Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση)

Transcript

1 Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος Η ολική παραµόρφωση στερεού σώµατος στη γειτονιά ενός σηµείου, Ο, δηλαδή η συνολική παραµόρφωση ενός µικρού τµήµατος (στοιχείου) του σώµατος γύρω από το σηµείο µπορεί να αναλυθεί σε τρία µέρη: Μεταβολή του όγκου του στοιχείου (κυβική παραµόρφωση) Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση) Περιστροφή του στοιχείου

2 Σχ..4. Κυβική παραµόρφωση στοιχειώδους παραλληλεπιπέδου. Κυβική Παραµόρφωση Έστω ότι θέλουµε να µελετήσουµε την παραµόρφωση στερεού ελαστικού σώµατος στη γειτονιά τυχόντος σηµείου, Ο, του σώµατος (σχ..4). Θεωρούµε τρισορθογώνιο σύστηµα αξόνων x, x, x 3, που περνάν από το Ο και ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο όγκου V που έχει πλευρές ΟΑδx, ΟΒδx, ΟΓδx 3. Ας υποθέσουµε ότι υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάµεων συµβαίνει µεταβολή µόνο του όγκου του παραλληλεπιπέδου και ότι οι νέες θέσεις των Α, Β, Γ, είναι Α, Β, Γ, όπου ΑΑ δu, ΒΒ δu και ΓΓ δu 3. Θα είναι (όταν ΔV 0): lim δu δx u x, lim δu δx u x, lim δu 3 δx 3 u 3 x 3 Ονοµάζουµε ανηγµένες επιµηκύνσεις κατά τις διευθύνσεις των τριών αξόνων τις ποσότητες,, 33, που ορίζονται από τις σχέσεις: u x u x 33 u 3 x 3

3 Κυβική Παραµόρφωση Η κυβική παραµόρφωση παριστάνεται µε τον πίνακα ij, όπου ij. ij Η κυβική παραµόρφωση είναι τανυστής δεύτερης τάξης του οποίου µόνο τα διαγώνια στοιχεία είναι µη µηδενικά. Ονοµάζουµε ανηγµένη κυβική παραµόρφωση, θ, τη µεταβολή δv του όγκου ενός στοιχείου του σώµατος δια του αρχικού όγκου, V, του στοιχείου: θ δv V

4 Κυβική Παραµόρφωση θ δηλαδή η ανηγµένη κυβική παραµόρφωση, θ, είναι το ί χ ν ο ς του τανυστή της κυβικής παραµόρφωσης. Η ανηγµένη κυβική παραµόρφωση, θ, παραµένει αµετάβλητη κατά την αλλαγή των αξόνων και συνεπώς η ποσότητα αυτή είναι µονόµετρο µέγεθος.

5 Σχ..5. Διατµητική παραµόρφωση (µεταβολή σχήµατος) Διατµητική Παραµόρφωση Ας θεωρήσουµε το στοιχειώδες παραλληλεπίπεδο του σ χ ή µ α τ ο ς (. 4 ) κ α ι έ σ τ ω ό τ ι η τ ο µ ή τ ο υ παραλληλεπιπέδου µε το επίπεδο Οx x είναι ΟΑΔΒ. Μετά την παραµόρφωση του παραλληλεπιπέδου, το ΟΑΔΒ παίρνει τη µορφή ΟΑ Δ Β (σχ..5). Επειδή οι µεταθέσεις θεωρούνται στοιχειώδεις, µπορούµε να θεωρήσουµε τα ΑΑ και ΒΒ παράλληλα προς τους άξονες Οx και Οx, αντίστοιχα και να βάλουµε ΑΑ δu και ΒΒ δu. Εποµένως θα είναι δu lim + δu u + u δx δx x x ΔV 0 Ονοµάζουµε ανηγµένη διατµητική παραµόρφωση του σώµατος στο σηµείο κάθετα προς τον άξονα Οx 3 την ποσότητα που παριστάνεται µε το σύµβολο ή και ορίζεται από τη σχέση: u x u + x

6 Διατµητική Παραµόρφωση Γωνίες διάτµησης: Είναι οι γωνίες ΒΟΒ και ΑΟΑ. Ο πρώτος δείκτης του συµβόλου της ανηγµένης διατµητικής παραµόρφωσης παριστάνει τον άξονα που βρίσκεται το στοιχειώδες ευθύγραµµο τµήµα. Ο δεύτερος δείκτης παριστάνει τον άξονα π α ρ ά λ λ η λ α π ρ ο ς τ ο ν ο π ο ί ο πραγµατοποιείται η στοιχειώδης µετάθεση.

7 Διατµητική Παραµόρφωση Με ανάλογο τρόπο ορίζονται και οι ανηγµένες παραµορφώσεις κάθετα προς τους άξονες Οx και Οx. Αυτές δίνονται από τις σχέσεις: x u x u x u x u Η ανηγµένη διατµητική παραµόρφωση παριστάνεται µε τον πίνακα ij όπου i j ij Εποµένως: η παραµόρφωση αυτή είναι ένας συµµετρικός τανυστής δεύτερης τάξης.

8 Σχ..6. Περιστροφή στοιχειώδους ορθογωνίου. Περιστροφή Κατά την επίδραση των εξωτερικών δυνάµεων πάνω σε στερεό σώµα το στοιχείο του σώµατος γύρω από το σηµείο Ο, εκτός από την κυβική και διατµητική του παραµόρφωση, περιστρέφεται και κατά ορισµένη γωνία. Έστω ότι η τοµή του στοιχειώδους παραλληλεπιπέδου (σχ..4) µε το επίπεδο Οx x είναι ΟΑΔΒ. Μετά τη στοιχειώδη περιστροφή, το ΟΑΔΒ παίρνει τη θέση ΟΑ Δ Β (σχ..6). Θα είναι ΑΑ δu και ΒΒ -δu (η στοιχειώδης µετάθεση ΒΒ έχει κατεύθυνση προς το αρνητικό µέρος του άξονα Οx ). Θα είναι: δu lim δx ΔV 0 δu δx u x u x Ονοµάζουµε στοιχειώδη περιστροφή το σώµατος στο σηµείο Ο γύρω από τον άξονα Οx 3, κατά τη φορά που δείχνει το σχήµα (.6), την ποσότητα που παριστάνεται µε το σύµβολο ξ και ορίζεται από τη σχέση: ξ u x u x

9 Περιστροφή Η στοιχειώδης περιστροφή κάθετα προς τον άξονα Οx 3 αλλά κατά την αντίθετη φορά παριστάνεται µε το σύµβολο ξ - ξ. Με ανάλογο τρόπο ορίζονται και οι στοιχειώδεις περιστροφές ξ 3 - ξ 3 και ξ 3 - ξ 3 γύρω από τους άξονες Οx και Οx. Η περιστροφή παριστάνεται µε τον πίνακα ξ ij όπου i j. ξ ij 0 ξ ξ 3 ξ ξ 0 3 ξ ξ Εποµένως η περιστροφή του στοιχείου είναι τανυστής δεύτερης τάξης και µάλιστα αντισυµµετρικός τανυστής (αφού ξ - ξ, ξ 3 - ξ 3 και ξ 3 - ξ 3 )

10 Ολική Παραµόρφωση Η ολική παραµόρφωση είναι τανυστής δεύτερης τάξης, Ε ij, και αναλύεται σε ένα συµµετρικό τανυστή, ij, ο οποίος είναι το άθροισµα του τανυστή κυβικής παραµόρφωσης και του τανυστή διατµητικής παραµόρφωσης, και σε έναν αντισυµµετρικό τανυστή, ξ ij, ο οποίος είναι ο τανυστής περιστροφής. Δηλαδή, Ε ij ij + ξ ij Επειδή οι συνιστώσες του τανυστή περιστροφής κατά τη διάδοση των σεισµικών κυµάτων έχουν ασήµαντες τιµές αυτός συνήθως παραλείπεται και η ολική παραµόρφωση παριστάνεται από τον συµµετρικό τανυστή: ij

11 Ολική Παραµόρφωση Ο τανυστής παραµόρφωσης, ij, ως συµµετρικός τανυστής, έχει ανάλογες ιδιότητες µ αυτές που έχουν αναφερθεί για τον τανυστή τάσης: Οι τιµές των έξι συνιστωσών της ανηγµένης παραµόρφωσης σε τυχόν σηµείο Ο του σώµατος εξαρτώνται από τον προσανατολισµό του τρισορθογωνίου συστήµατος αξόνων ως προς το οποίο θεωρούµε τις συνιστώσες αυτές. Όταν, όµως, γνωρίζουµε αυτές ως προς ορισµένο σύστηµα αξόνων, µπορούµε να βρούµε τις τιµές τους σε σχέση µε οποιοδήποτε άλλο σύστηµα αξόνων. Υπάρχει ένα τρισορθογώνιο σύστηµα αξόνων που καθορίζουν τρία επίπεδα, πάνω στα οποία οι διατµητικές παραµορφώσεις είναι ίσες µε µηδέν. Οι άξονες αυτοί λέγονται κύριοι άξονες παραµόρφωσης και οι ανηγµένες επιµηκύνσεις κατά µήκος των αξόνων αυτών λέγονται κύριες ανηγµένες επιµηκύνσεις και παριστάνονται µε τα σύµβολα ε, ε και ε 3.

12 .4. Σχέση Μεταξύ Τάσης και Ανηγµένης Παραµόρφωσης Η ανηγµένη παραµόρφωση σε σηµείο τέλεια ελαστικού σώµατος καθορίζεται πλήρως από την τάση στο σηµείο αυτό για δοσµένες θερµοδυναµικές συνθήκες. Για ένα τελείως ελαστικό σώµα ισχύει ο γενικευµένος νόµος του Hook, που ορίζει ότι: Κάθε συνιστώσα τάσης σε οποιοδήποτε σηµείο τελείως ελαστικού σώµατος είναι γραµµική συνάρτηση των συνιστωσών της ανηγµένης παραµόρφωσης Η σχέση που συνδέει τις εννέα συνιστώσες τάσης µε τις εννέα συνιστώσες ανηγµένης παραµόρφωσης στη γενική περίπτωση είναι: p ij c ijkl kl k,3 l, 3 c ijkl kl Στη γενική αυτή περίπτωση υπάρχουν 8 συντελεστές αναλογίας c ijkl (i, j, k, l,,3). Οι συντελεστές αυτοί λέγονται ελαστικές σταθερές και εξαρτώνται από το υλικό του σώµατος και από τις θερµοδυναµικές συνθήκες.

13 Σχέση Μεταξύ Τάσης και Ανηγµένης Παραµόρφωσης Τα διάφορα υλικά αποκρίνονται διαφορετικά στις εφαρµοζόµενες τάσεις. Ένα υλικό υφίσταται µικρότερη ανηγµένη παραµόρφωση σε δοσµένη τάση από ότι ένα άλλο µικρότερης ακαµψίας. Η σχέση µεταξύ τάσης και ανηγµένης παραµόρφωσης δίνεται από τη θεµελιώδη εξίσωση του υλικού. Ο απλούστερος τύπος των υλικών είναι τα γραµµικά ελαστικά για τα οποία ισχύει γραµµική σχέση µεταξύ της τάσης και της ανηγµένης παραµόρφωσης. Η Γη συµπεριφέρεται ως ένα τέτοιο υλικό κατά τη διάδοση των σεισµικών κυµάτων.

14 Η υπόθεση ότι ένα υλικό είναι ελαστικό προυποθέτει ότι οι παραµορφώσεις είναι µικρές. Κατά τη διάδοση των κυµάτων χώρου, οι ανηγµένες παραµορφώσεις είναι πολύ µικρές, της τάξης του 0-9. Τιµές της ανηγµένης παραµόρφωσης µεγαλύτερες του 0-4, οδηγούν σε µη γραµµική σχέση µεταξύ αυτής και της τάσης. Αυτό γίνεται και στην περίπτωση που τα πετρώµατα σπάζουν και έχουµε τη γένεση ενός σεισµού.

15 Η τάση και η ανηγµένη παραµόρφωση γραµµικά ελαστικών υλικών, συνδέονται µε τη θεµελιώδη εξίσωση η οποία ονοµάζεται νόµος του Hook: σ ij c ijkl kl Οι σταθερές c ijkl ονοµάζονται ελαστικές σταθερές και περιγράφουν τις ιδιότητες του υλικού. Οι ελαστικές σταθερές καθορίζουν πως εξελίσσεται η µετατόπιση χρονικά και χωρικά, όταν εφαρµοστεί µια δύναµη και καθορίζουν την ταχύτητα των σεισµικών κυµάτων. Οι ελαστικές σταθερές αποτελούν ένα πολυπλοκότερο τανυστή από αυτούς που µάθαµε ως τώρα. Έχει τέσσερις δείκτες και συνδέει τους τανυστές της τάσης και της ανηγµένης παραµόρφωσης, που έχουν από δύο δείκτες. Επειδή κάθε δείκτης, παίρνει τις τιµές,,3 ορίζονται συνιστώσες.

16 Όµως, επειδή η τάση και η ανηγµένη παραµόρφωση είναι συµµετρικοί τανυστές, θα είναι: c ijkl c jikl και c ijkl c ijlk µε τον τρόπο αυτό οι συνιστώσες µειώνονται σε 36. Μία άλλη συµµετρία, που βασίζεται στην έννοια της ενέργειας ανηγµένης παραµόρφωσης: c ijkl c klij µειώνει τον αριθµό των ανεξάρτητων συνιστωσών σε. Το υλικό στο εσωτερικό της Γης, έχει κατά προσέγγιση τις ίδιες φυσικές ιδιότητες, ανεξάρτητως προσανατολισµού. Η ιδιότητα αυτή καλείται ισοτροπία και έχει ως συνέπεια επιπλέον συµµετρίες οι οποίες µειώνουν τον αριθµό των ελαστικών σταθερών σε δύο: c και c.

17 Σχέση Μεταξύ Τάσης και Ανηγµένης Παραµόρφωσης Έτσι, για ισότροπο ελαστικό σώµα ισχύουν οι σχέσεις: p ij c θδ ij + (c -c )δ ij + (c -c ) ij i, j,, 3 όπου θ είναι η ανηγµένη κυβική παραµόρφωση και δ ij ο τανυστής Kronckr (που αντιστοιχεί σε µοναδιαίο πίνακα), για τον οποίο ισχύει δ ij όταν ij και δ ij 0 όταν i j. Αντί των σταθερών c και c χρησιµοποιούνται συνήθως οι σταθερές του Lamé λ και µ, που ορίζονται από τις σχέσεις: λ c, µ c c Εποµένως για ένα ελαστικό και ισότροπο µέσο ισχύουν οι σχέσεις: δηλαδή p ij λ θδ ij + µ ij i, j,, 3 p λθ + µ p µ p λθ + µ p 3 µ 3 p 33 λθ + µ 33 p 3 µ 3

18 Ελαστικές Σταθερές Οι δύο σταθερές του Lamé αρκούν για την περιγραφή της ελαστικής παραµόρφωσης ελαστικού και ισότροπου µέσου. Χρησιµοποιούνται, όµως, διάφορες άλλες ελαστικές σταθερές, που συνδέονται µε τις σταθερές του Lamé, αλλά καθορίζονται ευκολότερα πειραµατικά. Απ αυτές χρησιµοποιούνται συνηθέστερα οι ακόλουθες: α) Μέτρο διατµητικής ελαστικότητας, n. Σχ..7. Διατµητική παραµόρφωση ορθογωνίου Θεωρούµε το ορθογώνιο ΟΑΒΓ (σχ..7). Αν στις δύο έδρες του παραλληλεπίπεδου ασκηθούν παράλληλα προς τον άξονα Οx δύο ίσες και αντίθετες δυνάµεις, το παραλληλεπίπεδο θα πάθει διατµητική παραµόρφωση κατά µία γωνία διάτµησης φ. Η αντίστοιχη διατµητική συνιστώσα τάσης θα είναι p p F/S, όπου S είναι το εµβαδόν της επιφάνειας όπου ασκείται η F. Ονοµάζουµε µέτρο διατµητικής ελαστικότητας n, ποσότητα n που ορίζεται από τη σχέση: Εύκολα προκύπτει ότι nµ. Τα n και µ µετριoύνται σε µονάδες τάσης. Η σταθερά του Lamé µ είναι µέτρο της αντίστασης ενός υλικού στη διάτµηση. Τυπική τιµή για τα πετρώµατα της Γης είναι 3*0 dyn/cm ή 300 kbar. n p µια

19 Ελαστικές Σταθερές β) Μέτρο επιµήκους ελαστικότητας ή µέτρο του Young, Ε. Σχ..8. Μεταβολή των διαστάσεων ράβδου κατά την ελαστική επιµήκυνσή της. Ας θεωρήσουµε κυλινδρική ράβδο µήκους l και τοµής S, η οποία επιµηκύνεται (ή επιβραχύνεται) κατά Δl υπό την επίδραση δύναµης, F, που έχει τη διεύθυνση του άξονα της ράβδου. Έστω ότι ο άξονας αυτός έχει τη διεύθυνση x. Θα είναι: p F/S και Δl /l. Ονοµάζουµε µέτρο επιµήκους ελαστικότητας ή µέτρο του Young, Ε, του υλικού, το πηλίκο της κάθετης τάσης προς την ανηγµένη επιµήκυνση: E Aν στις σχέσεις p ij λ θδ ij + µ ij θέσουµε p p 33 0 βρίσκουµε ότι: p E µ (3λ + µ ) λ + µ Το αντίστροφο, /Ε, του µέτρου της επιµήκους ελαστικότητας λέγεται συντελεστής ελαστικότητας. Το Ε µετριέται σε µονάδες τάσης.

20 γ) Λόγος του Poisson, σ. Ελαστικές Σταθερές Οι επιβραχύνσεις κατά τις κάθετες στον άξονα της ράβδου διευθύνσεις θα είναι Δd, αν d είναι η διάµετρος της τοµής της ράβδου. Εποµένως θα είναι 33 - Δd/d Μεταβολή των διαστάσεων ράβδου κατά την ελαστική επιµήκυνσή της. Ονοµάζουµε λόγο του Poisson, σ, την ποσότητα: σ Aν στις σχέσεις p ij λ θδ ij + µ ij θέσουµε p p 33 0 βρίσκουµε ότι: σ λ ( λ + µ ) Ο λόγος του Poisson είναι αδιάστατο µέγεθος και παίρνει τιµές µεταξύ 0 και 0.5. Η µέγιστη τιµή ισχύει για τα ρευστά (µ0, µηδενική αντίσταση στη διάτµηση) ενώ σ0 σηµαίνει άπειρη αντίσταση στη διάτµηση. Στα περισσότερα υλικά της Γης ο λόγος του Poisson έχει τιµές µεταξύ 0. και 0.35.

21 δ) Μέτρο κυβικής ελαστικότητας, κ. Ελαστικές Σταθερές Παραµόρφωση σώµατος (µείωση όγκου κατά dv) υπό την άσκηση ισότροπης τάσης P. Έστω ότι πάνω σε ένα σώµα ασκείται οµοιόµορφα κάθετη τάση (συµπίεσης ή εφελκυσµού), P, δηλαδή, εφαρµόζεται στο σώµα οµοιόµορφα υδροστατική πίεση που µεταβάλλει τον όγκο του σώµατος. θ είναι η ανηγµένη κυβική παραµόρφωση του σώµατος, που ισούται αριθµητικά µε τη µεταβολή της κάθε µονάδας όγκου του σώµατος. Ονοµάζουµε µέτρο κυβικής ελαστικότητας, κ, την ποσότητα: κ P θ Στην περίπτωση της υδροστατικής πίεσης, ο τανυστής της τάσης έχει τη µορφή p ij -Pδ ij, όπου δ ij ο τανυστής Kronckr, δηλαδή p p p 33 -Ρ και p ij 0 για i j. Aν στις σχέσεις p ij λ θδ ij + µ ij θέσουµε τις τιµές αυτές βρίσκουµε ότι: κ λ + µ 3 Το κ µετριέται σε µονάδες τάσης.