ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας Τηλ:

2 Μέθοδος Υπολογισμού Σημειακής Εκτίμησης Υποθέτουμε ότι η τ.μ. έχει κάποια γνωστή κατανομή δηλαδή γνωρίζουμε τη γενική μορφή της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής F θ και της θ που είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αν η είναι συνεχής και η συνάρτηση μάζας πιθανότητας αν η είναι διακριτή Η παράμετρος θ της κατανομής είναι άγνωστη και θέλουμε να την εκτιμήσουμε από το δείγμα των παρατηρήσεων {... } Υπάρχουν μέθοδοι εύρεσης «καλών εκτιμητών» για την παράμετρο θ Η σημαντικότερη από αυτές είναι η Μέθοδος Μέγιστης Πιθανοφάνειας Εκτιμητής Μέγιστης Πιθανοφάνειας ΕΜΠ

3 Εκτιμητές Μέγιστης Πιθανοφάνειας ΕΜΠ Η μέθοδος αυτή δίνει την εκτίμηση που έχει τη μέγιστη πιθανοφάνεια δηλαδή δίνει την τιμή της παραμέτρου η οποία μεταξύ όλων των δυνατών τιμών της παραμέτρου είναι η πιο πιθανή με βάση το δείγμα Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για κάποια τιμή = που εξαρτάται από κάποια παράμετρο θ παίρνει την τιμή θ αν η είναι διακριτή τότε αυτή η τιμή εκφράζει την πιθανότητα P = Επειδή {... } είναι ανεξάρτητες η πιθανότητα να τις παρατηρήσουμε σ ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους δίνεται από τη συνάρτηση πιθανόφανειας lelhood ucto ως προς θ: L

4 Εκτιμητές Μέγιστης Πιθανοφάνειας ΕΜΠ Στα προβλήματα εκτίμησης θεωρούμε τα {... } δεδομένα και ενδιαφερόμαστε για τη θ. Αν λοιπόν L... θ > L... θ για δύο τιμές θ και θ της θ τότε η τιμή θ είναι πιο αληθοφανής από τη θ γιατί δίνει μεγαλύτερη πιθανότητα να παρατηρήσουμε τα {... } Θέλουμε λοιπόν να βρούμε την «πιό αληθοφανή» τιμή της θ δηλαδή την τιμή μεγιστοποιεί τη L... θ ή καλύτερα για ευκολότερους υπολογισμούς τη θˆ που log L... θ Άρα ο εκτιμητής μεγίστης πιθανοφάνειας au lelhood estator από τη σχέση log L 0 θˆ βρίσκεται

5 Εκτιμητές Μέγιστης Πιθανοφάνειας ΕΜΠ Αν ϑέλουμε να εκτιμήσουμε δύο ή περισσότερες παραμέτρους θ... θ η συνάρτηση πιθανόφανειας είναι L... θ... θ και οι εκτιμητές των θ... θ βρίσκονται λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων: log Παράδειγμα : Εχουμε ένα τυχαίο δείγμα {... } από κανονική κατανομή Nμ σ και θέλουμε να εκτιμήσουμε τη μέση τιμή μ θεωρώντας τη σ γνωστή. L 0 για j j Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κανονικής κατανομής είναι e

6 Εκτιμητές Μέγιστης Πιθανοφάνειας ΕΜΠ Η συνάρτηση πιθανόφανειας για την οποία μόνο η παράμετρος μ είναι άγνωστη είναι Ο λογάριθμος της συνάρτησης πιθανόφανειας είναι: Ο εκτιμητής μεγίστης πιθανοφάνειας βρίσκεται μηδενίζοντας την παράγωγο της log L e L log log L log ˆ ˆ L log 0 0

7 Εκτιμητές Με την Μέθοδο των Ροπών Έστω ένα τ.δ. {Χ... Χ } από πληθυσμό με σ.π.π. όπου Οι εκτιμητές των παραμέτρων βρίσκονται εξισώνοντας τις πρώτες ροπές του πληθυσμού με τις πρώτες ροπές του δείγματος E E E

8 Εκτιμητές Με την Μέθοδο των Ροπών Οι ροπές του πληθυσμού θα είναι συνάρτηση των οπότε οι εκτιμητές προκύπτουν από την επίλυση του συστήματος

9 Μέθοδος Υπολογισμού Σημειακής Εκτίμησης Η μέθοδος των ροπών χρησιμοποιείται συνήθως όταν υπάρχει κάποια σχέση που μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την παράμετρο θ ή τις παραμέτρους θ και θ από τα μ και σ Η μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας είναι η καλύτερη μέθοδος εκτίμησης αν γνωρίζουμε την κατανομή της τ.μ. Χ και εφαρμόζεται σε οποιοδήποτε πρόβλημα εκτίμησης παραμέτρων Υπάρχει και η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων που εφαρμόζεται μόνο στην περίπτωση που οι άγνωστες παράμετροι εμφανίζονται σε σχέσεις τυχαίων μεταβλητών και οι σχέσεις αυτές είναι γραμμικές ως προς τις άγνωστες παραμέτρους που θέλουμε να εκτιμήσουμε.