Φαινόμενα μεταφοράς σε ηλεκτρονικές διατάξεις Ηλεκτρική αντίσταση σε ημιαγωγικές διατάξεις Εξισώσεις ολίσθησης-διάχυσης Από την εξίσωση του Boltzmann στις εξισώσεις ολίσθησης-διάχυσης Προσομοιώσεις διατάξεων Βαλλιστική αγωγιμότητα
Τα σημερινά Ο.Κ. λειτουργούν σε συνθήκες εκτός της κλασσικής θεωρίας, όπου έχουμε μικρές διαστάσεις, υψηλά πεδία. Μας ενδιαφέρουν τα όρια μεταξύ της κλασσικής λειτουργίας του τρανζίστορ και του κβαντικού ορίου L<10nm.
Προβλήματα καθώς μειώνουμε τις διαστάσεις του MOSFET Δ προφίλ δυναμικού Η τάση πύλης δεν ρυθμίζει πλέον την περιοχή απογύμνωσης Η ευκινησία μειώνεται Υψηλά ηλεκτρικά πεδία Κορεσμός ταχύτητας φορέων Ιονισμός λόγω σκέδασης κοντά στον απαγωγό Φόρτιση οξειδίου Πηγή (Source) και απαγωγός (Drain) πλησιάζουν
Ηλεκτρική Αντίσταση dυ mυ m = qe dt τ Ηλεκτρικό πεδίο Αντίσταση περιγράφεται Από ένα όρο «τριβής» Σύμφωνα με την αρχή του Pauli μόνο τα ηλεκτρόνια κοντά στην ενέργεια Fermi συμμετέχουν στην αγωγιμότητα Η αντίσταση προέρχεται από τις σκεδάσεις των ηλεκτρονίων και τ είναι ο χρόνος μεταξύ δύο σκεδάσεων
Q Q I = = t L/ v I Q J = = v= qnv A LA Εξίσωση ολίσθησης-διάχυσης Ι. Ολίσθηση Ρεύμα Ι, μήκος L, διατομή Α n: η πυκνότητα φορτίου v: ηταχύτητα Χωρίς ηλεκτρικό πεδίο Με ηλεκτρικό πεδίο Ε m d < υ > m υ = qe < > dt τ J = q( nμ + pμ ) E ηλεκτρόνια n p οπές μ = qτ * m
Εξίσωση ολίσθησης-διάχυσης ΙΙ. Διάχυση Αν υπάρχει διαφορά στη συγκέντρωση των φορέων κατά μήκος μιας διάταξης, τότε λόγω της θερμικής κίνησης οι φορείς κινούνται από τις υψηλές προς τις χαμηλές συγκεντρώσεις n(x) x dn J = qnμe + qd dx Πότε ισχύουν; Φ= lv th = Φ= dn dx dn J q qlvth dx dn J = qd dx 1/kT= 1/mv B l μέση ελεύθερη διαδρομή Δεδομένου v th l = τ kt B D = μ q Σχέσεις Einstein * th
Εξίσωση του Boltzmann Κεντρική ποσότητα είναι η συνάρτηση κατανομής f(r,p,t), Μας δίνει την πιθανότητα κατάληψης μιας κατάστασης (r,p) τη χρονική στιγμή t Λύση της εξίσωσης του Boltzmann και με τη βοήθεια της οποίας βρίσκω μεγέθη όπως η πυκνότητα, η ταχύτητα, το ρεύμα, την ενέργεια... Μεταβολή στο χρόνο f f f f + υ + F = + t r p t Μεταβολή στο χώρο λόγω ταχύτητας Μεταβολή στην ορμή λόγω πεδίων col Μεταβολή λόγω σκεδάσεων s Μεταβολή λόγω επανασύνδεσης p-n κλπ
Από την εξίσωση Boltzmann στην εξίσωση ολίσθησης-διάχυσης Γενικά η επίλυση της εξίσωσης του Boltzmann είναι δύσκολη γι αυτό καταφεύγουμε σε απλούστερες προσεγγίσεις όπως η εξισώσεις ολίσθησης-διάχυσης Για να υπολογίσουμε την συνολική ορμή των φορέων πρέπει να πολλαπλασιάσουμε την ορμή κάθε κατάστασης με την πιθανότητα η κατάσταση να είναι κατειλημμένη f 1 nφ (,) r t φ( p) f (, r p,) t Ω p φ( p) = 1 φ( p) = p φ( p) = E( p) Πυκνότητα φορέων Ορμή ταχύτητα Ενέργεια
Πολλαπλασιάζω την ΒΤΕ με φ( p)/ 1 f 1 1 φ( p) + φ( p) υ ε f + φ( p)( q) E p f = Ω t Ω Ω p p p 1 1 f = φ( psr ) (, pt, ) + φ( p) Ω Ω t p p coll Ω και αθροίζω στην ορμή Δεδομένου ότι το φ(p) είναι χρονοανεξάρτητο 1 f nφ (,) r t φ( p) = Ω t t p 1 1 φ( p) υ ε f = φ( p) υ f = FΦ Ω p Ω p Ανάλογα για τους άλλους όρους Τελικά καταλήγουμε σε μία εξίσωση ισορροπίας n Φ (,) r t t = F + G + R + S Φ Φ Φ Φ ηλ. πεδίου σκέδαση Δημιουργία καταστροφή φορέων
1. Στην περίπτωση Εξισώσεις εξισορρόπησης (balance equations) φ ( p) = 1 Καταλήγουμε στις εξισώσεις συνέχειας 1 n = Φ f = n Ω 1 F = Φ υ f = n < υ Ω >= p p J ( q) n 1 = J + t q S n. Οταν φ ( p) = pz Εξίσωση συνέχειας = 1 = < > Φ Ω * n pzf nm υz p i 1 F = Φ υ pf W Ω p i z iz J E ( q) W q n 1 = + * * t m m τ Εξισώσεις ολίσθησης-διάχυσης t J
3. Οταν φ ( p) = E( p) Εξισορρόπηση ενέργειας 1 n = Φ E( p) f = W Ω p i 1 F = Φ υie( p) f F Ω p W Πυκνότητα κινητικής ενέργειας Ροή ενέργειας W t 1 = F + J E+ ( W W ) + S W n 0 E τ E Ρυθμός αύξησης ενέργειας Ροή ενέργειας Επιτάχυνση λόγω πεδίου Σκέδαση Δημιουργία φορέων 4. Μπορούμε να συνεχίσουμε την ανάπτυξη, φ(p)= F για την 4η τάξη σε κάθε περίπτωση εισάγουμε άλλο ένα άγνωστο τανυστή στην πράξη κρατάμε μόνο ορισμένους όρους στην ανάπτυξη
Από την εξίσωση Boltzmann στην εξίσωση ολίσθησης-διάχυσης J 1 J qn q E * * 1/ t m 1/ m 1/ + = + τ τ τ t W Για αργά μεταβαλλόμενα ρεύματα t J = nqμe + μ W μ q m * 1/ τ W W nkbt W = δ = δ 3 3 = nkbt ij ij ij Αν αγνοήσουμε τη ολίσθηση J = nqμe + μ W 3 J = qμne+ qd n+ qs T Βαθμίδες πυκνότητας αλλά και μέσης κινητικής ενέργειας ανα φορέα D kt B q μ S μ k q B n
Προσομοίωση διατάξεων Μπορούμε να λύσουμε κατευθείαν την εξίσωση του Boltzmann Εναλλακτικά συνήθως καταφεύγουμε στην επίλυση των εξισώσεων ολίσθησης διάχυσης. Απαιτήσεις Πυκνότητα ρεύματος δεν μεταβάλλεται γρήγορα με μέτρο το χρόνο εφησυχασμού Η κινητική ενέργεια δεν μεταβάλλεται γρήγορα στο χώρο Επιπλέον πρέπει να ξέρουμε τις παραμέτρους, μ, D, κλπ. Για μικρά πεδία οι παράμετροι εξαρτώνται μόνο από το υλικό Για νανοδιατάξεις όμως οι παράμετροι εξαρτώνται και από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά, θέση προσμίξεων, διαφορετικές τιμές για κάθε διάταξη!
Επίλυση της εξίσωσης του Boltzmann f f( p) + ( q) E p f + υ r f + = I( p) t τ ( p) Επαναληπτική λύση s Εξισώσεις διάχυσης ολίσθησης J = qμn V + qd n V = q k ε 0 n Αυτοσυνεπής επίλυση εξίσωσης διάχυσης και Poisson
Προσομοίωση διατάξεων Αρχικές συνθήκες n(r,0), V(r,0) Εφαρμογή τάσης V(r,t+Δt) Λύση Poisson Δεδομένου n(r,t) Εύρεση V(r,t+Δt) Λύση εξίσωσης μεταφοράς Δεδομένου V(r,t+Δt) Εύρεση n(r,t+δt) Βoltzmann Διάχυση-ολίσθηση κλπ
Περιγραφή της κίνησης των φορέων με τη μέθοδο Monte-Carlo I Στατιστική προσέγγιση στη μελέτη διατάξεων Θεωρούμε τις τροχιές μεμονωμένων φορέων που σκεδάζονται τυχαία από προσμίξεις φωνόνια κλπ Διαλέγουμε τυχαία Χρόνο ελεύθερης πτήσης Βρίσκουμε τη θέση p=p0+(-q) t E t x() t = x(0) + υ ( t ) dt Επιλέγουμε τυχαία μια διαδικασία σκέδασης 0 Δύο τρόποι μελέτης 1. Διακριτοποιούμε τη διάταξη (πχ MOSFET) Και δίνουμε αρχικές συνθήκες σε κάθε περιοχή στη συνέχεια μελετάμε την εξέλιξη. Θεωρούμε ένα φορέα κάθε φορά που ταξιδεύει μέσα στη διάταξη το μελετάμε μέχρι να εξέλθει, στατιστική σε μεγάλο αριθμό φορέων Δίνουμε μια τυχαία ορμή μετά τη σκέδαση
Περιγραφή της κίνησης των φορέων με τη μέθοδο Monte-Carlo II Η κατανομή που παίρνουμε από τη μέθοδο Monte-Carlo αποτελεί λύση Της εξίσωσης του Boltzmann Μειονεκτήματα Στατιστικός θόρυβος Το σφάλμα των μέσων τιμών μειώνεται αργά 1/ N Στην περίπτωση χαμηλού πεδίου το ρεύμα είναι μικρό της τάξεως του στατιστικού σφάλματος Σκέδαση μεταξύ διαφορετικών ζωνών εκτός από τα (r,p) χρειάζεται να παρακολουθούμε και το δείκτη της ζώνης.
Πέρα από τις εξισώσεις ολίσθησης-διάχυσης Υδροδυναμικές εξισώσεις μεταφορά ενέργειας (Hydro/energy transport) Monte Carlo Κβαντική περιγραφή
Διάχυση Βαλλιστική αγωγιμότητα L W λ λ << W, : μέση ελεύθερη διαδρομή L Βαλλιστικό όριο λ >> W, L
Κανάλια διάδοσης σε 1Δ αγωγό x Μονοδιάστατος αγωγός z Ενέργεια z k z x Επίπεδα κύματα στο z Δ τετράγωνο κουτί xy r h E( k) = Exy + k m Διακριτές στάθμες μέσα στο πηγάδι * z z Η κίνηση των ηλεκτρονίων επιτρέπεται μέσα σε 1Δ κανάλια
Βαλλιστική αγωγιμότητα Ι Αγωγιμότητα σε σύρμα e 1 E I = υ f( E) = f( E) L h k k k L π dk k L hkz Ek ( ) = Exy + L m z I e = h f( E) de Εφαρμόζοντας τάση V το ρεύμα δίνεται από τον αριθμό των καταστάσεων Μ (καναλιών) που επηρεάζει η τάση ev = μ1 μ
Βαλλιστική αγωγιμότητα ΙΙ I = G = e h e h ( μ1 μ) M e M L Αν η τάση είναι V και υποθέσουμε ότι ο αριθμός των καταστάσεων Μ δεν αλλάζει μεταξύ μ1 και μ Landauer G = e h MT ev = μ1 μ Κβαντομένη αγωγιμότητα G G ανάλογο του αριθμού καναλιών Αντίσταση ανά κανάλι 1.9 kω Ρεύμα ανά κανάλι 80 na/mev
Μετρώντας το κβάντο της αντίστασης Επαφή ατόμων Au Κβάντωση αγωγιμότητας Σε GaAs/AlGaAs DEG επαφή Phys. Rev. Lett. 60, 848 (1988)
Βαλλιστικός αγωγός υπό τάση ev = μ1 μ Δεξαμενή Ι Δεξαμενή ΙΙ k + x k μ 1 k + k Υποθέτουμε ότι οι επαφές δεν σκεδάζουν τα ηλεκτρόνια που εξέρχονται μ x Η πτώση τάσης σε βαλλιστικό αγωγό γίνεται στις επαφές
Που υπολογίζουμε την αντίσταση Δεξαμενή Ι T Δεξαμενή ΙΙ 1 1L L Πρέπει να λάβουμε υπ όψη μας τα ηλεκτρόδια (leads) (1L-L) ή να υπολογίσουμε κατευθείαν το ρεύμα μεταξύ των δύο δεξαμενών (1-); Το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο αν τα ηλεκτρόνια δεν σκεδάζονται όταν περνούν από το ηλεκτρόδιο στη δεξαμενή. Το πρόβλημα σχετίζεται με το γεγονός ότι δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ότι στα ηλεκτρόδια έχουμε ισορροπία οπότε μπορούμε να περιγράψουμε το σύστημα με κατανομή Fermi-Dirac.
Εξίσωση Landauer πτώση τάσης k + Τ k FL μ 1 = μ + (1 T)[ μ μ ] FR = μ + T[ μ1 μ] 1 μ ev = μ1 μ Διαφορά τάσης Καταστάσεις + evsc = μ1 FR = (1 T )[ μ1 μ] x Καταστάσεις - ev = F μ = (1 T )[ μ μ ] SC L 1 I e h V h 1 T I em T = MT[ μ1 μ] άρα R = =
V Εξίσωση Landauer V 1 μ μ μ 1 A B T, R μ μ h 1 T I e T μ R = G 1 = A B = 4T 4T V 4 T V T R μ μ h = G = = I e 1 1 T T 1 T μ 1 μ A μ B μ h e Αντίσταση επαφής: RC = RT R4T =
Πώς μετράμε ρεύμα - τάση μp1 μ P μ1 (1-Τ) Τ μ μp 1 μp = (1 T ) Δμ e I = MTΔμ h R ( μ μ )/ e h 1 T = = I em T P1 P 4T Πρόβληματα: πώς μετράμε την αντίσταση χωρίς να επηρεάσουμε το δείγμα το πρόβλημα είναι μόνο τεχνικό Οι ακροδέκτες δεν είναι ποτέ ίδιοι Φαινόμενα συμβολής R. DePicciotto Bell/Lucent Four-terminal resistance of a ballistic quantum wire http://online.itp.ucsb.edu/online/nano_c01/
Θερμότητα σε βαλλιστικούς αγωγούς Σε βαλλιστικούς αγωγούς τα ηλεκτρόνια έρχονται σε ισορροπία με το υπόλοιπο σύστημα μέσα στα ηλεκτρόδια, εκεί παράγεται θερμότητα Λόγω ανελαστικών σκεδάσεων, η ενέργεια των ηλεκτρονίων πάει στο πλέγμα Πως παράγεται η θερμότητα από ένα σκεδαστή Πτώση τάσης στην περιοχή του σκεδαστή Η αντίσταση είναι στο σκεδαστή, αλλά η Θερμότητα Joule αυξάνει πρώτα την ενέργεια του ηλεκτρονικού αέριου στην περιοχή του σκεδαστή και στη συνέχεια μετατρέπεται σε θερμότητα σε μια ευρύτερη περιοχή
Μεγάλα δείγματα: Αλλαγές καθώς οι διαστάσεις μειώνονται Νόμος του Ohm 1/ R = G = σw / L Σε μικρές διαστάσεις: Αντίσταση επαφής Σε βαλλιστικούς αγωγούς η αντίσταση δεν αυξάνεται με το μήκος, αλλά παραμένει σταθερή Landauer G e = h MT
Βιβλιογραφία S. Datta, Electronic transport in Mesoscopic systems M. Lundstrom, Fundamentals of carrier transport M. S. Lundstrom, J. Guo, Nanoscale Transistors