ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ -ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 1. ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ Ενα κύκλωµα, το οποίο κάνει µια συγκεκριµένη λειτουργία εκφραζόµενη από την συνάρτηση µεταφοράς του, θα πρέπει να εξακολουθεί να συµπεριφέρεται καλά, ακόµα και όταν η τιµή ενός ή περισσοτέρων εξαρτηµάτων αποκλίνει, για διαφόρους λόγους, από την ονοµαστική. Οι τιµές των εξαρτηµάτων µπορεί να αποκλίνουν από τις ονοµαστικές για µια σειρά από λόγους, όπως για παράδειγµα λόγω γήρανσης (aging), µεταβολής της θερµοκρασίας ή της υγρασίας. Η απόκλιση όµως µπορεί να οφείλεται και στην µέθοδο κατασκευής του κυκλώµατος. Είναι γνωστό ότι η µικροηλεκτρονική πραγµατοποίηση αντιστάσεων και πυκνωτών δεν είναι πολύ ακριβής και ακόµη ότι η ακριβής ρύθµισή τους έχει υψηλό κόστος. Στην κατασκευή εξάλλου ενός κυκλώµατος µε διακριτά στοιχεία, πολλές φορές βρισκόµαστε στην ανάγκη να χρησιµοποιήσουµε προσεγγιστικές τιµές. Για παράδειγµα, αν για µια αντίσταση οι υπολογισµοί µας δώσουν τιµή 4750 Ω, θα χρησιµοποιήσουµε την τυποποιηµένη τιµή 4700 Ω, βασιζόµενοι στο γεγονός ότι το κύκλωµα δεν είναι τόσο ευαίσθητο ώστε να αλλάξει τραγικά η συµπεριφορά του από την προσέγγιση αυτή. Θέλουµε εποµένως τα σχεδιαζόµενα κυκλώµατα να µην είναι ευαίσθητα στις αποκλίσεις από την ονοµαστική τιµή. Η ευαισθησία είναι ένα µετρούµενο και υπολογιζόµενο µέγεθος και αποτελεί πολλές φορές κριτήριο αξιολόγησης εναλλακτικών κυκλωµάτων, που υλοποιούν τις ίδιες προδιαγραφές. Οπως γνωρίζουµε η διαδικασία της σύνθεσης και σχεδίασης, οδηγεί σε πολλαπλές λύσεις και πολλές φορές επιλέγουµε ως "καλύτερη", αυτή που οδηγεί σε χαµηλότερες ευαισθησίες. ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ Το µέτρο µε το οποίο µετράµε την ευαισθησία ονοµάζεται διαφορική ή κλασσική ή σχετική ευαισθησία ή ευαισθησία πρώτης τάξης ή ακόµα και ευαισθησία Bode και ορίζεται ως εξής: όπου Η(x) το µέγεθος του κυκλώµατος του οποίου µετρούµε τις µεταβολές σε αλλαγές του στοιχείου x. Φυσικά το Η πρέπει να είναι συνάρτηση του x, δηλ H(x). Η ευαισθησία µπορεί να γραφτεί και ως εξής: Είναι προφανές ότι το παραπάνω τελευταίο σκέλος της σχέσης ισχύει για µικρές αλλαγές του x, οπότε ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ως παράδειγµα θα πάρουµε το παθητικό κύκλωµα του σχήµατος, µε συνάρτηση µεταφοράς και απόκριση πλάτους (απλό κέρδος): ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ - ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ -1

2 Η ευαισθησία της απόκρισης πλάτους Η(ω) σε µεταβολές του L και του R θα είναι αντίστοιχα Προκειµένου να υπολογίσουµε την ευαισθησία ως προς L και ως προς R, αντικαθιστούµε όλα τα άλλα στοιχεία µε τις τιµές τους και αφήνουµε µόνον το στοιχείο ενδιαφέροντος για να διευκολύνουµε τους υπολογισµούς: Με τον υπολογισµό των παραγώγων και εφαρµογή των παραπάνω σχέσεων βρίσκουµε: Είναι προφανές ότι στην συχνότητα ω=0.5, αν η τιµή R µεταβληθεί κατά 5%, η απόκριση θα µεταβληθεί επίσης κατά 5%, αφού η ευαισθησία ως προς R στην συχνότητα αυτή είναι ίση µε ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΑ ΦΙΛΤΡΑ 2ης ΤΑΞΗΣ Βαθυπερατά φίλτρα ή φίλτρα διελεύσεως χαµηλών συχνοτήτων ονοµάζονται τα κυκλώµατα εκείνα που επιτρέπουν την διέλευση των χαµηλοτέρων µιας συγκεκριµένης συχνότητος ω C σήµατα, ενώ κάθε συχνότητα µεγαλύτερη από την ω C, την συχνότητα αποκοπής, εξασθενείται σηµαντικά. Ενα κύκλωµα είναι τάξης Ν όταν η συνάρτηση µεταφοράς του είναι τάξης Ν. Εποµένως τα βαθυπερατά φίλτρα 2ης τάξης υλοποιούν συνάρτηση µεταφοράς 2ης τάξης, που στην γενική της περίπτωση είναι της µορφής: Οι πόλοι για Q> Η.Γ. ΗΜΟΠΟΥΛΟΣ

3 όπου Η συνάρτηση µεταφοράς έχει ένα ζευγάρι πραγµατικών ή µιγαδικών πόλων. Το ω 0 ονοµάζεται συχνότητα του πόλου και το Q συντελεστής ποιότητος των πόλων. Μια συνάρτηση βαθυπερατού φίλτρου 2ης τάξης έχει δύο πόλους (ρίζες του τριωνύµου του παρονοµαστή) που υπολογίζονται από την. Είναι προφανές ότι όταν το Q#0.5, οι πόλοι είναι πραγµατικοί ενώ γίνονται µιγαδικοί γιά Q>0.5. Στην περίπτωση αυτή το πραγµατικό µέρος είναι αντιστρόφως ανάλογο προς το Q και γιά µεγάλες του τιµές τείνει στο µηδέν, οπότε οι πόλοι τείνουν στον φανταστικό άξονα. Για µεγάλες τιµές του Q, το φανταστικό µέρος των πόλων γίνεται ±jω 0 και γιά τον λόγο αυτό το ω 0 ονοµάζεται συχνότητα του πόλου. Η καµπύλη απόκρισης (κέρδους) ενός βαθυπερατού φίλτρου 2ης τάξης θα είναι φυσικά η γραφική παράσταση της Η παράσταση της Η(ω) φαίνεται στo σχήµα γιά Α=1, ω 0 =1 και για διάφορες τιµές του Q. Η µέγιστη τιµή H max της Η(ω) υπάρχει µόνον όταν Q>0.707 και συµβαίνει γιά: Η τιµή του µεγίστου H max της Η(ω), όταν φυσικά το Q>0.707, υπολογίζεται ότι είναι: όπου Η ο είναι η τιµή της Η(ω) γιά ω=0 (συνεχές). Οι παραπάνω σχέσεις έχουν νόηµα γιά Q>0.707, τιµή µετά από την οποία αρχίζει να υπάρχει µέγιστο. Από τις παραπάνω σχέσεις γίνεται σαφές ότι γιά αρκετά µεγάλες τιµες του συντελεστή ποιότητος έχουµε Οσο µεγαλώνει ο συντελεστής ποιότητος Q, όσο δηλ. οι πόλοι πλησιάζουν στον άξονα jω, τόσο οξύτερη γίνεται η έξαρση της καµπύλης. ΠΑΘΗΤΙΚΟ BP ΦΙΛΤΡΟ LC 2ης ΤΑΞΗΣ Τα κυκλώµατα (α) και (β) του σχήµατος έχουν συνάρτηση µεταφοράς τύπου ΒΠ φίλτρου. Συγκεκριµένα το πρώτο έχει: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ - ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ -3

4 ΤΟ ΕΝΕΡΓΟ ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟ ΚΥΚΛΩΜΑ 2ης ΤΑΞΗΣ SALLEN and KEY Το βαθυπερατό κύκλωµα 2ης τάξης Sallen and Key είναι ένα ενεργό κύκλωµα µε έναν τελεστικό ενισχυτή σε σύνδεση θετικής ανατροφοδότησης, όπως φαίνεται στο σχήµα. Η συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος Sallen and Key υπολογίζεται ότι είναι: ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟ Sallen and Key όπου το k είναι πάντοτε µεγαλύτερο από την µονάδα και δίνεται από την σχέση Οι αντιστάσεις r A και r B ρυθµίζουν την αρνητική ανατροφοδότηση και το Q του κυκλώµατος ενώ δεν επηρεάζουν καθόλου την συχνότητα του πόλου: Οταν πρόκειται το κύκλωµα αυτό να πραγµατοποιεί µια δεδοµένη συνάρτηση µεταφοράς, τότε φυσικά έχουµε δεδοµένα το ω 0 και το Q, οπότε θα πρέπει να προσδιορίσουµε τις τιµές των στοιχείων του κυκλώµατος ώστε να δίνουν τα µεγέθη αυτά. Αυτό λέγεται σχεδίαση (design). Τα προς προσδιορισµό στοιχεία είναι 5 (δύο αντιστάσεις, δύο πυκνωτές και το k της αρνητικής ανατροφοδότησης) ενώ έχουµε µόνον τον περιορισµό του συγκεκριµένου ω 0 και του Q. Αυτό πρακτικά σηµαίνει ότι µπορούµε να ορίσουµε αυθαίρετα µερικά στοιχεία και να υπολογίσουµε τα υπόλοιπα. Γιά το κύκλωµα Sallen and Key υπάρχουν τρείς καθιερωµένοι τρόποι υπολογισµού των στοιχείων γιά δεδοµένο ω 0 και Q, που παρουσιάζονται παρακάτω. Σχεδίαση Ι: Θέτουµε k=1 (δηλ. r B =0) και R 1 =R 2 =R οπότε: απ' όπου υπολογίζεται ότι Σχεδίαση ΙΙ: Στην δεύτερη σχεδίαση θέτουµε C 1 =C 2 =C και R 1 =R 2 =R οπότε απ' όπου υπολογίζονται τα στοιχεία Από το γινόµενο RC που είναι πλέον γνωστό, επιλέγοντας µια επιθυµητή τιµή R, υπολογίζουµε το C ή αντίστροφα. Πρέπει να σηµειωθεί ότι γιά να είναι το k>1 πρέπει το Q>0.5 πράγµα που σηµαίνει ότι µε την επιλογή ίσων αντιστάσεων και πυκνωτών, έχουµε ελάχιστη τιµή στο Q του κυκλώµατος το 0.5. Σχεδίαση ΙΙΙ Η σχεδίαση αυτή οφείλεται στον W. Saraga και είναι αυτή που οδηγεί στο κύκλωµα ελάχιστης ευαισθησίας. Στην περίπτωση αυτή επιλέγουµε µια οποιαδήποτε τιµή γιά τον C 2, ρυθµίζουµε το 4- Η.Γ. ΗΜΟΠΟΥΛΟΣ

5 k=4/3 και διατηρούµε την σχέση των σταθερών χρόνου R 1 C 1 =3R 2 C 2. Κάτω από αυτές τις συνθήκες προκύπτει ότι: απ' όπου υπολογίζεται ότι: ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟΥ ΦΙΛΤΡΟΥ SALLEN and KEY Στο βαθυπερετό Sallen and Key του σχήµατος, έχουµε επιλέξει k=1, ίσες αντιστάσεις και ίσους πυκνωτές. Υπολογίζοντας την καµπύλη απόκρισης Η(ω), υπολογίζεται ότι οι ευαισθησίες ως προς τις αντιστάσεις είναι ίσες ενώ η ευαισθησία ως προς την τιµή των πυκνωτών είναι µεγαλύτερη. Συγκεκριµένα βρίσκουµε: ΕΡΓΑΣΙΕΣ 1. Επιβεβαιώστε µε το Mathcad την ορθότητα της σχέσης που δίνει την συνάρτηση µεταφοράς του βαθυπερατού ενεργού φίλτρου Sallen and Key. 2. Σχεδιάστε το ΒΠ κύκλωµα Sallen and Key ώστε να πραγµατοποιεί την και µε τις σχεδιάσεις ΙΙ και ΙΙΙ. (Μην ασχολείστε µε την σταθερά Α). 3. α) Κάτω από τον ορισµό των τιµών των στοιχείων της σχεδίασης ΙΙ, ορίστε την συνάρτηση µεταφοράς Η 2 (s):=... και την συνάρτηση απλού κέρδους G 2 (f):=... Σχεδιάστε την καµπύλη απόκρισης πλάτους του κυκλώµατος για την σχεδίαση αυτή και επιβεβαιώστε την τιµή του H(0), ω max και H max. β) Υπολογίστε την ευαισθησία του Q και του ω ο ως προς όλα τα στοιχεία του κυκλώµατος και συµπληρώστε την σχετική στήλη του ενός πίνακα ευαισθησίας σαν τον παρακάτω: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ - ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ -5

6 ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ Q και ω ο ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟΥ SALLEN and KEY Σχεδίαση ΙΙ Σχεδίαση ΙΙΙ γ). Γράψτε την συνάρτηση µεταφοράς και κέρδους µε δεύτερη µεταβλητή το k. Η 2k (s,k):=... και G 2k (f,k):=... και ορίστε την συνάρτηση ευαισθησίας του κέρδους ως προς το k. δ) Παραστήστε γραφικά την παραπάνω ευαισθησία του κέρδους ως προς το k από 1 έως 100 khz µε βήµα 100 Hz (f:=1000, ) και σχολιάστε. 4. Επαναλάβετε το ερώτηµα 3 για την σχεδίαση ΙΙΙ. Ολοι οι δείκτες θα είναι τώρα 3 αντί 2 δηλαδή Η 3k (s,k):=... και G 3k (f,k):= Γιά να συγκρίνετε τις ευαισθησίες των κερδών των δύο κυκλωµάτων (από σχέδίαση ΙΙ και ΙΙΙ) συναρτήσει της συχνότητας, παραστήστε γραφικά τις αντίστοιχες ευαισθησίες των κερδών ως προς το k στο ίδιο διάγραµµα µε λογαριθµικό άξονα συχνοτήτων (f:=1000, ). Επιβεβαιώνεται το ότι η σχεδίαση ΙΙΙ παρουσιάζει µικρότερη ευαισθησία; 6. Πόσο επι τοις εκατό θα µεταβληθεί το κέρδος του κυκλώµατος στην συχνότητα f=5 khz αν το k ξεφύγει κατά +3% από την ονοµαστική τιµή; 6- Η.Γ. ΗΜΟΠΟΥΛΟΣ