Χρόνος ταλάντωσης των σηµείων που βρίσκονται σε υπερβολές ακυρωτικής συµβολής Δύο σύγχρονες πηγές Π1 και Π δηµιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια αρµονικά κύµατα. Η εξίσωση ταλάντωσης κάθε πηγής είναι y=0,1ηµ(10πt) (SI) και η ταχύτητα διάδοσης των εγκάρσιων κυµάτων στην επιφάνεια του υγρού είναι υ=1,5 m/s. Ένα σηµείο της επιφάνειας του υγρού απέχει από την πηγή Π1 απόσταση 0,9 m και από την πηγή Π απόσταση 1,35 m. Α) Να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης του σηµείου µετά τη συµβολή των κυµάτων στο σηµείο αυτό καθώς και ο ολικός χρόνος ταλάντωσης του σηµείου. Β)Ποια η αποµάκρυνση του σηµείου τις χρονικές στιγµές: α) t1=0,4 s β) t=0,8 s γ) t3=1, s ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α) Από την εξίσωση ταλάντωσης των πηγών έχουµε ότι ω=10π rad/s και f=5 Hz. Το µήκος κύµατος των κυµάτων που δηµιουργούν οι πηγές είναι: λ=υ/f=0,3 m. Επειδή: r r1 λ 1,35 0,9 0, 45 λ = = = 3 r r1 = 3, 3 περιττός ακέραιος 0,15 0,15 συµπεραίνουµε ότι το σηµείο µετά τη συµβολή παραµένει ακίνητο, δηλαδή στο πραγµατοποιείται ακυρωτική συµβολή. Ισοδύναµα: ' r r1 ' 0, 45 A = Aσυν ( π ) A = 0, συν ( π ) = 0, συν = 0 λ 0,3 Όµως το σηµείο δεν παραµένει συνεχώς ακίνητο από τη χρονική στιγµή t=0 (έναρξη ταλάντωσης των πηγών) και µετά. Συγκεκριµένα το κύµα από την πηγή Π1 φθάνει στο τη χρονική στιγµή t1=r1/υ=0,6 s. Τότε το αρχίζει να ταλαντώνεται σύµφωνα µε την εξίσωση: y=aηµ10π(t-0,6) (SI). To κύµα από την πηγή Π φθάνει στο τη χρονική στιγµή t=r/υ=0,9 s. Τότε αρχίζει η ακυρωτική συµβολή και το θα παραµείνει ακίνητο στη συνέχεια. Όµως για χρονικό διάστηµα Δt=0,9-0,6=0,3 s το εκτελούσε ΑΑΤ συχνότητας f=5 Hz.
Γενικότερα για όλα τα σηµεία που βρίσκονται σε υπερβολές ακυρωτικής συµβολής ο χρόνος ταλάντωσης είναι (θεωρώντας r>r1): λ (N+ 1) r r r r λ T = = = = ( + 1) = ( + 1), υ υ υ υ υ 1 1 + t t N t N N Z Δηλαδή όλα τα σηµεία που βρίσκονται πάνω στην 1η υπερβολή ακυρωτικής συµβολής µετά τη µεσοκάθετο του ευθύγραµµου τµήµατος Π1Π που ορίζουν οι πηγές, ταλαντώνονται για χρόνο: Δt=T/, ενώ τα σηµεία που βρίσκονται πάνω στην η υπερβολή ακυρωτικής συµβολής µετά τη µεσοκάθετο ταλαντώνονται για χρόνο: Δt=3T/ κ.λ.π Β) α) Τη χρονική στιγµή t1=0,4 s το είναι ακίνητο αφού δεν έχει φθάσει ακόµα σε αυτό το κύµα από την πλησιέστερη πηγή Π1. β) Τη χρονική στιγµή t=0,8 s ταλαντώνεται εξαιτίας του κύµατος από την πηγή Π1, αφού ακόµα δεν έχει φθάσει το κύµα από την πηγή Π. Οπότε: y = Aηµ 10 π (0,8 0, 6) = Aηµ π y = 0 δηλαδή έχει µηδενική αποµάκρυνση, αφού διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης που εκτελεί, κινούµενο κατά τη θετική φορά µε ταχύτητα: m m m υ = 10π 0,1συν 10 π (0,8 0, 6) = πσυν ( π ) υ = π s s s γ) Τη χρονική στιγµή t3=1, s το είναι ακίνητο αφού συµβάλλουν ακυρωτικά τα κύµατα από τις δύο πηγές. Συγκεκριµένα: y = Aηµ 10 π (1, 0, 6) = Aηµ 6π y = 0 1( ) 1( ) m υ = ω συν π υ = ω υ = π s µε 1( ) A 6 1( ) A 1( ) αλλά µε Άρα: y = Aηµ 10 π (1, 0, 9) = Aηµ y = 0 ( ) ( ) m υ( ) = ω Aσυν υ( ) = ω A υ( ) = π s
υ υ υ υ ω ω υ = 1( ) + ( ) = A A = 0. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΜΒΟΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΠΗΓΕΣ 1) Το αποτέλεσµα της συµβολής δύο κυµάτων που προέρχονται από σύγχρονες πηγές σ ένα ορισµένο σηµείο Η του µέσου, εξαρτάται από τη διαφορά φάσης των ταλαντώσεων που αναγκάζεται να εκτελέσει το σηµείο αυτό εξαιτίας των δύο κυµάτων. Η διαφορά φάσης οφείλεται στη χρονική διαφορά µε την οποία φθάνουν τα κύµατα στο συγκεκριµένο σηµείο, λόγω των διαφορετικών αποστάσεων r 1, r που διανύουν από την κάθε πηγή µέχρι το σηµείο. Συγκεκριµένα, έστω ότι το σηµείο Η εκτελεί εξαιτίας κάθε κύµατος τις ταλαντώσεις: t r1 t r y1 = Aηµ π ( ) και y = Aηµ π ( ). T λ T λ r Έστω ότι r 1 < r, οπότε η συµβολή ξεκινά τη χρονική στιγµή: t =. υ Η διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων δίνεται από τη σχέση ( r1 < r ϕ1 > ϕ) : t r1 t r π π ϕ = ϕ1 ϕ = π ( ) π ( ) = ( r r1 ) ϕ = ( r r1 ) T λ T λ λ λ Αντικαθιστώντας στον τύπο που δίνει το πλάτος ταλάντωσης µετά τη συµβολή έχουµε: r r λ ϕ ϕ συν π συν π συν λ π λ 1 A' = A ( ) A' = A ( ) A' = A Αν τα κύµατα συµβάλλοντας στο σηµείο Η, βρίσκονται σε συµφωνία φάσης τότε:
κπ ϕ = κπ A' = Aσυν = Aσυν ( κπ ) = A, δηλαδή ενίσχυση. Αν τα κύµατα συµβάλλοντας στο σηµείο Η, βρίσκονται σε αντίθεση φάσης τότε: (κ + 1) π ϕ = (κ + 1) π A' = Aσυν = 0, δηλαδή απόσβεση. Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση έχουµε ενδιάµεσο πλάτος ταλάντωσης. Εφαρµογή Σε δύο σηµεία της επιφάνειας ενός υγρού βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές κυµάτων, οι οποίες ταλαντώνονται κατακόρυφα µε εξίσωση ταλάντωσης: y= 0,1ηµ 10 πt( S. I ). Η ταχύτητα διάδοσης των εγκάρσιων κυµάτων στην επιφάνεια του υγρού είναι υ=1,5 m/s. A) Σ ένα σηµείο Η τα κύµατα συµβάλλουν µε διαφορά φάσης ϕ =,5π rad. Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης του σηµείου Η µετά τη συµβολή. B) Ένα σηµείο της επιφάνειας του υγρού απέχει από την πηγή Π1 απόσταση 0,9 m και από την πηγή Π απόσταση 1,35 m. Ποια η διαφορά φάσης των ταλαντώσεων που εκτελεί το σηµείο αυτό εξαιτίας των κυµάτων που συµβάλλουν; Απάντηση Α),5 5 A' A π π = συν = Aσυν (1, 5 π ) = Aσυν = A = A A' = 0,1 m 4 Β) Από την εξίσωση ταλάντωσης των πηγών έχουµε ότι ω=10π rad/s και f=5 Hz. Το µήκος κύµατος των κυµάτων που δηµιουργούν οι πηγές είναι: λ=υ/f=0,3 m. Η διαφορά φάσης υπολογίζεται: π π ϕ = ( r r1 ) ϕ= 0,45 ϕ = rad λ 0,3
) Όταν ζητάµε την εξίσωση της συνισταµένης ταλάντωσης ενός ορισµένου σηµείου Η του µέσου ή την αποµάκρυνση του σηµείου αυτού µια ορισµένη χρονική r r1 στιγµή, χρησιµοποιούµε τον όρο A' = Aσυν ( π ) χωρίς απόλυτη τιµή. λ Εφαρµογή Αν το σηµείο Η απέχει από τις δύο πηγές αποστάσεις r 1 = 1,8m και r =,175m αντίστοιχα, να γραφεί η εξίσωση ταλάντωσής του µετά τη συµβολή των δύο κυµάτων και να βρεθεί η αποµάκρυνσή του τη χρονική στιγµή t= s Απάντηση r r1 t r1 + r,175 1,8,175+ 1,8 y= Aσυν ( π ) ηµ π ( ) = 0, συν ( π ) ηµ π (5 t ) λ T λ 0,3 0,3 5π y= 0, συν ( ) ηµ π (5t 6, 65) y= 0, ( ) ηµ (10π t 13, 5 π ) 4 y= 0,1 ηµ (10π t 13,5 π )( S. I ) r,175 Η πιο πάνω σχέση ισχύει για t t = 1,45 s υ 1,5 Η αποµάκρυνση του σηµείου Η τη χρονική στιγµή t= s είναι ίση µε: y= 0,1 ηµ (10π 13, 5 π ) m= 0,1 ηµ (6, 75 π ) m y= 0,1 ηµ (6 π + ) m= 0,1 ( ηµ ) m= 0,1 m y= 0,1m 4 4 3) Αν τα κύµατα που συµβάλλουν σ ένα ορισµένο σηµείο Η δε βρίσκονται σε φάση, οπότε το αποτέλεσµα της συµβολής δεν είναι ενίσχυση, τότε για να βρούµε ποια χρονική στιγµή φθάνει σε ορισµένη θέση της συνισταµένης ταλάντωσης, π.χ: στη θετική ακρότατη, πρέπει αναγκαστικά να χρησιµοποιήσουµε τριγωνοµετρική εξίσωση. Δεν µπορούµε να προσθέσουµε στη χρονική στιγµή έναρξης της
συµβολής το χρόνο που χρειάζεται για να µεταβεί από τη θέση ισορροπίας στην ακρότατη, δηλαδή 4 T, αφού τη στιγµή που φθάνει και το δεύτερο κύµα, δηλαδή τη στιγµή έναρξης της συµβολής, το σηµείο δε βρίσκεται στη θέση ισορροπίας. Εφαρµογή Να βρεθεί ποια χρονική στιγµή το σηµείο Η φθάνει για 1 η φορά στη θέση µέγιστης θετικής αποµάκρυνσης y= 0,1 m Απάντηση y= 0,1 ηµ (10π t 13, 5 π ) = 0,1 ηµ (10π t 13, 5 π ) = 1= ηµ 10π t 13, 5π = kπ + 10π t= kπ + 14, 75π t= 0, k+ 1, 475, k Z Όµως: t> 1, 45s 0, k+ 1, 475> 1, 45 0, k > 0, 05 k > 0,15 k = 0,1,... Η 1 η φορά αντιστοιχεί σε: k = 0 t= 1, 475s Ισοδύναµα: y= 0,1 ηµ (10π t 13, 5 π ) = 0,1 ηµ (10π t 13, 5 π ) = 1= ηµ π 10π t 13, 5π = κπ + π = κπ 10π t= κπ + 1, 75π t= 0,κ + 1,75, κ Z Όµως: t> 1, 45s 0, k+ 1, 75> 1, 45 0, k > 0,175 k > 0,875 k = 1,, 3... Η 1 η φορά αντιστοιχεί σε: k = 1 t= 1, 475s Θοδωρής Παπασγουρίδης papasgou@gmail.com
y= 0,1 ηµ (10π t 13, 5 π ) = 0,1 ηµ (10π t 13, 5 π ) = 1= ηµ 3 π y= 0,1 ηµ (10π t 13, 5 π ) = 0,1 ηµ (10π t 13, 5 π ) = 1= ηµ 10π t 13, 5π = kπ + 10π t= kπ + 14, 75π t= 0, k+ 1, 475, k Z 10π t 13, 5π = kπ + 10π t= kπ + 14, 75π t= 0, k+ 1, 475, k Z