k z = k z = x + k y + k z = ( ) 0 ( ) 9 5 ( ) (8) מצא לאילו ערכי א פתרון יחיד k (אם יש כאלה) יש למערכות הבאות: ב אף פתרון ג אינסוף פתרונות x + 4y z = ( x y + z = ( x + ky = ( kx y + z = x + k k y + z = k k + x + y = k + 4 ( 5 ) ( ) 5 x + y z = k x + ky = k + 8 6 7 x + 6y z = 05k + (9) מצא לאילו ערכים של a ושל b א פתרון יחיד ב אף פתרון (אם יש כאלה) יש למערכות הבאות: ג אינסוף פתרונות x + y z + t = ( x + 4y + az = ( x + y 4 z = b ( ax + y + z + t = b x + y + 4z = 4 7x 0y + 6z = 7 x + y + at = + a x + y 4z = 0 x ay + z = x + y + 6z = b x + az = y + z = bx + cy + dz =,c,a,b כך שלמערכת יהיה פתרון יחיד d,c,b כך שלכל a למערכת יהיו אינסוף פתרונות d (0) נתונה מערכת המשוואות: א מצא תנאי עבור ב מצא תנאי עבור () פתור את מערכת המשוואות הבאה בשיטת גאוס מעל השדה F z + iz + ( i) z = + 4 i ( x + x + x = ( iz + z + ( + i) z = + i x + 4x + 4x = ( + i) z + ( i) z + ( + 4 i) z = 5 i x + x = 0 F = C, F = R F = Z 5 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
המערכת: () נתונה פתרון אף המערכת הוא הפתרון היחיד של אינסוף פתרונות,) (, האם ייתכן 6 x + y z = 4x 6 y + ( k + ) z = 4 x 7 y + ( k + ) z = k רשום את המטריצה המתאימה למערכת המשוואות א את הצורה המדורגת של המטריצה מסעיף א ב רשום לאילו ערכי k יש למערכת: פתרון יחיד ג מצא את הפתרון הכללי במקרה בו יש אינסוף פתרונות ד רשום z = 0 לאילו ערכי k יש למערכת פתרון שבו = 0 z ה מצא לאילו ערכי k יש למערכת פתרון יחיד שבו ו מצא הוא עבור איזה ערך של k פתרון של המשוואה השלישית ז מצא שהפתרון הנ"ל הוא גם פתרון של כל המערכת? הסבר (,0,0), לאיזה ערך של k ח מצא שלפניך רשת זרימה המתארת את זרם התנועה () באיור (במכוניות לדקה) של מספר רחובות בתל אביב את תבנית הזרימה הכללית של הרשת א מצא את תבנית הזרימה הכללית של הרשת אם ב מצא שהכביש שהזרם שלו ידוע x 4 סגור x הערך המינימלי של ג מהו אם ידוע ש- x 4 = 0 את הזרמים במעגלים החשמליים הבאים (חוקי קירקהוף וחוק אוהם): (4) מצא מערכת משוואות לינאריות * בפרק ד(דטרמיננטות) תמצא שאלות נוספות הנוגעות בנושא לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
7 פתרונות פרק ) ) שקולות ) 4) שקולות () 0 0 0 (4 ( 4 7 ( 0 ( 0 0 4 0 0 0 0 0 0 8 5 () 0 0 4 4 ( 4 0 ( 9 6 8 ( () 0 5 4 0 5 0 4 5 0 0 5 4 8 R R + 4 R ( R R 4 R ( R R + R ( (4) 5) ב) 0 0 4 0 0 8 7 0 0 0 4 0 0 0 0 ( 0 0 6 0 0 0 0 0 ( 0 0 0 0 0 0 7 4 0 0 0 4 ( 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 (4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 5 4 0 0 0 0 0 0 0 0 (5 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
א) א) א) א) 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 5 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (8 + i + i (9 + i i, 0 0 0 0 0 0 F= R F= C ( x y) t t ( x y) ( x y z) = ( t + t t) ( x x x ) = ( ) φ ( x y) = ( ) ( ) ( ) ( x y z) = ( ) (6), = (5, ) (, = (, ) ( φ (4 φ (,, 7,, (6,,,, (5 (8, (,) (7 + t x, y, z, t = a + b,+ a b, a, b (0 x, y = (, t) (9,,,, ( φ ( k, k ב = k ג = k א) ב = k ג = k k, k (7) א) k =, k = 04 k, k 04 4 ג = k 4 k = 7 ב ב k, k 4 7 k = ±, k = ב k ±, k 5 k =, k =, k = ג k, k, k 6 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
א) א) א) ב) ב) א) א) א) א) 9 k ב ± k ג = k ב) = k ג k ב = k k = (8) (9) a =, b = ב b a =, ג a a = 6, b = 5 ג a או 6 b 5 a ג = b a =, או a =, b b = 0, c = 5, d = ב ab + c d 0) () ( z, z, z ) = (,, ), ( z, z, z ) = (( + i) t + + i,, t) ( ( x, x, x ) = (0,,0) ( F = R F = C 0 0 k + 4 k 4 0 0 k + k + 4 k ב 7 k + k 4 6 k + 4 ) k = k = k, k ג ( x, y, z) = ( + 0 t,08 t, ד (t, לא k = k = ה = ± k ו ז ח = k x = 60 x 4 5, x = 00 x + x 5, x = 00 + x x 5 x 5 x חופשיים ) x 5 = 60, x 4 = 0, x = 60 x, x = 40 + x x חופשי ב ג 40 5 7 6 I =, I =, I = ב 55 97 58 I =, I =, I = 7 7 7 4) לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
0 תרגילים פרק מטריצות A,, C, D, E 4 6 4 6 6 4 6 4 () נתונות מטריצות: קבע מי מבין המטריצות הבאות מוגדרות במידה והמטריצה מוגדרת רשום את סדר המטריצה + A (5 AE (4 AC D ( A ( A + ( T T E( A) (0 E( AC) (9 E (8 ( E + A ) D (7 E( + A) (6 x, y, () מצא את z, אם ידוע כי: x + y x y z 5 + z = x 5y x + 8y 4 z z () נתונות המטריצות הבאות: 4 0 4 4 4 4 A =, =, C =, D = 0, E 0 0 4 5 = 4 0 4 0 0 0 I, 0 0 = I = 0 0 0 ( ) חשב (במידה וניתן) : tr D E (5 D + 4 EI (4 5 C ( E D + I ( E + D ( T T T DAC (0 tr ( C C) (9 IC (8 A + C (7 4 C + A (6 4 b x, (4) בכל אחד מהסעיפים הבאים מצא מטריצות A המבטאות את מערכת המשוואות הנתונה ע"י המשוואה היחידה Ax = b x y + z + t = ( x + y z = ( 4x + y + z = 4 x + y 4z = 5 y + z + t = 6x + 4y + z = x 4z y = 0 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
(5) נתון: 4 4 x A = x = y b = 6 z בטא כל אחת מהמשוואות הבאות כמערכת משוואות לינאריות: T A x = x + b (5 Ax = x (4 Ax = kx + b ( Ax = 4 x + b ( Ax = b ( T A = A T A = A (6) מטריצה ריבועית A תיקרא סימטרית אם ואנטי-סימטרית אם ידוע ש- א A מטריצה ריבועית מי מבין הבאים נכון: A A T סימטרית אנטי-סימטרית A + A T T AA סימטרית ידוע ש- ב A אנטי-סימטריות מאותו סדר מי מבין הבאים נכון: A + A אנטי-סימטרית סימטרית סימטרית AAA A מי מבין הבאים נכון: = A ידוע ש- ג A סימטריות מאותו סדר ונתון כי ( A ) A אנטי-סימטרית סימטרית סימטרית A ידוע ש- ד A סימטרית אנטי סימטרית מאותו סדר ונתון כי A = A הוכח: A + אנטי-סימטרית אנטי-סימטרית A A = A 4 4 4 4 A,, נתון: ה A סימטריות מאותו סדר הוכח כי (7) מצא את ההפוכה של כל מטריצה בדוק תשובתך על ידי כפל מטריצות מתאים 4 5 ( 5 ( ( 7 4 (6 (5 0 (4 0 4 8 5 4 5 0 (9 4 4 (8 0 0 0 (7 4 0 0 0 0 0 4 0 4 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
א) א) א) 5 7 k + k + עבור אילו ערכים של הקבוע k המטריצה הבאה הפיכה: 8) k k k k k ב עבור אילו ערכים של הקבוע k המטריצה הבאה איננה הפיכה: (9) פתור את מערכות המשוואות הבאות בעזרת המטריצה ההפוכה: x + 4y + z + 4t = ( x y + z = ( x + y z = 0 x y + z = 5 y + z + t = 5x y + 4z = x + y z t = 0 : X הנח שכל המטריצות הן הפיכות מסדר n וחלץ את 0) T P X P = A A XC = A DC AXC = D ( ( ( T T T AC X A C = A A AX = X C C A + X D = I (6 ( ) (5 ( ) (4 ( ) X = + I X = חשב את 4 9 ב נתון אם ידוע כי = + T Y אם ידוע כי Y 0 = 4 8 ג נתון חשב את ( + ) = ( ) T 5A I A 7A ד נתון = A חשב את 4 7 אם נתון A A I נתון: A מטריצה ריבועית המקיימת = 0 5 ) I A A הוכח: A הפיכה ובטא את במונחי ( A I)( A + I ) = 0 נתון: ב A מטריצה ריבועית המקיימת I A A הוכח: A הפיכה ובטא את במונחי לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
0 A = 0 6, p x x x x ג נתונים: 4 0 + 48 = ) ( חשב את A) p( A A בעזרת תוצאת סעיף (ולא בדרך אחרת) הוכח ש- A והפיכה ובטא את בעזרת בלבד I 4 () נתון: A מטריצה ריבועית המקיימת = 0 A א הוכח כי A לא הפיכה ב הוכח כי המטריצה I A הפיכה ומצא את ההופכית שלה D AD = C כך ש- D P AP = הוכח כי קיימת מטריצה הפיכה Q Q = C () נתון: * הנח שכל המטריצות הנתונות ריבועיות, מאותו סדר והפיכות לסטודנטים המכירים את המושג דימיון מטריצות ניתן לנסח את השאלה כך: הוכח: אםAדומה ל- דומה ל- CאזAדומה ל- C (כלומר יחס הדימיון בין מטריצות הוא יחס טרנזיטיבי) ** הערה בפרק (דטרמיננטות) תמצא שאלות נוספות הנוגעות למטריצה ההפוכה לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
א) 4 פתרונות פרק (5 (4 4 ( ( 4 6 ( 6 6 (0 6 4 (9 (8 6 (7 6 6 (6 () ( x, y, z ) = (,, ) () 8 8 (4 ( 4 ( 5 5 ( 5 0 0 0 0 5 5 0 0 0 4 8 6 0 0 8 9 () 8 6 (6 5 5 0 (7 0 (5 8 7 (8 5 75 7 6 8 0 7 8 48 87 75 48 08 6 ( 0 6 (9 x A = 4 x = y b = 5 ( 4 4 z (4) x 4 0 y 4 A = x = b = 0 z 4 0 t 0 ( (4 + k) x y + 4z = ( y + 4z = ( 4x y + 4z = ( (5) x + ( k ) y + z = x 5y + z = x y + z = x 6 y + ( + k) z = x 6y z = x 6y + z == x + y + z = (5 x y + 4z = 0 (4 x y 6z = 6 x y + z = 0 4x + y + z = 9 x 6y + z = 0,, ב ג,, 6) לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
א) 5 5 ( ( ( 4 7 5 5 05 0 (6 8 (5 (4 5 4 0 0 4 6 7 (9 7 0 0 4 (8 0 0 0 (7 0 5 6 0 0 0 4 5 5 8 0 0 4 0 0 4 4 (7) k =, k = 4 ( k, k ( (8) ( x, y, z, t ) = (, 4, 5, ) ( ( x, y, z ) = (,,) ( (9) CD A 4 ( P ) A P T T T D A DC 0) A C C T T T ( ) 6 ( + ) A C A 5 64 450 = 45 448 768 Y 86 8 = 64 46 4 60 8 00 X 5 = 4 ב ג ד A = A I 6 6 = 05 5 א A A I ב () 5 48 = + + I, 0 0 0 f ( ) = 0 0 0 0 0 0 ג ( I A) = I + A + A + A () ב לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
6 תרגילים פרק דטרמיננטות () חשב את הדטרמיננטה של המטריצות הבאות על ידי הורדת סדר (פיתוח לפי שורה/עמודה): 4 5 ( 5 ( a b ( 7 c d (6 (5 0 (4 5 0 4 8 0 0 0 0 0 4 0 0 5 (9 0 5 (8 0 0 0 ( 7 7 4 0 6 0 0 0 4 0 0 0 5 7 4 0 4 0 5 44 4 4 0 7 5 0 ( 9 8 4 (0 0 0 0 0 0 5 0 7 5 9 4 0 0 4 4 7 0 5 0 8 0 0 0 0 () חשב את הדטרמיננטה של המטריצות הבאות על ידי דירוג 0 ( 4 ( 0 ( 0 4 0 5 5 7 4 8 5 5 4 5 0 (6 0 (5 0 (4 5 5 8 4 5 8 5 5 8 0 0 9 0 0 9 6 9 0 0 0 4 0 0 0 7 8 7 0 0 0 7 0 0 5 7 5 5 7 () חשב את הדטרמיננטה של המטריצות הבאות על ידי שילוב של הורדת סדר ודירוג: 5 4 ( 0 ( 5 ( 6 0 4 0 0 6 4 0 5 4 6 6 6 0 4 9 6 7 7 0 4 7 6 5 7 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
א) 7 (4) ללא חישוב, הראה שהדטרמיננטה של המטריצות הבאות שווה אפס: 5 8 ( ( 0 ( 6 9 4 5 6 7 0 4 7 0 5 7 9 0 sin x cos x (6 a a + x a + y (5 y + z z + x y + x (4 sin y cos y b b + x b + y x y z sin z cos z c c x c y + + 4 5 0 (7 4 4 4 8 4 5 0 4 4 0 6 6 4 5 6 5 7 4 5 5 6 9 4 a b c d חשב: e f g h i (5) נתון: = 4 0 g + d a a + d ( 0 h e b b e + + 0 i + f c c + f 0 0 0 a d d g + 4a b e e h + 4b c f f i + 4c ( a g + d d b h + e e c i + f f ( a b b = ( b a)( c a)( c b) c a c הוכח כי 6) x x x y y y z z z t t t ב z) ( y x)( z x)( t x)( z y)( t y)( t = הוכח כי לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
8 k k 4 det k = ( k ) ( k + ) k k הוכח כי ג (7) בכל אחד מהסעיפים הבאים, נתונה מטריצה ריבועית מסדר n חשב את הדטרמיננטה של המטריצה הנתונה: a i j i + j = n + ( = אחרת 0 j i = j + ( ai j = n i =, j = n אחרת 0 a i j i = j = ( 0 i = j = j i < j j i > j 6 6 6 ( n ) (6 n (5 a i j a i = j = אחרת b (4 a i j a i = j b i = j + = c j = i + אחרת 0 * ( 7 * בסעיף 7): א מצא נוסחת נסיגה עבור הדטרמיננטה ב הנח כי = c a =, b =, ומצא: ביטוי סגור עבור הדטרמיננטה את הדטרמיננטה כאשר = 0 n (8) חשב: a b c d e a b c d e f g h i j f g h i j k l m n o + k l m n o p q r s t p q r s t a + b x y a b c d x e y לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
א) 9 A = 4, =, מטריצות מסדר חשב: (9) נתונים: A T T T A A adj (4 A A ( 4 A ( AA ( ) ( הוכח: A = נתון: PQ APQ = 0) A =, A + I = 0, ב נתונים: A מטריצות הפיכות מסדר 4 חשב את A + = A = 0, 0, ג נתונים: A מטריצות הפיכות מסדר חשב את: A, ( ) = A n adj A nxn A = A ד הוכח: ה נתון כי A מטריצה אנטיסימטרית מסדר אי זוגי הוכח ש- = 0 A n T A מצא את = A det, A = 8 n מטריצות הפיכות מסדר A, n A n det חשב: ( A ) =, det ( ) = nxn nxn ו נתונים: ז נתונים: () פתור את מערכות המשוואות הבאות בעזרת כלל קרמר: x + z + 5t = 8 ( x + z = ( x + y = 5 ( x 6y = 8 4x + y + 8z = x + 4y = 5x + y 7z + 4t = 5 x + z = 8 x + 5y + 44z = 5 () נתונה מערכת המשוואות: kx + y + z + t + r = x + ky + z + t + r = x + y + kz + t + r = x + y + z + kt + r = x + y + z + t + kr =? x = 05 א עבור איזה ערך של k ב עבור איזה ערך של למערכת פתרון יחיד? k למערכת פתרון יחיד שבו? x = ג האם קיים k עבורו למערכת פתרון יחיד שבו 0 ד הוכח שאם למערכת פתרון יחיד אז בהכרח x = y = z = t = r לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
א) א) 0 () עבור כל אחת מהמטריצות הבאות חשב את הצמודה הקלסית (A adj( ובעזרתה את A 0 0 ( 0 0 0 A = 0 0 0 ( A = 0 5 ( A = 4 (4) נתון: 9 6 4 0 7 87 4 0 A = 7 5 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 ( A ) ( adja),5 ( (,5 חשב: הוכח שאם = A וכל איברי A הם מספרים שלמים, אזי כל איברי A הם גם 5) מספרים שלמים ב נתון ש- A מטריצה משולשית תחתונה והפיכה הוכח ש- A משולשית תחתונה? T A הפיכות A (5 CD (4 AD ( A + ( C + D ( ג נתון ש- A הפיכה הוכח שגם (A adj( וגם,C לא הפיכות D A, ד נתון: הפיכות האם המטריצות הבאות הפיכות: 4 0 7 5 0 0 0 k 0 0 k k k k 0 4 5 0 8 7 4 9 + (6) מצא את ערכי k עבורם המטריצה הבאה לא הפיכה: חשב את שטח המקבילית שקודקודיה: 7) (,0),(0,5),(, 4),(,) (0,0),(5, ),(6,5),(,6) ב חשב את נפח המקבילון שקודקודיו: (7,,0),(4,),(,,,0),(0,0,0) ג מצא משוואת מישור העובר דרך הנקודות: (,,),(,, (,(,,) ד חשב את שטח המשולש שקודקודיו: (5,8),(4,),(,) לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
פתרונות פרק 9 (0-00 (9 4 (8 4 (7-4 (6 - (5 - (4 - ( 9 ( ad bc ( () 6 ( 4 ( 0 ( () 04 (6 44 (5 4 (4 ( 0 ( 0 ( () 6 ( ( ) n(n+ ) ( n ( ) n! ( n! ( (7) 9 ( 6 ( -8 ( (5) n (6 (5 n ( a b) [ a + ( n ) b] (4 D = ad bcd n n n, D = a bc, D = a abc 7) א - (4-8 ( ( 4 ( (9) 0 (8) D 0 = D n n+ ב = x =, y = ( () 4 n 7 A = 8, = / ב 8/ ג ז ו (0) k = א 4 k k, ב () x = y = z = t = ( x =, y =, z = ( לא ג 8 ( 4 ( () adj( A) = adj( A) A = = 5 0 4 A = 5 05 A 0 0 0 0 ( 0 0 0 0 0 0 =, adj( A) = 0 0 0 0 0 0 k = 0 (6) 5) כן לא לא לא לא (4 ( ( ( (5) 05 ( 40 ( (4) א א ג ב x y + 4z ד + = 0 4 (7) לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
סימונים: תרגילים פרק 4 מרחבים וקטוריים R R n - R המרחב הוקטורי של כל הוקטורים הממשיים ממימד n מעל השדה הממשי - המרחב הוקטורי של כל המטריצות הריבועיות מסדר n מעל השדה הממשי M n [ R] R מעל השדה n המרחב הוקטורי של כל הפולינומים ממעלה קטנה או שווה ל- - Pn [ R] R ( f : R R ) המרחב הוקטורי של כל הפונקציות הממשיות - F [ R] תת-מרחבים מעל השדה : R () בכל אחד מהסעיפים הבאים בדוק האם W תת מרחב של א 0} = c W = {( a, b, c) a + b + ב c} W = {( a, b, c) a = ג b} W = {( a, b, c) a = ד c} W = {( a, b, c) a < b < W = a b c a = c ה } ),, {( c b ו d}, W = {( a, b, c) b = a + d, c = a + כלומר, a מהווים סדרה חשבונית c b, a כלומר W = a b c b = a q c = a q ז }, ),, {( מהווים סדרה הנדסית : M n [ R] () בכל אחד מהסעיפים הבאים בדוק האם W תת מרחב של W = { A A = A א W מורכב מן המטריצות הסימטריות כלומר, } T ב W מורכב מכל המטריצות המתחלפות בכפל עם מטריצה נתונה כלומר, A} W = { A A = W = { A A = 0} מורכב מכל המטריצות שהדטרמיננטה שלהן אפס כלומר, W W = { A A = A} מורכב מכל המטריצות ששוות לריבוע שלהן כלומר, W W מורכב מכל המטריצות שהן משולשות עליונות ג ד ה ו W מורכב מכל המטריצות שמכפלתן במטריצה נתונה הוא אפס כלומר, W = { A A = 0} לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
W ז W מורכב מכל המטריצות שהעקבה שלהן אפס כלומר, 0} = A) { A tr( = Pn [ R] W מורכב מכל המטריצות שבהן סכום כל שורה הוא אפס W הוא תת מרחב של ח () בכל אחד מהסעיפים הבאים בדוק האם W = { p( x) p(4) = 0} מורכב מכל הפולינומים בעלי 4 כשורש כלומר, W W מורכב מכל הפולינומים בעלי מקדמים שלמים א ב ג W מורכב מכל הפולינומים בעלי מעלה 4 כלומר, 4} p) W = { p( x) deg( x ד W מורכב מכל הפולינומים בעלי חזקות זוגיות בלבד של 4 n 7 ה W מורכב מכל הפולינומים ממעלה n כאשר ו } = p(0) W = { p( x) (4) בכל אחד מהסעיפים הבאים בדוק האם W הוא תת מרחב של [R F [ x א W מורכב מכל הפונקציות הזוגיות כלומר, לכל ממשי x)} W = { f ( x) f ( x) = f ( x ב W מורכב מכל הפונקציות החסומות כלומר, לכל ממשי M} W = { f ( x) f ( x) ג W מורכב מכל הפונקציות הרציפות ד W מורכב מכל הפונקציות הגזירות ה W מורכב מכל הפונקציות הקבועות ([0,] f 4 = dx W = f ( x) f ( x) (הנח ש- 0 ו אינטגרבילית ב ( x f { ( ) '( ) 0} ז = x W = f x f (הנח ש- גזירה לכל ( x f { ( ) '( ) } ח = x W = f x f (הנח ש- גזירה לכל : C { ( ) ( ) ( ) } W = f x f x = f x + {(,, ), } W = z z z z = z z = z + z הוא תת מרחב של ט (5) בדוק האם א מעל השדה הממשי R ב מעל שדה המרוכבים C לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
4 צירופים לינאריים, מרחב נפרש, תלות לינארית (6) נתונים הוקטורים הבאים: u = (4,,,5), u = (0,, 5,), u = (, 5,,), u = (,,,) 4?u 4 u א האם הוא צירוף לינארי של? Sp{ u4} שייך ל- u האם { u, u } 4 האם הקבוצה תלוייה לינארית?? u u u ב האם הוא צירוף לינארי של? Sp{ u, u} שייך ל- u האם { u, u, u } האם הקבוצה כצירוף לינארי של הוקטורים האחרים תלוייה לינארית? במידה וכן רשום כל וקטור בקבוצה? u u u 4 ג האם הוא צירוף לינארי של? Sp{ u, u} שייך ל- u 4 האם { u, u, u } 4 האם הקבוצה תלוייה לינארית? במידה וכן רשום כל וקטור בקבוצה כצירוף לינארי של הוקטורים האחרים נתון ד k) v = (4,, k,? u u v מה צריך להיות ערכו של k על מנת שהוקטור יהיה צירוף לינארי של Sp{ u, u} v מה צריך להיות ערכו של k על מנת שהוקטור יהיה שייך ל- { u, u, v} מה צריך להיות ערכו של k על מנת שהקבוצה תהייה תלוייה לינארית ה נתון d) v = ( a, b, c,? u u,c,a,b על מנת שהוקטור v יהיה צירוף לינארי של מה התנאים על d? v על מנת שהוקטור a, b, c, מה התנאים על d יהיה שייך ל-{ Sp{ u, u { u, u, v},c,a,b על מנת שהקבוצה מה התנאים על d תהייה תלוייה לינארית? u u, u ו הבע את הוקטור (,,,) כצירוף לינארי של בכמה אופנים ניתן לעשות זאת? לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
5 u 4 u, u, u ז הבע את הוקטור (,,7,0) כצירוף לינארי של בכמה אופנים ניתן לעשות זאת? (7) נתונות המטריצות הבאות: 4 0 5 A,, C = = =, D = 5 5 M [ R] בדוק האם המטריצות תלויות לינארית מעל במידה והמטריצות תלויות רשום כל אחת מהמטריצות כצירוף לינארי של יתר המטריצות? Sp{, C} האם המטריצה A שייכת ל- (8) נתונים הפולינומים הבאים: p ( x) = 4 + x + x + 5 x, p ( x) = x 5x + x, p ( x) = 5x + x + x, P ( x) = + x x + x 4 P [ R] בדוק האם הפולינומים תלויים לינארית מעל במידה והפולינומים תלויים לינארית רשום כל פולינום כצירוף לינארי של שאר הפולינומים {, }? Sp p p 4 p האם הפולינום שייך ל- V[ F],b,a הוקטורים הבאים תלויים לינארית : c בלתי תלוייה לינארית ב- (9) עבור איזה ערכים של {( c,,4),(4, a,),( c, b,6),( b,, a) } { u, v, (0) נתון כי קבוצת הוקטורים {w בדוק האם הקבוצות הבאות תלויות לינארית, במידה שכן רשום כל וקטור כצירוף של הוקטורים האחרים: א w} { u v, u w, u + v C { u + v + w,4u + 5v + 6 w,7u + 8v + 9w} {(, i, i ),( i +, i, ) } { u + v, v + w, w} ב ג בדוק האם הוקטורים תלויים לינארית ב- () א מעל C ב מעל R לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
6 בסיס ומימד בדיקה האם קבוצת וקטורים מהווה בסיס למרחב : () בדוק אם הקבוצות הבאות הן בסיס ל- R { (,0,), (0,0,) } ( { (,,), (,,), (,,4), (,,) } ( : M [ ] x R { (,,), (4,5,6), (7,8,9) } ( () בדוק אם הקבוצות הבאות הן בסיס ל- 5 6 9,, ( 4 7 8 5 6 9 5 6 5 6,,,, ( 4 7 8 7 7 8 0 0 0 0 0,,, ( 0 : P ( R) (4) בדוק אם הקבוצות הבאות הן בסיס ל- + x x + x + {, } ( + x x + x + x + x x x {,, 4, } ( + x + x + x + x + x + x {, 4 5 6,7 8 0 } ( T = {(,,), (4,5,6), (7,8,9),(,,4) } (5) נתונה קבוצת וקטורים ב- : R א האם T בסיס ל- R ב מצא קבוצה ' T, שהיא קבוצה מקסימלית של וקטורים בלתי תלויה לינארית ב- T ג השלם את ' T לבסיס של לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
7 מציאת בסיס וממד למרחב פתרונות של מערכת משוואות הומוגנית (6) לפניך מערכות של משוואות הומוגניות: x y + z + w = 0 x + y z + w = 0 x y + z + w = 0 ( x + z w = 0 ( x y + 7z + 4w = 0 ( x y + z + w = 0 x y z w 0 + + = 5x + y 5z 6w = 0 נסמן ב- W את המרחב הנפרש ע"י מערכת המשוואות ) נסמן ב- U את המרחב הנפרש ע"י מערכת המשוואות ) נסמן ב- V את המרחב הנפרש ע"י מערכת המשוואות ) א) מצא בסיס וממד ל- U, W V U V U V ב) ) מצא בסיס וממד ל- ) מצא ממד ל- U V ג) מצא בסיס ל- 4 {(,,, ), } U מצא בסיס וממד ל- U = a b c d R a = c b = d 4 {(,,, ), } U מצא בסיס וממד ל- U = a b c d R c = a + b d = b + c { 4 (,,, ) 0} U מצא בסיס וממד ל- U = v R v = (7) נתון (8) נתון (9) נתון מצא בסיס וממד ל- U { [ ] T x } (0) נתון U = A M R A = A 0 0 U A M x[ R] A = = מצא בסיס וממד ל- U () נתון 0 0 { ( ) [ ] () 0 } () נתון = p U = p x P R מצא בסיס וממד ל- U לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
8 מציאת בסיס וממד לתת מרחב U : 4 () לפניכם שני תתי מרחבים של המרחב R {(,,,), (,,7,4), ( 5,, 5, 6) } = span V {(,,,), (,0,, ), (,,, ), (5,,5,8) } = span א מצא בסיס, ממד ומשוואות ל- U ב מצא בסיס, ממד ומשוואות ל- V U V U V ג מצא בסיס וממד ל- ד מצא בסיס וממד ל- : (4) לפניכם תת מרחב של המרחב M [ ] x R 4 U = span,, מצא בסיס וממד ל- U : P [ R] (5) לפניכם תת מרחב של המרחב {,4, } U = span + x x + x + x x + x x + x x מצא בסיס וממד ל- U מציאת בסיס וממד למרחב שורה ומרחב עמודה של מטריצה, דרגת מטריצה (6) מצא בסיס וממד למרחב השורה ומרחב העמודה של המטריצות הבאות וציין את דרגת המטריצה :(rank) 5 ( 5 6 5 4 4 5 ( 0 5 5 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
9 וקטורי קואורדינטות, שינוי בסיס (7) נתונים שני בסיסים של : R [ v] = {(,,0), (0,,0), (0,,)}, = { (,0,),(0,,), (0,0,) } א מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס סמן וקטור זה ב- [ v] ב מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס סמן וקטור זה ב- M ג מצא מטריצת מעבר מהבסיס לבסיס סמן מטריצה זו ב- M ד מצא מטריצת מעבר מהבסיס לבסיס סמן מטריצה זו ב- ( ) ה אשר את הטענות הבאות: [ M ] = [ M ] ( [ M ] [ v] = [ v] ( [ M ] [ v] = [ v] ( : P [ R] (8) נתונים שני בסיסים של [ v] = { + x, x, x + x }, = { + x, x + x, x } א מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס סמן וקטור זה ב- [ v] ב מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס סמן וקטור זה ב- M ג מצא מטריצת מעבר מהבסיס לבסיס סמן מטריצה זו ב- : M [ R] (9) נתונים שני בסיסים של 0 0 0 0 0 =,,, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E =,,, 0 0 0 0 0 0 [ v] [ v] E א מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס ב מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס סמן וקטור זה ב- E סמן וקטור זה ב- M E ג מצא מטריצת מעבר מהבסיס לבסיס E סמן מטריצה זו ב- לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
0 תרגילים פרק 5 ערכים עצמיים, וקטורים עצמיים, לכסון () עבור כל אחת מהמטריצות הבאות: A א מצא מטריצה אופיינית ב מצא פולינום אופייני ג מצא ערכים עצמיים ואת הריבוב האלגברי של כל ערך עצמי ד מצא מרחבים עצמיים ואת הריבוב הגיאומטרי של כל ערך עצמי ה מצא וקטורים עצמיים ו קבע האם המטריצה ניתנת ללכסון ז במידה והמטריצה ניתנת ללכסון, לכסן אותה, כלומר מצא מטריצה P AP = D הפיכה P כך ש- ח במידה והמטריצה ניתנת ללכסון חשב, באשר D מטריצה אלכסונית 009 A ט מצא את הפולינום המינימלי י קבע האם המטריצה הפיכה לפי ערכיה העצמיים במידה והמטריצה הפיכה בטא את בעזרת A I בלבד תוך שימוש במשפט קיילי המילטון 0 0 0 A = 0 0 ( A = 0 0 ( A = 0 ( 0 0 0 0 0 0 A = (6 A (5 = 4 4 A = 0 (4 F = C, F = R F = C, F = R 6 * בסעיפים 5,6 עליך לפתור פעם מעל C ופעם מעל R () א הגדר את המושג דימיון מטריצות ידוע ש- ב A מטריצות דומות הוכח כי: ל- A אותו פולינום אופייני tr( A) = tr( ) A = A n = n P P () הוכח שאם P AP = אז לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
תרגילים פרק 6 העתקות (טרנספורמציות) לינאריות העתקות לינאריות () הגדר והדגם את המושג העתקה (טרנספורמציה) לינארית הגדר את המושג אופרטור לינארי () עבור כל אחת מההעתקות הבאות, קבע האם היא העתקה לינארית T x y = x + y x y T R R (, ) (, ) ; : ( T x y z = x + y z x + y + z x + y z T R R (,, ) (,, ) ; : ( T x y z = x + z y T R R (,, ) (, ) ; : ( T x y = xy y z T R R (, ) (,, ) ; : (4 T x y z = x + x + y y + z T R R (,, ) (,, ) : (5 ( ) M [ R] T ( A) = A + A ; T : M [ R] M [ R] (6 n n n T T ( A) = A + A ; T : M [ R] M [ R] (7 T ( A) = A I ; T : M [ R] M [ R] (8 T T ( A) = A A ; T : M [ R] M [ R] (9 n n n n n n T A = A T M R M R ( ) ; : n[ ] n[ ] (0 T a + bx + cx + dx = a + bx + cx T P R P R ( ) ; : [ ] [ ] ( ( ) ( ) T p( x) = p( x + ) ; T : P [ R] P [ R] ( T p( x) = p '( x) + p ''( x) ; T : P [ R] P [ R] ( T ( p( x) ) ( ) ( ) n n n n = ( ) ; : [ ] [ ] (4 p x T Pn R P n R F = C, F = R T z = z ; T : C[ F] C[ F] (5 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
() עבור איזה ערך של הקבוע m (אם יש כזה) ההעתקה הבאה תהיה לינארית: ( m m ) T ( x, y) = m x, y + x ; T : R R (4) בכל אחד מהסעיפים הבאים, קבע האם קיימת העתקה לינארית המקיימת את הנתון אם כן, מצא את ההעתקה וקבע האם היא יחידה אם לא, נמק מדוע T (,, 0) = (,,), T (0,,) = (4,5, 6), T (0, 0,) = (7,8,9) T (, 0,) = (,, 0), T (0,,) = (,,), T (0, 0,) = (0,,) T : R R כך ש- T : R R כך ש- א ב 4 ג T : R R כך ש- ), (, = ) (0, 4, 0, T T (,,, 0) = (0,, ), T (, 0,,) = (, 0, 0), ד R] T : P [ R] P [ כך ש- + x T = 4, T 4 x + x = x, T x = ( ) ( ) ( ) תמונה וגרעין של העתקות לינאריות rankt ImT הגדר והדגם את המושגים : T : V U KerT (5) נתונה העתקה לינארית א הגרעין של ההעתקה - ג ב התמונה של ההעתקה - משפט הממד להעתקות (השתמש במושגים הדרגה של העתקה- העתקה - והאיפוס של ( nullt (6) עבור כל אחת מההעתקות הבאות מצא בסיס וממד לגרעין ולתמונה: T x y z t = x + y y z + t x + y + z t T R R 4 (,,, ) (, 4,4 4 ), : ( T x y z = x y z x + y y z x + z T R R 4 (,, ) ( 4,,, 4 ), : ( x y T x y z t = T R R z 6 0 4 t 4 (,,, ) 5, : ( T ( A) = A A, T : M [ R] M [ R] (4 0 0 ( ) T p( x) = p( x + ) p( x + 4), T : P [ R] P [ R] (5 ( ) D p( x) = p'( x), D : P [ R] P [ R] (6 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
{(4,,4),(,4,) } {(0,,,),(,,, 4) } dim ImT אז הממד = dim KerT T : R R אשר תמונתה נפרשת על ידי T : R R אשר הגרעין שלה נפרש על ידי T : V הוכח כי אם? T : R R 4 4 U מצא העתקה לינארית מצא העתקה לינארית נתונה העתקה לינארית V זוגי (7) (8) א) של ב האם תיתכן העתקה חד-חד ערכית 9) העתקות לינאריות חח"ע ולא חח"ע, העתקות לינאריות על, איזומורפיזם (0) הסבר את המושגים העתקה לינארית חד-חד ערכית (חח"ע) והעתקה לינארית על כמו כן הסבר את המושג איזומורפיזם והעתקה הפוכה () עבור כל אחת מההעתקות הבאות קבע האם היא חח"ע, האם היא על, האם היא איזומורפיזם והאם קיימת העתקה הפוכה T x y z = x y + z y + z z x T R R (,, ) (,, ), : ( T x y z = x y + z y + z x + z T R R (,, ) (,, ), : ( T ( a + bx + cx ) = ( a + b + c, a b, b c), T : P [ R] R ( a b T = a b + c + d x + a c x + dx T M R P R c d ( ) ( ), : [ ] [ ] (4 הערה: העתקה חח"ע נקראית גם לא סינגולרית פעולות עם העתקות לינאריות S : R T : R R העתקות לינאריות המוגדרות על ידי: R T ( x, y, z) = ( x,4 x y, x + 4 y z), S( x, y, z) = ( x z, y) () תהיינה מצא נוסחאות (אם יש) המגדירות את : ST (5 TS (4 4S 0 T ( 4 S ( S + T ( S (0 S (9 T (8 T (7 T (6 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
4 תרגילים פרק 7 מטריצות והעתקות לינאריות הערה: כבסיס לפרק זה יש להכיר את המושגים וקטור קואורדינטות ביחס לבסיס ומטריצת מעבר מבסיס לבסיס (פרק 4) לפיכך חמשת הסעיפים הראשונים בשאלה הראשונה עוסקים בכך [ v] : R מטריצה שמייצגת העתקה () נתונים שני בסיסים של = {(,,0), (0,,0), (0,,)}, = { (,0,),(0,,), (0,0,) } א מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס סמן וקטור זה ב- [ v] ב מצא את וקטור הקואורדינטות ביחס לבסיס סמן וקטור זה ב- M ג מצא מטריצת מעבר מהבסיס לבסיס סמן מטריצה זו ב- M ד מצא מטריצת מעבר מהבסיס לבסיס סמן מטריצה זו ב- ( ) ה אשר את הטענות הבאות: [ M ] = [ M ] ( [ M ] [ v] = [ v] ( [ M ] [ v] = [ v] ( T ( x, y, z) = ( x + y, y + z, z x), T : R R נתונה העתקה לינארית: T T א ח ו מצא את המטריצה שמייצגת את ההעתקה בבסיס ז מצא את המטריצה שמייצגת את ההעתקה בבסיס שר את הטענות הבאות : סמן מטריצה זו ב- סמן מטריצה זו ב- [ T ] [ v] = [ T ( v)] ( [ T ] [ v] = [ T ( v)] ( M T M = T : R R T ( נתונה העתקה לינארית ידוע שהמטריצה שמייצגת את ההעתקה בבסיס } (0,0,),(0,,),(,0,) { = T ( x, y, z ) = (?,?,?) 0 = T מהי נוסחת ההעתקה? כלומר 0 היא לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
5 ט האם ההעתקה הפיכה? י חשב את הדטרמיננטה והעקבה של ההעתקה יא מצא ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים עבור ההעתקה יב האם ההעתקה ניתנת ללכסון? R אופרטור לינארי על T R יהי שני בסיסים של המרחב () יהיו 9 45 6 T = 0 4 9 9 6 M = 6 4 5 נתון כי: T M חשב את ואת T ( A) = A, T : M [ R] M () מצא את המטריצה שמייצגת את ההעתקה [R ] 4 0 0 0 0 0 =,,, לפי הבסיס: 0 0 0 0 ( ) 4 (4) מצא את המטריצה שמייצגת את ההעתקה R] D p( x) = p '( x), D : P [ R] P [ לפי הבסיס הסטנדרטי של הפולינומים ממעלה קטנה או שווה ל- 4 מטריצה שמייצגת העתקה מבסיס לבסיס (5) מצא את המטריצה המייצגת של כל אחת מההעתקות הלינאריות הבאות ביחס לבסיסים n הסטנדרטיים של R T ( x, y) = ( x + y, y, x), T : R R T ( x, y, z, t) = (4 x y z + t, x + y + 4 z + t), T : R R 4 א ב T ( x, y, z) = (4 x + y z, x y + z) העתקה לינארית המוגדרת על ידי T : R R (6) תהי = {(,,0),(0,,),(0,0,) חשב את המטריצה המייצגת את ההעתקה T מהבסיס } T R כלומר את = {(,4),(,5) } של R לבסיס של לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
א) א) 6 תרגילים פרק 8 וקטורים u,u הערה: אנו נסמן את הוקטור u כך u סימונים מקובלים נוספים: u u את גודל הוקטור u נסמן כך סימון מקובל נוסף הוא גודל וקטור נקרא גם אורך הוקטור וגם הנורמה של הוקטור v = ( z, y +, x ), u = (4,, ) u = v z y, () מצא את x אם נתון ש- כאשר 5) 6, (, = w חשב:, v = (4,, 6) () נתונים הוקטורים: 4),, ( = u, v 05u + w 05v 05u u v 05v א u ב ג ד ה proj( u, v) v u + w v d( u, v) u / u ו v u + 4w ז ח ט י * בסעיפים ז,ח,י הסבר את משמעות התוצאות מבחינה גיאומטרית,0) A(, C(,, ), (4,, ), מצא את הוקטורים הבאים: AC + A C AC ב 4A ג () נתונות הנקודות: א AC + A נתונה הצגה פרמטרית של ישר t(4,5,6) x = (,,) + 4) z y, כתוב את ההצגה בעזרת הקואורדינטות x ב נתונה הצגה של ישר בעזרת קואורדינטות x = + t, y = 0, z = 4 t כתוב את ההצגה הפרמטרית שלו (5) נתונות הנקודות,0) A(, C(,, ), (4,, ), א מצא הצגה פרמטרית של ישר במרחב העובר דרך הנקודות: C A C A A E(7, 7, ) ב מי מבין הנקודות ), (4, = D נמצאת על הישר שמצאת בסעיף הקודם C ג חשב את הזווית שבין הישר A והישר z y מצא במרחב הצגה פרמטרית של ציר ה- x, ציר ה- וציר ה- 6) z ב מצא הצגה פרמטרית של ישר במרחב העובר דרך הנקודה (6,4,5) ומקביל לציר לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
א) (,,) והמאונך לישר 7 (7) מצא במרחב הצגה פרמטרית של ישר העובר דרך הנקודה x = (,,0) + s(,, 4) 4,,) P(, מאונך לישר (8) מצא במרחב הצגה פרמטרית של ישר l העובר דרך הנקודה א) l : (,,) + t (, 4, ) וחותך אותו נתונה הצגה פרמטרית של מישור x = (,,) + t(, 0,) + s( 4,,5) 9) כתוב את ההצגה בעזרת הקואורדינטות z y, x ב נתונה הצגה של מישור בעזרת קואורדינטות כתוב את ההצגה הפרמטרית שלו x = + t s, y = 0 + t, z = 4 t + s הראה ששלוש הנקודות (,,0),(,0,),(,0,5) אינן נמצאות על ישר אחד ומצא 0) הצגה פרמטרית של המישור הנקבע על ידן מצא את משוואת המישור העובר דרך שלוש הנקודות הנ"ל ב מצא שתי נקודות נוספות הנמצאות על המישור שמצאת בסעיף א ג האם הנקודה (,,4) נמצאת על המישור שמצאת בסעיף א? () נתונות הנקודות: A(,,) C(,,), (,,0), א מצא הצגה פרמטרית של הישר, המחבר את עם C הראה כי הנקודה A לא נמצאת על הישר הזה C עם ב חשב את המרחק בין הנקודה A לבין הישר המחבר את C עם ג מצא את משוואת המישור העובר דרך הנקודה A והמאונך לישר המחבר את z () נתונה תיבה D' ACDA' ' C ' כמתואר בציור נתון: = 6 AA' C ' F = F ', A = 4, AD =, A' F ' א מצא הצגה פרמטרית של הישר העובר D' C' דרך הנקודה F ומאונך למישור העובר העובר דרך A' D A y ב מצא את מרחק הנקודה F מהמישור העובר D C העובר דרך A' D x לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
8 D' C' () בתיבה D' ACDA' ' C ' נתונים הקודקודים : A' ' A(7, 9,5), (,, 7), C( 5,, ), C '(,7, ) D M = MA C הנקודה M מחלקת את המקצוע A כך ש- א חשב: MA' MC, A M A' ב חשב את שטח המשולש MC A(-6,,8) (4,0,-6) 4) נתונה מקבילית ACD (ראה ציור) א מצא את קודקוד D ב מצא את הזווית בין אלכסוניה של המקבילית D C(-0,6,-) M (5) נתונה פירמידה שבסיסה מקבילית ACD וקודקודה M (ראה ציור) נתון: A D A(,6, ), (,, ), C(7,6, ), M (4,, 45) א מצא את גודל זווית AC C ב מצא את שטח בסיס הפירמידה ג מצא את נפח הפירמידה A' ' D' C' ACDA' ' C ' D' A(,,0), C(4,0,), D(,, ), '(9,,8) (6) נתונה תיבה נתון: C חשב את נפח התיבה A D לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
9 (7) מצא את מצבם ההדדי של זוגות הישרים הבאים וקבע אם הם: נחתכים, מקבילים, מתלכדים או מצטלבים x = (,0,) + t(,,0), x = (,,0) + s(, 4,0) x = (,, 4) + u(6, 6,), x = (,, 0) + t(,,) א ב ג ) 4, s(, x = (,, ) + t(,, ), x = (,,) + ד,), s( x = (,, 0) + t(0,, 4), x = (, 0, ) + במקרה בו הישרים נחתכים מצא גם את נקודות החיתוך ואת הזווית בין הישרים במקרה בו הישרים מקבילים או מצטלבים מצא גם את המרחק ביניהם l : ( x, y, z) = (4,,) + t(,, ) l : ( x, y, z) = (5,,4) + m(,,5) (8) נתונים שני ישרים: א הראה כי הישרים מצטלבים l l ב מצא משוואה של מישור שמכיל את ומקביל ל- ג חשב את המרחק בין הישרים (9) נתונים שני ישרים: l : ( x, y, z) = (,,) + u(,, ) l : ( x, y, z) = (,9, 6) + m(6,, ) א מהו המצב ההדדי של הישרים? ב אם הישרים מקבילים או נחתכים, מצא את משוואת המישור המכיל אותם אם הישרים מצטלבים מצא את המרחק ביניהם (0) נתונות ארבע נקודות: ) S(,, P( k,0,0), Q(0, 4,0), R(0, k,), א הראה שלא קיים ערך של עבורו הישרים SR מקבילים PQ k ב מצא עבור איזה ערך של k הישרים אורתוגונליים (מאונכים) זה לזה, ומצא את המרחק ביניהם במקרה זה לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
40 עובר דרך הנקודות (,6,) l,) (5, () הישר l : (, k +,) + t ( k 9, 7,0) l הצגה פרמטרית של הישר היא: הישרים מקבילים (לא מתלכדים)? הישרים מתלכדים? k k א עבור איזה ערך של עבור איזה ערך של z ב lומקביל לציר ה- מצא משוואה של מישור, π המכיל את הישר π מהמישור l ג עבור k שמצאת בתת סעיף א, מצא את המרחק של () נתונות ארבע נקודות: k,0,0) A(,, ), (, k,), C(0, 4,0), D( A l הישר מחבר את הנקודה עם הנקודה D עם הנקודה C l הישר מחבר את הנקודה א מצא עבור איזה ערך של k הישרים מאונכים זה לזה k ב עבור הערך של l שמצאת בסעיף א, מצא את משוואת המישור המכיל את הישר l ומקביל לישר () מצא את המצב ההדדי של המישור והישר וקבע אם הישר: חותך את המישור, מקביל למישור או מוכל במישור x y + 4z 5 = 0, x = (,0, ) + t(,, ) x 5y + z 6 = 0, x = (,0, 4) + t(4,, 6) x 4y + 0z = 6, x = (,, ) + t(,, 0) א ב ג במקרה שהישר חותך את המישור, מצא גם את נקודת החיתוך וגם את הזוית בין הישר למישור במקרה בו הישר מקביל למישור מצא את מרחק הישר מהמישור (4 + k,, ) עובר דרך הנקודות (6,5,4)A (4) ידוע כי הישר l ונתון מישור = 0 5 kz π : x 4 y א עבור איזה ערך של k הישר מקביל למישור? C C ב המישור π חותך את ציר ה- x עבור בנקודה k שמצאת בסעיף א, חשב את הזווית בין המישור π לבין לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
א) 4 π : x y 4z (5) נתונים ישר: ) a, l : (,, ) + t(0, ומישור: = 4 א עבור איזה ערך של הקבוע a יהיה הישר מוכל במישור? ב מצא משוואה של מישור המכיל את הישר l ומאונך למישור π נתונים שני ישרים ומישור : l : ( x, y, z) = (,,) + t(,, ) l : ( x, y, z) = (,,) + s(,,) π : x y + z = (6) א קבע את המצב ההדדי בין כל אחד מהישרים למישור 8 l ב מצא את הנקודות על הישר שמרחקן מראשית הצירים הוא (7) בציור משמאל נתון טטראדר SAC S(,,), ניצב למישור א הוכח כי אחד המקצועות דרך S הנקבע על-ידי שני המקצועות האחרים דרך S A(,,) (,0,) ב מצא את משוואות המישור הנ"ל ג חשב את הזוית שבין המקצוע AC לבין מישור המשולש SA C(-,,) (8) מצא את המצב ההדדי של המישורים וקבע אם הם: מקבילים, מתלכדים או נחתכים x y + z 0 = 0, x + y + z 4 = 0 x 5y + z 6 = 0, 4x 0y + 6z 8 = 0 x 4y + 0z = 6, x 7 y + 5z = א ב ג במקרה בו המישורים מקבילים מצא את המרחק ביניהם במקרה בו הם נחתכים מצא את הזווית ביניהם ואת ישר החיתוך ביניהם x + y z = 7, x + y 4z נתונים שני מישורים: = 0 9) l מצא הצגה פרמטרית לישר החיתוך של שני המישורים l ב נתון:,) (, s + ), (6, : l מהו המצב ההדדי בין l לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
4 x y + z 7 = 0, x + y z (0) נתונים שני מישורים: = 0 + א מצא הצגה פרמטרית לישר החיתוך l של שני המישורים? π : 4x y + Cz = 0 ב עבור איזה ערך של הפרמטר, C יקביל הישר l למישור ג עבור C שמצאת בסעיף ב, חשב את מרחק הישר l מהמישור π M (,8, ) ונקודה x + y + z = 6, x y + 4z () נתונים שני מישורים: 0 = הישר l הוא ישר החיתוך של המישורים הנ"ל א מצא את משוואת המישור העובר דרך הנקודה M וניצב לישר l l ב מצא את מרחק הנקודה M מהישר π : x y 4z = 4 () הישר m) l : (0,,) + t(, 4, מקביל למישור א מצא את הקבוע m π l π ב הנקודה 4), (, N נמצאת על המישור ויוצרת עם הישר מישור π π מצא הצגה פרמטרית של ישר החיתוך של המישורים Z ' C C' () אחד מקודקודי קוביה נמצא A = בראשית הצירים, ' אמצע E א חשב את זווית CEA E ב חשב את הזווית בין שני 0 D Y ODA המישורים AEC A (4) נתונים שני ישרים: X l l : (,, ) + t(,,8) : (,5, ) + u( 4,6, 4) א הראה כי הישרים קובעים מישור יחיד ומצא את משוואתו ב מצא משוואת מישור, המקביל למישור שמצאת ב- א, ועובר דרך הנקודה (0,,0) לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
4 פתרונות פרק 8 לתשומת לבכם! הצגה פרמטרית של ישר (או מישור) היא לא יחידה ייתכן למשל, שהישר הפרמטרי שאתם תקבלו "ייראה" שונה מהישר שאני קיבלתי בכל אופן אם תבצעו בדיקה תוכלו לראות שהם מתלכדים x = 5, y =, z = 6 () ג 4) 7,7, ( ז 4),, ( א,8) 6, ( ה 8) (95,95, ט 4 ב,,) ( ו 6) (9,9, ד 5), (5, ח 5698 6 (,, ) 9 9 57 7 4 4 י () (8,, 0) ( 8, 6, 8) א 7,) (5, ב ג () x = (,0, 4) + t(, 0, ) א x = + 4 t, y = + 5 t, z = + 6t ב (4) א ) ) 5, t(, + 0), (, א ) ) t(,, +,0) (, א ),), t( + ), (4, ב הנקודה D (5) (4,5, 6) + t(0, 0,) t(0, 0,),t(0,,0) ) 5477 ג א t(,0,0), ב (6 (,,) + t(,, 0) (7) ( 4,,) + t(8,, 5) (8) (,0, 4) + t(,, ) + s(, 0,) א x = + t 4 s, y = + s, z = + t + 5s ב (9) א = 0 z x + y + ג לא א 5), s(, + t(, 0, ) + 0) (,, ( 05,0,0) ב למשל: 0,) (0,, א,) t(0, + 0) (,, ב 44 ג = 0 + z y (0) () 8 7 א ) t(6,, + 4,6) (, ב () א = 08 MA' MC = 5, ב 5996 () 86 א 8,) 0, D( ב (4) S = 4 א 6565 ב ג = V (5) V = 7 (6) 407 א מקבילים, 095 ד נחתכים בנקודה ב מצטלבים, ג מתלכדים 4), (, זווית בין הישרים 476 (7) x ג 06 (8) ב = 4 y + לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
44 א מצטלבים ב 0 (9) d = 5 (0) ב = 08 k, = 7 y x + ג 565685 k = 4 א 4 = k א ב () 8x 4 y + 5z + = 0 א = k ב () () א מקביל, 0984 ב מוכל ג חותך בנק' (-,05-,5), זוית בין הישר למישור 4078 (4) א = 9 k ב 0x + y + z 9 = 0 467 ) א = a ב (5 (,,4),(,, ) 4 5 l l מוכל, א חותך ב (6) 6476 x y z + = 0 א SC SA ב ג (7) א המישורים נחתכים ישר החיתוך: 5), t(, +,) (0, זווית 66 ב המישורים מקבילים, המרחק ביניהם: 04 ג המישורים מתלכדים (8) א ), 5, t( + ) (9,0, ב מצטלבים (9) ב = C ג 884 (0) א 7,) t(, + 0) 5, (, 5x y z א = ב 507 () (,, 4) + t( 4, 4, 8) א 8 = m ב () () א 7846 ב x 0y 7z 0 = 0 א ) 56 ב x 0 y 7z + 9 = 0 (4 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
45 תרגילים - פרק 9 מספרים מרוכבים () פתור את המשוואות הבאות ומצא את z z 6z + = 0 ( z 4z + 5 = 0 ( z + 9 = 0 ( () חשב: 5 6 ( 4 i)( i) (4 (4 + i) ( + 0 i) ( ( i i ) ( ( i ) ( :( חשב (כתוב את התוצאה בצורה z = x + yi i + i 5 ( ( ( i ( i + ) i + i () (4) פתור את המשוואות הבאות ומצא את המספר המרוכב : z i z z i zz z i z i z ( + ) + + = 0 ( 5 = 0 ( 6 = ( (5) כתוב את המספרים הבאים בצורה קוטבית: i (4 i ( i ( + i ( 8 (8 i (7 i (6 + i (5 (6) חשב: 00 0 9 ( ) + i + i ( + i ( 8 (6 (5 8 (4 5 6 z + z + = 0 4 (7) א מצא את כל הפתרונות של המשוואה 6 z = z ב הראה כי אם הוא פתרון של המשוואה מסעיף א אזי: z 4 (8) נתונה המשוואה 8 8 i = א מצא את פתרונות המשוואה הנתונה ב הוכח כי החזקה השלישית של כל אחד מפתרונות הנתונה היא מספר ממשי או מספר מדומה טהור לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
46 z = i 4 פתור את המשוואה = i z + z i א מצא את שלושת הפתרונות של המשוואה (9) (0) i ב הראה שמכפלת שלושת הפתרונות היא ג הראה שאם מעלים בריבוע פתרון כלשהו של המשוואה, התוצאה שווה למכפלת שני הפתרונות האחרים z 5 () א פתור את המשוואה i) 6( = ב הוכח כי חמשת השורשים מהווים סדרה הנדסית, ומצא את מנת הסדרה q a, a q, a q,, a q n הערה: סדרה הנדסית היא סדרה מהצורה באשר מנת הסדרה w = + i () נתון z = w א מצא את פתרונות המשוואה w ב הראה כי מכפלת הפתרונות של המשוואה היא iz ( + ) = () נתונה המשוואה i z z א מצא את פתרונות המשוואה z z z + z = הראה כי ב 5 (4) נתונה המשוואה = ) z ( הוכח שסכום שורשיה הוא z (5) נתונה המשוואה + i = א מצא את שורשי המשוואה: z, z, z z + z + z ב מצא את הסכום ( z ) + ( z ) + ( z ) 9 9 9 ג הראה כי הסכום הוא מספר מדומה טהור לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
47 z, z + z ti = 8s נתונה המשוואה הוא מספר מרוכב (6) z z t הם מספרים ממשיים שונים מאפס כאשר s הם פתרונות המשוואה t א הבע את פתרונות המשוואה באמצעות s t s z z i נתון ב 8 = מצא את הפרמטרים ( ) (7) א פתור את המשוואה = 0 z z i + z + z + z + ב אחד מהפתרונות שמצאת בסעיף א, הוא איבר אחרון בסדרה חשבונית שכל איבריה + האיבר הראשון בסדרה הוא מספר ממשי i 6 שונים מאפס הפרש סדרה זו הוא: חשב את האיבר הראשון בסדרה a, a + d, a + d,, a + ( n ) d הערה: סדרה חשבונית היא סדרה מהצורה: באשר d נקרא הפרש הסידרה i) u = ( i, 4 i,+ 6 i), v = (5 + i, i,7 + מצא: (8) נתון : u v ( i u v ( 4 u + v ( v (6 u (5 u u (4 פתרונות פרק 9 + 0 i (4 9 i ( 0 ( 8 ( () ± i ( ± i ( ± i ( () + i ( + i ( i ( () 5 5 z = i, z = ( z = + i, z = 4 + i ( z = + i ((4) 7π 7π 5π 5π π π (cos + isin ) ( (cos + isin ) ( (cos + i sin ) () 6 6 4 4 (5) π π π π 7π 7π (cos + i sin ) (6 (cos + i sin ) (5 (cos + i sin ) (4 6 6 4 4 4 4 - ( 9 ( i ( (6) π π 8(cos π + i sin π ) (8 (cos + i sin ) (7 לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil
48 6 π + πκ π + πκ 8 cos + i sin k = 0,,,, 4,5 6 6 5 0 + πκ 0 + πκ cos + i sin k = 0,,,, 4 5 5 π + πκ π + πκ 8 cos + i sin k = 0,, z = cis60, z = cis40, z = cis0, z = cis00 0 4 (4 (5 (6 (7) z = 0, z =, z = (9) z = + i, z = + i, z = i, z = i 4 (8) א z = + i, z = + i, z = i (0) א q = cis7 z = cis[0 + ( n )7 ] n =,,, 4,5 n א ב () + ( + ) i, + ( ) i () z = cis45, z = cis65, z = cis85 א א () 4i 6 z = cis90, z = cis70, z = cis50 א ג ב (5), z = 0 (7) t = 9, s = ± t t z = s i, z = s i s s א ב א (6) (7 7 i, + i, + 6 i) (8) a ב 85 = א z = 05 + 05i, 9 66 66 0 + 5i ב 9) i, + 5 i, 0 + ( ג ה ד ו סוף לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil