Ελαστικές ιδιότητες κεραµικών υλικών υψηλής τεχνολογίας

Ελαστικές ιδιότητες κεραµικών υλικών υψηλής τεχνολογίας ΛΕΜΗΣ - ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ

Ελαστικές ιδιότητες κεραµικών υλικών υψηλής τεχνολογίας ΛΕΜΗΣ - ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Αντικείµενο αυτής της διδακτορικής διατριβής, είναι η ανάπτυξη µιας απλής µεθόδου µη καταστροφικής µέτρησης των ελαστικών ιδιοτήτων κεραµικών υλικών µε την βοήθεια υπερήχων. Μια συσκευή παραγωγής και µετρήσεων υπερήχων σε συχνότητα 4 MHz βελτιώθηκε ώστε να γίνει κατάλληλη, έτσι ώστε να γίνουν µετρήσεις µε ικανοποιητικό βαθµό αξιοπιστίας. Για την ρύθµιση (calibration) της συσκευής, µετρήθηκαν δείγµατα Al, Cu, Mo, W, MgO, YBa 2 Cu 3 O 7+x, και h-bn και συγκρίθηκαν οι µετρούµενες τιµές µε εκείνες της υπάρχουσας βιβλιογραφίας. Παρασκευάστηκαν, µε διάφορες τεχνικές, δείγµατα µεγάλης καθαρότητας και πυκνότητας Al 2 O 3, Zr 0,942 Y 0,058 O 1,97, LaB 6 και B 4 C τα οποία χαρακτηρίστηκαν µε την τεχνική της περίθλασης ακτίνων Χ. Στα δείγµατα αυτά µετρήθηκε η διαµήκης ταχύτητα του ήχου εντός των δειγµάτων και µέσω αυτής της µετρήσεως, υπολογίστηκαν το µέτρο ελαστικότητας (Ε), το µέτρο διόγκωσης (Β), το µέτρο διάτµησης (G) και ο λόγος του Poisson (ν). ABSTRACT The objective of this PhD Thesis is the development of a simple method of non-destructive measurements of the elastic properties of ceramic materials by means of ultrasonic waves. Such an equipment for the generation and measurement of ultrasonic frequency at 4 MHz has been constructed and improved to obtain reliable measurements to a satisfactory degree. Samples of Al, Cu, Mo, W, MgO, YBa 2 Cu 3 O 7+x, and h-bn have been used for the adjustment and calibration of the equipment, and the results of measurements were satisfactory as compared to the ones given by existing bibliography. Various methods have been used to prepare high purity and density samples of Al 2 O 3, Zr 0,942 Y 0,058 O 1,97, LaB 6 and B 4 C, characterized by X-rays diffraction method. Using the above samples, the longitudinal wave velocity has been measured and by the results of this measurement, the Modulus of Elasticity (E), the Bulk Modulus (B), the Shear Modulus (G) and Poisson ratio (ν) have been calculated.

Πρόλογος Αυτή η διδακτορική διατριβή, εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Υλικών Υψηλής Τεχνολογίας του Γενικού Τµήµατος της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστηµίου Πατρών κατά το χρονικό διάστηµα 1996-2001, µε την καθοδήγηση του Καθηγητή κ. Κωνσταντίνου Πολίτη. Ευχαριστώ θερµά τον επιβλέποντα Καθηγητή µου κ. Κωνσταντίνο Πολίτη για την αµέριστη συµπαράστασή του όλα αυτά τα χρόνια και την επιστηµονική γνώση που µου µετέδωσε κατά την διάρκεια εκπόνησης της διατριβής µου. Ευχαριστώ τον κ. ηµήτριο Ζευγώλη, Αναπληρωτή Καθηγητή του Τµήµατος Φυσικής, µέλος της τριµελούς συµβουλευτικής επιτροπής µου, για τον χρόνο που µου διέθεσε και τις πολύ χρήσιµες υποδείξεις του, κυρίως σε θεωρητικά θέµατα της εργασίας αυτής. Επίσης ευχαριστώ τον κ. Μιχαήλ Βελγάκη, Αναπληρωτή Καθηγητή, µέλος της τριµελούς συµβουλευτικής επιτροπής µου, για τις χρήσιµες υποδείξεις του. Τους κ.κ. Ανδρέα Βγενόπουλο, Καθηγητή του Ε.Μ.Π., Βασίλειο Μάρκελλο, Καθηγητή του Γενικού Τµήµατος, Χρήστο Καταγά, Καθηγητή του Τµήµατος Γεωλογίας και Παναγιώτη Νικολόπουλο, Καθηγητή του Τµήµατος Χηµικών Μηχανικών ευχαριστώ για τις χρήσιµες παρατηρήσεις και συµβουλές τους. Οφείλω ευχαριστίες στον Επισκέπτη Καθηγητή κ. Wolfram Schommers, για τις εποικοδοµητικές προτάσεις και παρατηρήσεις του, οι οποίες συνέβαλλαν στην αντιµετώπιση τεχνικών προβληµάτων της µεθόδου των υπερήχων. Ευχαριστώ τους συνεργάτες µου στα Εργαστήρια Υλικών Υψηλής Τεχνολογίας, ρ. Σωτήρη Μπασκούτα, και κ. Βασίλη Καπακλή, για την φιλία και την συµπαράστασή τους. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω το Κέντρο Ερευνών Forschungszentrum Karlsruhe της Γερµανίας, την Επιτροπή Ερευνών του Πανεπιστηµίου Πατρών (Πρόγραµµα Νο.1611) και την Γενική Γραµµατεία Έρευνας και Τεχνολογίας (ΠΕΝΕ 99 579) για την υποστήριξή τους.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ.. 1 Α. Θεωρητικό Μέρος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ 1.1. Εισαγωγή....... 4 1.2. Μέτρο ελαστικότητας και λόγος Poisson.... 6 1.3. Μέτρο διόγκωσης και µέτρο διάτµησης....... 8 1.4. Σταθερές που προέρχονται από την Ακουστική... 10 1.5. Μη ισότροπες ελαστικές σταθερές........... 13 1.6. Σχέση εγκάρσιας και διαµήκους ταχύτητας µε τις ελαστικές σταθερές 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΕΡΗΧΩΝ 2.1. Εισαγωγή.... 16 2.2. Μέθοδος µέτρησης χρόνου διελεύσεως..... 17 2.3. Πιεζοκρύσταλλοι και συνδετικά υλικά...... 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΕΡΑΜΙΚΑ ΥΛΙΚΑ 3.1. Εισαγωγή..... 30 3.2. Κεραµικά υλικά υψηλής τεχνολογίας.... 32 3.3. Χηµική σύσταση και γενικές ιδιότητες.... 34 3.4. Τα σηµαντικότερα κεραµικά υψηλής τεχνολογίας για την βιοµηχανία 36 3.5. Τα δείγµατα που παρασκευάστηκαν.. 37 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

Β. Πειραµατικό Μέρος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΙΓΜΑΤΩΝ 4.1. Εισαγωγή 41 4.2. Κονιοµεταλλουργία (Γενικά).. 42 4.3. Παρασκευή και επεξεργασία κόνεως 42 4.4. Ταξινόµηση κόνεων... 43 4.5. Μορφοποίηση κόνεων... 44 4.6. ιεργασία Σίντεριν....... 46 4.7. Σύνθεση των δειγµάτων... 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΕΙΓΜΑΤΩΝ 5.1. Εισαγωγή... 54 5.2. Πυκνότητα των δειγµάτων....... 54 5.3. Μελέτη µακροσκοπικής δοµής µε µικροσκόπιο 55 5.4. Περίθλαση ακτίνων Χ και εξακρίβωση της κρυσταλλικής δοµής 61 5.5. Η περίθλαση ακτίνων Χ και ο νόµος του Bragg 61 5.6. Τεχνικές περίθλασης.. 63 5.7. Αποτελέσµατα του χαρακτηρισµού των δειγµάτων µε ακτίνες Χ. 67 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ 6.1. Εισαγωγή.... 73 6.2. Πειραµατικός εξοπλισµός. 74 6.3. Πειραµατική διάταξη συσκευών 78 6.4. Ρύθµιση συσκευής. 79 6.5. Μέτρηση της ταχύτητας του ήχου..... 80 6.6. Υπολογισµός των Ε,B,G.... 83 6.7. Μετρήσεις κεραµικών υλικών... 87 6.8. Μετρήσεις δειγµάτων... 92 6.9. Συγκεντρωτικός πίνακας των αποτελεσµάτων των µετρήσεων 93 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

Συµπεράσµατα.... 95 Προτάσεις για µελλοντικές µελέτες... 96 Βιβλιογραφία.... 97 Σύντοµο βιογραφικό σηµείωµα ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κεραµικά εξαρτήµατα υψηλής τεχνολογίας από HYcor Alumina, MOR Shock Mullite, Fused Silica, Clay bonded Silicon Carbide, και ειδικής σχηµατοποίησης εξαρτήµατα από Zircon Oxide/Carbide και Silicon Carbide κατασκευασµένα από την Engineered Ceramics Inc., Gilberts, IL 60136, U.S.A. Υπάρχει σήµερα ένα διαρκώς αυξανόµενο επιστηµονικό ενδιαφέρον για την µέτρηση των ελαστικών ιδιοτήτων των στερεών µε την χρήση υπερήχων, κυρίως διότι η µέθοδος αυτή έχει το πλεονέκτηµα να µην είναι καταστροφική για το υπό εξέταση δείγµα. Η αλµατώδης ανάπτυξη της τεχνολογίας τα τελευταία χρόνια στον τοµέα των ηλεκτρονικών και κατ επέκταση στον ηλεκτρονικό εξοπλισµό, είχε ως αποτέλεσµα την ανάπτυξη πολλών τεχνικών µεθόδων για την πραγµατοποίηση αυτού του είδους των µετρήσεων. H ακρίβεια αυτών των µεθόδων µέτρησης των ελαστικών ιδιοτήτων των υλικών κυµαίνεται µεταξύ των ορίων του 0,01% (κάτω από ευνοϊκές συνθήκες µετρήσεως) έως 4% κάτω από δύσκολες συνθήκες µετρήσεως. Η ανάπτυξη της επιστήµης των υλικών, όπου µε την κατασκευή και τον σχεδιασµό νέων κραµάτων, σύνθετων και κεραµικών υλικών, είναι απαραίτητη η γνώση και κατά συνέπεια η δυνατότητα της µέτρησης των άγνωστων ελαστικών ιδιοτήτων των νέων υλικών, συνέβαλε αποφασιστικά στην ανάγκη προώθησης νέων, µη καταστροφικών µεθόδων µέτρησης των ελαστικών ιδιοτήτων των στερεών µε υπέρηχους. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - 1 -

Επειδή δε τα νέα αυτά υλικά σχεδιάζονται ως επί το πλείστον για να ικανοποιήσουν ανάγκες ειδικών κατασκευών υψηλών απαιτήσεων, γίνεται ακόµα πιο επιτακτική η ανάγκη µέτρησης των ελαστικών ιδιοτήτων τους µε µεγάλη ακρίβεια, κάτω ακόµα και από δύσκολες συνθήκες περιβάλλοντος (υψηλή πίεση, χαµηλές ή υψηλές θερµοκρασίες). Το πολύ υψηλό κόστος που απαιτείται για την έρευνα και το σχεδιασµό νέων υλικών σε συνδυασµό µε το επίσης υψηλό κόστος που απαιτείται για την σύνθεση και την κατασκευή των υλικών αυτών, είναι ακόµα ένας λόγος που επιβάλει την ανάγκη για την εύρεση και την αξιοποίηση µεθόδων µέτρησης και ελέγχου, οι οποίες πρέπει να είναι αφενός µεν µη καταστροφικές αφετέρου δε να απαιτούν όσο το δυνατόν µικρότερα δείγµατα. Η υπάρχουσα βιβλιογραφία η οποία αναφέρεται στην γενική θεωρία της ελαστικότητας των υλικών είναι εκτενής αλλά καλύπτει κυρίως τις στατικές µεθόδους µέτρησης και υπολογισµού των ελαστικών ιδιοτήτων των υλικών. Αντίθετα όσον αφορά τις δυναµικές µεθόδους µέτρησης, οι οποίες όπως προαναφέραµε έχουν αποκτήσει σήµερα πολύ µεγάλο επιστηµονικό ενδιαφέρον, δεν καλύπτονται ακόµα επαρκώς. Η επιλογή κάποιας συγκεκριµένης µεθόδου γίνεται ανάλογα µε τις εκάστοτε απαιτήσεις και γίνεται συνήθως µε βάση την απαιτούµενη ακρίβεια µέτρησης αυτής αλλά και τη δυνατότητα σε διάθεση χρόνου και χρηµάτων. Όταν η απαίτηση για ακρίβεια, δεν είναι και τόσο µεγάλη, οι µέθοδοι άµεσης παλµικής µετάδοσης είναι αυτές που ενδείκνυται να χρησιµοποιηθούν. Τα δείγµατα µπορούν να κατασκευαστούν - εφόσον υπάρχει η απαραίτητη εµπειρία - µέσω των ειδικών για κάθε υλικό µεθόδων, οι δε µετρήσεις κάτω από δύσκολες τεχνικά συνθήκες (υψηλή πίεση, µέτρηση ελαστικών ιδιοτήτων σε σχέση µε την θερµοκρασία) είναι πλέον τεχνικά δυνατές µε την υπάρχουσα τεχνολογία. Οι µετρήσεις των συνθέτων υλικών µε µεθόδους άµεσης παλµικής µετάδοσης είναι πιο πολύπλοκες και έχουν µεγάλες απαιτήσεις στην ακρίβεια της γεωµετρίας του δείγµατος. Οι µέθοδοι αυτοί δίνουν µεγαλύτερης ακριβείας µετρήσεις, απαιτούν όµως για την πραγµατοποίηση τους ακριβό ηλεκτρονικό εξοπλισµό, έτσι ώστε µόνο η πιθανότητα µετέπειτα πρακτικής εφαρµογής της έρευνας, αντισταθµίζει κατά κάποιο ποσοστό το µεγάλο κόστος της παρασκευής των δοκιµίων και της αγοράς του απαραίτητου ακριβού εξοπλισµού µετρήσεων για την επίτευξή τους. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - 2 -

Για τον λόγο αυτό η τελική επιλογή της µεθόδου της µέτρησης εξαρτάται από τη φύση της µέτρησης και της επένδυσης σε χρόνο, χρήµα και εργασία. εν υπάρχει γενική µεθοδολογία η οποία καλύπτει όλες τις ανάγκες, ο κάθε ερευνητής πρέπει να επιλέξει την πιο κατάλληλη, σταθµίζοντας τα πλεονεκτήµατα και τα µειονεκτήµατα που του παρέχει η καθεµία από αυτές. Στην παρούσα εργασία έγινε µελέτη των ελαστικών ιδιοτήτων κεραµικών υλικών υψηλής τεχνολογίας µε χρήση µεθόδου υπερήχων µε άµεση παλµική µετάδοση. Ένα από τα µεγαλύτερα µειονεκτήµατα των υλικών αυτών σήµερα, είναι η έλλειψη ειδικών µη καταστροφικών µεθόδων δοκιµών για τον έλεγχό τους. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - 3 -

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 1.1. Εισαγωγή Οι ελαστικές ιδιότητες των υλικών είναι βασικής σηµασίας για την επιστήµη και την τεχνολογία. Από την µέτρησή τους παίρνουµε πληροφορίες που αφορούν τις δυνάµεις που ενεργούν µεταξύ των ατόµων ή των ιόντων τα οποία αποτελούν ένα στερεό, πληροφορίες που είναι βασικής σηµασίας για την ερµηνεία και την κατανόηση της φύσης του στερεού. Επειδή οι ελαστικές ιδιότητες περιγράφουν τη µηχανική συµπεριφορά των υλικών, η µελέτη τους είναι σηµαντική σε περιπτώσεις µηχανολογικού σχεδιασµού. Η επιλογή του κατάλληλου υλικού για µια συγκεκριµένη εφαρµογή απαιτεί τη γνώση της µηχανικής του συµπεριφοράς. Όταν σε ένα υλικό επιδρούν εξωτερικές δυνάµεις, τότε αυτό παραµορφώνεται. ηλαδή, εάν εφαρµόσουµε σε αυτό εξωτερικές δυνάµεις, µπορούµε να µεταβάλλουµε το σχήµα και το µέγεθος του. Μολονότι οι παραµορφώσεις αυτές είναι µακροσκοπικές, οι εσωτερικές δυνάµεις που αντιδρούν στην παραµόρφωση οφείλονται στις δυνάµεις των ατόµων. Για την µελέτη των ελαστικών ιδιοτήτων των στερεών χρησιµοποιούνται οι έννοιες τις τάσης και της παραµόρφωσης. Η τάση είναι ποσότητα ανάλογη προς την δύναµη στην οποία οφείλεται η παραµόρφωση, είναι η εξωτερική δύναµη ανά µονάδα επιφάνειας διατοµής. Παραµόρφωση είναι το µέτρο της µεταβολής του αρχικού σχήµατος και µεγέθους. Γνωρίζουµε πειραµατικά ότι για µικρές τάσεις, η τάση είναι ανάλογη προς την παραµόρφωση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΛΙΚΩΝ - 4 -

Ελαστικές είναι οι ιδιότητες αυτές που διέπουν τη συµπεριφορά ενός υλικού που υπόκειται σε εξωτερικές δυνάµεις µέσα σε ένα πεδίο τάσης όπου το υλικό συµπεριφέρεται ελαστικά. Ο τρόπος µε τον οποίο ένα υλικό παραµορφώνεται σε ένα πεδίο εφαρµοσµένης τάσης παρουσιάζεται στο σχήµα 1.1.: Σχήµα 1.1. Τυπικό διάγραµµα τάσης παραµόρφωσης. Παρατηρούµε ότι στο πεδίο φόρτισης µέχρι το σηµείο όπου ή τάση έχει την τιµή σ y, η τάση ανταποκρίνεται γραµµικά. Αν η εφαρµοζόµενη εξωτερική δύναµη µειωθεί, η τάση ελαττώνεται αντιστρεπτά και σύµφωνα µε τη µετακίνηση της εξωτερικής δύναµης, η τάση φτάνει στο 0. Σε ένα αρκετά υψηλό βαθµό φόρτισης (πάνω από το σηµείο σ y ), η τάση δεν παραµένει γραµµική, και η µετακίνηση ή ελάττωση της δύναµης δεν ακολουθείται στην αντιστρεπτή τάση. Προκύπτει µια µόνιµη παραµόρφωση. Το υλικό συµπεριφέρεται πλαστικά. Επιπλέον η αύξηση της εφαρµοζόµενης δύναµης στο υλικό δηµιουργεί πρόσθετη πλαστική παραµόρφωση που οδηγεί τελικά στη θραύση. 1 Η συµπεριφορά είναι τυπική για τα περισσότερα στερεά εκτός αυτών που είναι ιδιαίτερα ασταθή και που σπάνε στο πεδίο της ελαστικής συµπεριφοράς. Η σταθερά της αναλογίας, εξαρτάται από το υλικό που παραµορφώνεται και από την φύση της παραµόρφωσης. Στο σχήµα 1.2. δίνονται χαρακτηριστικά παραδείγµατα ελαστικής παραµόρφωσης κάτω από διάφορους τύπους εφαρµοζόµενης εξωτερικής δύναµης: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΛΙΚΩΝ - 5 -

Σχήµα 1.2. Παραδείγµατα ελαστικής παραµόρφωσης κάτω από διάφορους τύπους εφαρµοζόµενης εξωτερικής δύναµης : (1) µονοαξονική φόρτιση, (2) υδροστατική πίεση, (3) διάτµηση. 2 1.2. Μέτρο Ελαστικότητας (E) και λόγος του Poisson (ν) Το µέτρο ελαστικότητας ή µέτρο του Young (Ε) είναι µεταξύ των πιο στοιχειωδών µεγεθών όσον αφορά την αντοχή ενός υλικού. Σε µηχανολογικές εφαρµογές, τα υλικά χρησιµοποιούνται µε τέτοιο τρόπο έτσι ώστε, η τιµή του µέτρου ελαστικότητας να είναι µια πολύ σηµαντική σχεδιαστική παράµετρος, διότι σχετίζει µια µονοαξονική φόρτιση µε την εφελκυστική τάση. Η σταθερά αυτή εκφράζει δηλαδή το µέτρο της αντίστασης του υλικού σε καθαρό εφελκυσµό. Όσο πιο µεγάλη είναι η τιµή του Ε τόσο µικρότερη είναι η εφελκυστική παραµόρφωση ε x για µια εφελκυστική τάση σ x. Το µέτρο ελαστικότητας λαµβάνεται µε απλά λόγια, ως το µέτρο της αντίστασης στην έλξη κατά µήκος του άξονα µιας λεπτής ράβδου ή βέργας. 3 Μια ράβδος υπόκειται σε µονοαξονική φόρτιση (ελαστική στο παράδειγµα του σχ. 1.3.) και ως αποτέλεσµα τεντώνεται. Η απορρέουσα τάση δηλώνεται µέσω µιας επιµήκυνσης στη διεύθυνση της εφαρµοσµένης δύναµης και µια µείωση στη διάµετρο της ράβδου. Η διαφορά µήκους διαιρούµενη από το αρχικό µήκος είναι η παραµόρφωση, και η αναλογία της τάσης µε την παραµόρφωση µας δίνει το µέτρο ελαστικότητας (Young s modulus): ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΛΙΚΩΝ - 6 -

Σχήµα 1.3. Ελαστική παραµόρφωση ράβδου διατοµής Α στην οποία ασκείται µονοαξονική φόρτιση F. Η τιµή της απορρέουσας τάσης λόγω της δύναµης F είναι F/A και η τιµή της παραµόρφωσης είναι L/L. Το µέτρο ελαστικότητας ορίζεται ως ο λόγος της τάσης προς την παραµόρφωση. 4 Ένας άλλος τρόπος για να υπολογίσουµε το µέτρο ελαστικότητας είναι προσδιορίζοντας την κλίση του ελαστικού τµήµατος της καµπύλης τάσηςπαραµόρφωσης του σχήµατος 1.1. Επιπλέον στην επιµήκυνση κατά την διεύθυνση της αξονικά εφαρµοσµένης δύναµης, η ράβδος στενεύει. Αυτή η διαφορά µεγέθους σε µια κατεύθυνση που είναι κάθετη στη διεύθυνση της εφαρµοσµένης δύναµης, οφείλεται στην αλληλεπίδραση των συνιστωσών τάσεων που παράγονται µέσα στο υλικό ως αποτέλεσµα της εφαρµοζόµενης δύναµης. Χρειάζεται ένα πρόσθετο ελαστικό όριο για να περιγραφεί αυτή η συµπεριφορά. Το ελαστικό όριο αυτό είναι ο λόγος του Poisson (ν), ο οποίος ορίζεται ως το µέτρο της παραµόρφωσης ενός υλικού κατά την εγκάρσια διεύθυνση όταν κατά την διαµήκη διεύθυνση υφίσταται µια δεδοµένη παραµόρφωση. Όσο πιο µεγάλη είναι η τιµή του ν, τόσο πιο µεγάλη είναι και η εγκάρσια παραµόρφωση ε y ή ε z για µια δεδοµένη διαµήκης παραµόρφωση ε x. Για αυτό το λόγο το ν ονοµάζεται και µέτρο εγκάρσιας παραµόρφωσης. Πολλά τεχνολογικά προβλήµατα αντιµετωπίζονται συχνά επαρκώς µόνο µε τη γνώση του µέτρου ελαστικότητας και του λόγου Poisson. Αυτά όµως είναι χρήσιµα, µόνο αν το υλικό είναι οµογενές και ισότροπο. Για το λόγο αυτό έχουν χρησιµοποιηθεί µε µεγάλη επιτυχία κυρίως σε επιστηµονικούς κλάδους των µηχανικών, αφού εκεί τα περισσότερα υλικά που χρησιµοποιούνται είναι ή µπορούν θεωρητικά να χαρακτηριστούν ως οµογενή και ισότροπα. 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΛΙΚΩΝ - 7 -

1.3. Μέτρο ελαστικότητας όγκου (B) και µέτρο διάτµησης (G) Ο υπολογισµός του µέτρου ελαστικότητας (Ε) και του λόγου Poisson (ν) δεν είναι εύκολος ακόµη και για ισότροπα υλικά. Ενώ στην εφαρµοσµένη τεχνολογία τα ελαστικά όρια προκύπτουν ως εµπειρικές σταθερές στον νόµο του Hooke σε µεγάλα σώµατα, είναι πολύ µεγαλύτερης επιστηµονικής σηµασίας η µαθηµατική τους σχέση ως δεύτερη παράγωγος της ελαστικής ενέργειας σε σχέση µε την τάση. Για ισότροπα υλικά δύο ακόµη ελαστικές σταθερές ορίζονται ως αποτέλεσµα της καταπόνησης του υλικού κάτω από δυο διαφορετικές καταστάσεις εξωτερικής φόρτισης. Αυτές είναι το µέτρο ελαστικότητας όγκου ή µέτρο συµπιέσεως (Bulk Modulus - B), όπου οι τάσεις κάθετες στις κατευθύνσεις της φόρτισης είναι ίσες (π.χ. η περίπτωση αντίδρασης στην υδροστατική πίεση) (σχήµα 1.4.), το οποίο µας δίνει το µέτρο της µεταβολής του όγκου ενός απειροελάχιστου στοιχείου το οποίο υπόκειται σε υδροστατική πίεση και εκφράζει την αντίσταση που προβάλλει το υλικό στην µεταβολή του όγκου του: Σχήµα 1.4. Ελαστική παραµόρφωση µικροσκοπικής σφαίρας αρχικού όγκου V, στην οποία ασκείται υδροστατική πίεση P, µε αποτέλεσµα την µεταβολή του όγκου της σε V. Το µέτρο ελαστικότητας όγκου Β ορίζεται ως ο λόγος της πίεσης ως προς την µεταβολή του όγκου του σώµατος. 4 Ένα αντικείµενο που υφίσταται τέτοια παραµόρφωση µεταβάλλεται ως προς το µέγεθος (δηλαδή σε όγκο), αλλά όχι ως προς το σχήµα. Τέλος, ένα άλλο είδος παραµόρφωσης ορίζεται όταν εφαρµόσουµε δύναµη στην εφαπτοµενική διεύθυνση µιας έδρας ή επιφάνειας του σώµατος, ενώ διατηρούµε την απέναντι έδρα σταθερή, χρησιµοποιώντας την δύναµη της τριβής: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΛΙΚΩΝ - 8 -

Σχήµα 1.5. Ελαστική παραµόρφωση παραλληλόγραµµου σώµατος στο οποίο ασκείται δύναµη F στην εφαπτοµενική διεύθυνση της επάνω έδρας του (εµβαδού Α) ενώ η κάτω έδρα του διατηρείται σταθερή. 1 Κατά την παραµόρφωση αυτή δεν µεταβάλλεται ο όγκος. Η διατµητική τάση ισούται µε F/A. Ορίζεται έτσι το µέτρο διάτµησης ή µέτρο ακαµψίας σε διάτµηση (Shear Modulus - G), όπου οι κάθετες τάσεις στις κατευθύνσεις της εφαρµοζόµενης δύναµης είναι παντού µηδέν (καθαρή διάτµηση) και εποµένως εκφράζει το µέτρο αντίστασης του υλικού σε καθαρή διάτµηση. Όσο µεγαλύτερο είναι το µέτρο διάτµησης (G), τόσο µικρότερη είναι η διατµητική παραµόρφωση (γ xy ) για µια δοσµένη διατµητική τάση (τ xy ). Υπάρχουν αρκετοί λόγοι για τους οποίους τα µέτρα ελαστικότητας όγκου (Β) και διάτµησης (G) προτιµούνται των µέτρων ελαστικότητας (E) και του λόγου Poisson (ν). Ένας από τους πιο σηµαντικούς λόγους είναι ότι το µέτρο ελαστικότητας όγκου παρουσιάζει τον καλύτερο συνδετικό κρίκο µεταξύ θερµοδυναµικής και ελαστικής θεωρίας, όπου αναπτυσσόµενο στις βάσεις ατοµιστικών αντιλήψεων όπως οι δυνάµεις πλέγµατος - κρυσταλλικής δοµής, σχετίζεται µε τη συµπεριφορά σε µικροσκοπική κλίµακα. Στην θερµοδυναµική, οι µεταβλητές είναι συνήθως πίεση, θερµοκρασία και όγκος. Σε πολλές σχέσεις η θερµοδυναµική θεώρηση του µέτρου ελαστικότητας του όγκου σε σταθερή θερµοκρασία είναι: 5 B = V dp dv T η οποία συνδέει τις µεταβλητές της πίεσης (P) και όγκου (V) σε σταθερή θερµοκρασία (Τ). ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΛΙΚΩΝ - 9 -

Στην περίπτωση δε που έχουµε καθαρή διάτµηση, η παραµόρφωση δεν αφορά καµία αλλαγή στον όγκο του σώµατος, παρά µόνο αλλαγή του σχήµατός του. Υπάρχουν φυσικά και άλλοι σηµαντικοί λόγοι για τη θεώρηση του µέτρου διάτµησης και του µέτρου ελαστικότητας όγκου ως θεµελιώδους σηµασίας, εφόσον η συµπεριφορά του µέτρου ελαστικότητας όγκου είναι αρκετά διαφορετική από αυτή του µέτρου διάτµησης. Σε άκαµπτα υλικά, οι τιµές των µέτρων διόγκωσης και διάτµησης είναι υψηλές, δεδοµένου ότι σε εύκαµπτα υλικά η τιµή του µέτρου ελαστικότητας όγκου παραµένει υψηλή και η τιµή του µέτρου διάτµησης µειώνεται αξιοσηµείωτα. Η θερµοκρασία έχει µια σηµαντική επίδραση στο µέτρο διάτµησης αλλά µια αρκετά µικρότερη επίδραση στο µέτρο ελαστικότητας όγκου. Επίσης στο σηµείο τήξης η τιµή του πρώτου πηγαίνει στο µηδέν, ενώ η τιµή του δεύτερου µπορεί να επηρεαστεί µόνο ελαφρά. Επιπλέον η εφαρµογή πολύ υψηλών πιέσεων επιδρά στην τιµή του µέτρου ελαστικότητας όγκου. ηλαδή πάνω από κάποιο επίπεδο τιµής της εφαρµοζόµενης δύναµης, το σώµα δεν είναι πια ελαστικό, αλλά αρχίζει να ρέει. Από την άλλη µεριά, κάτω από µια καθαρή διάτµηση, ένα σώµα παραµένει ελαστικό ακόµα και σε υπερβολικά µεγάλες τιµές εφαρµοζόµενης δύναµης. 6 1.4. Σταθερές που προέρχονται από την Ακουστική Παρόλο που τα µέτρα ελαστικότητας όγκου και διάτµησης είναι θεµελιώδεις ελαστικές σταθερές οι οποίες πηγάζουν από πολύ βασικές θεωρίες, δεν συµπίπτουν πάντα µε εκείνες τις ελαστικές σταθερές οι οποίες είναι απλούστερες στη µέτρηση. Όταν οι ελαστικές ιδιότητες ορίζονται από τη µέτρηση διάδοσης του ακουστικού κύµατος διαµέσου ενός υλικού, τότε εισέρχονται άλλου είδους ελαστικές σταθερές. Για ισότροπα σώµατα, κατάλληλες γεωµετρικές θεωρήσεις σε σχέση µε την κατεύθυνση της κυµατικής διάδοσης απορρέουν από την επίλυση δυο απλών εξισώσεων: Η πρώτη εξίσωση χαρακτηρίζεται από την συνθήκη, ότι η µετατόπιση κάθετα στην κατεύθυνση κυµατοµορφής είναι µηδέν και αυτό αποδίδει την κατά µήκος κύµατος εξίσωση. Η δεύτερη εξίσωση δίνεται από την συνθήκη ότι η µετατόπιση κατά µήκος της κατεύθυνσης κυµατοµορφής είναι µηδέν, όπου αποδίδει την εξίσωση συνάφειας κύµατος για την ισοτροπική περίπτωση. Σε µια διάσταση αυτό απλοποιείται στις παρακάτω εξισώσεις: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΛΙΚΩΝ - 10 -

2 d u 2 dt 2 Ld u = διαµήκη κύµατα (longitudinal) 2 ρdx 2 d u 2 dt 2 Gd u = εγκάρσια κύµατα (shear) 2 ρdx όπου ρ = πυκνότητα και u = µετατόπιση Σε αυτά τα δύο είδη κυµάτων, που είναι εύκολο να παραχθούν στο εργαστήριο, από πειραµατικής πλευράς οι σταθερές L και G είναι µεγάλης σηµασίας. Η σταθερά του εγκάρσιου κύµατος είναι ακριβώς η ίδια µε τον συντελεστή διάτµησης (Shear Modulus, G) που αναφέρεται παραπάνω. Το L, σταθερά του διαµήκους κύµατος (longitudinal modulus), ορίζεται από την ταχύτητα διάδοσης ενός διαµήκους κύµατος, δεν είναι ούτε το µέτρο ελαστικότητας όγκου (Β), ούτε το µέτρο ελαστικότητας (Ε), παρόλο που συχνά συγχέεται µε αυτές τις δύο σταθερές. Για λόγους που αφορούν την απλότητα στην έκφραση του µαθηµατικού τύπου ελαστικότητας, η σταθερά του διαµήκους κύµατος συνήθως εκφράζεται ως: 6 L = λ + 2G = ρυ l 2 όπου: λ = σταθερά Lamé, G = µέτρο διάτµησης, υ l = διαµήκης ταχύτητα. Συνοψίζοντας έχουµε συνολικά έξι συντελεστές ελαστικών ιδιοτήτων, B,G,E,ν,L, και λ. Τα ελαστικά όρια ενός ισότροπου σώµατος µπορούν να εκφραστούν µε µια ποικιλία τρόπων. Όπως φαίνεται ο προσδιορισµός δύο εξ αυτών, είναι αρκετός να εκφράσει την ελαστική συµπεριφορά του εξεταζόµενου σώµατος και οποιοσδήποτε συντελεστής ελαστικών ιδιοτήτων µπορεί να εκφραστεί σε σχέση µε οποιοδήποτε άλλο ζεύγος ελαστικών σταθερών 1. Στον πίνακα 1.1. που ακολουθεί καταγράφονται αυτές οι αλληλοσυνδεόµενες σχέσεις µεταξύ των ελαστικών σταθερών (για ισότροπα υλικά): ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΛΙΚΩΝ - 11 -

Β Ε λ ν L=ρυ l 2 G=ρυ s 2 YΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 2G λ + 3 3λ + 2G G λ + G 9B B λ 3Β λ λ 2( λ + G) λ 3Β λ λ + 2G 3B 2λ 3( B λ ) 2 Υπολογισµός του λ 9BG 3B + G 2G B 3 3B 2G 2(3B + G) 4G B + 3 Στατική µέτρηση του B και του G EG 3(3G E ) E 2G G 3G E E 2G 1 4G E G 3G E Στατική µέτρηση του Ε και G, δυναµική µέτρηση του Ε και G ( 1+ ν ) λ 3 ν ( 1+ ν )(1 2ν ) λ ν 3Β Ε 3 Β 9 Β Ε 3Β Ε 6Β 3Β + Ε 3 Β 9 Β Ε ( 1 ν ) λ ν 3ΒΕ 9Β Ε 1 2ν λ 2 ν Στατική µέτρηση του B και δυναµική µέτρηση του E 2(1 + ν ) G 3(1 + 2ν ) 2G (1 + ν ) 2ν G 1 2ν 2 2ν G 1 2ν Στατική ή δυναµική µέτρηση του G κσι ν ν 3B (1 2ν ) 3 Β 1+ ν 1 ν 3 Β 1 + ν 1 2ν 3Β 2 + 2ν Στατική µέτρηση του B και ν E 3(1 2ν ) E ( 1+ν )(1 2ν ) Ε(1 ν ) (1 + ν )(1 2ν ) Ε 2 + 2ν Στατική η δυναµική µέτρηση του E και του ν 2 4 ρ( υ l υ s 3 2 ) 3υ 2 s υ 2 l 4 υ 3 2 2 ( υ υ ) l s 2 s υl 2υ s 2 2 ρ( υ l 2υ s ) 2 2 2( υ υ ) 2 l s 2 υναµική (ταχύτητας) µέτρηση των υ l και υ s Πίνακας 1.1. Αλληλοσυνδεόµενες σχέσεις µεταξύ των ελαστικών σταθερών (για ισότροπα υλικά). 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΛΙΚΩΝ - 12 -

1.5. Μη ισότροπες ελαστικές σταθερές Ένα στερεό χαρακτηρίζεται σαν ισότροπο όσον αφορά τις ελαστικές του σταθερές, όταν οι συντελεστές ελαστικών ιδιοτήτων αυτού είναι ανεξάρτητες της κατευθύνσεως. Αυτό µπορεί να ελεγχθεί πειραµατικά, καθορίζοντας αν η ταχύτητα του ήχου εξαρτάται από την διεύθυνση διάδοσης ή αν η µέτρηση του µέτρου ελαστικότητας (π.χ. µιας ράβδου) εξαρτάται από την κατεύθυνση κοπής της. Κάτι τέτοιο δεν έχει σχέση µε την οπτική ισοτροπία, γιατί ισοτροπία στην ελαστικότητα δεν είναι η ίδια µε την ισοτροπία στην οπτική ορυκτολογία. Ένας κυβικός κρύσταλλος, όπως για παράδειγµα το NaCl, ενώ είναι ανισότροπος σχετικά µε τις ελαστικές ιδιότητες του, και ισοτροπικός όσον αφορά τις οπτικές του ιδιότητες. Στην πράξη, η µετρούµενη ταχύτητα του ήχου µπορεί να διαφέρει πολύ ανάλογα µε την διεύθυνση µέτρησης σε πολλούς κυβικούς κρυστάλλους. Τα είδη και ο αριθµός των ελαστικών σταθερών όπου πρέπει να ληφθούν υπόψη σε µη ισότροπα σώµατα διαφέρουν ανά περίπτωση. Για παράδειγµα, ένας κυβικός κρύσταλλος έχει τρεις ανεξάρτητες ελαστικές σταθερές c 11 c 44 και c 12. Συγκρίνοντας τις ελαστικές σταθερές ενός κυβικού κρυστάλλου µε ένα ισότροπο υλικό, το σηµαντικό σηµείο είναι ότι η c 11 αναπαριστά τη σταθερά του διαµήκους κύµατος (L) και όχι το µέτρο ελαστικότητας (E). Οι συντελεστές ελαστικών ιδιοτήτων c 44 και c 11 αντιστοιχούν στο µέτρο διάτµησης. Στην πραγµατικότητα υπάρχουν δύο µέτρα διάτµησης που αναφέρονται στις εξισώσεις κυµάτων για ισότροπα υλικά, τα οποία είναι ίσα σε µέγεθος (αν και συνήθως αναφέρεται ότι υπάρχει µόνο ένα µέτρο διάτµησης για ισότροπα υλικά). Ένα από τα µέτρα διάτµησης σε ένα κυβικό κρύσταλλο ορίζεται ως c 44 και το άλλο ορίζεται ως ½ (c 11 -c 12 ). Όταν η τιµή του c 44 πλησιάζει κοντά στην τιµή του ½ (c 11 -c 12 ), για όλες τις κατευθύνσεις στο υλικό, ένας κυβικός κρύσταλλος λέγεται ότι είναι σχεδόν ισότροπος. Αν κάποιος θεωρήσει σαν κεντρικές δυνάµεις µεταξύ των ατόµων σε ένα στερεό, τις ίδιες όπως και στο ιοντικό µοντέλο στερεών, και θεωρήσει ότι κάθε άτοµο είναι ένα κρυσταλλογραφικό κέντρο συµµετρίας, µπορεί να αποδειχτεί ότι η σταθερά διάτµησης του πλέγµατος κρυσταλλικής δοµής, καθορίζεται από τη σχέση Cauchy: c 11 = c 44. Η σχέση αυτή, χρησιµοποιείται µερικές φορές ως µέθοδος διάκρισης οµοιοπολικών και ιοντικών δεσµών. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΛΙΚΩΝ - 13 -

Το NaCl και το MgO είναι για παράδειγµα κυβικοί κρύσταλλοι. Η σχέση Cauchy ισχύει για το NaCl, αλλά αποκλίνει (κατά πολύ µάλιστα) στην περίπτωση του MgO, το οποίο έχει έναν ισχυρό οµοιοπολικό χαρακτήρα. Σε κυβικά στερεά, η σχέση Cauchy µπορεί να ικανοποιηθεί µόνο όταν ο λόγος Poisson είναι 0.25. Η ύπαρξη δύο µέτρων διάτµησης στους κυβικούς κρυστάλλους προκύπτει από τους δυο διαφορετικούς τρόπους µε τους οποίους ένα στερεό µπορεί να παραµορφωθεί, ενώ ταυτόχρονα διατηρεί τον όγκο του σταθερό. Κατά τον πρώτο τρόπο, πρέπει να αλλάξει η γωνία µεταξύ των πλευρών µιας κυψελίδας, αλλά να διατηρηθεί το µήκος των πλευρών σταθερό. Κατά τον δεύτερο, πρέπει να διατηρηθούν οι γωνίες µεταξύ των πλευρών σταθερές, αλλά να εξασφαλιστεί ότι ο όγκος που χάνεται πιέζοντας παράλληλες έδρες, κερδίζεται επεκτεινόµενο σε άλλα ζεύγη παράλληλων εδρών. Κατά τον πρώτο τρόπο, εµπλέκεται το µέτρο c 44. Κατά τον δεύτερο τρόπο, η διατµητική παραµόρφωση εµπλέκει δύο κάθετες διευθύνσεις και αυτό δηµιουργεί δύο σταθερές. Η µία είναι η c 11, (πιέζοντας κατά µήκος 1 και εκτείνοντας κατά µήκος 1) και η άλλη η c 12, (πιέζοντας κατά µήκος 1 και εκτείνοντας κατά µήκος 2). Ενώ ούτε η c 11 ούτε η c 12 είναι από µόνες τους διατµητικές, η συνιστώσα τους προκαλεί διάτµηση. 8 Σε ένα ισότροπο στερεό, και οι δυο µέθοδοι παραµόρφωσης έχουν το ίδιο αποτέλεσµα, επειδή χρειάζεται µόνο µια περιστροφή ώστε να οδηγηθούµε από τον έναν ορισµό στον άλλο. Αυτή η κατάσταση καθορίζεται από την συνθήκη ότι το µέτρο διάτµησης είναι ανεξάρτητο της κατεύθυνσης. Λαµβάνοντας υπόψη κρυσταλλογραφικές µορφές µε συµµετρία µικρότερη του κυβικού συστήµατος, ο αριθµός των ελαστικών σταθερών αυξάνει. 1.6. Σχέση εγκάρσιας και διαµήκους ταχύτητας κυµάτων µε τις ελαστικές σταθερές. Στα στερεά σώµατα η ταχύτητα διάδοσης των ηχητικών κυµάτων εξαρτάται από το είδος της κυµατοµορφής και από τις ιδιότητες του στερεού σώµατος που προαναφέρθηκαν, την ελαστικότητα, την πυκνότητά του και τον λόγο Poisson. Από την βιβλιογραφία 9-11 έχουµε τις παρακάτω σχέσεις που µας δίνουν τις τιµές της ταχύτητας για τα διαµήκη και τα εγκάρσια ηχητικά κύµατα αντίστοιχα: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΛΙΚΩΝ - 14 -

( 1 ν ) E υl = ιαµήκης ταχύτητα ρ (1 + ν )(1 2ν ) G E 1 υ S = = Εγκάρσια ταχύτητα ρ ρ 2(1 + ν ) Ο εκθέτης, τονίζει ότι οι σχέσεις αυτές ισχύουν για δείγµατα µεγάλου µήκους. Στη παρούσα διατριβή, επειδή για τα όλα τα δείγµατα τα οποία χρησιµοποιήθηκαν ισχύει ότι l/d >1, µπορούν να εφαρµοστούν οι παραπάνω τύποι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΛΙΚΩΝ - 15 -

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΥΠΕΡΗΧΟΥΣ 2.1. Εισαγωγή Ο προσδιορισµός της ταχύτητας διαδόσεως ενός ακουστικού παλµού, δείχνει φαινοµενικά ότι είναι ένα απλό ζήτηµα. Στην πράξη όµως µια απ ευθείας µέτρηση του µήκους του δείγµατος µε µέτρηση του χρόνου διαδόσεως ενός ακουστικού κύµατος ή παλµού είναι µια σχετικά πρόσφατη επιτυχής µεθοδολογία. Η δυσκολία οφείλεται κυρίως στην ακριβή µέτρηση πολύ µικρών χρονικών διαστηµάτων. Παραδείγµατος χάρη για ένα τυπικό κεραµικό υλικό όπως το τούβλο, η διαµήκης ταχύτητα είναι περίπου 1 km/s 12. Για ένα µήκος δείγµατος που είναι περίπου 5 cm, ο χρόνος διαδροµής ή ο χρόνος που απαιτείται από ένα κύµα για να διαδοθεί από µια άκρη του δείγµατος στην άλλη είναι 5,5 µs. Εποµένως για να επιτύχουµε µια ακρίβεια 0,1% απαιτείται µια ανάλυση φάσµατος τουλάχιστον 5,5 µs. Η δυνατότητα επιτεύξεως αυτής της ανάλυσης περιπλέκεται περισσότερο από το γεγονός ότι ο λόγος του σήµατος ως προς τον θόρυβο είναι µικρός και έτσι η ποιότητα του σήµατος χαµηλώνει λόγω της διαχυτικής φύσεως του δείγµατος. Η δυνατότητα µετρήσεως αυτών των χρονικά καθυστερηµένων σηµάτων είναι στενά συνδεδεµένη µε τις επιτεύξεις που έγιναν τα τελευταία χρόνια σχετικά µε την βελτίωση ηλεκτρονικών εξαρτηµάτων και την σχεδίαση των κυκλωµάτων. Κυκλώµατα µε δυνατότητα αποκρίσεως σε εξαιρετικά ταχείς χρόνους ανόδου σήµατος, µε υψηλούς ρυθµούς µετρήσεως και µε ικανοποιητικό εύρος, αλλά χαµηλή συχνότητα αποκρίσεως και υψηλή ευαισθησία, απαιτούνται σαν προϋποθέσεις για συσκευές προσδιορισµών της ταχύτητας διαδόσεως σε υλικά. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΥΠΕΡΗΧΟΥΣ - 16 -

Σήµερα είναι δυνατή η αγορά και η προµήθεια εξαρτηµάτων σειράς και είναι δυνατή η κατασκευή - σύµφωνα µε τις απαιτήσεις - της πλέον εξεζητηµένης συσκευής µε δυνατότητα πολύ µεγάλης ακρίβειας, ενώ όχι πολύ παλαιότερα ο ερευνητής που ενδιαφερόταν για τον προσδιορισµό των ελαστικών ιδιοτήτων των υλικών, έπρεπε να είναι ταυτοχρόνως και πεπειραµένος στην γνώση των ηλεκτρονικών κατασκευών. Στις παραγράφους που ακολουθούν θα αναπτυχθούν οι διάφορες τεχνικές που χρησιµοποιήθηκαν και χρησιµοποιούνται σήµερα. Προσφέρεται µε αυτόν τον τρόπο το πλεονέκτηµα της παρουσιάσεως συσκευών που χρησιµοποιούνται σε ένα ευρύ φάσµα µεθόδων, αρχίζοντας από τις απλούστερες αλλά πλέον άµεσες µεθόδους, µέχρι τις πλέον εξελιγµένες ακριβείς αλλά και πολύ πιο πολύπλοκες τεχνικές. Μπορούµε να ταξινοµήσουµε τις µεθόδους ως υπαγόµενες σε τρεις κατηγορίες : 1. Μεθόδους που στηρίζονται σε µετρήσεις χρόνου διελεύσεως. 2. Μεθόδους µε παλµό και ηχώ. 3. Μεθόδους που κάνουν χρήση του υπερηχητικού συµβολόµετρου. Σηµειώνεται εδώ ότι δεν έγινε προσπάθεια να εξαντλήσουµε πλήρως την υπάρχουσα βιβλιογραφία, αφού η µέθοδος που χρησιµοποιήσαµε είναι η µέθοδος µε την µέτρηση του χρόνου διελεύσεως, την οποία και αναπτύσσουµε παρακάτω. Εξαιρετικές µελέτες οι οποίες αναφέρονται σε µεθόδους µέτρησης του χρόνου διελεύσεως έχουν γραφεί από τους McShimin 13, Anderson και Leebermann 14. 2.2. Μέθοδος µέτρησης χρόνου διελεύσεως Η παλαιότερη έρευνα, βασιζόµενη στην απ ευθείας µέτρηση του χρόνου διελεύσεως ακολούθησε τα βήµατα της αναπτύξεως του radar. Για την αρχική έρευνα οι συσκευές που χρησιµοποιήθηκαν ήταν: συσκευή radar, κυκλώµατα χρονισµού και γεννήτριες παλµού. Ένα γραµµικό διάγραµµα πρωτοποριακής για την εποχή της διατάξεως που αναπτύχθηκε από την αµερικάνικη εταιρεία Hughes & Co. 15,16 παρουσιάζεται στο σχήµα 2.1. που ακολουθεί : ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΥΠΕΡΗΧΟΥΣ - 17 -

Σχήµα 2.1. Γραµµικό διάγραµµα της διάταξης που ανέπτυξε η εταιρία Hughes & Co Το βασικό κύκλωµα χρονισµού που χρησιµοποιήθηκε τότε, ήταν µε παλµογράφο TS100/AP ο οποίος διαθέτει ταχύτητα κυκλικής σαρώσεως σήµατος παλµού 12,836 µs/περιστροφή, προερχοµένης από κρύσταλλο χαλαζία 80,86 KΗz που χρησίµευε για την παροχή του παλµού σκανδαλισµού για την παλµογεννήτρια. ιοχετεύονται παλµοί σε κρυστάλλους χαλαζία Χ-κοπής (διαµήκους κοπής) στα άκρα του δείγµατος. Το σήµα καθυστερηµένο λόγω της διέλευσής του µέσα από το δείγµα λαµβάνεται από ένα παρόµοιο κρύσταλλο που βρίσκεται στο αντίθετο άκρο. Το σήµα εξόδου του δεύτερου αυτού κρυστάλλου εµφανίζεται στους παλµογράφους και µετράται ο χρόνος αφίξεως του παλµού. Με αυτήν την διάταξη επιτυγχάνεται ακρίβεια 0,03µs ή περίπου 1% µε βάση το προηγούµενο παράδειγµα. Ο χρόνος αφίξεως του καθυστερηµένου σήµατος προσδιορίζεται σε συσχετισµό µε την παρατηρηµένη έναρξή του και η ακρίβεια αυτής όπως και των παρόµοιων µεθόδων περιορίζεται κυρίως από την δυνατότητα ανιχνεύσεως της πρώτης κινήσεως καθώς προβάλλει από το επίπεδο θορύβου. Αυτή η µέτρηση χρονικής καθυστερήσεως (t) του δείγµατος, (ή ακριβέστερα η καθυστέρηση µέσω του δείγµατος, του συνδετικού υλικού, του κρυστάλλου και των ηλεκτρονικών εξαρτηµάτων), χρησιµοποιείται στον υπολογισµό του διαµήκους κύµατος. εν πρόκειται για την ταχύτητα στήλης, που σχετίζεται µε το µέτρο ελαστικότητας αλλά µε τις σταθερές Lamé (λ και G) για ισότροπο µέσο. H ταχύτητα αυτή, σχετίζεται µε το µέτρο ελαστικότητας όγκου και διατµήσεως µε βάση την σχέση: 1 4 υ l = B + G 3 ρ όπου Β = µέτρο ελαστικότητας όγκου G = µέτρο διάτµησης και ρ = πυκνότητα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΥΠΕΡΗΧΟΥΣ - 18-1 2

Ο προσδιορισµός της εγκάρσιας ταχύτητας καθορίζει το G και εποµένως όλες οι άλλες ελαστικές σταθερές του ισότροπου στερεού καθορίζονται από την σχέση του πίνακα 1.1. Η ταχύτητα πρώτης αφίξεως των διαµήκων κυµάτων βρέθηκε ότι είναι ανεξάρτητη του µήκους και της διαµέτρου του δείγµατος. Πάντως παρατηρήθηκε ότι µια σειρά σύντοµων αφίξεων ήταν ανεξάρτητη του µήκους αλλά εξαρτηµένη από την διάµετρο της ράβδου. Αυτές οι αφίξεις ήταν αποτέλεσµα της µετατροπής της φάσης των διαµήκων κυµάτων που λάµβαναν χώρα στα όρια (σύνορα) του δείγµατος. Η πρόσθια καθυστέρηση t που εισάγεται από κάθε σειρά µετατροπής φάσης, δίνεται από την εξίσωση: 2 υl υ t = d υlυ s 2 s 1 2 Από την παρατήρηση του χρόνου αφίξεως του κατ ευθείαν διευρυµένου κύµατος και της µετατροπής φάσης του κύµατος είναι δυνατός ο προσδιορισµός ταχυτήτων διαµήκους και εγκάρσιου κύµατος. Για πολλά υλικά, αυτό το φαινόµενο προξενεί αβεβαιότητα, λόγω της διαχυτικής φύσεως του µέσου. Παρόλα αυτά η µέθοδος αυτή έχει εφαρµοστεί µε µεγάλη επιτυχία για την ταυτόχρονη µέτρηση των διαµήκων και εγκαρσίων κυµάτων σε βράχους 14 κάτω από συνθήκες περιβάλλοντος και σαν συνάρτηση της θερµοκρασίας για τον προσδιορισµό των ελαστικών ιδιοτήτων του σιδήρου, του αλουµινίου και του λιωµένου πυριτίου. Εκτός δε αυτών, η µέθοδος έχει χρησιµοποιηθεί από τον Araki 17 για την µέτρηση των ιδιοτήτων µεµονωµένων κρυστάλλων κυβικού συστήµατος. Σφάλµατα µετρήσεως µε αυτή τη µέθοδο προκύπτουν κι όταν ο χρόνος ανόδου του χρησιµοποιηµένου παλµού είναι χαµηλός ή όταν το δείγµα εµφανίζει ισχυρή απόσβεση στις υψηλές συχνότητες. Σε αυτές τις περιπτώσεις το µέγεθος της πρώτης κινήσεως του λαµβανοµένου σήµατος είναι δύσκολο να προσδιορισθεί. Εάν έχουµε διάχυση του διαµήκους κύµατος, τότε θα καταστήσει αβέβαιες τις δευτερεύοντες αφίξεις και απαιτείται ένας ιδιαίτερος τρόπος για τον προσδιορισµό της εγκάρσιας ταχύτητας. Αυτό το πρόβληµα αντιµετωπίζεται εύκολα µε µια αλλαγή του κρυστάλλου χαλαζία κοπής-υ ή AC για τους µετατροπείς οδηγήσεως και λήψεως. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΥΠΕΡΗΧΟΥΣ - 19 -

Αντίθετα µε τις άλλες δυναµικές τεχνικές το πλεονέκτηµα των µεθόδων αυτών µε την χρησιµοποίηση κατά την εκποµπή παλµού είναι ότι το παραγόµενο κύµα συνήθως διαδίδεται χωρίς δυσκολία µέσω υλικών υψηλής απόσβεσης όπως είναι τα πορώδη κεραµικά. Ο Birch 18 τροποποίησε την τεχνική που περιγράφτηκε προηγουµένως χρησιµοποιώντας µια βαθµολογηµένη γραµµή καθυστερήσεως υδραργύρου προκειµένου να προσδιορίσει την ταχύτητα διαδόσεως ενός παλµού µέσω του δείγµατος. Η διάταξη φαίνεται στο σχήµα 2.2.: Σχήµα 2.2. Γραµµικό διάγραµµα της διάταξης που ανέπτυξε o Birch. Η ταχύτητα προσδιορίζεται ως εξής: ένας παλµός χαµηλής συχνότητας επαναλήψεως (300-1000 Hz) από την παλµογεννήτρια εφαρµόζεται ταυτόχρονα σε µετατροπείς (transducers) π.χ. χαλαζία κοπής-χ προσκολληµένο στο δείγµα και στην γραµµή στερήσεως υδραργύρου. Η χαµηλή συχνότητα επαναλήψεως των παλµών, επιβάλλεται από την ανάγκη της πλήρους αποσβέσεως του συρµού (ακολουθίας) παλµών που ακολουθεί από τη λήψη του παλµού πριν σταλεί το επόµενο σήµα. Ένα σήµα σκανδαλισµού από την γεννήτρια συγχρονίζει την οριζόντια σάρωση του παλµογράφου µε την γεννήτρια παλµών. Επειδή ο υδράργυρος δεν κάνει απόσβεση του σήµα πέραν της ευαισθησίας των κάθετων ενισχυτών του παλµογράφου, η έξοδος του µετατροπέα λήψεως εφαρµόζεται κατ ευθείαν στον δίαυλο Α της µονάδας διπλού ίχνους. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΥΠΕΡΗΧΟΥΣ - 20 -

Το σήµα µέσω του δείγµατος είναι όµως δυνατόν να αποσβεσθεί σε µεγάλο βαθµό και συχνά είναι απαραίτητη προενίσχυση του πριν αυτό οδηγηθεί στον δίαυλο Β των κάθετων ενισχυτών. Η βάση χρονισµού του παλµογράφου ρυθµίζεται έτσι που τα εκπεµπόµενα και τα λαµβανόµενα σήµατα να είναι ορατά στο ίχνος Β. Οι δύο γραµµές βάσεως αλληλοκαλύπτονται και το µήκος της στήλης υδραργύρου ρυθµίζεται ούτως ώστε το πρώτο ίχνος της εισερχόµενης παλµοσειράς να ευθυγραµµίζεται µε την αρχική άνοδο του εφαρµοζόµενου παλµού. Το µήκος της στήλης αυξάνεται τώρα µέχρις ότου το σήµα από την στήλη υδραργύρου ευθυγραµµίζεται µε το πρώτο ίχνος της παλµοσειράς που προέρχεται από το δείγµα. Η διαφορά µεταξύ του τοπικού και αρχικού µήκους ( l) της στήλης υδραργύρου (όπως προσδιορίζεται από το µικρότερο µέχρι 0,001 του εκατοστού) αποτελεί την βάση για τον υπολογισµό της ταχύτητας. Ο χρόνος διελεύσεως µέσω του δείγµατος είναι το γινόµενο της διαφοράς του µήκους και της βαθµονοµηµένης ταχύτητας της στήλης υδραργύρου υ Hg. Η ταχύτητα δίνεται από τον τύπο: όπου l = το µήκος του δείγµατος. υ = l Hg l Με τον τρόπο αυτό, είναι δυνατό να επιτευχθεί ακρίβεια περίπου 0,1% και διακριτική ικανότητα 20ns. Τέτοιες απλές συσκευές επιτρέπουν ένα οξύ καθαρό ίχνος παλµογράφου που επιτυγχάνεται µε τον έλεγχο της εστιάσεως καθώς και µε µεταβαλλόµενα επίπεδα σήµατος ούτως ώστε οι µορφές των χρόνων ανόδου να είναι παρόµοιες βοηθώντας έτσι την επίτευξη της µέγιστης δυνατής ακριβείας. Η ακρίβεια δεν είναι σαφώς καθορισµένη δεδοµένου ότι το ίχνος του σήµατος δεν ανέρχεται από το επίπεδο θορύβου µε άπειρη κλίση αλλά αρχίζει από µηδενική κλίση και στην συνέχεια ανέρχεται γρήγορα µε κοίλη καµπύλη. Έτσι το ακριβές χρονικό σηµείο εκκινήσεως του πρώτου ίχνους δεν προσδιορίζεται σαφώς παραµένει κατά τον προσδιορισµό κάποια ασάφεια. Αυτός ο παράγοντας αποτελεί έναν από του σοβαρότερους περιορισµούς στην ακρίβεια των µετρήσεων. Ένας επιπλέον περιορισµός της ακριβείας προέρχεται από την χρονική υστέρηση που προέρχεται από την επίδραση του συνδετικού υλικού (κόλλα) που υπάρχει µεταξύ του δείγµατος και του µετατροπέα καθώς και από τους ίδιους τους µετατροπείς, (τα σφάλµατα όµως αυτά είναι πολύ µικρά, ανέρχονται ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΥΠΕΡΗΧΟΥΣ - 21 -

περίπου από 10 έως 20 ns δηλαδή δίνουν σφάλµατα µικρότερα από την ακρίβεια της µεθόδου). Τέλος, σφάλµατα µετρήσεως του µήκους του δείγµατος καθώς και αυτά που αφορούν την βαθµονόµηση της στήλης υδραργύρου µειώνουν επιπλέον την ακρίβεια της µεθόδου. Αργότερα οι Mattaboni και Schzreiber 19 περιέγραψαν νέα µέθοδο µετρήσεως µε εκποµπή παλµών βελτιώνοντας την πιστότητα και την ακρίβεια. Η διάταξη φαίνεται στο σχήµα 2.3. : Σχήµα 2.3. (α) Γραµµικό διάγραµµα διάταξης συσκευών για µετρήσεις µε την µέθοδο του χρόνου διελεύσεως. (β) Σχηµατική απεικόνιση των σηµάτων του παλµογράφου (c) Aπεικόνιση της χρονικής καθυστέρησης όταν χρησιµοποιείται συνδυασµός δειγµάτων µικρού και µεγάλου µήκους. Η έξοδος ενός ταλαντωτή ακριβούς µεταβλητής συχνότητας, µετά από κατάλληλη διαίρεση χρησιµοποιείται για τον σκανδαλισµό µιας γεννήτριας παλµών Hewlett Packard (ή άλλης παρόµοιας). Ο σκανδαλισµός εξόδου της γεννήτριας σήµατος χρησιµοποιείται για τον συγχρονισµό της οριζοντίου σαρώσεως ενός παλµογράφου Tectronix 535Α εφοδιασµένου µε πρόσθετη µονάδα τύπου AC διπλού ίχνους. Ο παλµός εξόδου της γεννήτριας σήµατος έχει σχέση συχνότητας γνωστού υποπολλαπλασίου µε την συχνότητα του VFO (ταλαντωτή µεταβλητής συχνότητας). ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΥΠΕΡΗΧΟΥΣ - 22 -

Η συχνότητα του ταλαντωτή µεταβλητής συχνότητας (VFO) µετριέται µε ένα συχνόµετρο που έχει ακρίβεια 1 µέρος στα 10 8 έτσι ώστε το λάθος του οργάνου για την µέτρηση της περιόδου (ή της χρονικής υστερήσεως) να είναι αµελητέα µικρό. Οι παλµοί διοχετεύονται µε διακόπτη χειρός (αποµόνωση 90dB) εναλλακτικά είτε σε ένα πιεζοκρύσταλλο-µετατροπέα κολληµένο στο ένα άκρο του δείγµατος, ή απ ευθείας στον παλµογράφο, όπου µετά από κατάλληλη διάταξη υποβιβασµού στάθµης γίνεται ορατό στο ίχνος Β του παλµογράφου. Η πρώτη άφιξη του παλµού που εκπέµπεται µέσω του δείγµατος, λαµβάνεται από την αντίθετη άκρη από έναν παρόµοιο µετατροπέα εµφανίζεται δε στο ίδιο ίχνος του παλµογράφου (δηλαδή το Β). Το σήµα από τον ταλαντωτή µεταβλητής συχνότητας (VFO) διέρχεται από κυκλώµατα µορφοποιήσεως του παλµού και διοχετεύεται στη συνέχεια στο δεύτερο ίχνος του παλµογράφου (το Α). Η διάταξη προσφέρει µια συνεχώς µεταβαλλόµενη µέτρηση της χρονικής υστερήσεως µε ακρίβεια ίση µε αυτή του συχνόµετρου. Η αρχή της διάταξης βασίζεται στο ότι το χρονικό διάστηµα µεταξύ του αρχικού παλµού και του ληφθέντος σήµατος καθορίζεται από την ρύθµιση του ταλαντωτή µεταβλητής συχνότητας (VFO) σε τέτοια συχνότητα εξόδου ώστε η περίοδος ενός µήκους κύµατος να είναι ακριβές υποπολλαπλάσιο της υπό µέτρηση χρονικής υστερήσεως. Η µέτρηση της χρονικής υστερήσεως (σχήµα 2.3.) γίνεται αν ακολουθήσουµε τα παρακάτω βήµατα : 1. Εµφανίζουµε το λαµβανόµενο από το δείγµα σήµα στο ίχνος Β του παλµογράφου (διακόπτης στη θέση 1). Με τη βοήθεια των κυκλωµάτων σχηµατοποιήσεως του παλµού και ενισχυτή του παλµογράφου, ρυθµίζουµε το σχήµα της αρχικής ανυψώσεως της συχνότητας χρονισµού (που φαίνεται στο ίχνος Α) να µοιάζει µε τον αρχικό παλµό του λαµβανοµένου σήµατος. Ευθυγραµµίζουµε τα δύο ίχνη, φέροντας το ένα επί του άλλου και ρυθµίζοντας την συχνότητα του ταλαντωτή µεταβλητής συχνότητας (VFO) ούτως ώστε να συµπίπτουν ακριβώς τα σήµατα. 2. Καθιστούµε ορατό τον αρχικό παλµό στο ίχνος Β (διακόπτης στην θέση 2) µεταβάλλοντας το οριζόντιο ίχνος σε προηγούµενο χρόνο. Μετράµε τον αριθµό κύκλων συχνότητας χρονισµού µεταξύ του αρχικού παλµού και της καθυστερηµένης αφίξεως µέσω του δείγµατος. Αυτή είναι η πολλαπλότητα Μ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΥΠΕΡΗΧΟΥΣ - 23 -

3. Χρησιµοποιώντας τον υποβιβαστή στάθµης ρυθµίζουµε το σχήµα του αρχικού παλµού έτσι ώστε να συµπίπτει µε το σχήµα παλµού της συχνότητας χρονισµού και συνεπιθέτουµε (το ένα πάνω στο άλλο) τα δύο ίχνη ρυθµίζοντας τον έλεγχο θέσεως παλµού της γεννήτριας παλµών. Η παραπάνω σειρά βηµάτων ακολουθείται µέχρις ότου η ρύθµιση του ταλαντωτή µεταβλητής συχνότητας (VFO) να µην µεταβάλλει την σύµπτωση των παλµών χρονισµού και αρχικού. Υπό αυτές τις συνθήκες η χρονική υστέρηση µέσω του δείγµατος δίδεται από τον τύπο: t = M F t' όπου t = πραγµατική υστέρηση δείγµατος. F = συχνότητα ταλαντωτή µεταβλητής συχνότητας. Μ = η πολλαπλότητα όπως προσδιορίζεται παραπάνω. t = σταθερές υστερήσεις προερχόµενες κυρίως από το σύστηµα µετατροπέας συνδετικό υλικό δείγµα. εδοµένου ότι τα συγκρινόµενα σήµατα ακολουθούν τον ίδιο δρόµο, οι υστερήσεις που εισάγονται από τις ηλεκτρονικές συσκευές (µετρήσεως ελέγχου) είναι αµελητέες. Το µέγεθος του t είναι µικρό και εξαρτάται από την µηχανική εµπέδηση του δείγµατος και του µετατροπέα. Ο Anderson 12 κατά την εφαρµογή της παραπάνω τεχνικής έκανε µετρήσεις µε δείγµα κορουνδίου Al 2 O 3 (Lucalox) που προµηθεύτηκε από την General Electric. Το υλικό αυτό επελέγη διότι η ποιότητα του επέτρεπε σύγκριση του αποτελέσµατος µε το αποτέλεσµα άλλων τεχνικών. Έγιναν µετρήσεις και για την διαµήκη και την εγκάρσια ταχύτητα, χρησιµοποιώντας δείγµατα µικρού και µεγάλου µήκους µε την µέθοδο που αναπτύξαµε παραπάνω. Τα αποτελέσµατα δείχνουν ότι η ταχύτητα είναι ανεξάρτητη της συχνότητας για αυτό το δείγµα. Η ακρίβεια µετρήσεως µε εκποµπή παλµών για το βραχύ δείγµα ήταν 0,1% και για το µακρύ 0,05%. Αυτό αντικατοπτρίζει την ακρίβεια διαφόρων ανεξαρτήτων σειρών µετρήσεων. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΥΠΕΡΗΧΟΥΣ - 24 -

Για τη δεδοµένη σειρά µετρήσεων ή επαναληψιµότητα (δηλαδή η δυνατότητα συγχρονισµού παλµών εκκινήσεως αναφοράς και δείγµατος) ήταν 0,025. Σηµειώθηκε προηγουµένως ότι ένα µικρό σφάλµα συστήµατος t εισέρχεται λόγω των φαινοµένων που εµφανίζονται στα όρια του δείγµατος. Αυτό δεν προκαλεί σοβαρό σφάλµα όταν µετράµε δείγµα µεγάλου µήκους αλλά προκαλεί σφάλµα περίπου 1% στην µέτρηση χρονικής υστερήσεως των κοντών δειγµάτων. Μια συχνά χρησιµοποιούµενη µέθοδος αντιµετωπίσεως των σφαλµάτων που εισάγονται από σταθερές υστερήσεις είναι να γίνονται µετρήσεις σε µια σειρά δειγµάτων διαφόρων µηκών και να γίνεται προέκταση στη γραφική παράσταση του χρόνου υστερήσεως σε µηδενικό µήκος, αποκλείοντας µε αυτόν τον τρόπο το λάθος του συστήµατος. Μια εναλλακτική διάταξη χρησιµοποιεί ένα µικρού µήκους δείγµα (1 cm π.χ.) σαν συγκριτικό µέσο, όπου το µικρού µήκους δείγµα αντικαθιστά την απ ευθείας διαδροµή (θέση διακόπτη 2). Παρόµοιοι πιεζοκρύσταλοι συγκολλούνται στα άκρα µικρού µήκους δείγµατος και δεδοµένου ότι αυτό έχει την ίδια ακουστική εµπέδηση, τα φαινόµενα που εµφανίζονται στα άκρα του δείγµατος, είναι τα ίδια µε αυτά ενός δείγµατος µεγάλου µήκους και αφαιρούνται. Οι χρόνοι υστέρησης για το δείγµα του µικρού και το δείγµα του µεγάλου µήκους είναι (βλ. σχήµα 2.3.-c): t t M 1 1 = F1 M F t' 2 2 = t' t 3 = M F 1 1 M F 2 2 όπου t 1, Μ 1,F 1 = Μεταβλητές µακρού δείγµατος. t 2, Μ 2,F 2 = Μεταβλητές κοντού δείγµατος. t 3 = διαφορά υστέρησης µεταξύ µακρού και κοντού δείγµατος. t = σταθερές υστερήσεις του συστήµατος. Το σηµαντικό σηµείο κατά τη µέθοδο αυτή, είναι ότι το σφάλµα t έχει εξαλειφθεί (σχήµα 2.3.c). Στην πρακτική εφαρµογή, η έναρξη κινήσεως του σήµατος υστέρησης από την διαδροµή του µέσω του µικρού µήκους δείγµατος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΥΠΕΡΗΧΟΥΣ - 25 -

χρησιµοποιείται σαν χρόνος αναφοράς αντί του αρχικού παλµού από την γεννήτρια παλµών. Το µήκος διαδροµής, προκειµένου να υπολογισθεί η ταχύτητα, είναι η διαφορά µήκους διαδροµής των δύο δειγµάτων. Αποτελέσµατα που επιτυγχάνονται µε την χρήση αυτής της µεθόδου δίνουν τιµές για υ l = 10,830 km/s και για υ s = 6,367 km/s και συµφωνούν ουσιαστικά µε αποτελέσµατα από την µέθοδο αλληλοεπιθέσεως των παλµών. Η µέθοδος εκποµπής παλµού έχει χρησιµοποιηθεί µε επιτυχία σε µεγάλη ποικιλία υλικών. Η τεχνική είναι απλή και απαιτείται µόνο λίγος χρόνος για την κατεργασία των επιφανειών στα άκρα του δείγµατος. Στο σχήµα 2.4 βλέπουµε την απόκριση του µετατροπέα λήψεως σε σχέση µε την άφιξη ενός διαµήκους κύµατος σε ένα δείγµα 20. Σχήµα 2.4. Σήµα παλµογράφου (α) πολύπλοκος συρµός σήµατος πρώτης επιστροφής (β) το σήµα µετά το φιλτράρισµα του σήµατος Η µακριά σειρά παλµών που ακολουθεί την αρχική κίνηση και την σάρωση του σήµατος, είναι αποτέλεσµα αρκετών παραγόντων. Ο παλµός εισόδου κατά την άνοδό του είναι πλούσιος σε υψηλές συχνότητες (όσο πιο απότοµος τόσο υψηλότερες συχνότητες περιέχει) οι οποίες εκπέµπονται µέσω του δείγµατος. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΥΠΕΡΗΧΟΥΣ - 26 -

Εάν το δείγµα είναι διαχυτικό, οι συχνότητες ταξινοµούνται σύµφωνα µε την ταχύτητα διαδόσεως µέσω του δείγµατος και η πρώτη κίνηση αντιστοιχεί στην συχνότητα που διαδίδεται ταχύτερα. Οι συχνότητες που φθάνουν αργότερα συµβάλλουν µεταξύ τους και διαµορφώνουν την µορφή της κυµατοσειράς. Η ενέργεια που φθάνει στα άκρα του δείγµατος, οι πολλαπλές ανακλάσεις από τα άκρα του δείγµατος και η ενέργεια που διασκορπίζεται από φαινόµενα περίθλασης, συµβάλλει στην τελική µορφή της κυµατοσειράς. Γενικώς συνιστάται, ο λόγος µήκους του δείγµατος προς την διάµετρό του να είναι µικρότερος του 10 και κατά προτίµηση µικρότερος του 5 για την ελαχιστοποίηση της απώλειας της ενέργειας του σήµατος λόγω του τρόπου µετατροπής και ανακλάσεων. Αυτά τα αποτελέσµατα γίνονται πιο σοβαρά στις χαµηλότερες συχνότητες. Αποδεικνύεται ότι το εγκάρσιο κύµα διαδίδεται µέσω του κυλινδρικού δείγµατος µε ταχύτητα ανεξάρτητη της διαµέτρου. εν συµβαίνει όµως το ίδιο µε το διαµήκες κύµα. Η ταχύτητα διαδόσεως µέσω του δείγµατος σε αυτήν την µορφή κύµατος εξαρτάται κατά πολύ από τις συνθήκες ορίων. Οριακά, καθώς η ράβδος γίνεται λεπτότερη καταλήγει σε µια µονή αλυσίδα αντοχών και δεν υπάρχει πλάγια διασύνδεση. Για λεπτές ράβδους και λωρίδες το κύµα διαδίδεται όπως προσδιορίζεται η ταχύτητα ζώνης από τον τύπο: Όπου Ε = µέτρο ελαστικότητας ρ = πυκνότητα. υ bar Ε = ρ 1 2 Για κυλίνδρους µεγάλης διαµέτρου η ταχύτητα µε την οποία ένα εκτεταµένο κύµα διαδίδεται µέσω ενός φραγµένου µέσου είναι συνάρτηση του λόγου της διαµέτρου προς το µήκος κύµατος. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΥΠΕΡΗΧΟΥΣ - 27 -

Σχήµα 2.5. Ταχύτητες (µετωπική και οµάδας) από ένα εκτεταµένο κύµα σε κυλινδρικό δείγµα Ο Bancroft 21 έδειξε ότι καθώς αυξάνεται ο λόγος της διαµέτρου (α) προς το µήκος κύµατος (λ), το κύµα διαδίδεται µε την ταχύτητα οµάδος και πλησιάζει την ταχύτητα Rayleigh κύµατος επιφάνειας για παχιές ράβδους (σχετικώς µε τον λόγο α/λ µια λεπτή ράβδος αντιστοιχεί σε λόγο α/λ < 0,1). Οπωσδήποτε στα δείγµατα το εκτεταµένο κύµα φαίνεται πως διαδίδεται µε ταχύτητα που δίδεται από την λύση της εξισώσεως κινήσεως για διαµήκη κύµατα: λ + 2G υ l = ρ Με δείγµατα µεγάλης διαµέτρου σε σχέση µε το µήκος κύµατος µετράται περισσότερο η διαµήκης ταχύτητα, παρά η ταχύτητα λωρίδας. Για τυπικές ταχύτητες (µεταξύ 5 και 10 km/s) και συχνότητες έως τους 10MHz, τα µήκη κύµατος είναι της τάξεως των 100µm. Είναι φανερό από το σχήµα 2.5. ότι µια διάµετρος 0,5cm ικανοποιεί αυτές τις συνθήκες. Συµπερασµατικά, προκύπτει ότι η µέθοδος µέτρησης των ελαστικών ιδιοτήτων µε µέτρηση του χρόνου διελεύσεως η οποία αναπτύσσεται παραπάνω, δίνει αξιόπιστα αποτελέσµατα, ακολουθείται δε από πολλούς ερευνητές σε διάφορες παραλλαγές. 22-35 1 2 2.3. Πιεζοκρύσταλλοι και συνδετικά υλικά Τα πιο διαδεδοµένα πιεζοηλεκτρικά υλικά τα οποία και χρησιµοποιούνται σχεδόν αποκλειστικά σε όλες τις παραπάνω µεθόδους µετρήσεων µε υπέρηχους, είναι διαφόρων κατευθύνσεων κοπής (οι κοπής-χ είναι κατάλληλοι για διαµήκη κύµατα και οι κοπής-υ κατάλληλοι για εγκάρσια) quartz µετατροπείς (πιεζοκρύσταλλοι), οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΥΠΕΡΗΧΟΥΣ - 28 -