ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Μελέτη και ιδιότητες της βήτα διάσπασης Βασιλική Μπέτα ΑΕΜ: 12907 Επιβλέπων Καθηγητής: Χαράλαμπος Μουστακίδης Θεσσαλονίκη 2014
1
Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα Επίκουρο Καθηγητή κ Χαράλαμπο Μουστακίδη για την υπόδειξη του θέματος της εργασίας καθώς και για την καθοδήγηση και την βοήθειά του σε κάθε φάση της εκπόνησής της Βασιλική Μπέτα 2
Περιεχόμενα 1 Γενικά για τη βήτα διάσπαση 7 11 Διάσπαση β - 7 12 Διάσπαση β + 9 13 Σύλληψη ή αρπαγή e - 10 14 Αντίστροφη βήτα διάσπαση (απορρόφηση νετρίνο) 10 15 Διπλή βήτα διάσπαση 11 2 Μάζα και σταθερότητα πυρήνα 12 21 Ο ημιεμπειρικός τύπος μάζας (ενέργεια σύνδεσης) 12 22 Κοιλάδα β-σταθερότητας 15 23 Η s και η r διαδικασία 18 3 Δυναμική στη βήτα διάσπαση 20 31 Ασθενής αλληλεπίδραση 20 32 Χρονοεξαρτώμενη θεωρία διαταραχών: Το φάσμα της β-διάσπασης και ο χρόνος ημιζωής 21 4 Μεταπτώσεις στη βήτα διάσπαση 29 41 Η ασθενής αλληλεπίδραση: Ένα μοντέλο μη σχετικιστικό και χωρίς spin 29 42 Εσωτερικό spin 31 43 Fermi και Gamow-Teller βήτα μεταπτώσεις 32 44 Απαγορευμένες μεταπτώσεις 33 45 Διαδικασίες αρπαγής ηλεκτρονίων 34 5 Το νετρίνο στη βήτα διάσπαση 36 51 Αντίστροφες β διαδικασίες 36 52 Διπλή β-διάσπαση 37 53 Η μάζα του νετρίνο 40 54 Διαφορετικοί τύποι νετρίνο: Το πείραμα των δύο νετρίνο 42 6 Σχόλια 45 3
Κατάλογος Σχημάτων 11 Διάγραμμα Feynman της β - διάσπασης 8 12 Διάσπαση β - 8 13 Διάγραμμα Feynman της διάσπασης β + 9 14 Διάσπαση β + 9 15 Διάγραμμα Feynman για την αρπαγή e - 10 21 Ισοβαρείς παραβολές της ενέργειας για Α=135 και Α=102 13 22 Κοιλάδα της βήτα σταθερότητας 16 23 Ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο 16 24 Ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο για σταθερούς β πυρήνες 17 25 Πορεία της s και r διαδικασίας 18 31 Διάγραμμα της β - διάσπασης του νετρονίου 20 32 Σύγκριση της ηλεκτρομαγνητικής και ασθενούς αλληλεπίδρασης 21 33 Ενέργεια και γραμμική ορμή για ηλεκτρόνιο, αντινετρίνο και θυγατρικό πυρήνα 22 34 Διάσπαση του 64 Cu 24 35 Διάγραμμα Fermi-Kurie 25 36 Διάγραμμα Fermi-Kurie για το τρίτιο 26 37 Ποσότητα f(z D,w 0 ) για ηλεκτρόνια και ποζιτρόνια 27 41 Διάσπαση β - σε ένα μοντέλο μη σχετικιστικό και χωρίς σπίν 30 42 Κατανομή των τιμών log(ft) 33 51 Διπλή βήτα διάσπαση 37 52 Διπλή βήτα διάσπαση 2 νετρονίων συνοδευόμενα από εκπομπή 2 ζευγών 38 53 Διπλή βήτα διάσπαση 2 νετρονίων χωρίς νετρίνο 39 54 Ενεργειακό φάσμα για τις 2 πιθανότητες της διπλής βήτα διάσπασης 39 55 Fermi-Kurie διαγράμματα της β-διάσπασης του τριτίου 40 56 Το ανώτατο άκρο για το ηλεκτρονικό φάσμα 41 57 Supernova 1987A 42 58 Πειραματική διάταξη στο BNL-AGS 43 59 Νετρίνο ηλεκτρονίων και νετρίνο μιονίων 44 510 Κατάταξη των σημαντικότερων λεπτονίων 44 4
Περίληψη Αντικείμενο αυτής της εργασίας είναι η μελέτη της βήτα διάσπασης, η οποία έχει πρωτεύουσα σπουδαιότητα για την φυσική των νετρίνων και κατ επέκταση την Αστροφυσική Στα πρώτα δύο κεφάλαια γίνεται μία γενική εισαγωγή στα διάφορα είδη της βήτα διάσπασης αλλά και στις βασικές γνώσεις γύρω από την μάζα και το μέγεθος των πυρήνων καθώς και την κοιλάδα της βήτα σταθερότητας Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στο δυναμικό της βήτα διάσπασης, στο φάσμα της καθώς και στον χρόνο ημιζωής της Στην συνέχεια, στο τέταρτο κεφάλαιο αναλύονται κυρίως οι Fermi και Gamow-Teller βήτα μεταπτώσεις αλλά και οι απαγορευτικές μεταπτώσεις Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο αναφερόμαστε στη σημασία του νετρίνο στη βήτα διάσπαση, η οποία είναι καθοριστική Μέσα από την μελέτη της βήτα διάσπασης, ανακαλύφθηκε το νετρίνο, το οποίο έχει μικρή ή μηδενική μάζα Πεπερασμένη μάζα νετρίνο σημαίνει σημαντικές συνέπειες στην κοσμολογία καθώς απαντά καθοριστικά ερωτήματα σχετικά με το αν το Σύμπαν είναι ανοικτό ή κλειστό, αν δηλαδή συνεχίζει να διαστέλλεται ή έχει σταματήσει Σε όλα αυτά συντελούν τόσο η μελέτη της διπλής βήτα διάσπασης και του Majorana νετρίνο, όσο και οι Fermi και Gamow-Teller αλληλεπιδράσεις που αναλύονται σε αυτή την εργασία 5
Abstract The purpose of this thesis is to study the beta decay which is of great importance in the neutrino science and in Astrophysics In the first two units of the study, there is a general introduction of the various states of the beta decay and the basic knowledge of the mass and size of the nuclei and the beta stability valley The third unit is referred to the dynamics of beta decay, the spectrum shape and its lifetime Subsequently, the fourth unit represents the Fermi and Gamow-Teller beta transitions and the forbidden ones The next unit is dedicated in the significance of the neutrino in beta decay which is determinant Through the study of beta decay, the neutrino was discovered, which has small or even zero mass The finite mass of the neutrino has important consequences in cosmology Both the study of double beta decay and the majorana neutrino, as well as the Fermi and Gamow-Teller transitions are analysed in this thesis 6
Κεφάλαιο 1 Γενικά για τη β-διάσπαση Διάσπαση βήτα είναι μία πυρηνική αντίδραση η οποία γίνεται με ασθενή αλληλεπίδραση και Α κατά την οποία ένας ατομικός πυρήνας Χ μεταστοιχειώνεται σε έναν άλλο ή με αυξημένο Α κατά ένα τον ατομικό αριθμό ( Υ) και εκπέμποντας ένα σωμάτιο β -, δηλαδή ένα ηλεκτρόνιο (e - ), οπότε και η διάσπαση παίρνει το όνομα διάσπαση β -, ή με μειωμένο κατά ένα τον ατομικό αριθμό ( Α Υ) και εμπέμποντας ένα σωμάτιο β +, δηλαδή ένα ποζιτρόνιο (e + ), οπότε και η διάσπαση παίρνει το όνομα διάσπαση β + Εκτός από αυτές τις βασικές διασπάσεις υπάρχουν και αυτές της διάσπασης ββ στην οποία γίνεται εκπομπή δύο σωματίων β ταυτόχρονα και ονομάζεται διπλή β διάσπαση και της σύλληψης e - στην οποία γίνεται σύλληψη ενός τροχιακού ηλεκτρονίου Σε όλες αυτές τις αντιδράσεις ο μαζικός αριθμός του πυρήνα παραμένει σταθερός Κατά την β διάσπαση το φορτίο του πυρήνα μεταβάλλεται όμως ο αριθμός των νουκλεονίων του συνολικά δεν μεταβάλλεται Ουσιαστικά η β - διάσπαση προέρχεται από την μετατροπή ενός νετρονίου σε πρωτόνιο και η β + και EC αντιστοιχούν σε μετατροπή πρωτονίου σε νετρόνιο Η μετατροπή νετρονίου σε πρωτόνιο αντιστοιχεί σε μετάπτωση μιας κβαντικής κατάστασης σε μια άλλη στην οποία το ηλεκτρόνιο και το αντινετρίνο δημιουργούνται και εκπέμπονται ενώ δεν προϋπήρχαν στον πυρήνα Αντίστοιχα, στην μετατροπή πρωτονίου σε νετρόνιο, εκπέμπονται ένα ποζιτρόνιο και ένα νετρίνο 11 Διάσπαση β - Κατά την β - διάσπαση ο μητρικός πυρήνας μεταστοιχειώνεται στον θυγατρικό εκπέμποντας ένα e - και ένα αντινετρίνο του ηλεκτρονίου Η β - διάσπαση περιγράφεται ως εξής: Α Χ Α Υ ν 7
και για παράδειγμα η διάσπαση του νετρονίου: Επειδή η μάζα του νετρονίου είναι μεγαλύτερη από το άθροισμα των μαζών του πρωτονίου και του ηλεκτρονίου, τα ελεύθερα νετρόνια διασπώνται με β - διάσπαση ν Σχήμα 11: Διάγραμμα Feynman της β - διάσπασης Σχήμα 12: Διάσπαση β - 8
12 Διάσπαση β + Κατά την β + διάσπαση ο μητρικός πυρήνας μεταστοιχειώνεται στον θυγατρικό εκπέμποντας ένα e + και ένα νετρίνο του ηλεκτρονίου Η β + διάσπαση περιγράφεται ως εξής: και η διάσπαση του πρωτονίου δίνεται από την: Επειδή η μάζα του πρωτονίου είναι μικρότερη από την μάζα του νετρονίου, το ελεύθερο πρωτόνιο δεν μπορεί να διασπαστεί με β + διάσπαση προς νετρόνιο Το πρωτόνιο μπορεί να διασπαστεί προς νετρόνιο μόνο μέσα στον πυρήνα όπου η διαφορά της ενέργειας σύνδεσης μεταξύ του πατρικού και του θυγατρικού πυρήνα ισούται με την διαφορά μάζας μεταξύ του πρωτονίου και του νετρονίου ν Σχήμα 13: Διάγραμμα Feynman της διάσπασης β + Σχήμα 14: Διάσπαση β + 9
13 Σύλληψη ή αρπαγή e - (EC) Κάποια τροχιακά ηλεκτρόνια του ατόμου είναι πιθανό να βρεθούν μέσα στον πυρήνα Όταν αυτό συμβεί, τότε τα πρωτόνια τα δεσμεύουν και γίνονται νετρόνια εκπέμποντας ένα νετρίνο του ηλεκτρονίου Συμβολικά η αντίδραση γράφεται ως εξής: ν Σχήμα 15: Διάγραμμα Feynman για την αρπαγή e - 14 Αντίστροφη β-διάσπαση (απορρόφηση νετρίνο) Μπορεί να συμβεί η διαδικασία κατά την οποία το πρωτόνιο απορροφά ένα αντινετρίνο, δηλαδή: ν ή το νετρόνιο να απορροφήσει ένα νετρίνο: ν Και οι δυο διαδικασίες είναι στην ουσία β-διάσπαση Στις παραπάνω εξισώσεις το νετρίνο που απορροφάται είναι αντίθετου τύπου από αυτό που εκπέμπεται κατά την β + και την β - διάσπαση Έτσι η διαδικασία p n + e + + v e μπορεί να θεωρηθεί ως η απορρόφηση ενός ηλεκτρονίου αρνητικής ενέργειας από ένα πρωτόνιο Η οπή του ηλεκτρονίου αρνητικής ενέργειας είναι ένα ποζιτρόνιο και γενικά η συμμετρία σωματιδίου-αντισωματιδίου μπορεί να θεωρηθεί ως απορρόφηση αντινετρίνο αρνητικής ενέργειας του οποίου η οπή είναι το νετρίνο Έτσι λοιπόν το πρωτόνιο μπορεί να απορροφήσει ένα αντινετρίνο αλλά ποτέ νετρίνο Η αρπαγή ηλεκτρονίου είναι συνεπώς αρπαγή ηλεκτρονίου θετικής ενέργειας και αντινετρίνο αρνητικής ενέργειας από πρωτόνιο 10
15 Διπλή β-διάσπαση Λόγω της ενέργειας ζευγαρώματος των νουκλεονίων οι άρτιοι-άρτιοι πυρήνες είναι συνδεδεμένοι πιο ισχυρά από ότι οι γειτονικοί τους περιττοί-περιττοί Ένας αριθμός άρτιωνάρτιων πυρήνων που δεν μπορούν να δώσουν απλή β-διάσπαση (με τις προϋποθέσεις μάζαςενέργειας) μπορούν να διασπαστούν με διπλή β-διάσπαση Η διπλή β-διάσπαση είναι αλληλεπίδραση δυο βημάτων και δίνεται ως εξής: Επειδή είναι αλληλεπίδραση δυο βημάτων, η διπλή β-διάσπαση είναι σπάνιο φαινόμενο Οι υποψήφιοι πυρήνες για διπλή β-διάσπαση έχουν χρόνο ημιζωής της τάξης των 10 20 χρόνια, έτσι το φαινόμενο αυτό παρατηρείται πολύ δύσκολα 11
Κεφάλαιο 2 Μάζα και σταθερότητα πυρήνα Σε αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με τον ημιεμπειρικό τύπο της μάζας που μας δίνει την ενέργεια σύνδεσης όλων των πυρήνων, καθώς επίσης και με την κοιλάδα της β- σταθερότητας, στον πυθμένα της οποίας βρίσκονται όλοι οι β-σταθεροί πυρήνες Τέλος, αναλύουμε την s και r διαδικασία 21 Ο ημιεμπειρικός τύπος μάζας (ενέργεια σύνδεσης) Ο ημιεμπειρικός τύπος: Β Ν Α δ μαζί με την σχέση για την μάζα του πυρήνα: πυρ Ν, δίνουν την μάζα του ουδέτερου ατόμου του οποίου ο πυρήνας έχει νετρόνια και δίνεται από την: πρωτόνια και Ν δ όπου: Β(,Ν) = a Α (όγκου) - b (επιφάνειας) - s (ασυμμετρίας) - d (Coulomb) - δ (ζευγαρώματος) 12
και, +112 MeV για περιττούς-περιττούς πυρήνες ( περιττό και Ν περιττό) δ = 0 για περιττούς-άρτιους πυρήνες ( άρτιο και Ν περιττό ή περιττό και Ν άρτιο) -112 MeV για άρτιους-άρτιους πυρήνες ( άρτιο και Ν άρτιο) Για συγκεκριμένο αριθμό νουκλεονίων Α, μπορούμε να γράψουμε την παραπάνω σχέση σαν συνάρτηση του, αντικαθιστώντας όπου Ν το (Α- ): δ α β γ Για Α περιττό, τότε δ=0 το διάγραμμα της ως συνάρτηση του είναι παραβολή, με ελάχιστο στη θέση: =β/2γ= Α Η παραβολή ονομάζεται ισοβαρής γιατί αντιστοιχεί σε σταθερό Α Για περιττό Α υπάρχει μια παραβολή (μια ισοβαρής) και για Α άρτιο υπάρχουν δύο παραβολές Σχήμα 21: Ισοβαρείς παραβολές της ενέργειας για Α=135 και Α=102 13
Στο σχήμα υπάρχει ένας σταθερός πυρήνας στον πυθμένα της παραβολής για Α περιττό ενώ για Α άρτιο υπάρχουν δύο σταθεροί πυρήνες Η σταθερότητα σε μια ισοβαρή παραβολή επιτυγχάνεται με αυθόρμητη β-διάσπαση η οποία αλλάζοντας ένα νετρόνιο σε πρωτόνιο (δεξιά της σταθερότητας) ή αντιστρόφως (αριστερά της σταθερότητας) μεταβάλλει τον λόγο Ν/ προς την κατεύθυνση της σταθερότητας Οι διαδικασίες εκπομπής φαίνονται στο σχήμα Η εκπομπή ηλεκτρονίου ταυτίζεται με την β - -διάσπαση ενώ η εκπομπή ποζιτρονίου είναι όμοια εκπομπή μόνο που το σωματίδιο που εκπέμπεται είναι το ποζιτρόνιο (αντισωματίδιο του ηλεκτρονίου) Η ηλεκτρονική αρπαγή (EC) είναι εναλλακτική της β + -διάσπασης Πυρήνες με περιττό Α διασπώνται σε πυρήνα που έχει πολύ κοντά στο β/2γ Είναι εξαιρετικά απίθανο να υπάρχουν 2 τιμές του που να δίνουν ακριβώς την ίδια ατομική μάζα Έτσι στην περίπτωση πυρήνων με περιττό Α αναμένουμε να υπάρχει μόνο μία τιμή του, που να αντιστοιχεί σε β-σταθερό πυρήνα Πυρήνες με άρτιο Α μπορεί να έχουν τα και Ν είτε ταυτόχρονα άρτια είτε ταυτόχρονα περιττά Στον ημιεμπειρικό τύπο μάζας, οι άρτιοι-άρτιοι πυρήνες έχουν χαμηλότερη ενέργεια από τους περιττούς-περιττούς κατά 2δΑ -1/2 Έτσι το άτομο με την μικρότερη μάζα ηρεμίας (ενέργεια) για συγκεκριμένο Α, έχει το πλησιέστερο ακέραιο min στο β/2γ Είναι προφανές ότι αν: ίσο με min Α/2, τότε Ν για τον πυρήνα αυτό Η β-διάσπαση είναι μια διαδικασία στην οποία το ενός πυρήνα αλλάζει, ενώ το Α παραμένει σταθερό, αν βέβαια η διαδικασία επιτρέπεται ενεργειακά Αν ένας πυρήνας έχει: < min η διαδικασία (Α, ) (Α, +1) + e - + είναι δυνατή αν: πυρ Α πυρ Α αφού η μάζα του αντινετρίνου (αν όντως έχει μάζα) είναι εξαιρετικά μικρή Η συνθήκη μπορεί να επανεκφραστεί και ως: Η ενέργεια που ελευθερώνεται στην πυρηνική β-διάσπαση δεν είναι ποτέ τόσο μεγάλη ώστε να παράγει άλλα σωματίδια εκτός από ηλεκτρόνια ή ποζιτρόνια και νετρίνα 14
Αν ένας πυρήνας έχει: min μπορεί να αποσυντεθεί εκπέμποντας ένα ποζιτρόνιο και ένα νετρίνο Η συνθήκη πραγματοποίησης της διαδικασίας β-διάσπασης με εκπομπή ποζιτρονίου είναι: πυρ Α πυρ Α ή σε σχέση με τις ατομικές μάζες: Ένα είδος β-διάσπασης που συναγωνίζεται την εκπομπή ποζιτρονίων είναι η σύλληψη (ή αρπαγή) ηλεκτρονίου, στην οποία ο πυρήνας απορροφά ένα ηλεκτρόνιο από το ατομικό νέφος ηλεκτρονίων του, εκπέμποντας μόνο ένα νετρίνο: πυρ Α πυρ Α και 22 Κοιλάδα β-σταθερότητας Οι πυρήνες με σταθερό Α βρίσκονται σε διαγώνιες ευθείες Ν+ =Α Ο πυθμένας της κοιλάδας β-σταθερότητας όπου βρίσκονται οι β-σταθεροί πυρήνες δίνεται με ακρίβεια από την: =β/2γ= Α Τα νουκλίδια που απαντώνται στην φύση μπορούν να τοποθετηθούν σε ένα διάγραμμα Ν, (διάγραμμα Segre) Το διάγραμμα αυτό του αριθμού των νετρονίων-πρωτονίων, δίνεται στο σχήμα που δείχνει ότι για σταθερούς πυρήνες μικρής μάζας ισχύει Ν= =Α/2, αλλά για βαρύτερους πυρήνες υπάρχει πλεόνασμα νετρονίων καθόσον οι απωστικές δυνάμεις Coulomb, λόγω των πολλών πρωτονίων, πρέπει να εξισορροπηθούν από επιπρόσθετες ελκτικές δυνάμεις 15
Σχήμα 22: Διάγραμμα Ν,Ζ των φυσικών ισοτόπων ή η κοιλάδα της β-σταθερότητας Η καμπύλη των σταθερών ισοτόπων βρίσκεται στη μέση Σχήμα 23: Ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο Οι κορυφές στην ενέργεια σύνδεσης βρίσκονται σε Α πολλαπλάσιο του 4 16
Σχήμα 24: Ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο για β-σταθερούς πυρήνες Ο τρόπος με τον οποίο η ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο μεταβάλλεται με τον μαζικό αριθμό είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρον Μεταβάλλεται σταθερά με τον μαζικό αριθμό Α, περνώντας από ένα μέγιστο των 87 MeV ανά νουκλεόνιο στην περιοχή της μάζας περίπου 60 και μειώνεται ελάχιστα στις μεγάλες μάζες Στην περιοχή των μικρών μαζών παρουσιάζονται κορυφές Μερικοί ελαφρείς πυρήνες, ιδιαίτερα αυτοί που τα νουκλεόνιά τους συνδέονται ανά 4 ή πολλαπλάσια του 4, έχουν μεγαλύτερο βαθμό σταθερότητας σε σχέση με γειτονικούς τους Οι κορυφές αυτές γίνονται λιγότερο εμφανείς αυξανομένου του Α και εξαφανίζονται στην περιοχή του Α=56 Υπάρχουν βέβαια και άλλες περιοχές όπου η ενέργεια σύνδεσης περνά από μέγιστες τιμές Οι πυρήνες αυτοί αντιστοιχούν σε πυρήνες με κλειστούς φλοιούς με τιμές του ή του Ν = 20, 28, 50, 82, 126 οι οποίοι είναι οι γνωστοί μαγικοί αριθμοί και προβλέπονται από το μοντέλο των φλοιών Χρησιμοποιώντας την προσέγγιση =β/2γ, οι ενέργειες σύνδεσης των β-σταθερών πυρήνων μπορούν να υπολογιστούν από την εξίσωση του ημιεμπειρικού τύπου μάζας αγνοώντας την ενέργεια ζευγαρώματος Η ενέργεια όγκου είναι ο μοναδικός όρος που συνεισφέρει θετικά στην ενέργεια σύνδεσης Όμως καθώς το Α και συνεπώς και το αυξάνονται, ο τετραγωνικός όρος της ενέργειας Coulomb γίνεται σημαντικός και προκαλεί τη δημιουργία μέγιστης τιμής στην καμπύλη Το μέγιστο στην ενέργεια σύνδεσης βρίσκεται στη γειτονιά του πυρήνα 56 Fe (σίδηρος) 17
23 Η s και η r διαδικασία Η δημιουργία των βαρέων στοιχείων μέσω των νετρονίων γίνεται με δύο μηχανισμούς, οι οποίοι χαρακτηρίζονται σαν «αργή διαδικασία» (s-process) και «γρήγορη διαδικασία» (r-process) Θεωρούμε σαν καταλληλότερους όρους τους s-διαδικασία και r-διαδικασία (s-slow και r-rapid) Οι όροι προέρχονται από την συσχέτιση του μέσου χρόνου που απαιτείται σε δεδομένο αστρικό περιβάλλον για αρπαγή νετρονίου, με το μέσο χρόνο ζωής του υπάρχοντος πυρήνος με β-διάσπαση Εάν μετά από μία αρπαγή νετρονίου, ο απαιτούμενος χρόνος για νέα αρπαγή νετρονίου είναι σχετικά μεγάλος, οπότε ο πυρήνας έχει μία σημαντική πιθανότητα για β-διάσπαση, τότε μιλάμε για s-διαδικασία Εάν γίνονται διαδοχικές αρπαγές νετρονίων προς όλο και βαρύτερα ισότοπα και τα ενδιάμεσα ισότοπα δεν προλαβαίνουν να β-διασπασθούν, τότε έχουμε r-διαδικασία Το αποτέλεσμα στις αναλογίες των στοιχείων είναι να έχουμε ισότοπα που προέρχονται κυρίως από την s-διαδικασία, αλλά και άλλα ισότοπα που προέρχονται από την r-διαδικασία όπως φαίνεται και από το παρακάτω σχήμα Σχήμα 25: Πορεία της s και r διαδικασίας, από την κορυφή του σιδήρου προς τα βαρύτερα στοιχεία 18
Φθάνουμε τελικά σε κάποιο ισότοπο που είναι ασταθές λόγω περίσσειας νετρονίων Εάν τώρα ο μέσος χρόνος μεταξύ διαδοχικών αρπαγών νετρονίου είναι μεγαλύτερος από τον μέσο χρόνο της β-διασπάσεως, τότε το ισότοπο διασπάται με β-διάσπαση οδεύοντας προς την κοιλάδα σταθερότητας (s-διαδικασία) Εάν τώρα ο μέσος χρόνος μεταξύ διαδοχικών αρπαγών νετρονίων είναι πολύ μικρός τότε τα ενδιάμεσα ισότοπα δεν προλαβαίνουν να β-διασπασθούν και έτσι δημιουργούνται πυρήνες πολύ πλούσιοι σε νετρόνια Οι πυρήνες αυτοί, όσο πλουσιότεροι σε νετρόνια γίνονται, τόσο απομακρύνονται από την κοιλάδα σταθερότητας, οπότε εν γένει αυξάνεται η αστάθειά τους Το ακρότατο όριο στο οποίο μπορεί να αυξηθεί ο αριθμός νετρονίων των διαφόρων στοιχείων ορίζεται από την λεγόμενη neutron drip line, στο οποίο η ενέργεια συνδέσεως του τελευταίου νετρονίου μηδενίζεται Ισότοπα όμως που βρίσκονται πολύ μακριά από την κοιλάδα σταθερότητας έχουν πολύ μικρούς χρόνους ζωής που είναι πλέον συγκρίσιμοι με το χρόνο μεταξύ διαδοχικών αρπαγών νετρονίων, μιλώντας έτσι για χρόνους της τάξεως των 10-3 sec Στο σημείο αυτό είναι δυνατόν η β-διάσπαση να προηγηθεί της αρπαγής νετρονίου και έτσι ο πυρήνας κάνει ένα βήμα προς την κοιλάδα σταθερότητας Το στοιχείο που προκύπτει και είναι κάπως σταθερότερο, δεν προχωρεί περαιτέρω προς την κοιλάδα λόγω νέων αρπαγών νετρονίων μέχρι και πάλι την δημιουργία ενός βραχύβιου ισοτόπου που θα κάνει ένα γρήγορο βήμα προς την κοιλάδα σταθερότητας κοκ 19
Κεφάλαιο 3 Δυναμική στη β-διάσπαση Η βήτα διάσπαση είναι μια ασθενής αλληλεπίδραση μικρής εμβέλειας Σύμφωνα με την χρονοεξαρτώμενη θεωρία διαταραχών, θα γίνει μελέτη του σχήματος του φάσματος της βήτα διάσπασης και του χρόνου ημιζωής της 31 Ασθενής αλληλεπίδραση Η δυσκολία στην κατανόηση της β-διάσπασης ήταν η εκπομπή σωματιδίων (ποζιτρόνιο, ηλεκτρόνιο, νετρίνο) που δεν βρίσκονταν μέσα στον ατομικό πυρήνα Ο Fermi υπέθεσε ότι στην β - -διάσπαση, το ηλεκτρόνιο και το αντινετρίνο δημιουργήθηκαν κατά την διάρκεια της β-διάσπασης Σε αντίθεση με την ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση όπου ένα φωτόνιο ανταλλάσσεται μεταξύ φορτισμένων σωματιδίων, με μηδενική μάζα ηρεμίας και με άπειρη εμβέλεια αλληλεπίδρασης, η διαδικασία της β - -διάσπασης φαίνεται να έχει μικρή εμβέλεια και ανταλλάσσεται το δυνητικό μποζόνιο ±W Σχήμα 31: Το διάγραμμα α) αναπαριστά την β - -διάσπαση του νετρονίου Η αναλογία αυτής της διαδικασίας με την ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση, γίνεται πιο ξεκάθαρη όταν την ξανασχεδιάζουμε χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι τα αντισωματίδια μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως σωματίδια που πάνε πίσω στον χρόνο και τότε έχουμε το β) διάγραμμα 20
Σχήμα 32: Σύγκριση της ηλεκτρομαγνητικής (α) και της ασθενούς αλληλεπίδρασης (β) 32 Χρονοεξαρτώμενη θεωρία διαταραχών: Το σχήμα του φάσματος της β-διάσπασης και ο χρόνος ημιζωής της Στην διαδικασία της β - -διάσπασης, όταν ένα νετρόνιο μεταμορφώνεται σε ένα πρωτόνιο σε έναν πυρήνα και εκπέμπονται ένα ηλεκτρόνιο και ένα αντινετρίνο, η σταθερά μετάπτωσης προσδιορίζεται από την: λ π ψ ψ ν, όπου η αρχική κατάσταση ψ i περιγράφει την κυματοσυνάρτηση του πατρικού πυρήνα και η ψ f είναι η τελική κατάσταση Ένα από τα νετρόνια άλλαξε σε πρωτόνιο μέσω της χαμιλοτονιανής αλληλεπίδρασης, περιγράφοντας την διαδικασία της διάσπασης Την ίδια στιγμή ένα ηλεκτρόνιο που περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση, εκπέμπεται από τον πυρήνα Η κυματοσυνάρτηση του αντινετρίνου, δίνεται από την λύση ενός επίπεδου κύματος Έτσι, παίρνουμε σαν κυματοσυνάρτηση του αντινετρίνο ένα επίπεδο κύμα: κανονικοποιημένο σε έναν αυθαίρετα μεγάλο όγκο V Και σαν κυματοσυνάρτηση του ηλεκτρονίου παίρνουμε το επίπεδο κύμα: Η σχέση μας γίνεται:, 21
Στην κβαντομηχανική βλέπουμε ότι για ένα σωματίδιο ενός βαθμού ελευθερίας στο διάστημα (0,L), ο αριθμός των καταστάσεων n για σωματίδιο με ορμή στο διάστημα (0, p) είναι: Στο τρισδιάστατο επίπεδο γίνεται: π και η πυκνότητα των τελικών καταστάσεων γίνεται: π Στην σχετικιστική κίνηση όπου ισχύουν οι: π π ή Στην πραγματική β - -διάσπαση, ένα ηλεκτρόνιο, ένα αντινετρίνο και ο θυγατρικός πυρήνας παρουσιάζουν την ίδια κινηματική με μία διαδικασία 3 σωμάτων, στην οποία 2 από τα σωματίδια εμφανίζονται ελεύθερα και ανεξάρτητα στις καταστάσεις: όπως φαίνεται και από το παρακάτω σχήμα και, Σχήμα 33: Η ενέργεια και η γραμμική ορμή για το ηλεκτρόνιο, το αντινετρίνο και τον θυγατρικό πυρήνα στην β - διάσπαση του πυρήνα 22
Η τελική πυκνότητα καταστάσεων είναι το προϊόν των ανεξάρτητων πυκνοτήτων των τελικών καταστάσεων του ηλεκτρονίου και του νετρίνο: ν π ν ν ν Αν προσδιορίσουμε την πυκνότητα των καταστάσεων για εκπεμπόμενα ηλεκτρόνια με ενέργειες μεταξύ E e και E e +de e, η E e και συνεπώς και η p e παραμένουν σταθερές και τότε: ν π ν ν ν Εφόσον χρησιμοποιούμε την και αγνοούμε την πολύ μικρή ενέργεια ανάκρουσης του θυγατρικού πυρήνα, για σταθερή E e, παρατηρούμε: και συνδυάζοντας τα παραπάνω αποτελέσματα έχουμε: και αυτή η έκφραση για μετατρέπεται σε μια πιο απλή μορφή Η πιθανότητα μερικής διάσπασης, δηλαδή η πιθανότητα εκπομπής ενός ηλεκτρονίου με ενέργεια μεταξύ των E e και E e +de e και με ορμή στο διάστημα p e, p e + dp e είναι: Λ π Μ π ν Όπου το στοιχείο του πυρηνικού πίνακα είναι: ψ ψ ψ ν ν ψ ν Και η κυματοσυνάρτηση του νετρίνο δίνεται από την : 23
Για το ηλεκτρόνιο, πρέπει να συμπεριλάβουμε την αλλοίωση της κυματοσυνάρτησης του ηλεκτρονίου λόγω της αλληλεπίδρασης του πυρήνα με το ηλεκτροστατικό πεδίο Ποσοτικά, η βασική επίδραση είναι η μεταβολή της κυματοσυνάρτησης του ηλεκτρονίου στο δυναμικό Coulomb: ψ πη πη με, όπου το θετικό πρόσημο αντιστοιχεί στην β - διάσπαση και τα ηλεκτρόνια και το αρνητικό πρόσημο αντιστοιχεί στην β + διάσπαση και τα ποζιτρόνια και το u e - αντιστοιχεί στην τελική ταχύτητα του ηλεκτρονίου (ή ποζιτρονίου) Η αντιστοιχεί στην λειτουργία Fermi και ελαφρώς παραμορφώνει το σχήμα του φάσματος της β διάσπασης Έτσι η μερική πιθανότητα διάσπασης γίνεται: Λ Μ π ν Σχήμα 34: Στην παραπάνω εικόνα βλέπουμε το φάσμα της ορμής και της κινητικής ενέργειας για ηλεκτρόνια και ποζιτρόνια που εκπέμπονται στην διάσπαση του 64 Cu 24
Πολύ ενδιαφέρον έχει το να μελετήσουμε την επίδραση της μάζας του νετρίνο,, στο σχήμα του φάσματος της β διάσπασης Αλλάζουμε ελάχιστα την αναπαράσταση της ηλεκτρονικής διάσπασης σε αυτό που καλούμε Fermi- Kurie διάγραμμα Εάν το στοιχείο του πίνακα Μ είναι εντελώς ανεξάρτητο από την ορμή του ηλεκτρονίου, και για μηδενική μάζα νετρίνου, το αριστερό σκέλος της έκφρασης: Μ, είναι γραμμική συνάρτηση της ολικής (ή κινητικής) ενέργειας των βήτα Σχήμα 35: Στο παραπάνω σχήμα βλέπουμε το διάγραμμα Fermi- Kurie για την επιτρεπτή μετάπτωση στην διάσπαση του 66 Ga(Γάλλιο) Ο οριζόντιος άξονας δίνει τη σχετικιστική ολική ενέργεια που αλλιώς καλείται w 25
Η γραμμικότητα είναι πιο τέλεια στις μεγάλες ενέργειες των βήτα ενώ στις χαμηλές ενέργειες παρατηρείται απόκλιση από την ευθεία γραμμή που οφείλεται σε πειραματικές δυσκολίες στην μέτρηση μικρών ενεργειών Το διάγραμμα αυτό παρέχει το πλεονέκτημα της εύρεσης της μέγιστης ενέργειας των βήτα Αν θεωρήσουμε τη μάζα του νετρίνο μικρή και όχι μηδενική, παρατηρούμε ενδιαφέρουσες αποκλίσεις από την ευθεία γραμμή όπως φαίνεται στο παράδειγμα της β - διάσπασης του τριτίου ( 3 Η) για ν και για ν Σχήμα 36: Απεικόνιση του διαγράμματος Fermi- Kurie για το τρίτιο, κάνοντας την υπόθεση για διάσπαση με μη-μηδενική μάζα του νετρίνο και για μηδενική μάζα Η ολική πιθανότητα διάσπασης και ο χρόνος ημιζωής Τ(β - ) μπορούν να παραχθούν ολοκληρώνοντας πάνω σε όλες τις πιθανές ορμές p e- που προκύπτουν από την β - διάσπαση Χρησιμοποιούμε m ve- =0 και έχουμε: λ β Μ π 26
Μετατρέπω την ορμή p e- και την ενέργεια στις μεταβλητές: η=p e- /m 0 c και w= /m 0 c 2 =Te/m 0 c 2 +1 Η σχετικιστική σχέση ενέργειας-μάζας τότε γίνεται: w 2 =η 2 +1 και wdw=ηdη Και η πιθανότητα μετάπτωσης γίνεται: λ β π Μ Όπου είναι η μέγιστη ενέργεια του ηλεκτρονίου Αν αφαιρέσουμε την σταθερά σύζευξης g της ασθενούς αλληλεπίδρασης παραμένει το στοιχείο του πίνακα Το ολοκλήρωμα καλείται f λειτουργία και εξαρτάται από τον θυγατρικό πυρήνα φορτίου Z D και το w 0 (ή Ε) : Αυτό τελικά μας οδηγεί στην έκφραση για την ημιζωή: π Μ Σχήμα 37: Στο παραπάνω σχήμα παρατηρούμε την ποσότητα ηλεκτρόνια (α) όσο και για τα ποζιτρόνια (β) τόσο για τα 27
Από την έκφραση της τιμής ft είναι πιθανό να προσδιοριστεί η σταθερά σύζευξης g της διαδικασίας της β διάσπασης εάν γνωρίζουμε πώς να προσδιορίσουμε το στοιχείο του πυρηνικού πίνακα σε μια δεδομένη β-διάσπαση και στην ημιζωή Οι ft τιμές πρέπει να είναι σχεδόν ολόιδιες και η σταθερά σύζευξης g γίνεται: g=0,88*10-4 MeV fm 3 Την εκφράζουμε σε αδιάστατη μορφή και γίνεται: η οποία γίνεται αδιάστατη όταν i=-2, j=3, k=-1 Η παράγωγος της σταθεράς σύζευξης είναι:, 28
Κεφάλαιο 4 Μεταπτώσεις στη βήτα διάσπαση Σε αυτό το κεφάλαιο θα αναφερθούμε κυρίως στις μεταπτώσεις στη βήτα διάσπαση, όπως είναι οι Fermi και Gamow-Teller μεταπτώσεις, όπως επίσης και στις απαγορευμένες μεταπτώσεις στη βήτα διάσπαση 41 Η ασθενής αλληλεπίδραση: ένα μοντέλο μη σχετικιστικό και χωρίς spin Έχουμε εξασφαλίσει μία απλή έκφραση για τον συσχετισμό της τιμής ft και του στοιχείου του πίνακα Αντικαθιστώντας τις τιμές των σταθερών ħ, g, m 0, c έχουμε το αποτέλεσμα: Απεικονίζοντας τον πυρήνα με τα Α νουκλεόνιά του στις συντεταγμένες η β - διάσπαση μεταμορφώνει ένα συγκεκριμένο νετρόνιο σε ένα πρωτόνιο συνοδευόμενο από την εκπομπή ενός ηλεκτρονίου και ενός αντινετρίνο Θεωρούμε ένα σύστημα μη σχετικιστικών και χωρίς σπίν νουκλεονίων που εκπροσωπείται από την χαμιλτονιανή:, όπου ο τελεστής αλλάζει ένα νετρόνιο σε ένα πρωτόνιο Η αρχική πυρηνική κυματοσυνάρτηση για τον πυρήνα Α Χ Ν μπορεί να απεικονιστεί ως εξής: και του θυγατρικού ως: 29
Έτσι, εξετάζουμε μια διαδικασία στην οποία το νετρόνιο με συντεταγμένη μεταμορφώνεται σε πρωτόνιο με συντεταγμένη Το στοιχείο του πίνακα, γίνεται: ψ ψ ψ ψ Η ολοκλήρωση γίνεται πάνω σε όλες τις συντεταγμένες και συμβολίζεται με την Σχήμα 41: Σχηματική απεικόνιση της μετάπτωσης νετρονίου σε πρωτόνιο, συνοδευόμενη από την εκπομπή ζεύγους ηλεκτρονίου- αντινετρίνο σε ένα μη σχετικιστικό και χωρίς σπίν μοντέλο περιγραφής για έναν ατομικό πυρήνα Χρησιμοποιούμε κυματοσυναρτήσεις Α νουκλεονίων ως εξής: Και το παραπάνω στοιχείο πίνακα παίρνει τη μορφή:, με τον δείκτη φ (ρ=n,p) να υποδεικνύει ένα νετρόνιο ή ένα πρωτόνιο 30
Συμπεριλαμβάνοντας επίπεδα κύματα για την περιγραφή των εξερχόμενων ηλεκτρονίων και αντινετρίνο, τότε: όπου g η σταθερά σύζευξης και είναι το μέτρο της ισχύος της ασθενούς αλληλεπίδρασης και ο δείκτης φ (ρ=n,p) υποδεικνύει ένα νετρόνιο ή ένα πρωτόνιο Στις περισσότερες χαμηλοενεργειακές διαδικασίες βήτα διάσπασης, τα μήκη κύματος του ηλεκτρονίου και του αντινετρίνο είναι μικρά σε σύγκριση με την τυπική πυρηνική ακτίνα R/λ e «1 και R/λ ve «1, και καταλήγουμε στην: Ο πρώτος όρος δείχνει ότι ένα νετρόνιο μετατρέπεται σε ένα πρωτόνιο και εμφανίζεται μόνο αν η πάριτυ και της πατρικής και της θυγατρικής κυματοσυνάρτησης είναι ολόιδια Για τον δεύτερο όρο, λόγω του παράγοντα, οι κυματοσυναρτήσεις πρέπει να έχουν αντίθετο πάριτυ Η επιλογή της γωνιακής ορμής μπορεί επίσης να εξαχθεί από την δομή του, χρησιμοποιώντας την επέκταση ενός επίπεδου κύματος σε σφαιρικές αρμονικές συντεταγμένες: όπου οι k= και υποδηλώνουν τις γωνιακές μεταβλητές, ), 42 Εσωτερικό spin Τα νουκλεόνια όπως και τα εκπεμπόμενα ηλεκτρόνια και αντινετρίνο, είναι φερμιόνια όποτε θα πρέπει να συμπεριλάβουμε και τον βαθμό ελευθερίας του σπιν Αυτό σημαίνει ότι στον τελεστή της ασθενούς αλληλεπίδρασης πρέπει να εμφανίζεται και ένας όρος που να επιφέρει αλλαγές στον προσανατολισμό του εσωτερικού σπίν μεταξύ νετρονίου και πρωτονίου Έτσι, τώρα οι κυματοσυναρτήσεις έχουν 2 συνιστώσες για το σπίν Στο στοιχείο του πυρηνικού πίνακα εμφανίζονται όροι σαν και αυτόν: Εδώ το ολοκλήρωμα του αθροίσματος σημαίνει ολοκλήρωση πάνω στις πυρηνικές συντεταγμένες και άθροιση πάνω στους πιθανούς προσανατολισμούς του εσωτερικού σπίν 31
Οι αντίστοιχοι κανόνες επιλογής γίνονται: Για =0,1 το ολικό στοιχείο του πυρηνικού πίνακα μπορεί να βρίσκεται ως άθροισμα: 43 Fermi και Gamow-Teller βήτα μεταπτώσεις Η σταθερά σύζευξης της βήτα διάσπασης διαφοροποιείται για διεργασίες με S β =0 και S β =1 Οι πρώτες λέγονται Fermi μεταπτώσεις και οι δεύτερες Gamow-Teller και οι σταθερές σύζευξης συμβολίζονται ως g F και g GT Μία επιτρεπτή διάσπαση μπορεί να είναι καθαρά Fermi, καθαρά Gamow-Teller ή ένα μίγμα και των δύο ανάλογα με τις λεπτομέρειες των στοιχείων του πυρηνικού στοιχείου πίνακα Μία μετάπτωση στην οποία συνεισφέρουν τόσο η Fermi όσο και η Gamow- Teller διεργασία, περιγράφεται από το παρακάτω στοιχείο του πυρηνικού πίνακα: Ο καλύτερος προσδιορισμός του ζεύγους των σταθερών σύζευξης οδηγεί σε μια τιμή: g GT /g F =-1259±0004 Μια καθαρή Fermi μετάπτωση (S β =0, L β =0) με περιορισμό της μεταβολής της γωνιακής ορμής ΔJ=0 και χωρίς μεταβολή της πάριτυ (ομοτιμία), έχει: Μία καθαρή Gamow-Teller μετάπτωση (S β =1, L β =0) με περιορισμό της μεταβολής της γωνιακής ορμής ΔJ=1 και πάλι χωρίς μεταβολή της πάριτυ (ομοτιμία), έχει: 32
44 Απαγορευμένες μεταπτώσεις Οι επιτρεπόμενες μεταπτώσεις Fermi και Gamow-Teller έχουν μία μέγιστη μεταβολή του σπίν κατά μία τάξη μεγέθους και καμία μεταβολή της πάριτυ στην κυματοσυνάρτηση Έχουν παρατηρηθεί μεταπτώσεις στις οποίες συμβαίνουν μεταβολές της πάριτυ και ακόμα μεγαλύτερες μεταβολές του σπίν Αυτές οι μεταπτώσεις λέγονται απαγορευμένες λόγω της μεγάλης μείωσης της πιθανότητας μετάπτωσης σε σχέση με τις επιτρεπόμενες Αυτό προέρχεται από την εξάρτηση j L (kr) για μία L-απαγορευμένη μετάπτωση Για μικρές τιμές του kr, που συνήθως συμβαίνουν στις χαμηλής ενέργειας βήτα μεταπτώσεις: Για μετάπτωση ενέργειας Ε=1MeV σε έναν πυρήνα με ακτίνα R=5fm, η μείωση της πιθανότητας μετάπτωσης είναι ~10 4 Έτσι συζητάμε για την πρώτη (L β =1), την δεύτερη (L β =2), L β απαγορευμένες βήτα μεταπτώσεις με την τιμή του log ft να αυξάνεται κατά 4 τάξεις μεγέθους σε κάθε βήμα Σχήμα 42: Σ αυτό το διάγραμμα φαίνεται η εκτενής κατανομή των τιμών της log(ft) 33
45 Διαδικασίες αρπαγής ηλεκτρονίων Αν η ενεργειακή διαφορά μεταξύ πατρικού και θυγατρικού πυρήνα είναι μικρότερη από 2m 0 c 2, τότε αντί της β + διάσπασης, ηλεκτρόνια από τις ατομικές δεσμευμένες καταστάσεις (K,L,M ) μπορούν να συλληφθούν από ένα πρωτόνιο μέσα στον πυρήνα και σχηματίζεται ένα νετρόνιο και εκπέμπεται ένα νετρίνο Η τιμή Q της ενέργειας σύνδεσης, απορρίπτοντας τις μικρές διαφορές στις ενέργειες σύνδεσης των ηλεκτρονίων, είναι: Η αρπαγή ηλεκτρονίων οδηγεί σε ένα κενό σε μία από τις ισχυρότερες ατομικές δεσμευμένες καταστάσεις και παρατηρούνται δευτερεύουσες διαδικασίες όπως η εκπομπή ακτίνων-χ και ηλεκτρονίων Auger Τα ηλεκτρόνια Auger, είναι ηλεκτρόνια τα οποία εκπέμπονται από μία από τις εξωτερικές ηλεκτρονικές στιβάδες και παίρνουν μαζί τους ένα μέρος της ενέργειας Η διαδικασία μπορεί να συγκριθεί με την εσωτερική μετατροπή των ακτίνων-χ Όταν ηλεκτρόνια Auger L-στιβάδας εκπέμπονται μέσω της εσωτερικής μετατροπής της Κ- στιβάδας των ακτίνων-χ, η κινητική ενέργεια του L-ηλεκτρονίου θα δίνεται από την: Εφόσον στην αρπαγή ηλεκτρονίου ένα μόνο σωματίδιο εκπέμπεται (το νετρίνο), η πυκνότητα των τελικών καταστάσεων γίνεται: ν ν ν, με ν την ορμή του νετρίνο Απορρίπτοντας την μικρή ενέργεια ανάκρουσης και παίρνοντας ότι το νετρίνο έχει μηδενική μάζα, τότε και ότι, καταλήγουμε στην: ν ν Το στοιχείο του πίνακα της μετάπτωσης είναι: 34
Η αρπαγή είναι πιο πιθανή για μία ηλεκτρονική κατάσταση 1s αφού η κυματοσυνάρτηση της Κ-ηλεκτρονικής στιβάδας είναι μέγιστη και δίνεται από την: Συνδυάζοντας τα παραπάνω καταλήγουμε στην σταθερά μετάπτωσης για την αρπαγή Κ-ηλεκτρονίου: ν, που έχει κβαντική εξάρτηση από την ολική ενέργεια νετρίνου Εν 35
Κεφάλαιο 5 Το νετρίνο στη βήτα διάσπαση Το νετρίνο είναι μία από τις πιο διαπεραστικές μορφές της ύλης στο σύμπαν Δεν έχει ηλεκτρικό φορτίο, έχει μικρή ή μηδενική μάζα και συμπεριφέρεται σαν φερμιόνιο με εσωτερικό σπίν ħ/2 Το νετρίνο προτάθηκε από τον Pauli για να λύσει έναν αριθμό προβλημάτων σχετικά με τις διαδικασίες της βήτα διάσπασης 51 Αντίστροφες βήτα διαδικασίες Εδώ ο πυρήνας αιχμαλωτίζει ένα νετρίνο ή ένα αντινετρίνο και εκπέμπει ένα ηλεκτρόνιο ή ένα ποζιτρόνιο Αυτές οι διαδικασίες φαίνονται παρακάτω: και Οι διατομές για τέτοιες αντίστροφες διαδικασίες αναμένονται να είναι πολύ μικρές λόγω της χαρακτηριστικής ασθενούς αλληλεπίδρασης των βήτα διασπάσεων Η πρώτη διαδικασία που εξετάζουμε είναι η αντίστροφη της διάσπασης νετρονίου: η οποία ικανοποιεί την διατήρηση των λεπτονίων, Η πιθανότητα μετάπτωσης για μία αντίστροφη αντίδραση, δίνεται από την σχέση: και η διατομή της ορίζεται ως η πιθανότητα μετάπτωσης διαιρεμένη με εισερχόμενων νετρίνων και έτσι έχουμε: την ροή των 36
Η σημαντική διαφορά βρίσκεται μεταξύ της πυκνότητας των τελικών καταστάσεων των εκπεμπόμενων ποζιτρονίων Θεωρώντας το ποζιτρόνιο σαν ένα σχετικιστικό σωματίδιο, έχουμε: όπου χρησιμοποιήσαμε την μεταβλητή της ενέργειας: w=e/m 0 c 2 Το πυρηνικό στοιχείο του πίνακα αντιστοιχεί σε αυτό της βήτα διάσπασης νετρονίου, στην οποία τόσο η Fermi όσο και η Gamow-Teller συνεισφορά, δίνουν: Και η διατομή γίνεται: G 2 όπου η σταθερά σύζευξης του Fermi εκφράζεται με όρους της αδιάστατης ποσότητας Η παραπάνω ολική διατομή βρίσκεται ολοκληρώνοντας πάνω σε όλες τις γωνίες μεταξύ ποζιτρονίου και αντινετρίνο 52 Διπλή βήτα διάσπαση Στο κάτω μέρος της κοιλάδας της μάζας προκύπτουν καταστάσεις στις οποίες ένας πυρήνας έχει έναν γειτονικό πυρήνα, με υψηλότερη μάζα ενώ ο πυρήνας έχει χαμηλότερη μάζα που αντιστοιχεί στην ενεργειακή διαφορά ΔΕ Σχήμα 51: Απλοποιημένα ενεργειακά επίπεδα σε μια διπλή βήτα διάσπαση από έναν πυρήνα σε έναν μέσω των ενδιάμεσων καταστάσεων του πυρήνα Ζ+1 37
Αυτό σημαίνει ότι η ευθύς μετάπτωση Χ +2Υ είναι απαγορευμένη αφού ο τελεστής μετάπτωσης της βήτα διάσπασης μετατρέπει ένα νετρόνιο σε ένα πρωτόνιο μέσω ενός μονοσωματιδιακού τελεστή Οι ενδιάμεσες καταστάσεις είναι εικονικές καταστάσεις και η διατήρηση της ενέργειας δεν είναι ικανοποιητική σε αυτές τις διαδικασίες, των οποίων το πλάτος αθροίζεται για να δώσει ένα ολικό στοιχείο πίνακα Έτσι βρίσκουμε: Έτσι η διπλή βήτα διάσπαση είναι μια δευτερογενής διαδικασία: όπου παρατηρούμε την εκπομπή 2 ηλεκτρονίων και 2 αντινετρίνων Σχήμα 52: Εικονικό διάγραμμα μιας τυπικής διπλής βήτα διάσπασης 2 νετρονίων συνοδευόμενα από την εκπομπή 2 ζευγών Εάν ο λεπτονικός αριθμός παραβιάζεται για παράδειγμα μέσω των Majorana νετρίνων, τότε μπορεί να συμβεί μία διαφορετική εκδοχή της διπλής βήτα διάσπασης κατά την οποία δεν έχουμε εκπομπή νετρίνων Αυτό συμβαίνει διότι ένα εικονικό νετρίνο εκπέμπεται από ένα νετρόνιο και απορροφάται από ένα δεύτερο Εάν το νετρίνο είναι Majorana, που σημαίνει ότι το αντινετρίνο και το νετρίνο είναι το ίδιο σωματίδιο: είναι δυνατόν να πραγματοποιηθεί η διπλή βήτα διάσπαση χωρίς νετρίνα Στην απλούστερη θεωρητική επεξεργασία της διπλής βήτα διάσπασης χωρίς νετρίνα, στην ουσία τα 2 νετρίνα εκμηδενίζουν το ένα το άλλο, ή ισοδύναμα, ένα νουκλεόνιο απορροφά το νετρίνο που εκπέμπεται από ένα άλλο νουκλεόνιο του πυρήνα, 38
Έτσι οδηγούμαστε στην διαδικασία: Σχήμα 53: Σχηματική απεικόνιση μίας διπλής βήτα διάσπασης 2 νετρονίων χωρίς νετρίνο Το άθροισμα των ενεργειών των 2 ηλεκτρονίων είναι σταθερό και η πιθανότητα μετάπτωσης σε αυτή την κατάσταση είναι 10 5 φορές μικρότερη από την διαδικασία (2e -,2v - e) Σχήμα 54: Το ενεργειακό φάσμα για τις 2 πιθανότητες της διπλής βήτα διάσπασης 39
53 Η μάζα του νετρίνο Στις καθιερωμένες θεωρίες ενοποίησης, η μάζα του νετρίνο θεωρείται μηδενική Είναι προφανές ότι η υπόθεση αυτή πρέπει να ελεγχθεί πειραματικά Μια πεπερασμένη μάζα νετρίνο ακόμη και μερικών ev/c 2 θα είχε σημαντικές συνέπειες σε διάφορους τομείς, όπως για παράδειγμα στην κοσμολογία Μία από τις πιο απλές μεθόδους για την γνώση της μάζας του νετρίνο (αν δεν είναι μηδενική) έγκειται στην λεπτομερή εξέταση του σχήματος του βήτα φάσματος (ή του διαγράμματος Fermi- Curie) κοντά στην μέγιστη ενέργεια ηλεκτρονίων Το βήτα φάσμα είναι: ή μετασχηματίζοντας στην ενέργεια ηλεκτρονίου, είναι: Το αποτέλεσμα μίας πεπερασμένης αλλά μικρής μάζας νετρίνο θα ήταν καλύτερα παρατηρήσιμο για διαδικασίες βήτα διάσπασης με πολύ μικρή ενέργεια σύνδεσης (Q τιμή) Η βήτα διάσπαση του τρίτιου ( 3 Η) είναι καλή υποψήφιος για την έρευνα καθώς: 3 Η 3 Ηe +e - + v - e (Q β =18,6keV), λόγω της πολύ μικρής τιμής της Q β Σχήμα 55: Fermi- Curie διαγράμματα της βήτα διάσπασης του τρίτιου Τα δεδομένα στα αριστερά είναι του Bergkvist (1972) και είναι σταθερά για μηδενική μάζα, υποδεικνύοντας ένα ανώτατο όριο στα 57eV Τα πιο πρόσφατα δεδομένα (δεξιά) είναι του Lubimov (1980) υποδεικνύοντας μη μηδενική μάζα στα 37eV 40
Σχήμα 56: Το ανώτατο άκρο για το ηλεκτρονικό φάσμα για τα ακόμα πιο πρόσφατα δεδομένα του Kundig Οι συνεχείς γραμμές υποδεικνύουν μάζες νετρίνο m ve =0 και 35eV/c 2 Πολλοί αναρωτιούνται γιατί γίνεται τόσο μεγάλη προσπάθεια για την εύρεση της μάζας του νετρίνο και οι κύριοι λόγοι αφορούν υπολογισμούς για το σύμπαν Η θεωρία της Μεγάλης Έκρηξης προβλέπει ότι το σύμπαν περιέχει νετρίνο σε συγκέντρωση 10 8 /m 3 Αν αυτά τα σωματίδια έχουν πεπερασμένη αλλά και μικρή μάζα ηρεμίας, τότε αυτή η περιεκτικότητα της ύλης μπορεί να είναι αρκετά μεγάλη για να οδηγήσει το σύμπαν σε κατάρρευση υπό την δύναμη της βαρύτητας Το όριο της μάζας του νετρίνο σε αυτή την κατάσταση πρέπει να είναι τουλάχιστον 5eV Στις 23 Φεβρουαρίου του 1987 παρατηρήθηκε μία έκρηξη νετρίνων που προήλθε από το supernova 1987A Ανιχνεύθηκαν ταυτόχρονα οπτικά σήματα αλλά και σήματα νετρίνων, τα οποία ταξίδευαν μέσα στο διάστημα για 170000 χρόνια και η καταγραφή των νετρίνων στην γη έγινε περίπου 3 ώρες πριν την άφιξη των οπτικών σημάτων Έτσι παρατηρήθηκε μία έκρηξη νετρίνων με ενέργειες περίπου στα 10 MeV σε διάρκεια περίπου 10sec Για ένα σχετικιστικό σωματίδιο, κινούμενο με την ταχύτητα του φωτός, λαμβάνουμε την ταχύτητα: 41
Σχήμα 57: Το supernova 1987Α πριν και μετά την έκρηξη η οποία παρουσιάσθηκε τη νύχτα της 23 ης Φεβρουαρίου το 1987 στο μεγάλο μαγγελανικό νέφος Βρισκόταν 170000 έτη φωτός μακριά και χρησιμοποιήθηκε για να ληφθούν εκτιμήσεις σχετικά με την ενέργεια των εκπεμπόμενων νετρίνων και την πιθανή μάζα των νετρίνων Ο χρόνος άφιξης των υψηλής ενέργειας νετρίνων είναι μικρότερος από τα χαμηλής ενέργειας νετρίνα: Έτσι συμπεραίνουμε ότι: Χρησιμοποιώντας ένα πιο ιδανικό μοντέλο για τις συνεισφορές του χρόνου και της ενέργειας, λαμβάνουμε ως πραγματικό όριο το: 54 Διαφορετικοί τύποι νετρίνων: Το πείραμα των δύο νετρίνων Τα νετρίνα για τα οποία έχουμε συζητήσει μέχρι τώρα, παράγονται στους σχηματισμούς βήτα διάσπασης Είναι γνωστό ότι τα νετρίνα μπορούν ακόμα να παραχθούν κατά την διάσπαση των πιονίων σύμφωνα με τις αντιδράσεις: και Τα παραπάνω νετρίνα μπορεί να έχουν εντελώς διαφορετικές ιδιότητες από τα νετρίνα που παρατηρούνται στην βήτα διάσπαση του νετρονίου και του πρωτονίου 42
Το 1959 προτάθηκε η δημιουργία ισχυρών ακτίνων από νετρίνα στο AGS στο Brookhaven Εθνικό Παρατηρητήριο των ΗΠΑ και στο Schwarz στο Πανεπιστήμιο της Κολούμπια των ΗΠΑ Τα πρωτόνια των 15 GeV στόχευαν σε έναν στόχο Be (Βυρίλλιο), παράγοντας ποικίλα σωματίδια: πρωτόνια, νετρόνια και ασταθή πιόνια, τα οποία διασπώνται σε μιόνια και νετρίνα Στο πείραμα, έπρεπε να αφαιρεθούν όλα τα συνοδευόμενα σωματίδια Σχήμα 58: Η πειραματική διάταξη στο BNL-AGS Αν ν μ =ν e, τότε παράγεται ίδιος αριθμός από μιόνια και ηλεκτρόνια Η παρατηρούμενη ασυμμετρία στην παραγωγή σωματιδίων αποδεικνύει την ύπαρξη δύο τύπων νετρίνων: τα νετρίνα ηλεκτρονίων ν e και τα νετρίνα μιονίων ν μ Αυτό οδηγεί στην ταξινόμηση κάποιων από τα πιο σημαντικά λεπτόνια (ασθενώς αλληλεπιδρόμενα σωματίδια) 43
Σχήμα 59: Αν ν μ =ν e, η αντίδραση των μιονικών νετρίνων με τα νετρόνια θα έπρεπε να παράγει μιόνια και ηλεκτρόνια σε ίσους αριθμούς Αν ν μ ν e, η ίδια αντίδραση παράγει μιόνια αλλά όχι ηλεκτρόνια Σχήμα 510: Κατάταξη των σημαντικότερων λεπτονίων 44
Κεφάλαιο 6 Σχόλια Η βήτα διάσπαση είναι από τις σημαντικότερες πυρηνικές αντιδράσεις Η μελέτη της βήτα διάσπασης μας οδηγεί σε συμπεράσματα σχετικά με την μάζα του νετρίνο αλλά απαντάει και σημαντικά ερωτήματα για το σύμπαν Μεγάλη σημασία έχει η μελέτη του φάσματος της βήτα διάσπασης, καθώς όπως φαίνεται και στο σχήμα 34 από την βήτα διάσπαση του 64 Cu, η ενέργεια των ηλεκτρονίων και των ποζιτρονίων είναι σχετικά μικρή για να προϋπήρχαν στον πυρήνα Επομένως, καταλήγουμε στο γεγονός ότι το ηλεκτρόνιο (ή ποζιτρόνιο) και το νετρίνο (ή αντινετρίνο) δημιουργήθηκαν κατά την διάρκεια της διάσπασης Επίσης, μεγάλης σπουδαιότητας είναι η σταθερά διάσπασης που ερευνείται σε αυτή την εργασία μέσω της οποίας καταλήγουμε στα διαγράμματα Fermi-Kurie, σύμφωνα με τα οποία φαίνεται ο πληθυσμός των ηλεκτρονίων συναρτήσει της κινητικής τους ενέργειας και για μηδενική μάζα νετρίνου παρατηρούμε τέλεια γραμμικότητα σε αντίθεση με την μη μηδενική μάζα του νετρίνου όπου έχουμε απόκλιση από την ευθεία γραμμή Οι Fermi και Gamow-Teller μεταπτώσεις καθώς επίσης και οι απαγορευμένες μεταπτώσεις μας οδηγούν σε συμπεράσματα σχετικά με την log(ft), δηλαδή τον χρόνο ημιζωής της βήτα διάσπασης Το τελευταίο κεφάλαιο σχετίζεται με την μάζα του νετρίνο και είναι και το πιο καθοριστικό Αναλύεται η περίπτωση της διπλής βήτα διάσπασης σύμφωνα με την οποία υπάρχουν δύο περιπτώσεις Η μία είναι η διάσπαση δύο νετρονίων και η εκπομπή δύο ηλεκτρονίων και δύο αντινετρίνων και η δεύτερη περίπτωση είναι η διάσπαση δύο νετρονίων χωρίς την εκπομπή των νετρίνων Η δεύτερη περίπτωση είναι αυτή του Majorana νετρίνο, όπου το νετρίνο και το αντινετρίνο είναι το ίδιο σωματίδιο και για αυτό τον λόγο εκμηδενίζουν το ένα το άλλο Η απάντηση στα ερωτήματα όπως, αν το νετρίνο ταυτίζεται με το αντισωματίδιό του, είναι πολύ σημαντική καθώς θα βοηθήσει στον υπολογισμό των σωματιδιακών μαζών και στον λόγο που έχει η μάζα πάνω στην αντιμάζα στο Σύμπαν 45
Βιβλιογραφία [1] An Introduction to nuclear physics - Greenwood, Cottingham, 2001, Εκδόσεις Cambridge University Press, ISBN: 0-511-03280-3 [2] Basic Ideas and Concepts in Nuclear Physics K Heyde, 1999, Εκδόσεις Institute of Physics Publishing Bristol and Philadelphia, ISBN: 0 7503 0534 7 [3] Σημειώσεις Πυρηνικής Φυσικής - Σ Δεδούσης, Μ αμάνη, Δ Σαμψωνίδης, 2010 [4] Σημειώσεις Πυρηνοσύνθεσης Χρήστος Α Ελευθεριάδης, 2010 [5] Σημειώσεις Πυρηνικής Φυσικής Μ αμάνη Βαλασιάσου, 2010 [6] Ειδική Ερευνητική Εργασία «Διπλή διάσπαση βήτα» - Τσινταβής Ιωάννης, 2010 [7] Εισαγωγή στην Πυρηνική Φυσική Χαραλάμπους Στέφανος [8] Wikipedia beta decay 46