ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ 1) Ο λόγος των μηκών δύο κύκλων ( Ο, ρ ) και ( Ο, ρ ) είναι 1 3. Αν ρ = 1,15 cm να βρείτε : Την ακτίνα ρ. Το μήκος του ( Ο, ρ ) Το λόγο των διαμέτρων τους. 2) Οι περίμετροι δύο κύκλων έχουν λόγο 3 2. Να βρείτε το λόγο των διαμέτρων τους και τον λόγο των ακτινών τους. 3) Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα ( ρ = ακτίνα, δ = διάμετρος, L = μήκος κύκλου, Ε = εμβαδόν κύκλου ) ρ 4 cm δ 24 cm L 37,68 cm Ε 12,56 cm 2 4) Οι τροχοί ενός αυτοκινήτου έχουν ακτίνα 0,35 cm. Αν σε μια διαδρομή έκαναν 200 στροφές, να βρείτε πόσα Κm ήταν η διαδρομή αυτή. 5) Να βρεθεί το εμβαδόν της περιοχής Ε του διπλανού σχήματος. 6) Σε κύκλο με κέντρο Ο και διάμετρο ΑΒ = 8 cm, γράφουμε ημικύκλια με διαμέτρους ΑΟ και ΟΒ.Να βρείτε το συνολικό μήκος των καμπύλων γραμμών του σχήματος και το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους του. 7) Δύο κύκλοι Ο και Κ εφάπτονται εσωτερικά σε ένα σημείο Α και ο μικρότερος διέρχεται από το κέντρο Ο του μεγάλου. Μια ακτίνα ΟΓ του μεγάλου συναντά τον μικρό στο Β.Να δείξετε ότι τα τόξα ΑΒ και ΑΓ έχουν το ίδιο μήκος. - 1 -
8) Σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ είναι εγγεγραμμένο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με κάθετες πλευρές ΑΒ = 16 cm και ΑΓ = 12 cm. Να υπολογίσετε : α) το μήκος του κύκλου. β) το εμβαδόν του κύκλου. γ) το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους του σχήματος. 9) Να βρεθεί το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής του διπλανού σχήματος. 10) Πάνω στη διάμετρο ΑΒ ενός κύκλου κέντρου Ο έχουμε σημείο Γ, μεταξύ Α και Ο και σημείο Δ μεταξύ Ο και Β. Με διαμέτρους ΑΓ, ΓΟ, ΟΔ, ΔΒ γράφουμε κύκλους. Να δείξετε ότι το άθροισμα των μηκών αυτών των κύκλων, είναι ίσο με το μήκος του μεγάλου κύκλου. 11) Να βρεθεί το εμβαδόν των γραμμοσκιασμένων περιοχών σε καθένα από τα παρακάτω τετράγωνα πλευράς 20 cm και να συγκρίνετε τα αποτελέσματα. - 2 -
12) Δύο ίσοι κύκλοι ακτίνας 3 cm εφάπτονται εξωτερικά σε σημείο Α. Αν ΜΝ είναι το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα τους, βρείτε την περίμετρο του μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΜΝ και το εμβαδόν του. 13) Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο με μήκος πλευράς 4 cm. Αν τα σημεία Δ, Ε, Ζ είναι μέσα των πλευρών του, να υπολογίσετε : α) την περίμετρο του καμπυλόγραμμου τριγώνου ΔΕΖ. β) το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου ΔΕΖ. 14) Στο ρόμβο ΑΒΓΔ η διαγώνιός του ΒΔ = α = 12 cm όπου α η πλευρά του ρόμβου. Με κέντρα τις κορυφές Α, Β, Γ, Δ και ακτίνα 6 cm γράφουμε τα τόξα όπως φαίνονται στο σχήμα. Να βρεθεί το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου σχήματος. 15) Αν ΑΒ = 4 cm και ΑΔ = 2 cm να βρεθεί το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας. 16) Σε κύκλο κέντρου Α φέρνουμε τις κάθετες ακτίνες ΑΒ και ΑΓ. Με διάμετρο τη ΒΓ γράφουμε ημικύκλιο εκτός του τριγώνου. Αν είναι ΒΓ = 10 cm, πόσο είναι το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μηνίσκου - 3 -
17) Η εφαπτομένη ευθεία σε σημείο Α του κύκλου με κέντρο Ο, τέμνει την προέκταση της ακτίνας ΟΒ σε σημείο Γ. Αν το Β είναι μέσο της ΟΓ και 75 cm, να υπολογιστούν : α) η γωνία Γ β) η περίμετρος του τριγώνου ΟΑΓ και το εμβαδόν του γ) η περίμετρος και το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ. 18) Στον κύκλο ( Ο, 6 cm) γράφουμε τις κάθετες διαμέτρους ΑΓ και ΒΔ. Με κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουμε το τόξο. Να βρείτε : α) Το μήκος των πλευρών ΑΒ, ΓΒ. β) Το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος ΟΑΕΓ. γ) Το εμβαδόν του μηνίσκου δηλαδή του μέρους μεταξύ των τόξων και. 19) Στο κύκλο ( Ο, 6 cm ) έχουμε την επίκεντρη γωνία AOB 60 Β φέρουμε τις εφαπτόμενες που τέμνονται στο σημείο Σ. α) Να δείξετε ότι ΣΑ = ΣΒ. β) Η ΟΣ είναι μεσοκάθετη της ΑΒ. γ) Να βρείτε το μήκος των διαγωνίων ΑΒ και ΟΣ του τετραπλεύρου ΟΑΣΒ. δ) Να βρείτε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου σχήματος.. Στα σημεία Α και 20) Έχουμε το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ A 90 που έχει την ΒΓ= 10 2 cm. Με κέντρο το Β και ακτίνα την ΑΒ γράφουμε το τόξο. Με κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΔ γράφουμε το τόξο. Να βρεθούν : α) Οι ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ του τριγώνου ΑΒΓ. β) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. γ) Το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου σχήματος. - 4 -
21. Κυκλικός τομέας γωνίας 60 0 έχει εμβαδόν 24π cm 2. Να βρεθεί το εμβαδόν του κύκλου στον οποίο ανήκει. 22. Δίνεται τόξο AB 4 rad κυκλικού τομέα ΟΑΒ εμβαδού 8 cm 2. Να βρεθεί το εμβαδόν του κύκλου στο οποίο ανήκει. 23. Κυκλικός τομέας εμβαδού 4π cm 2 έχει ακτίνα ρ = 4 cm. Να βρεθεί το μήκος του τόξου που ορίζει ο κυκλικός τομέας, η γωνία του κυκλικού τομέα σε μοίρες και σε ακτίνια. 24. Να βρεθεί το εμβαδόν και η περίμετρος της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας. - 5 -
25. Να βρεθεί το εμβαδόν και η περίμετρος της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας. 26. Δίνεται τόξο AB μήκους 27 π cm με αντίστοιχη επίκεντρη γωνία 60 0. Να βρεθεί το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας. 27. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ ) είναι ˆΑ 120, το ΑΔ είναι ύψος του και ΑΕ = 3 cm. Με κέντρο το Α και ακτίνα ρ = ΑΔ γράφουμε κύκλο. α) Να υπολογίσετε το μήκος του ΔΓ. β) Αν ΒΓ 6 3 cm να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου. - 6 -
28. Να γραφεί το εμβαδόν και η περίμετρος του γραμμοσκιασμένου σχήματος 29. Το διπλανό σχήμα ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο, με ΑΒ=14 cm, ΑΔ=8 cm και ΒΕ τόξο κύκλου με κέντρο Γ και ακτίνα ΓΒ. Να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο της σκιασμένης επιφάνειας. ( Δίνεται: π 3,14 ) 30. Στο διπλανό τραπέζιο ΑΒΓΔ ( ΑΒ//ΓΔ ) να υπολογίσετε : 1. το εμβαδόν του τραπεζίου 2. το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας. 31. Το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο με πλευρά 6cm και ΖΒ = 8cm. Αν ημικύκλιο και ΕΖ // ΔΑ να υπολογίσετε το εμβαδόν ΖΗΕ του σκιασμένου μέρους. 32. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο με ΕΖ // ΔΓ και ΕΔ = ΖΓ = 5 cm. Να βρεθεί το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας - 7 -
ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΝΗΣΥΧΙΕΣ.. 33. Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου σχήματος ( Κ κέντρο του κύκλου ), αν ΓΚΒ 36, ΚΒ = 14 και Ο το κέντρο του ημικυκλίου ΑΔΚ 22 ( ) 7 34. Δίνεται κύκλος με διάμετρο ΑΒ = 16 cm. Μέσα στον κύκλο γράφεται ρόμβος. Η απόσταση ΓΒ = 10 cm. Να βρείτε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου. ( Η απάντηση μπορεί να δοθεί συναρτήσει το π ) 35.Αν ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο με ΓΔ = 20cm, ΑΒ = 14 cm και ΒΓ = ΑΔ = 5 cm, να βρείτε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου σχήματος. - 8 -