ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

Μηδείς ἀγεωμέτρητος εἰσίτω μου τήν στέγην, ἤγουν μηδείς ἄδικος παρεισερχέσθω τῇδε. Δίκαιον γάρ καί ἰσότης ἔστι ἡ Γεωμετρία ΠΛΑΤΩΝΑΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφείο 0 Στρόβολος 00 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ. 780 Φαξ: 79 Email: cms@cms.org.cy Ιστοσελίδα: www.cms.org.cy Α, Β, Γ, ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ISBNset 996-9068-0-X ISBN 996-9068-4- Επιμέλεια έκδοσης: Ανδρέας Φιλίππου Γρηγόρης Μακρίδης

Εισαγωγή Η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία έχει θέσει ως πρωταρχικό στόχο της την αναβάθμιση της μαθηματικής Παιδείας στην Κύπρο. Μια από τις δραστηριότητες που σχεδιάστηκε για το σκοπό αυτό είναι η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα. Για πρώτη φορά διοργανώθηκε τον Ιανουάριο του 000 στα πλαίσια του Πρώτου Μεσογειακού Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας ως μέρος των εορτών για το έτος των Μαθηματικών όπως είχε ανακηρυχθεί από την ΟΥΝΕΣΚΟ. Η νέα αυτή Ολυμπιάδα επιτρέπει σε μαθητές από τη Δ' τάξη Δημοτικού έως τη Γ' τάξη Λυκείου να διαγωνισθούν την ίδια μέρα παγκύπρια. Ο σκοπός της Κυπριακής Μαθηματικής Ολυμπιάδας είναι να ανακαλύψει και να ενθαρρύνει μαθητές της πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης με ανώτερο μαθηματικό ταλέντο, μαθητές που κατέχουν μαθηματική δημιουργικότητα και εφευρετικότητα, καθώς και ικανότητα στη χρήση των μαθηματικών. Η διατύπωση των προβλημάτων που προτείνονται για τις ολυμπιάδες διαφέρει κατά πολύ από τη στερεότυπη μορφή που δίνονται συνήθως. Η αναζήτηση απάντησης και απόδειξης απαιτούν όχι μόνο σχολικές γνώσεις αλλά πολύ περισσότερο κοινή λογική σκέψη, επινοητικότητα, ικανότητα στο συλλογισμό και την "μετάφραση" των ασυνήθιστων συνθηκών σε κατάλληλη μαθηματική γλώσσα. Σε πολλά προβλήματα ενώ τα δεδομένα και οι συνθήκες είναι πλήρως κατανοητά, παρουσιάζεται αδυναμία στο να βρούμε τον σωστό δρόμο για τον συλλογισμό ο οποίος θα μας δώσει τη λύση του προβλήματος, παρότι η λύση είναι μόνον λίγες γραμμές. Η "ανακάλυψη" ακριβώς αυτού του δρόμου συνιστά τη χαρά της μαθηματικής δημιουργίας. Τα δοκίμια είναι τύπου πολλαπλής επιλογής και βραβεύεται περίπου έξι τοις εκατό των διαγωνιζομένων με χρυσά, αργυρά και χάλκινα μετάλλια σε αναλογία ::. Η παρούσα έκδοση εκδίδεται ως βοήθημα για τους μαθητές που σκοπεύουν να συμμετάσχουν σε μελλοντικές οργανώσεις της Κυπριακής Μαθηματικής Ολυμπιάδας. Η έκδοση περιέχει τα δοκίμια των πρώτων Κυπριακών Μαθηματικών Ολυμπιάδων Ευχαριστίες πρέπει να δοθούν σε όλους τους εκπαιδευτικούς που βοήθησαν να γίνει αυτή η ιδέα πραγματικότητα αλλά ιδιαίτερα τα μέλη της επιτροπής Ολυμπιάδων που αφιλοκερδώς εργάστηκαν και θα εργάζονται πάρα πολλές ώρες από τον ελεύθερο χρόνο τους για την οργάνωση των Ολυμπιάδων. Δρ. Γρηγόρης Μακρίδης Πρόεδρος Διοικητικού Συμβουλίου ΚΥ.Μ.Ε Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία 5

6 KY.M.E.

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Μάρτιος 000 ΧΡΟΝΟΣ: 50 ΛΕΠΤΑ Δοκίμιο για Α, Β, Γ Γυμνασίου ΆΆσσκκηησσηη... Αν το ενός αριθμού είναι, τότε το τετραπλάσιο του αριθμού αυτού ισούται με: (Α) 4 (Β) 8 (Γ) 6 (Δ) 44 (Ε) 4 ΆΆσσκκηησσηη... Σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο η μια διάστασή του είναι κατά 4cm μεγαλύτερη από την άλλη και η περίμετρός του είναι 40cm. Το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου σε cm² ισούται με: (Α) 90 (Β) 9 (Γ) 95 (Δ) 96 (Ε) 98 ΆΆσσκκηησσηη... Το άθροισμα του του 0 και το του 0 ισούται με: (Α) 0 (Β) 0 (Γ) 0 (Δ) 40 (Ε) 5 ΆΆσσκκηησσηη 44... Η Χριστίνα και η Ιωάννα έχουν μαζί 56 βιβλία. Η Ιωάννα έχει τριπλάσια βιβλία από την Χριστίνα. Πόσα βιβλία έχει η Ιωάννα; (Α) 9 (Β) 5 (Γ) 78 (Δ) 7 (Ε) 56 ΆΆσσκκηησσηη 55... Το τελευταίο ψηφίο του γινομένου 9 9 9 94 95 96 97 98 99 ισούται με: (Α) 0 (Β) (Γ) 4 (Δ) 6 (Ε) 8 7 ΆΆσσκκηησσηη 66... Αν το κλάσμα μπορεί να γραφεί στη μορφή (χ, ψ, ω) ισούται με: + τότε χ + ψ + ω (Α) (,,5) (Β) (,5,) (Γ) (5,,) (Δ) (,,5) (Ε) (,,) ΆΆσσκκηησσηη 77... Τι κλάσμα του ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι το σκιασμένο εμβαδό αν ΕΒ=cm, ΔΖ=cm και ΖΓ=5cm ; Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία 7

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α, Β, Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ cm Δ cm 5cm Γ (Α) 4 (Β) (Γ) 5 (Δ) 5 4 (Ε) 5 ΆΆσσκκηησσηη 88... Με πόσους τρόπους μπορεί ο αριθμός να αναπτυχθεί σαν άθροισμα διαφορετικών θετικών ακέραιων αριθμών σε αύξουσα σειρά ; (π.χ. =++9) (Α) 4 (Β) 5 (Γ) 6 (Δ) 7 (Ε) ΆΆσσκκηησσηη 99... Ένας αστροναύτης του οποίου το βάρος στη γη είναι 7 Kg, στο φεγγάρι ζυγίζει Kg. Ένας άλλος αστροναύτης ο οποίος έχει βάρος Kg στο φεγγάρι, στη γη ζυγίζει: (Α) 66 (Β) 68 (Γ) 70 (Δ) 7 (Ε) 7 ΆΆσσκκηησσηη 00... Η Μαρία είναι χρόνια μεγαλύτερη από την Αθηνά, και η Αθηνά είναι 6 χρόνια μεγαλύτερη από την Ελένη. Ποιο είναι το άθροισμα των ηλικιών των τριών κοριτσιών, αν η Μαρία έχει διπλάσια ηλικία από την Ελένη; (Α) 4 (Β) (Γ) 8 (Δ) 46 (Ε) 48 ΆΆσσκκηησσηη... Ένας ρόμβος είναι εγγεγραμμένος σε ορθογώνιο το οποίο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Εάν τα ευθύγραμμα τμήματα ΟΑ και ΑΒ είναι 4 cm και cm αντίστοιχα τότε η πλευρά του ρόμβου ισούται με: (Α) 5 (Β) 6 (Γ) 7 (Δ) 8 (Ε) 9 ΆΆσσκκηησσηη... Ο Αντώνης έχει ανέβει το μια σκάλας. Εάν ανέβει ακόμα 9 σκαλιά θα βρεθεί στη μέση της σκάλας. Ο συνολικός αριθμός των σκαλιών ισούται με: (Α) 7 (Β) 54 (Γ) 60 (Δ) 66 (Ε) 7 ΆΆσσκκηησσηη... Εάν ν είναι φυσικός αριθμός και ν > 5, ποια από τις παρακάτω παραστάσεις είναι η μικρότερη. (Α) ν (Β) ν + (Γ) ν (Δ) ν 5 (Ε) ν + 5 8 KY.M.E.

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α, Β, Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΆΆσσκκηησσηη 44... Μια ομάδα καλαθόσφαιρας κέρδισε μέχρι σήμερα 4 παιχνίδια από τα 0. Πόσα παιχνίδια από τα υπόλοιπα 0 πρέπει να κερδίσει, ώστε να έχει ποσοστό επιτυχίας 70% για ολόκληρη την αγωνιστική περίοδο; (Α) 4 (Β) 5 (Γ) 6 (Δ) 7 (Ε) 8 ΆΆσσκκηησσηη 55... Δύο εργάτες Α και Β τελειώνουν μια δουλειά μαζί σε 4 ώρες. Εάν ο Α χρειάζεται 6 ώρες για να τελειώσει μόνος του τη δουλειά, πόσες ώρες χρειάζεται ο Β για να την τελειώσει μόνος του; (Α) 0 (Β) (Γ) 4 (Δ) 6 (Ε) 8 ΆΆσσκκηησσηη 66... Ο μέσος όρος των θετικών ακέραιων αριθμών από μέχρι 99999 ισούται με: (Α) 0000 (Β) 000 (Γ) 50000 (Δ) 90000 (Ε) 00000 ΆΆσσκκηησσηη 77... Το α * β ισούται με το άθροισμα των ψηφίων του γινομένου των αριθμών α και β (π.χ. 6 * 8 = ). Ποιο είναι το αποτέλεσμα της παράστασης : ( * 5) * ( * 5) (Α) 9 (Β) 5 (Γ) 0 (Δ) 6 (Ε) 5 ΆΆσσκκηησσηη 88... Στο διπλανό σχήμα οι εξωτερικές πλευρές του σταυρού είναι ίσες και κάθετες μεταξύ τους. Αν ΑΒ = 0cm, το εμβαδό του σταυρού σε cm² είναι: (Α) 40 (Β) 50 (Γ) 80 (Δ) 00 (Ε) 0 ΆΆσσκκηησσηη 99... Σε ένα κουτί σχήματος ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου υπάρχουν ίσοι κύβοι. Πόσοι κύβοι ίσοι με τους προηγουμένους υπάρχουν σε άλλο κουτί του οποίου οι διαστάσεις είναι διπλάσιες από το αρχικό κουτί. (Α) 4 (Β) 6 (Γ) 60 (Δ) 84 (Ε) 96 ΆΆσσκκηησσηη 00... Εάν στο διπλανό σχήμα Ο είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του τετραγώνου ΑΒΓΔ, τότε το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής ισούται με: Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία 9

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α, Β, Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (Α) (Β) (Γ) 4 9 (Δ) 4 (Ε) Δεν υπάρχουν αρκετές πληροφορίες ΆΆσσκκηησσηη... Εάν διαιρεθεί ο αριθμός 999 7 με το 00 το υπόλοιπο είναι: (Α) (Β) 7 (Γ) 4 (Δ) 49 (Ε) 57 ΆΆσσκκηησσηη... Στο διπλανό σχήμα έχουμε τα δύο εφαπτόμενα ημικύκλια με ακτίνα ίση με χ. Το εμβαδό της σκιασμένης περιοχής ισούται με: (Α) 4χ² (Β) π χ² (Γ) (π-)χ² (Δ) (4-π)χ² (Ε) 0 ΆΆσσκκηησσηη... Το τετράγωνο ΑΒΓΔ στο διπλανό σχήμα διαιρείται σε 5 ίσα ορθογώνια. Εάν η περίμετρος του ενός ορθογωνίου είναι 0 m τότε η περίμετρος του τετραγώνου ΑΒΓΔ σε m ισούται με: (Α) 50 (Β) 60 (Γ) 0 (Δ) 50 (Ε) 5 ΆΆσσκκηησσηη 44... Ένας μαθητής ξεκίνησε από το 777 και μετρούσε αφαιρώντας 7 κάθε φορά δηλαδή 777, 770, 76,. Ποιος από τους πιο κάτω αριθμούς περιλαμβάνεται στην μέτρησή του; (Α) 6 (Β) 7 (Γ) 8 (Δ) 9 (Ε) 0 ΆΆσσκκηησσηη 55... Εάν Α, Β, Γ τα σύνολα των σημείων που περικλείονται από τον κύκλο, το τρίγωνο και το τετράγωνο αντίστοιχα, τότε παράσταση που εκφράζει την σκιασμένη περιοχή είναι: (Α) Α Β Γ (Β) (Α Β) (Α Γ) (Γ) Α Β Γ (Δ) (Α Β) Γ) (Ε) Α (Β Γ) 0 KY.M.E.

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α, Β, Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΆΆσσκκηησσηη 66... Εάν ο λόγος του α προς το β είναι : και ο λόγος του β προς το γ είναι 4:5, τότε ο λόγος του α προς το γ ισούται με: (Α) 8:45 (Β) 8:7 (Γ) 8:5 (Δ) 6:9 (Ε) :5 ΆΆσσκκηησσηη 77... Τα πέντε ελαστικά ενός αυτοκινήτου (τέσσερα και ένας εφεδρικός τροχός) χρησιμοποιήθηκαν εξίσου στο αυτοκίνητο το οποίο ταξίδεψε 0000 Km. Ο αριθμός των χιλιομέτρων που χρησιμοποιήθηκε κάθε ελαστικό ήταν : (Α) 4000 (Β) 5000 (Γ) 6000 (Δ) 0000 (Ε) 00000 ΆΆσσκκηησσηη 88... Στο διπλανό σχήμα είναι ΓΔ // ΕΖ και ΕΖ = ΕΗ. Η γωνία ΓΒˆ Α ισούται με: (Α) 5 (Β) 40 (Γ) 45 (Δ) 70 (Ε) 85 ΆΆσσκκηησσηη 99... Αν α+β= και β+γ= η τιμή της παράστασης α+4β+γ ισούται με: 5 4 (Α) 0 (Β) 0 (Γ) 0 9 (Δ) 5 (Ε) 9 ΆΆσσκκηησσηη 00... Στο διπλανό σχήμα έχουμε στοιβαγμένους κυλινδρικούς σωλήνες. Η διάμετρος κάθε σωλήνα είναι 5 cm. Το ύψος h όταν στοιβάσουμε τους σωλήνες σε 5 επίπεδα ισούται με: h (Α) 5 (Β) 0 (Γ) 5 (Δ) 0 (Ε) 5+0 Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Απρίλιος 00 ΧΡΟΝΟΣ: 60 ΛΕΠΤΑ Άσκηση. Αν Δοκίμιο για Α', Β', Γ' Γυμνασίου S = t, με τι ισούται το S ; A. t B. t Γ. 9 t Δ. 4,5t E. 9t 4 Άσκηση. Ο Ανδρέας ο Βασίλης και ο Γιώργος μοιράζονται ένα ποσό χρημάτων ανάλογα με τους αριθμούς, και 9 αντίστοιχα (::9).Πόσα χρήματα θα πάρει ο Βασίλης αν ο Γιώργος και ο Ανδρέας θα πάρουν μαζί 00. Α. 75 Β. 70 Γ. 0 Δ. 90 Ε. 0 Άσκηση. Αν α (β + γ) = αβ + αγ με τι ισούται η αριθμητική παράσταση : 8 (+5). Α. 48 Β. 55 Γ. 9 Δ. 49 Ε. 64 Άσκηση 4. Με γ σεντς αγοράζουμε β δωδεκάδες πορτοκάλια. Στην ίδια τιμή πόσα πορτοκάλια μπορούμε να αγοράσουμε με ε σεντς. Άσκηση 5. Αν ν είναι ένας θετικός ακέραιος, ποιος από τους παρακάτω αριθμούς αποκλείεται να διαιρείται δια του 5; Α. ν+5 Β. ν+4 Γ. ν+ Δ. 4ν+ Ε. 5ν+ Άσκηση 6. Αν τα 4 5 των μήλων ενός καλαθιού είναι κόκκινα ποιος θα είναι ο λόγος του αριθμού των κόκκινων μήλων προς τον αριθμό των μήλων που δεν είναι κόκκινα: Α. 9: Β. 5: Γ. 4: Δ. 9:4 Ε. 4:5 Άσκηση 7. Με ποιον από τους δεκαδικούς αριθμούς πού δίδονται, ισούται ο αριθμός χ; Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ x = + + + + 0 0 0 70 60 50 4 Α. 76,54 Β. 76,4 Γ. 706,54 Δ. 706,04 Ε. 7065,04 Άσκηση 8. Τι ποσοστό του β είναι το α ; Α. 00% Β. α% Γ. a β % 00a Δ. β % Ε. Κανένα από αυτά Άσκηση 9. εμβαδόν Ψ. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με εμβαδό Χ και το τρίγωνο ΓΔΕ με Ποια είναι η σχέση μεταξύ των Χ και Ψ; Α. Χ = Ψ Β. Χ= - Ψ Γ. Χ = 4Ψ Δ. Ψ = -Χ Ε. Δεν μπορεί να καθοριστεί Άσκηση 0. Στο πιο κάτω σχήμα έχουμε ΓΟ ± ΑΕ και ΒΟ ± ΟΔ. Αν το μέτρο της γωνίας ΒΟΓ είναι ίσο με το τετραπλάσιο του μέτρου της γωνίας ΓΟΔ, ποιο είναι το μέτρο της γωνίας ΑΟΒ; Α. 6 Β. 7 Γ. 8 Δ. 9 Ε. 0 Άσκηση. Αν το εμβαδό του τετραγώνου που δίδεται είναι 9 cm, ποιο θα είναι το εμβαδό του εγγεγραμμένου σε αυτό κύκλου; 4 KY.M.E.

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. 9π Β. π Γ. 9 π 4 Δ. π Ε. 6π Άσκηση. Οι τέσσερις κύκλοι που δίδονται εφάπτονται μεταξύ τους και ταυτόχρονα εφάπτονται στις πλευρές του ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Ποια είναι η σωστή σχέση μεταξύ των χ και ψ; Α. x = y Β. 4 y x = Γ. π x = Δ. x π y = π y Ε. x = 4y Άσκηση. Αν a α β =, με τι θα ισούται το ( β α) β ; β Α. β α Β.. a β Γ. 4 β α Δ. β α Ε. a β Άσκηση 4. Με τι ισούται η αριθμητική παράσταση: Α. 4 Β. 4 Γ. 4 4 Δ. 4 Ε. 4 Άσκηση 5. Στην πρώτη τάξη ενός Γυμνασίου φοιτούν 80 παιδιά. Από αυτά το 5% είναι κορίτσια. Αν το 0% των αγοριών και το 0% των κοριτσιών αρίστευσαν στα μαθηματικά, τι ποσοστό του συνόλου των παιδιών της τάξης αρίστευσε ; Α. 0% Β. % Γ.,5% Δ. 0% Ε. 0% Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία 5

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άσκηση 6. Το πλάτος ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου ισούται με τα 4 5 του μήκους του. Αν η περίμετρος του ισούται με 7 μονάδες, με πόσες τετραγωνικές μονάδες θα ισούται το εμβαδό του ; Α. 60 Β. 50 Γ. 80 Δ. 0 Ε. 500 Άσκηση 7. Το άθροισμα τριών διαδοχικών φυσικών αριθμών ισούται με α. Ποίος από τους πιο κάτω αριθμούς συμβολίζει τον μικρότερο των τριών αυτών αριθμών : a a Α. 6 Β. a 6 Γ. Δ. a Ε. a + 6 Άσκηση 8. Ποια από τις ακόλουθες αριθμητικές παραστάσεις δεν ισούται με τις υπόλοιπες τέσσερις; Α. Β. ( ) Γ. 7 4 Δ. ( ) Ε. ( ) Άσκηση 9. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης Τ. Τ = α {α[α(α + ) + 4]- }-, όταν α =. Α. 58 Β. 7 Γ. Δ. 4 Ε. 67 Άσκηση 0. Δίδεται ο θετικός, μη ακέραιος, πραγματικός αριθμός γ. Το σύμβολο Α(γ) γ γ σημαίνει το ακέραιο μέρος του γ. Τότε η παράσταση H = 5 Α, είναι πάντα: Α. Η>5 Β. 0<Η<5 Γ. Η= Δ. 0<Η< Ε. Η=0 Άσκηση. Αν ΒΔ = υ, ΑΔ = ψ, ΓΔ = χ και Δ = 90, ποιο είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ; υ χ + ψ Β. xυ ψυ Γ. xυ + ψυ Δ. ψυ xυ Ε. xυ Α. α ( ) 6 KY.M.E.

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άσκηση. Αν α - β = 8 και γ = 4, με τι θα ισούται η παράσταση: [(α-β)-γ] [α-(β-γ)] Α. 64 Β. 48 Γ. 6 Δ. Ε. 80 Άσκηση. Ένα αγόρι είναι 0 ετών. Μετά από 6 χρόνια η ηλικία του θα είναι διπλάσια της σημερινής ηλικίας της αδελφής του. Πόσο ετών θα είναι τότε η αδελφή του; Α. 8 Β. Γ. 4 Δ. 6 Ε. 0 Άσκηση 4. Οι γωνίες ενός τριγώνου είναι ανάλογες προς τους αριθμούς, και (::). Ποια από τις ακόλουθες προτάσεις είναι η ορθή ; Α. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Β. Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Γ. Το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. Δ. Το τρίγωνο είναι οξογώνιο. Ε. Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. Άσκηση 5. Σε ένα ολοήμερο σχολείο φοιτούν 0 μαθητές. Κατά την διάρκεια του πρώτου διαλείμματος προσφέρεται στους μαθητές ένα ποτήρι γάλα ή ένα ποτήρι με χυμό πορτοκαλιού αλλά όχι και τα δύο είδη. Για κάθε τρεις μαθητές που παίρνουν γάλα, δύο μαθητές παίρνουν χυμό πορτοκαλιού. Ποιος είναι ο αριθμός των μαθητών που παίρνουν χυμό πορτοκαλιού; Α. 0 Β. Γ. 98 Δ. 0 Ε. 65 Άσκηση 6. Δίδονται τα σύνολα: Ζ={ χ: χ ισοσκελές τρίγωνο }, Η = { χ: χ ισόπλευρο τρίγωνο }, Θ = {χ: χ ορθογώνιο τρίγωνο } και Τ = { χ: χ τυχαίο τρίγωνο }. Ποιο από τα ακόλουθα Βένια διαγράμματα δείχνει την ορθή σχέση μεταξύ των συνόλων Η,Ζ,Θ και Τ; Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία 7

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άσκηση 7. Δίνονται οι αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί α, β και γ για τους οποίους ισχύει α<β<γ. Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις πρέπει να είναι οπωσδήποτε ορθές;. > >. α β γ < 0. γ β α β = α γ Α. H () και η () Β. H () και η ( Γ. Μόνο η () Δ.. Μόνο η () Ε.. Μόνο η () Άσκηση 8. Να βρεθεί η τιμή του κλάσματος Κ: 9,99 0,099 0,009 K = 0,00 0,0, Α. Η () και η () Β. Η () και η () Γ. Μόνο η () Δ. Μόνο η () Ε. Μόνο η () Άσκηση 9. Δίδεται το σχήμα: Ποια από τις ακόλουθες προτάσεις είναι ορθή: Α.α + β + γ=80 Β.δ+β + γ=80 Γ.γ + δ = β Δ. ΗΛΘ = α + Β Ε. Δεν υπάρχει καμία σωστή απάντηση Άσκηση 0. β Αν a = τότε το β + είναι ίσο με : Α. α Β. α Γ. α + Δ. α Ε. α- 8 KY.M.E.

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Απρίλιος 00 ΧΡΟΝΟΣ: 60 ΛΕΠΤΑ Δοκίμιο για Α', Β', Γ' Γυμνασίου a a a, a 0 a a Άσκηση. Με τι ισούται η παράσταση ( ) ( ) A. a B. Γ. a Δ. a a Ε. Άσκηση. Τα 5 των 5 6 του αριθμού 60 είναι: Α 50 Β. 6 Γ. 4 Δ. 0 Ε. 40 Άσκηση. Να βρεθεί το εξαγόμενο Α. 0, Β.,875 Γ. 0,8 Δ.,8 Ε.,8 Άσκηση 4. Ποια από τις ακόλουθες αριθμητικές παραστάσεις δεν ισούται με μηδέν; Α. (6-6) : (6 : 6) Β. (6. 0) : (6 : 6) Γ. (6 : 6). (6-6) Δ. (6: 6): (6: 6) Ε. (6-6). (6: 6) Άσκηση 5. Ποια από τις ακόλουθες προτάσεις είναι πάντοτε ορθή; Α. Κάθε πολλαπλάσιο του 6 είναι και δύναμη του 6 Β. Κάθε διαιρέτης του 6 είναι και πολλαπλάσιο του 6. Γ. Κάθε δύναμη του 6 είναι και διαιρέτης του 6. Δ. Κάθε πολλαπλάσιο του 6 είναι και διαιρέτης του 6. Ε. Κάθε δύναμη του 6 είναι και πολλαπλάσιο του 6. Άσκηση 6. Δίδονται οι διάφοροι του μηδενός ακέραιοι αριθμοί χ και ψ. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς δεν είναι οπωσδήποτε ακέραιος; Α. χ+ψ Β. χψ Γ. χ-ψ Δ. χ: ψ Ε. χ +ψ² Άσκηση 7. Το μέγιστο πλήθος των αλυσίδων μήκους 4cm που μπορούμε να κόψουμε από μία μεγάλη αλυσίδα μήκους 0m είναι: Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία 9

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', Γ' Γυμνασίου Α. 4 Β. 40 Γ. 4 Δ. 4 Ε. 5 Άσκηση 8. Τα μέτρα των γωνιών ενός τριγώνου έχουν λόγους ::4. Ποιο είναι το μέτρο της μεγαλύτερης γωνίας; Α. 80 Β. 90 Γ. 60 Δ. 0 Ε. Δεν μπορεί να βρεθεί με αυτά τα δεδομένα. Άσκηση 9. Ποια από τις ακόλουθες προτάσεις είναι πάντοτε ορθή; Α. Δυο οξείες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Β. Δυο αμβλείες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Γ. Κάθε αμβλεία γωνία έχει μέτρο μεγαλύτερο των 00. Δ. Δυο ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Ε. Κάθε οξεία γωνία έχει μέτρο μικρότερο των 80. Άσκηση 0. είναι ορθή; Η ΑΒ είναι παράλληλη προς την ΔΕ. Ποια από τις ακόλουθες ισότητες Α. x + ψ = ω Β. x + ψ + ω = 80 Γ. x + ψ + ω = 70 Δ. x + ψ + ω = 60 ω Ε. x = ψ = Δ. x + ψ + ω = 60 Άσκηση. Ποια από τις ακόλουθες ισότητες είναι η ορθή; Α. χ-ψ-ω=0 ο Β.χ+ψ-ω=0 ο Γ.χ+ψ-ω=80 Δ. χ +ψ+ω=60 Ε. ψ+ω-χ=0 ο Άσκηση. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: ( ) + (7 ) + (4 7) + (7 7) Α. 900 Β. 800 Γ. 500 Δ. 400 Ε. 000 0 KY.M.E.

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', Γ' Γυμνασίου Άσκηση. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: 4,5 0 90 5 Α. 500 Β. 5000 Γ. 50000 Δ. 500000 Ε. 5000000 Άσκηση 4. Ποια ισότητα δεν επαληθεύεται για καμία τιμή του χ; Α. 5 x x = Β. x = 5x Γ. = 5 Δ. x x x x x = x Ε. = 5 5 Άσκηση 5. Η Μαρία θέλει να φτιάξει ψωμί. Η συνταγή της λέει ότι για κάθε 5 φλιτζάνια αλεύρι χρειάζεται φλιτζάνι νερό. Αν η Μαρία έχει μόνο φλιτζάνια 4 αλεύρι πόσα φλιτζάνια νερό θα χρειαστεί; Α. Β. 5 Γ. Δ. 5 8 Ε. 4 Άσκηση 6. Δίδεται το πρόβλημα: "Ποιου αριθμού το διπλάσιο αν μειωθεί κατά 6 μας δίνει τον αριθμό ;" Ποια από τις ακόλουθες εξισώσεις αντιπροσωπεύει τα δεδομένα του προβλήματος; Α. 6-Χ= Β. 6-Χ = Γ. Χ+ = 6 Δ. Χ-6= Ε. (Χ-6)= Άσκηση 7. Τα υποσύνολα του συνόλου {α, β} είναι Ι={α,β}, S={α}, Τ={β}, ={}. Τότε η παράσταση ( I S) T είναι ίση με : Α. S Β. Τ Γ. Τ' Δ. Ι Ε. Άσκηση 8. ορθή; Δίδεται το σύνολο Α = { α, β, γ, δ, ε } Ποια από τις ακόλουθες προτάσεις δεν είναι Α. β Α Β. η Α Γ. { α } A Δ. {γ,δ} Α Ε. A. Άσκηση 9. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο δυνάμεων του και του μόνο. Α. 00 Β. 64 Γ. 7 Δ. 60 Ε. 40 Άσκηση 0. Ποια είναι η τιμή της παράστασης α + βγ αν α =, β = 4 και γ= ; Α. 7 Β. 5 Γ. 56 Δ. 4 Ε. 9 Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', Γ' Γυμνασίου Άσκηση. Για ποια τιμή του ν είναι ο αριθμός 0ν 9 πρώτος αριθμός; Α. Β. 7 Γ. 9 Δ. Ε. 6 Άσκηση. Το εμβαδό του σχήματος που ακολουθεί ισούται με: Λ K M 0 Ν Α. 5 + 0+0 Β.0 5 Γ. (0 0)+ (0 5) Δ. (0 0) + ( 0 5) Ε. (0 5) + ( 0 5) Άσκηση. Στο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τις διχοτόμους των γωνιών Β και Γ αυτού, οι οποίες τέμνονται στο σημείο Δ. Αν η Α= 0 τότε η γωνία ΒΔΓ ισούται με: Α. 0 Β. 05 Γ. 50 Δ. 90 Ε. Δεν μπορεί να βρεθεί με α δεδομένα. Άσκηση 4. Τα κλάσματα μπορούν να γραφούν σαν διατεταγμένα ζεύγος ακεραίων. Για παράδειγμα = (, ) ή 6 5 ( 5,7 )( 4,5) (,) σαν διατεταγμένο ζεύγος. =(6, 5). Να δώσετε το αποτέλεσμα της παράστασης Α. (,) Β. (4, 9) Γ. (0,) Δ. (9,4) Ε. (, 0) Άσκηση 5. Δίδεται το τετράγωνο ΑΒΓΔ. Αν Ε το μέσο της πλευράς ΑΒ και Η το μέσο της πλευράς ΑΓ να βρείτε το λόγο του εμβαδού του τριγώνου ΑΕΗ προς το εμβαδό του τριγώνου ΕΔΒ. KY.M.E.

η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', Γ' Γυμνασίου Α. : Β. : Γ. :4 Δ. : 8 Ε. 4 : Άσκηση 6. Δίνεται ν! = 4 ν, π.χ.! =, 5 = 4 5, 8!= 8 Ποια η τιμή της παράστασης:! 0! 0! 9! Α. 0 Β. Γ. 0! Δ. Ε. 9 Άσκηση 7. Να υπολογίσετε τη περίμετρο του πιο κάτω σχήματος. Α. 4 Β. 6 Γ. 44 Δ. 5 Ε. 4 Άσκηση 8. Στο σχήμα που δίνεται υπάρχουν ορθογώνια παραλληλόγραμμα. Πόσα είναι αυτά; Α. 60 Β. 0 Γ. 0 Δ. 0 Ε. 40 8 Άσκηση 9. Η παράσταση ( 8 :4 ) 6 ισούται με: Α. 4 Β. Γ. 8 Δ. 4 Ε. Άσκηση 0. Τα μέτρα των γωνιών ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι χ, χ, ψ. Αν ισχύει 0 ψ 60 τότε: Α. 0 < χ < 60 Β. 60 < χ < 75 Γ. 60 < χ < 90 Δ. 60 < χ < 0 Ε. 0 < χ < 90 Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 4 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Απρίλιος 00 ΧΡΟΝΟΣ: 60 ΛΕΠΤΑ Δοκίμιο για Α', Β', Γ' Γυμνασίου Άσκηση. Ποιο είναι το αποτέλεσμα των πράξεων: (7-6) ( -8) + 4 : Α. Β. 8 Γ. Δ. 6 Ε. Κανένα από αυτά Άσκηση. Οι ηλικίες του Ανδρέα και του Μάριου διαφέρουν κατά 8 χρόνια. Ο Μάριος έχει τριπλάσια ηλικία από τον Ανδρέα. Μετά από πόσα χρόνια η ηλικία του Μάριου θα είναι διπλάσια της ηλικίας του Ανδρέα; Α. 8 Β. Γ. 4 Δ. 6 Ε. ποτέ Άσκηση. Ποια από τις ακόλουθες προτάσεις είναι πάντοτε ορθή. Α. Κάθε σκαληνό τρίγωνο είναι οξυγώνιο. Β. Το ορθογώνιο τρίγωνο έχει ένα ύψος. Γ. Κάθε ισοσκελές τρίγωνο είναι σκαληνό. Δ. Κάθε ορθογώνιο τρίγωνο είναι σκαληνό. Ε. Αν μια γωνία τριγώνου ισούται με το άθροισμα των δύο άλλων γωνιών του τότε αυτό είναι ορθογώνιο. Άσκηση 4. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα ύψη του ΔΕ και ΒΗ. Το εμβαδό του ορθογωνίου παραλληλογράμμου ΒΗΔΕ συμβολίζεται με Χ και το εμβαδό του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ με Ψ. Η σχέση μεταξύ Χ και Ψ είναι: Α. Χ=Ψ Β. Ψ=Χ Γ. Χ= Ψ Δ. Χ= Ψ Ε. Δεν μπορεί να καθοριστεί Άσκηση 5. Πόσες φορές θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε το ψηφίο 7 για να γράψουμε όλους τους αριθμούς από το 0 μέχρι και το 99; Α. 0 Β. 9 Γ. Δ. 0 Ε. Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία 5

4 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άσκηση 6. Αν το β = a τότε το α ισούται με: Α. β Β. β Μ Γ. 9β Δ. 6β Ε. β Άσκηση 7. Πρόκειται να περιφράξουμε ένα γήπεδο ποδοσφαίρου που έχει μήκος 00m και πλάτος 55m. Η περίφραξη απέχει 6m από τα τέρματα και 5m από τις δύο πλαϊνές πλευρές. Πόσα μέτρα είναι η περίφραξη; Α. 0m Β. 0m Γ. 48m Δ. 40m E. 54m Άσκηση 8. Η παράσταση Τ= + + + ισούται με: Α. 9 5 Β. 8 Γ. Δ. Ε. Κανένα από αυτά Άσκηση 9. Δίδονται α> β>γ>δ>0. Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι οπωσδήποτε ορθές. Ι. < < a β γ ΙΙ. β > αγ ΙΙΙ. a β γ > 0 Α, Ι και II Β. Ι και III Γ. Μόνο η II Δ. Μόνο η III Ε. Μόνο η Ι Άσκηση 0. Αν ένας τετράγωνος φυσικός αριθμός α έχει ακριβώς τρεις διαιρέτες ( α ) {, αα, } Δ =, τότε ο αριθμός α είναι οπωσδήποτε: Α. περιττός B. άρτιος Γ. πρώτος Δ. σύνθετος Ε. τίποτε από αυτά Άσκηση. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος από τους πιο κάτω αριθμούς: Α. 0 Β. 0 Γ. Δ. Ε. 0 9 Άσκηση. 6 KY.M.E.

4 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αν ΑΒ = ΑΔ = α και ΔΓ = α, ποιο είναι το εμβαδό του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ; Α. α Β. 4 α Γ. α Δ. α Ε. Κανένα από αυτά Άσκηση. Τα 7 των 4 5 του αριθμού 0 είναι: Α. 4 Β. 44 Γ. 45 Δ. 46 Ε. 47 Άσκηση 4. Ο αριθμός β είναι περιττός. Ποιος από τους ακόλουθους αριθμό είναι οπωσδήποτε ακέραιος. Α. β + Β. β Γ. β + 4 5 Δ. β + 7 Ε. Κανένας από αυτούς. Άσκηση 5. Αν α*β = α -β με τι ισούται η παράσταση ( +)*50; Α. 0 Β. 0 Γ. 0 Δ. 0 Ε. 50 Άσκηση 6. Αν ένα τετράπλευρο έχει τρεις πλευρές ίσες και μία γωνιά ορθή, τότε αυτό είναι οπωσδήποτε: Α. Ορθογώνιο Β. Τετράγωνο Γ. Ρόμβος Δ. Τραπέζιο Ε. Δεν μπορώ να αποφανθώ Άσκηση 7. Στο σχήμα η ΕΖ είναι παράλληλη με την ΗΘ. Ποια από τις ακόλουθες σχέσεις είναι οπωσδήποτε ορθή. Α. θ+φ+ω = 60 Β. ω = θ+φ Γ. θ = ω + φ Δ. θ+ω+φ = 70 Ε.θ = ω = φ Άσκηση 8. Αν οι αριθμοί α και β είναι πρώτοι, τότε ο αριθμός α-β είναι οπωσδήποτε: Α. πρώτος Β. σύνθετος Γ. περιττός Δ. άρτιος Ε. τετράγωνος Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία 7

4 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άσκηση 9. Ποιος από τους αριθμούς που δίνονται έχει διαιρέτες συγχρόνως το και το 7. Α. 70 Β. 7 Γ. 4 Δ. 70 Ε. 07 Άσκηση 0. Δίδεται το σύνολο Ζ = {κ,λ,μ,ν,ξ}. Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις δεν είναι ορθή. Α. {κ,λ} Ζ Β. ρ Ζ Γ. μ Ζ Δ. {κ,λ,μ} Ζ Ε. Ζ={λ,μ,ν,κ,ξ} Άσκηση. Ποιος είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθμών 60 και 0 Α. 0 Β. 40 Γ. 50 Δ. 60 Ε. 80 Άσκηση. Τα 0 m ισούνται με: Α. dm Β. 00cm Γ. dam A. 000mm Ε. Κανένα από αυτά Άσκηση. Τα μέτρα των γωνιών ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι θ, θ και ω. Αν ισχύει 0 < θ < 70 τότε: Α. 0 < ω < 60 Β. 40 < ω < 00 Γ. 0 < ω < 70 Δ. 40 <: ω < 60 Ε. 70 < ω < 90 Άσκηση 4. Ποιος αριθμός δεν μπορεί να γραφεί ως δύναμη του μόνο. Α. (7-9) Β. (6 + 4) Γ. (8 - ) 5 Δ. 5 + 4 + Ε. 7 + 5 Άσκηση 5. Σε ένα ηλεκτρονικό παιχνίδι δεξιότητας χειρισμού, κάθε σωστός χειρισμός προσθέτει 0 μονάδες στον παίκτη και κάθε λανθασμένος χειρισμός αφαιρεί 0 μονάδες από τον παίκτη. Η Υπατία μετά από 0 χειρισμούς έχει 60 μονάδες στο ενεργητικό της. Πόσους επιτυχείς χειρισμούς είχε; Α. 6 Β. 8 Γ. 0 Δ. Ε. Το πρόβλημα δεν έχει λύση Άσκηση 6. Αν ν είναι ένας θετικός ακέραιος, ποιος από τους παρακάτω αριθμούς αποκλείεται να διαιρείται με το. Α. ν+ Β. 5ν+5 Γ. ν+8 Δ. ν+4 Ε. ν² + Άσκηση 7. Μετά από ένα αγώνα καλαθόσφαιρας οι 0 παίκτες αποχαιρετίστηκαν με μια θερμή χειραψία. Πόσες χειραψίες έγιναν αν ξέρουμε ότι ο κάθε παίκτης έκανε χειραψία με όλους τους υπόλοιπους; Α. 00 Β. 90 Γ. 0 Δ. 8 Ε. 45 8 KY.M.E.

4 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άσκηση 8. Το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Τα σημεία Μ και Ν ανήκουν στις πλευρές ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα και το ευθύγραμμο τμήμα ΜΝ είναι κάθετο στη διαγώνιο ΔΒ. Πόσες οξείες γωνίες υπάρχουν στο σχήμα. Α. 4 Β. 6 Γ. 8 Δ. 0 Ε. Άσκηση 9. Αν μία γωνία φ ισούται με το πενταπλάσιο της παραπληρωματικής της, τότε το μέτρο της γωνίας φ ισούται με: Α. 75 Β. 0 Γ. 50 Δ. 60 Ε. 80 Άσκηση 0. Ποια μαθηματική διατύπωση δεν συμφωνεί με τη γλωσσική διατύπωση; Γλωσσική Διατύπωση Μαθηματική Διατύπωση Α. Το α είναι κατά 8 μεγαλύτερο του β α=β+8 Β. Τα α και β διαφέρουν κατά α+β= Γ. Το α είναι το % του β 00α=β Δ. Το α είναι επταπλάσιο του β α=7β Ε. Αν το α αυξηθεί κατά το τριπλάσιο του β τότε θα γίνει: α+β Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία 9

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 5 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Απρίλιος 004 ΧΡΟΝΟΣ: 60 ΛΕΠΤΑ Δοκίμιο για Α', Β', Γ' Γυμνασίου Άσσκκηησσηη.. Ποια από τις ακόλουθες ισότητες είναι ορθή; Α χ + ψ=ω Β. χ + ψ + ω=540 Γ. χ+ψ+ω=80 Δ. χ + ψ + ω = 60 Ε. χ + ψ + ω = 70 Άσσκκηησσηη.. Δίδεται ο φυσικός αριθμός ν. Ποιος από τους πιο κάτω αριθμούς είναι πάντοτε άρτιος; Α ν+ Β.. ν + 5 Γ. ν + Δ. 4ν + ν Ε. 8 + ν Άσσκκηησσηη.. Ποια είναι η τιμή της παράστασης 7 6 + 7 ; Α. Β. 40 Γ. 9 Δ. 8 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα. Άσσκκηησσηη 44.. Στο σχήμα το ΚΛΜΝ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και το ΜΡ = ΜΝ. Αν το εμβαδό του τριγώνου MAP=8cm² να υπολογίσετε το εμβαδό του ΚΛΜΝ. Α. 4 Β. Γ. 48 Δ. 7 Ε. 96 Άσσκκηησσηη 55.. Ποια από τις ακόλουθες σχέσεις είναι ορθή; Α. 5 5 = Β. 0,0 = Γ. 000 > Δ. 7, = 7 + 0, 0 Ε. 4 = 4 Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία

5 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άσσκκηησσηη 66.. Ποια από τις ακόλουθες προτάσεις είναι πάντοτε ορθή; Α. Αν ο φυσικός αριθμός ν είναι πρώτος τότε ο ν + είναι σύνθετος. Β. Το άθροισμα δυο δυνάμεων του θα είναι δύναμη του. Γ. Το γινόμενο δυο περιττών αριθμών είναι περιττός αριθμός. Δ. Το άθροισμα ενός άρτιου αριθμού και ενός περιττού αριθμού είναι άρτιος αριθμός. Ε. Τα πολλαπλάσια του 5 έχουν ψηφίο μονάδων το 5. Άσσκκηησσηη 77.. Τι ποσοστό % των 4m 50cm είναι τα m 70cm ; Α. 40% Β. 50% Γ. 55% Δ. 60% Ε. 65% Άσσκκηησσηη 88.. Η τιμή της παράστασης 5 7 9 K = + 4 6 8 0 είναι: Α. 5 Β. 57 70 Γ. 5 Δ. 7 Ε. Άσσκκηησσηη 99.. Μια αποθήκη έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου και διαστάσεις 6m, m και m. θέλουμε να αποθηκεύσουμε σ' αυτήν κυβικά κιβώτια που έχουν ακμή 40cm. Πόσα το πολύ τέτοια κιβώτια μπορούμε να βάλουμε στην αποθήκη αυτή; Α. 540 Β. 75 Γ. 50 Δ. 000 Ε. 4000 Άσσκκηησσηη 00.. Το κλάσμα ( ) + 8 5 + 4 ( ) 5 ισούται με: Α. Β. 5 Γ. 5 Δ. 0 Ε. 5 Άσσκκηησσηη.. Οι διαιρέτες του αριθμού 7 που είναι πρώτοι αριθμοί είναι: Α. {,, } Β. {,,,6,8 } Γ. {,,,6,9 } Δ. {, 6, 7 } Ε. {, } KY.M.E.

5 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άσσκκηησσηη.. Από τα παρακάτω σχήματα δεν μπορούν να γίνουν μονοκοντυλιά δύο από αυτά. Να τα βρείτε. (α) (β) (γ) (δ) (ε) Α. α, γ Β. β, ε Γ. δ, ε Δ. γ, ε Ε. γ, δ Άσσκκηησσηη.. Ποιος είναι ο επόμενος όρος της ακολουθίας των αριθμών που δίδεται;,,7,,7,5,... Α. 0 Β. 0 Γ. 05 Δ. 07 Ε. 09 Άσσκκηησσηη 44.. Ποιος αριθμός από τους παρακάτω αριθμούς που δίδονται πρέπει να παραληφθεί ώστε αυτοί που θα μείνουν να έχουν μια κοινή ιδιότητα; Α. 5 Β. 9 Γ. Δ. 4 Ε. 47 Άσσκκηησσηη 55.. Δίδεται το σύνολο Α= i,,, 4, 5, 6}. Τα υποσύνολα του Α θα είναι: Α. 6 Β. Γ. 4 Δ. Ε. 64 Άσσκκηησσηη 66.. Ποια είναι η τιμή της παράστασης χ + ψω αν χ=, ψ=5 και ω=; Α. Β. 6 Γ. Δ. 8 Ε. καμιά από τις προηγούμενες Άσσκκηησσηη 77.. Σε μια συγκέντρωση συναντήθηκαν πρώην συμμαθητές και έκαναν μεταξύ τους χειραψία. Πόσες συνολικά χειραψίες έγιναν; Α. 44 Β. Γ. 7 Δ. 66 Ε. 4 Άσσκκηησσηη 88.. Τα των 6 7 του αριθμού 84 είναι : Α. 6 Β. 4 Γ. Δ. 48 Ε. 5 Άσσκκηησσηη 99.. Οι ακέραιοι αριθμοί μέχρι και 9 γράφονται κατά σειρά ως εξής:,, 9,6,7,... Πώς θα συνεχίσουμε; Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία

5 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α.5,8,4, Β.5,4,,8 Γ.8,5,4, Δ.,4,5,8 Ε. Δεν υπάρχει λογική συσχέτιση Άσσκκηησσηη 00.. Ποιος αριθμός λείπει από την κορυφή της γωνίας του τέταρτου τριγώνου; Α. 7 Β. 6 Γ. Δ. 4 Ε. 8 Άσσκκηησσηη.. Στο σχήμα που δίδεται έχουμε ΑΒ±ΓΔ. Πόσες οξείες γωνίες υπάρχουν με κορυφή το σημείο Β; Α. 4 Β. 5 Γ. 6 Δ. Ε. 7 Άσσκκηησσηη.. Τα dam ισούνται με: Α. 0 cm Β. 0 dm Γ. 0 mm Δ. 0 m Ε. 0 hm Άσσκκηησσηη.. Ποια από τις ακόλουθες προτάσεις δεν είναι πάντοτε ορθή; Α. Οι διαιρέτες του είναι και διαιρέτες του 6. Β. Κάθε ακέραιος αριθμός α διαιρεί όλες του τις ακέραιες δυνάμεις. Γ. Τα πολλαπλάσια του 4 είναι και πολλαπλάσια του 8. Δ. Αν ένας αριθμός β διαφεί τους αριθμούς γ και δ τότε θα διαιρεί και το άθροισμα τους. Ε. Οι μεγαλύτεροι του ενός φυσικοί αριθμοί που έχουν Μ.Κ.Δ. ( μέγιστο κοινό διαιρέτη) τον αριθμό λέγονται πρώτοι μεταξύ τους. Άσσκκηησσηη 44.. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία του Α είναι μεγαλύτερη από το άθροισμα των γωνιών του Β και Γ. Τότε το τρίγωνο είναι οπωσδήποτε: Α. Ορθογώνιο Β. Ισοσκελές και αμβλυγώνιο Γ. Αμβλυγώνιο Δ. Σκαληνό Ε. Σκαληνό και αμβλυγώνιο Άσσκκηησσηη 55.. Η τιμή της παράστασης + + + ( + ) είναι: 4 KY.M.E.

5 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. 5 Β. 6 Γ. 7 Δ. 8 Ε. 9 Άσσκκηησσηη 66.. Το τετράγωνο ενός άρτιου αριθμού είναι πολλαπλάσιο του 8. Α. Πάντοτε Β. Ποτέ Γ. Αν ο άρτιος είναι της μορφής 4ν+, ν N Δ. Αν ο άρτιος είναι της μορφής ν+4, ν N Ε. Αν ο άρτιος είναι της μορφής (ν+6), ν Ν Άσσκκηησσηη 77.. Το σχεδιάγραμμα που δίδεται έχει γίνει με κάποια λογική διαδικασία. Ποιος αριθμός πρέπει να αντικαταστήσει το γράμμα χ βάσει αυτής της λογικής; Α. Β. Γ. Δ. 4 Ε. 5 Άσσκκηησσηη 88.. Η πινακίδα ενός αυτοκινήτου που ενεπλάκη σε ένα ατύχημα έχει διαλυθεί. Στον τόπο του ατυχήματος βρέθηκαν τα γράμματα Η, Η, Ε και οι αριθμοί 6, 7, 9. Αν τα τρία γράμματα μπαίνουν πρώτα και μετά ακολουθούν οι αριθμοί να βρείτε πόσους διαφορετικούς συνδυασμούς εγγραφής μπορούμε να έχουμε με αυτά τα στοιχεία; Α. 9 Β. 6 Γ. 7 Δ. 8 Ε. 6 Άσσκκηησσηη 99.. Ποια πρόταση δεν είναι πάντοτε ορθή; Α. Κάθε ισόπλευρο τρίγωνο είναι οξυγώνιο. Β. Οι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές. Γ. Δεν υπάρχει τρίγωνο με δυο αμβλείες γωνίες. Δ. Σε κάθε ισοσκελές αμβλυγώνιο τρίγωνο οι οξείες γωνίες του έχουν μέτρο μικρότερο των 45. Ε. Κάθε ισοσκελές τρίγωνο είναι οξυγώνιο. Άσσκκηησσηη 00.. Οι ομάδες ποδοσφαίρου που διεκδικούν το κύπελλο δίνουν, μετά από κλήρωση, ένα αγώνα εναντίον άλλης ομάδας σε ουδέτερο γήπεδο. Η νικήτρια προχωρεί στον επόμενο γύρο ενώ η άλλη ομάδα αποκλείεται και αποχωρεί. Αν μια ομάδα συμμετέχει στον τελικό πόσους νικηφόρους αγώνες έκανε προηγουμένως; Α. 6 Β. 8 Γ. 4 Δ. Ε. 6 Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία 5

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 6 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Μάρτιος 005 ΧΡΟΝΟΣ: 60 ΛΕΠΤΑ Άσσκκηησσηη.. To 50% του 50 ισούται με: Δοκίμιο για Α', Β', Γ' Γυμνασίου Α. Β. 5 Γ. 50 Δ. 00 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη.. Ο Γαβρίλης μπορεί να φάει τρεις φλαούνες σε δύο λεπτά. Ο Κωστής μπορεί να φάει δύο φλαούνες σε τρία λεπτά. Εάν τρώνε με αυτόν τον ρυθμό, πόσες φλαούνες μπορούν να φάνε μαζί σε μία ώρα; Α. 7 Β. 96 Γ. Δ. 0 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη.. Στο παρακάτω σχήμα η xoy είναι ευθεία και οι γωνίες a, β, γ ικανοποιούν τις σχέσεις β : α = : και γ : β = :. Η γωνία β είναι ίση με: Α. 0 Β. 0 Γ. 40 Δ. 45 Ε. 50 Άσσκκηησσηη 44.. Ο Μιχάλης χρειάζεται τέσσερα λίτρα μπογιά για να βάψει μια τετράγωνη επιφάνεια. Για να βάψει μια άλλη τετράγωνη επιφάνεια με τριπλάσια πλευρά από την προηγουμένη, πόσα λίτρα μπογιάς θα χρειαστεί; Α. 8 Β. Γ. 6 Δ. 6 Ε. 48 Άσσκκηησσηη 55.. Ο αριθμός Α. Διαιρείται με το αλλά δεν διαιρείται με το 5. Β. Διαιρείται με το 5 αλλά δεν διαιρείται με το. Γ. Διαιρείται με το 0. Δ. Διαιρείται με το. Ε. Κανένα από τα προηγούμενα. B = + + + + + + + 5 4 5 Άσσκκηησσηη 66.. Πόσα διαφορετικά ισοσκελή τρίγωνα με περίμετρο 7 μπορούμε να σχηματίσουμε των οποίων τα μήκη των πλευρών τους είναι ακέραιοι αριθμοί; Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία 7

6 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. 4 Β. 5 Γ. 6 Δ. 7 Ε. 8 Άσσκκηησσηη 77.. Η τιμή της παράστασης με:... 4 005 ισούται Α. 005 Β. 005 Γ. 004 005 Δ. 04 005 Ε. 4 005 Άσσκκηησσηη 88.. Ποιος είναι ο επόμενος όρος της ακολουθίας των αριθμών 4, 9, 5, 49,... Α. 64 Β. 8 Γ. Δ. 44 Ε. 69 Άσσκκηησσηη 99.. Δίνεται αμβλυγώνιο τρίγωνο ABΓ ( Β > 90 ) και ημιευθείες Αχ, Γy τέτοιες ώστε Αχ // Γy. Εάν το σημείο Α μετακινείται πάνω στην ημιευθεία Αχ προς το μέρος του χ, τότε στο τρίγωνο ABΓ : A x Γ B y Α. Η περίμετρος και το εμβαδόν του μειώνονται. Β. Η περίμετρος και το εμβαδόν του παραμένουν σταθερά. Γ. Η περίμετρος και το εμβαδόν του αυξάνονται. Δ. Η περίμετρος του αυξάνεται και το εμβαδόν του παραμένει σταθερό. Ε. Η περίμετρος του παραμένει σταθερή και το εμβαδόν του αυξάνεται. Άσσκκηησσηη 00.. Στο διπλανό σχήμα, το σημείο Ο είναι κέντρο κύκλου, OAB = 0 και ΟΓΒ = 5. Το μέτρο της γωνίας ΑΒΓ ισούται με: Ο Β Α 0 5 Γ Α. 0 Β. Γ. 6 Δ. 40 Ε. 48 8 KY.M.E.

6 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άσσκκηησσηη.. Δύο τεμνόμενοι κύκλοι εφάπτονται στις πλευρές του ορθογωνίου όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η απόσταση των κέντρων των κύκλων ισούται με 4x 5. 8 x Το x ισούται με: Α. 6 Β. 9 Γ. 64 5 Δ. 0 Ε. Άσσκκηησσηη.. Ένα σύνολο από πέντε διαφορετικούς μεταξύ τους ακέραιους θετικούς αριθμούς, έχει μεσαίο αριθμό το 0 και μέσο όρο 7. Ποια είναι η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει ο μεγαλύτερος από τους πέντε αριθμούς; Α. Β. 7 Γ. 4 Δ. 44 Ε. 45 Άσσκκηησσηη.. Δίνεται τετράγωνο με εμβαδόν. Συνδέουμε τις κορυφές του τετραγώνου με τα μέσα των πλευρών του όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Το εμβαδόν του σκιασμένου τετράπλευρου ισούται με: Α. Β. 5 Γ. 4 Δ. 5 Ε. Άσσκκηησσηη 44.. Οι αριθμοί 4, α, β, 5 έχουν γραφτεί από το μικρότερο στο μεγαλύτερο. Κάθε δύο διαδοχικοί αριθμοί έχουν ίση διαφορά. Ο αριθμός β ισούται με: Α. 6 Β. 7 Γ. 8 Δ. 9 Ε. 0 Άσσκκηησσηη 55.. Ένα τετράγωνο έχει περίμετρο 40 εκατοστά και τετραπλάσιο εμβαδόν από ένα άλλο μικρότερο τετράγωνο. Η περίμετρος σε εκατοστά του μικρότερου τετραγώνου ισούται με: Α. 5 Β. 5 Γ. 0 Δ. 0 Ε. 0 Άσσκκηησσηη 66.. Θεωρούμε το σύνολο των ακεραίων : 00, 0, 0,..., 998, 999. Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία 9

6 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πόσοι από αυτούς τους αριθμούς δεν περιέχουν το ψηφίο 7; Α. 648 Β. 5 Γ. 507 Δ. 78 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη 77.. Η Ιωάννα αγόρασε ένα ηλεκτρονικό υπολογιστή και ο πωλητής της έκανε αρχικά έκπτωση 0%. Στη συνέχεια ο ιδιοκτήτης του καταστήματος της έκανε επιπλέον έκπτωση 5% στην τιμή που της πρόσφερε ο πωλητής. Η έκπτωση που έγινε στην αρχική τιμή του υπολογιστή είναι: Α.,5% Β.,5% Γ. 5% Δ. 56,5% Ε. Κανένα από τα προηγούμενα. Άσσκκηησσηη 88.. Το πλήθος των τετραψήφιων αριθμών των οποίων το άθροισμα των ψηφίων τους είναι μεγαλύτερο από το 4 ισούται με: Α. 0 Β. Γ. 0 Δ. 7 Ε. 5 Άσσκκηησσηη 99.. Αν παράσταση x x = 6 0 ν και + y ισούται με: y = 8 0 ν όπου ν θετικός ακέραιος ( ν > 0 ), τότε η Α. 0 ν Β. 0 ν + Γ. 48 0 ν Δ. 4 0 ν Ε. ( ) 4 0 ν Άσσκκηησσηη 00.. Κιβώτιο σχήματος ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου είναι γεμάτο με χ ίσους κύβους χρώματος μπλε. Αν αφαιρέσουμε τους μπλε κύβους από το κιβώτιο και το γεμίσουμε με πράσινους κύβους που η ακμή τους είναι η μισή της ακμής των μπλε κύβων, τότε ο αριθμός των πράσινων κύβων που χρειάζονται για να γεμίσει το κιβώτιο είναι: Α. 4χ Β. χ Γ. 8χ Δ. 6χ Ε. χ Άσσκκηησσηη.. Το άθροισμα των φυσικών αριθμών που διαιρούν τον αριθμό τον ισούται με: 8 Α. 9 Β. 54 Γ. 50 Δ. 5 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη.. Αν το χ είναι το 50% του ψ, τότε τι ποσοστό είναι το ψ για το χ; Α. 50% Β. 80% Γ. 5% Δ. 50% Ε. 75% Άσσκκηησσηη.. Τα εμβαδά των εδρών σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι X,Y,Z και ο όγκος του παραλληλεπιπέδου είναι V. Το γινόμενο X Y Z ισούται με: Z X Y 40 KY.M.E.

6 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. V Β. V Γ. V Δ. V Ε. V Άσσκκηησσηη 44.. Το άθροισμα των ψηφίων του γινομένου 999999 777777 ισούται με: Α. 56 Β. 54 Γ. 5 Δ. 50 Ε. 48 Άσσκκηησσηη 55.. Τα ΑΒΓΔ και ΕΖΗΓ είναι τετράγωνα. Το σκιασμένο εμβαδόν είναι 0. Εάν ΔΗ=0, τότε το μήκος του ΓΔ ισούται με: Δ Ε Γ Z H A B Α. 5 Β. 65 Γ. 0 Δ. 0 Ε. 8 Άσσκκηησσηη 66.. Αν = ( ) ν! ν ν (π.χ. 4! = 4 ) τότε ο φυσικός αριθμός ν 8 4 για τον οποίο ισχύει ν! = 5 7 ισούται με: Α. 7 Β. Γ. 9 Δ. 0 Ε. Άσσκκηησσηη 77.. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς 006 ω =, 005 006 z = 005 και 004 κ = 005 ; 4 005 x =, 004 005 y = 004, Α. x Β. y Γ. ω Δ. z Ε. κ Άσσκκηησσηη 88.. Στην αλγεβρική παράσταση αριθμός ν αυξάνεται, τότε ο αριθμός Α: 0ν A =, ν θετικός ακέραιος. Εάν ο + ν Α. μειώνεται. Β. αυξάνεται. Γ. παραμένει ο ίδιος. Δ. αρχικά αυξάνεται και μετά μειώνεται. Ε. αρχικά μειώνεται και μετά αυξάνεται. Άσσκκηησσηη 99.. Το «αστέρι» σχηματίζεται από τα μέσα των πλευρών του τετραγώνου τα οποία συνδέονται με τις απέναντι κορυφές όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν η πλευρά του τετραγώνου ισούται με 4, το εμβαδόν του «αστεριού» ισούται με: Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία 4

6 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Α', Β', Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ A Κ Β Ν Λ Δ Μ Γ Α. 9 Β. 84 Γ. 576 Δ. 96 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσσκκηησσηη 00.. Στο παρακάτω σχήμα A ˆ + Β+Γ+Δ+Ε+Ζ+Η= ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A B Γ Η Δ Ζ Ε Α. 70 Β. 540 Γ. 60 Δ. 00 Ε. 900 4 KY.M.E.

6η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ GYMNASIUM GYMNASIUM English Version Problem. 50% of 50 is equal to: Α. Β. 5 C. 50 D. 00 Ε. None of them Problem. Gabrilis can eat three flaounas in two minutes while Kostis can eat two flaounas in three minutes. At these rates, how many flaounas can they eat together in one hour? Α. 7 Β. 96 C. D. 0 Ε. None of them Problem. The angles α, β, γ, as shown in the diagram, satisfy the relations β:α=: and γ:β=:. The measure of angle β is equal to: Α. 0 Β. 0 C. 40 D. 45 Ε. 50 Problem 4. Michael needs four liters of paint in order to paint a square surface. In order to paint another square surface whose side is three times the side of the previous surface, how many liters of paint does he need? Α. 8 Β. C. 6 D. 6 Ε. 48 Problem 5. The number Α. is divisible by but is not divisible by 5. Β. is divisible by 5 but is not divisible by. C. is divisible by 0. D. is divisible by. Ε. None of them. B = + + + + + + + 5 4 5 Problem 6. How many different isosceles triangles of perimeter 7 can we draw, if the lengths of their sides are integer numbers? Α. 4 Β. 5 C. 6 D. 7 Ε. 8 Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία 4

6η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ GYMNASIUM Problem 7. The value of the expression... 4 005 equals to: Α. 005 Β. 005 C. 004 005 D. 04 005 Ε. 4 005 Problem 8. The number that comes next in the sequence 4, 9, 5, 49,... is: Α. 64 Β. 8 C. D. 44 Ε. 69 Problem 9. The triangle ABΓ ( Β > 90 ) is obtuse and the half-line Αx, Γy are such as Αx // Γy. If the point A moves on the half-line Αx towards x, then for triangle ABΓ : A x Γ B Α. Its perimeter and area decreases. Β. Its perimeter and area stay the same. C. Its perimeter and area increases. D. Its perimeter increases and its area stay the same. Ε. Its perimeter stays the same and its area increases. y Problem 0. In the diagram shown, point O is the centre of the circle, OAB = 0 and OΓΒ = 5. The measure of the angle ΑΒΓ is : Ο Β Α 0 5 Γ Α. 0 Β. C. 6 D. 40 Ε. 48 44 KY.M.E.

6η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ GYMNASIUM Problem. Two intersected circles with equal radii length are inscribed in a rectangle, as shown. The distance between their centres is 4x 5. The value of x is: 8 x Α. 6 Β. 9 C. 64 5 D. 0 Ε. Problem. A set of five different positive integers, has a median equal to 0 and mean equal to 7. What is the largest possible value of the largest of these five numbers? Α. Β. 7 C. 4 D. 44 Ε. 45 Problem. We join with straight lines every vertex of the square with the midpoint of the opposite side as shown in the figure. If the area of the square is, what is the area of the shaded quadrilateral: Α. Β. 5 C. 4 D. 5 Ε. Problem 4. The numbers 4, α, β, 5 are arranged from smallest to largest. The difference between any two consecutive numbers is the same. The value of β is: Α. 6 Β. 7 C. 8 D. 9 Ε. 0 Problem 5. A square of perimeter 40 has four times the area of a smaller square. The smaller square has a perimeter of Α. 5 Β. 5 C. 0 D. 0 Ε. 0 Problem 6. How many of the numbers 00, 0, 0,, 998, 999 do not contain Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία 45

6η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ GYMNASIUM the digit 7? Α. 648 Β. 5 C. 507 D. 78 Ε. None of them. Problem 7. Ioanna bought a computer and the salesperson offered her a 0% discount. Later, the shop owner gave her an additional 5% discount at the last price after the discount by the salesperson. The total discount from the original price that she received is: Α.,5% Β.,5% C. 5% D. 56,5% Ε. None of them. Problem 8. The number of the 4-digit numbers whose sum of their digits is greater than 4 is : Α. 0 Β. C. 0 D. 7 Ε. 5 Problem 9. Given that expression x + y is equal to: x = 6 0 ν and y = 8 0 ν, ν positive integer ( ν > 0 ), the Α. 0 ν Β. 0 ν + C. 48 0 ν D. 4 0 ν Ε. ( ) 4 0 ν Problem 0. A box with an orthogonal parallelepiped shape is full of χ same cubes of blue colour. If we remove the blue cubes from the box and we fill it up with green cubes whose edge is half in length as that of the edge of the blue cubes, how many green tubes are needed to fill up the box? Α. 4χ Β. χ C. 8χ D. 6χ Ε. χ Problem. The sum of all positive integers that divides the number 8 is: Α. 9 Β. 54 C. 50 D. 5 Ε. None of them. Problem. If χ is 50% of y, what percentage of χ is y? Α. 50% Β. 80% C. 5% D. 50% Ε. 75% Problem. The area of the faces of the rectangular box are X, Y, Z and the volume of the box is V. The product X Y Z is equal to: 46 KY.M.E.

6η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ GYMNASIUM Z X Y Α. V Β. V C. V D. V Ε. V Problem 4. The sum of all digits of the product 999999 777777 is equal to: Α. 56 Β. 54 C. 5 D. 50 Ε. 48 Problem 5. ΑΒΓΔ and ΕΖΗΓ are squares. The area of the shaded region is 0. If ΔΗ=0, the length of ΓΔ equals to: Δ Ε Γ Z H A B Α. 5 Β. 65 C. 0 D. 0 Ε. 8 Problem 6. If = ( ) ν! ν ν (e.g. 4! = 4 ) then the positive integer ν 8 4 for which ν! = 5 7 is equal to: Α. 7 Β. C. 9 D. 0 Ε. Problem 7. Which is the greatest of the numbers 006 ω =, 005 006 z = 005 και 004 κ = 005? 4 005 x =, 004 005 y = 004, Α. x Β. y C. ω D. z Ε. κ 0ν Problem 8. In the expression A =, ν is a positive integer. If ν increases, the + ν number A will: Α. decrease. Β. increase. C. stay the same. D. first increase and then decrease. Ε. first decrease and then increase. Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία 47

6η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ GYMNASIUM Problem 9. The four-pointed star is formed by taking a square with side length 4 and joining the midpoints of each side to the corners as shown. The area of the star is equal to: A Κ Β Ν Λ Δ Μ Γ Α. 9 Β. 84 C. 576 D. 96 Ε. None of them. Problem 0. In the figure as shown below A ˆ + Β+Γ+Δ+Ε+Ζ+Η= ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A B Γ Η Δ Ζ Ε Α. 70 Β. 540 C. 60 D. 00 Ε. 900 48 KY.M.E.

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 7 η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Απρίλιος 006 ΧΡΟΝΟΣ: 60 ΛΕΠΤΑ Άσκηση. Αν 4a + 8=, τότε a + = Δοκίμιο για Α', Β', Γ' Γυμνασίου Α. 4 Β. 6 Γ. 8 Δ. Ε. 6 Άσκηση. Ο ακέραιος αριθμός ν για τον οποίο ισχύει με: 5 5 5 5 5 5 ν ν ν ν ν 5 + + + + = ισούται Α. Β. 5 Γ. 0 Δ. 0 Ε. 4 Άσκηση. Ο Ασκάς λατρεύει τις σοκολάτες DAMA που στοιχίζουν λίρα η μία. Αν με κάθε 4 περιτυλίγματα της σοκολάτας DAMA παίρνεις δωρεάν, πόσες συνολικά σοκολάτες DAMA μπορεί να φάει ο Ασκάς με 6 λίρες; Α. 6 Β. 9 Γ. 0 Δ. Ε. 4 Άσκηση 4. Πόσα τετράγωνα σχηματίζονται χρησιμοποιώντας 4 από τις τελείες σαν κορυφές τους; Α. 9 Β. Γ. Δ. Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσκηση 5. Στο διπλανό σχήμα 0 ΓΑΒ = 90, 0 ΓΒΔ = 90, ΑΒ = 5, ΑΓ = 4 και ΓΒ=ΒΔ. Το εμβαδόν του τριγώνου ΓΒΔ ισούται με: Γ Δ Α Β Α. 9 Β. 4,5 Γ. 0,5 Δ. 4 Ε. 4 Άσκηση 6. Μια τετράγωνη επιφάνεια καλύπτεται από 9 μαύρα τετράγωνα πλακάκια πλευράς α και 4 άσπρα τετράγωνα πλακάκια πλευράς α. Η πιθανότητα ο Χάρης να στέκεται μέσα σε ένα άσπρο πλακάκι είναι: Α. 9 4 6 Β. 5 Γ. 8 Δ. 4 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα. Σελ. από 5

Άσκηση 7. Ο αριθμός α είναι πρώτος αριθμός. Το γινόμενο των διαιρετών του αριθμού α είναι ίσο με: Α. α Β. α Γ. α Δ. α Ε. α Άσκηση 8. Α, Β, Γ και Δ είναι τα κέντρα των τεσσάρων κύκλων οι οποίοι εφάπτονται στο σημείο Ε όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το εμβαδόν του μικρότερου κύκλου είναι ίσο με π. Η ακτίνα του μεγαλύτερου κύκλου έχει μήκος: A Β Γ Δ Ε Α. 4 Β. 5 Γ. 8 Δ. 0 Ε. Άσκηση 9. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού A = 9 0 + 50 με τον αριθμό 4 είναι: Α. 0 Β. 4 Γ. 8 Δ. Ε. Κανένα από τα προηγούμενα. Άσκηση 0. Ο Γιώργος χρειάζεται λεπτά για να διαβάσει από την αρχή της ης σελίδας μέχρι το τέλος της 7ης σελίδας ενός λεξικού. Αν ξεκινούσε από την 7η σελίδα στις 6.0μ.μ., η ώρα 6.55μ.μ. θα βρισκόταν στην σελίδα... Α. 4 Β. 4 Γ. 44 Δ. 45 Ε. 46 Άσκηση. Στο διπλανό σχήμα κάθε πλευρά του ορθογωνίου χωρίζεται σε τρία ίσα μέρη. Τα ευθύγραμμα τμήματα όπως φαίνεται στο σχήμα περνούν από το κέντρο του ορθογωνίου. Ο λόγος του εμβαδού του σκιασμένου μέρους προς το εμβαδόν του ασκίαστου μέρους ισούται με: Α. : Β. : Γ. : Δ. : Ε. :4 Άσκηση. Αν το x αυξηθεί κατά 5%, τότε το x αυξάνεται κατά Α. 6 % Β. 5% Γ. 50% Δ. 4 56 % Ε. 4 56 % 4 Άσκηση. Αν x+ y = και 5 x + ω =, το γινόμενο ( x + y+ ω)( ω y) ισούται με: Α. 0,04 Β. 0, Γ. 0,7 Δ. 0,84 Ε.,7 Σελ. από 5

Άσκηση 4. Στο διπλανό σχήμα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο (Â = 90 ), ΑΓ=6, ΑΒ=8 και ΑΔ ΒΓ. Το μήκος της ΑΔ είναι: Γ Δ Α.,4 Β. 4 Γ. 4,8 Δ. 5 Ε. 6,4 Α Β Άσκηση 5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος του. Αν Η σημείο του ύψους ΑΔ τέτοιο ώστε ABH = 5, ΗΒΔ = 5 και ΗΓΔ = 0 όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, να βρείτε το μέτρο της γωνίας ΗΓΑ. Β Α Η 5 χ 5 0 Δ Γ Α. 7,5 Β. 0 Γ.,5 Δ.,5 Ε. 5 Άσκηση 6. Ένα ψηφιακό ρολόι δείχνει :8 μ.μ. και παρατηρούμε ότι το άθροισμα των ψηφίων ισούται με 4. Μετά από πόσα λεπτά το άθροισμα των ψηφίων της ένδειξης της ώρας θα ισούται με 0 για πρώτη φορά; Α. 4 Β. Γ. 0 Δ. 5 Ε. 0 Άσκηση 7. Πόσα ψηφία έχει ο αριθμός 8 5 ; Α. 9 Β. 0 Γ. Δ. Ε. Άσκηση 8. Το άθροισμα πέντε διαδοχικών φυσικών αριθμών είναι ίσο με A. Ο μεγαλύτερος από αυτούς, ως προς Α, είναι: Α. A 0 5 Β. A + 4 5 Γ. A + 5 4 Δ. A 5 Ε. A +0 5 Άσκηση 9. Το % 4 του είναι ίσο με: Α. 800 Β. 00 Γ. 8 00 Δ. Ε. 8 Άσκηση 0. Στο διπλανό σχήμα ΚΜ= 4 ΜΛ, 0 Κ= 90 και K M Λ το εμβαδόν του τριγώνου ΜΚΝ είναι 80. Το εμβαδόν του τριγώνου ΚΝΛ είναι: Α. 0 Β. 400 Γ. 480 Δ. 500 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα. N Σελ. από 5

a Άσκηση. Αν AE = και ΖΓ = ΕΒ ποια από τις πιο κάτω σχέσεις είναι η σωστή; Α κ Ε Β Δ Ζ Γ Α. ΑΕ = ΕΒ Β. ΑΕ= ΕΒ Γ. ΑΕ= ΕΒ Δ. 8 ΑΕ = ΕΒ Ε. ΑΕ= 8 ΕΒ Άσκηση. Ένα τετράγωνο και ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Ο λόγος του εμβαδού του τριγώνου προς το εμβαδόν του τετραγώνου είναι: Α. 4 9 Β. 4 Γ. Δ. 4 Ε. Με αυτά τα δεδομένα δεν μπορεί να υπολογιστεί. Άσκηση. Ένα βαρυφορτωμένο φορτηγό που έχει μήκος 8 μέτρα, χρειάζεται 5 δευτερόλεπτα για να καλύψει απόσταση 40 μέτρα. Πόσα δευτερόλεπτα χρειάζεται για να περάσει από μια γέφυρα με την ίδια ταχύτητα η οποία έχει μήκος 40 μέτρα; Α. 9 Β. Γ. 40 Δ. 4 Ε. 48 Άσκηση 4. Σε έρευνα ανάμεσα σε 40 μαθητές δόθηκαν οι παρακάτω δηλώσεις. μαθητές δήλωσαν ότι έχουν τηλεόραση στο δωμάτιο τους, 8 ότι έχουν υπολογιστή στο δωμάτιο τους και 6 δεν έχουν ούτε τηλεόραση ούτε υπολογιστή. Πόσοι από τους μαθητές που συμμετείχαν στην πιο πάνω έρευνα έχουν τηλεόραση και υπολογιστή στο δωμάτιο τους; Α. 0 Β. Γ. 5 Δ. 6 Ε. 7 Άσκηση 5. Ένας ακέραιος αριθμός ονομάζεται οκτανικός αν είναι πολλαπλάσιο του 8 ή τουλάχιστον ένα από τα ψηφία του είναι 8. Το πλήθος των οκτανικών αριθμών ανάμεσα στο και 00 ισούται με: Α. Β. 4 Γ. 7 Δ. 0 Ε. Άσκηση 6. Ο Δημήτρης έχει αδελφούς περισσότερους από αδελφές. Η αδελφή του η Μαρία έχει τριπλάσιο αριθμό αδελφών από ότι αδελφές. Πόσες αδελφές έχει ο Δημήτρης; Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. 4 Σελ. 4 από 5

Άσκηση 7. Δύο τετράγωνα είναι εγγεγραμμένα σε ημικύκλιο με κέντρο Κ και ακτίνα R = 5 όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Εάν το εμβαδόν του μεγαλύτερου τετραγώνου είναι τετραπλάσιο του εμβαδού του μικρότερου τετραγώνου, το μήκος του τμήματος ΔΒ ισούται με: Α. ( 5 ) Β. 5 Γ. 5 Δ. 5+ Α Γ Κ Δ Β Ε. Κανένα από τα προηγούμενα Άσκηση 8. Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών ακεραίων αριθμών δεν μπορεί να είναι ίσο με: Α. Β. 0 Γ. 0 Δ. Ε. 006 Άσκηση 9. Στο διπλανό σχήμα ΑΒΔ=ΕΑΔ=ΑΓΒ και ΑΕΒ = 00. Το μέτρο της γωνίας ΒΑΓ ισούται με: A Ε Δ Γ Β Α. 50 Β. 60 Γ. 70 Δ. 80 Ε. Με αυτά τα δεδομένα δεν μπορεί να υπολογιστεί. 006 Άσκηση 0. Δίνεται ο αριθμός A = + + + + +. Ποια από τις παρακάτω δηλώσεις είναι σωστή; Α. Ο αριθμός Α διαιρείται με το 7. Β. Ο αριθμός Α είναι πρώτος αριθμός. Γ. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού Α είναι. Δ. Ο αριθμός Α είναι ζυγός αριθμός. Ε. Ο αριθμός Α είναι μεγαλύτερος του 007. Σελ. 5 από 5

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Οδηγίες προς τους Διαγωνιζόμενους ΧΡΟΝΟΣ : 60 Λεπτά Μα συμπληρώσετε προσεκτικά το φύλλο απαντήσεων, επιλέγοντας μόνο μία απάντηση για κάθε ερώτηση. Η συμπλήρωση να γίνει με μαύρισμα στο αντίστοιχο κυκλάκι. Κάθε σωστή απάντηση βαθμολογείται με 4 μονάδες. Για κάθε λανθασμένη απάντηση αφαιρείται μονάδα. Απάντηση σε άσκηση με μαύρισμα σε περισσότερα από ένα κυκλάκια θεωρείται λανθασμένη. Επειδή η διόρθωση θα γίνει ηλεκτρονικά, οποιοδήποτε σημάδι ή σβήσιμο καθιστά την απάντηση λανθασμένη. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το χώρο δίπλα από τις ασκήσεις για βοηθητικές πράξεις. Συστήνεται όπως σημειώνετε τις απαντήσεις στο ειδικό έντυπο απαντήσεων στα τελευταία πέντε λεπτά της εξέτασης αφού βεβαιωθείτε ότι οι απαντήσεις είναι τελικές. Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία 49

50 KY.M.E.

Κυπριακή Μαθημαική Εταιρεία 5