V eff. (r) r = L z. Veff( )=λ 2 /2

j H ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξ εταση στη Μηχανικ η Ι Φε ρου αριος 2005 Τµ ηµα Π. Ιω αννου & Θ. Αποστολ ατου ΘΕΜΑ 1 (25 µον αδες) Σωµατ ιδιο µοναδια ιας µ αζας κινε ιται σ υµφωνα µε το δυναµικ ο ν οµο: οπου το δι ανυσµα θ εσης του σωµατιδ ιου εν ω οι τελε ιες επ ι του διαν υσµατος θ εσης συµ ολ ιζουν ως συν ηθως παραγ ωγιση ως προς το χρ ονο. Η ε ιναι µ ια θετικ η σταθερ α το το µοναδια ιο δι ανυσµα στην κατε υθυνση του αξονα και το το µ ηκος της κ αθετης απ οστασης του σωµατιδ ιου απ ο τον αξονα. Λ ογω της µορφ ης του δυναµικο υ ν οµου επιλ εγουµε να περιγρ αψουµε την κ ινηση στις κυλινδροπολικ ες συντεταγµ ενες. (α) Περιγρ αψτε την συνιστ ωσα της κ ινησης του σωµατιδ ιου. (β) ε ιξτε οτι σε κ αθε περ ιπτωση διατηρε ιται η συνολικ η κινητικ η εν εργεια του σωµατιδ ιου και στη συν εχεια γρ αψτε την κινητικ η εν εργεια σε κυλινδροπολικ ες συντεταγµ ενες. (γ) Για ποιες αρχικ ες συνθ ηκες το σωµατ ιδιο εκτελε ι κυκλικ η κ ινηση ακτ ινας περ ι του αξονα ; (δ) Γρ αψτε τη διανυσµα- τικ η εξ ισωση που δι επει τη χρονικ η εξ ελιξη της στροφορµ ης και απ ο την εξ ισωση αυτ η δε ιξτε οτι η συνιστ ωσα της στροφορµ ης ικανοποιε ι τη σχ εση:!#" $"%& οπου η συνιστ ωσα της στροφορµ ης στη θ εση. (ε) Γρ αψτε την εκφραση της σε κυλινδροπολικ ες συντεταγµ ενες. Παρατηρε ιτε το σωµατ ιδιο στη θ εση να κινε ιται µε θετικ η γωνιακ η ταχ υτητα ετσι ωστε & να εχει κινητικ η εν εργεια ' και µηδενικ η ταχ υτητα στην διε υθυνση. ε ιξτε οτι η µετα ολ η της απ οστασης του σωµατιδ ιου απ ο τον αξονα µπορε ι να προσδιορισθε ι απ ο την εξ ισωση διατ ηρησης της εν εργειας στη µορφ η ' )( +-/.10&0 /.10&0 οπου ενα ενεργ ο δυναµικ ο. Προσδιορ ιστε το ενεργ ο δυναµικ ο και σχεδι αστε το. Τι εν εργεια απαιτε ιται να εχει το σωµατ ιδιο για να µπορ εσει να διαφ υγει στο απειρο ; [ ιδεται η διανυσµατικ η ταυτ οτητα 287 56 287 5.] 23 56 ΘΕΜΑ 2 (25 µον αδες) (α) Θεωρ ηστε µ ια σφα ιρα ακτ ινας 2 +:9<; και συνολικο υ φορτ ιου. Το θετικ ο φορτ ιο ε ιναι οµοιογεν ως κατενεµηµ ενο σε ολο τον ογκο της µε πυκν οτητα φορτ ιου =. εδοµ ενου οτι ενα σηµειακ ο φορτ ιο > δηµιουργε ι πεδ ιο εντασης '?>AC! IH H J σε απ οσταση απ ο αυτ ο υπολογ ιστε τη δυναµικ η εν εργεια για ενα σηµειακ ο φορτ ιο K που βρ ισκεται σε απ οσταση : H απ ο το κ εντρο της φορτισµ ενης σφα ιρας. (Αναλογιστε ιτε την οµοι οτητα του πεδ ιου αυτο υ µε το αντ ιστοιχο βαρυτικ ο πεδ ιο). Σχεδι αστε τη δυναµικ η αυτ η εν εργεια. Π οσο µεγαλ υτερη ε ιναι η δυναµικ η εν εργεια στο κ εντρο της σφα ιρας απ ο αυτ η στην επιφ ανεια της σφα ιρας ; (β) Πριν απ ο τον Ruthefod ε ιχε προταθε ι οτι τα ατοµα αποτελο υνται απ ο µ ια οµογεν ως φορτισµ ενη σφα ιρα ακτ ινας µ εσα στην οπο ια βρ ισκονται δι ασπαρτα τα αρνητικ α φορτισµ ενα ηλεκτρ ονια. Ο Ruthefod το 1910 κατη υθυνε σωµατ ιδια α εν εργειας RQTS ; BNU σε πολ υ λεπτ α φ υλλα χρυσο υ και παρατ ηρησε οτι ενα πολ υ µικρ ο ποσοστ ο των σωµατιδ ιων α οπισθοσκεδ αζονταν δηλαδ η επ εστρεφαν π ισω προς την πηγ η τους. ε ιξτε οτι αν η ακτ ινα των θετικ α φορτισµ ενων ατοµικ ων σφαιρ ων ηταν της τ αξης που πιστευ οταν τ οτε δεν θα µπορο υσε να συµ ε ι οπισθοσκ εδαση. Στη συν εχεια υπολογ ιστε π οσο µικρ οτερη απ ο M ( O θα πρ επει να ε ιναι η ακτ ινα των ατοµικ ων σφαιρ ων ωστε να συµ ε ι το παρατηρο υµενο γεγον ος. [Υποδ: Μπορε ιτε δ ιχως βλ α η της γενικ οτητας να αγνο ηστε την υπαρξη των ηλεκτρον ιων αφο υ αυτ α ε ιναι εξαιρετικ α ελαφρ α σε σχ εση µε τα σωµατ ιδια α και µια εντονη κρο υση µε αυτ α θα τα εκσφενδον ισει µακρι α απ ο τη θετικ α φορτισµ ενη σφα ιρα. Επ ισης υποθ εστε οτι τα σωµατ ιδια α χτυπο υν µ ονο σε µια ατοµικ η σφα ιρα και µ αλιστα κεντρικ α (παρ αµετρο κρο υσης ) ωστε να µπορο υµε να επιτ υχουµε εκτροπ η WV X ;. ιδονται για βο ηθεια τα ακ ολουθα δεδοµ ενα: U S QY M ( ;` J[ZP\]_^ ab &cedf Egih 7 O Ej ; S Qf M ( g 9 για το χρυσ ο lked αριθµητικ ο βο ηθηµα: k nkedo S Q :p k.] 1 " NM ( PO

ΘΕΜΑ 3 (25 µον αδες) (α) Στο εσωτερικ ο µιας σφα ιρας ακτ ινας κατασκευασµ ενης απ ο υλικ ο σταθερ ης πυκν οτητας εχει ανοιχθε ι µια σφαιρικ η κοιλ οτητα το κ εντρο της οπο ιας βρ ισκεται σε απ οσταση 2 απ ο το κ εντρο της αρχικ ης σφα ιρας και εχει ακτ ινα. Υπολογ ιστε το βαρυτικ ο πεδ ιο στο εσωτερικ ο της κοιλ οτητας θεωρ ωντας οτι το πεδ ιο της κο υφιας σφα ιρας ε ιναι επαλληλ ια εν ος πεδ ιου απ ο µια γε- µ ατη σφα ιρα και εν ος πεδ ιου απ ο µια µικρ η σφα ιρα (στη θ εση της κοιλ οτητας) µε αρνητικ η πυκν οτητα. [Υπ οδ: Θεωρ ηστε γνωστ ο οτι το βαρυτικ ο πεδ ιο απ ο εναν σφαιρικ ο φλοι ο ε ιναι µηδ εν στο εσωτερικ ο του φλοιο υ εν ω εξω απ ο το σφαιρικ ο φλοι ο ε ιναι ισοδ υναµο µε το βαρυτικ ο πεδ ιο απ ο µια σηµειακ η µ αζα ιση µε τη µ αζα του σφαιρικο υ φλοιο υ η οπο ια ε ιναι τοποθετηµ ενη στο κ εντρο του φλοιο υ.] (β) Θ ελουµε στη συν εχεια να χρησιµοποι ησουµε το πεδ ιο εντ ος της κοιλ οτητας για να επιταχ υνουµε σω- µατ ιδια στη µ εγιστη δυνατ η ταχ υτητα µ εσα στο κεν ο της κοιλ οτητας. Πο υ πρ επει να τοποθετ ησουµε τα σωµατ ιδια αρχικ α στην κοιλ οτητα και π οσο µεγ αλη κοιλ οτητα πρ επει να κατασκευ ασουµε (ποιες ε ιναι οι αντ ιστοιχες τιµ ες των 2/ ) για να επιτ υχουµε τα καλ υτερα δυνατ α αποτελ εσµατα ; ΘΕΜΑ (25 µον αδες) Στον τρισδι ατατο χ ωρο που ζο υµε ορ ιζουµε την ενεργ ο διαφορικ η διατοµ η ως sgent ωστε αν πολλαπλασι ασουµε την ποσ οτητα αυτ η µε την εισερχ οµενη ρο η των σω- µατιδ ιων - βληµ ατων να π αρουµε µια εκφραση για την ρο η των εξερχοµ ενων σωµατιδ ιων αν α µον αδα στερε ας γων ιας µ εσα στην οπο ια εξ ερχονται τα σκεδασµ ενα σωµατ ιδια. Ειδικ α στην περ ιπτωση της σκληρ ης σφα ιρας εχουµε δε ιξει οτι η διαφορικ η αυτ η ενεργ ος διατοµ η ε ιναι σταθερ η και ανεξ αρτητη απ ο τη γων ια σκ εδασης. (α) Πως θα ορ ιζατε την αντ ιστοιχη διαφορικ η ενεργ ο διατοµ η È σε ενα δισδι αστατο κ οσµο ; (β) Υπολογ ιστε την διαφορικ η z ενεργ ο διατοµ η για εναν σκληρ ο κ υκλο. Συγκεκριµ ενα σταθερ η ρο η βληµ ατων (βλ ηµατα αν α µον αδα µ ηκους κ αθετα στην κ ινηση και αν α µον αδα χρ ονου) που κινο υνται επ ι εν ος επιπ εδου χτυπο υν π ανω σε µια ηµιπεριφ ερεια ακτ ινας και σκεδ αζονται ελαστικ α. äx Σε ποια γων ια περιµ ενουµε να εχουµε το µ εγιστο αριθµ ο σκεδαζο- µ ενων σωµατιδ ιων ; Π οση ε ιναι η συνολικ η ενεργ ος διατοµ η ; (γ) Μια ρο η σωµατιδ ιων (σωµ ατια αν α µον αδα επιφ ανειας και χρ ονου) προσπ ιπτει κ αθετα σε µια επιφ ανεια. Θ ελουµε µε κ αποιο τρ οπο να εστι ασουµε τα σωµατ ιδια σε µια περιοχ η της επιφ ανειας. Το µ ονο που διαθ ετουµε ε ιναι ενας µακρ υς σκληρ ος κυλινδρικ ος σωλ ηνας ακτ ινας τον οπο ιο µπορο υµε να χρησιµοποι ησουµε ως σκεδαστ η των σωµατιδ ιων τοποθετ ωντας τον κ αθετα στη ρο η αυτ ων. Λ ογω της συµµετρ ιας του προ λ ηµατος κατ α τον αξονα του σωλ ηνα το πρ ο ληµα της σκ εδασης ε ιναι δισδι αστατο και οι περιοχ ες που θα δ εχονται την ιδια ρο η σωµατιδ ιων ε ιναι λωρ ιδες παρ αλληλες µε τον σωλ ηνα. Αν ο σωλ ηνας βρ ισκεται σε απ οσταση : απ ο την επιφ ανεια ωστε ο σωλ ηνας να θεωρε ιται οτι ε ιναι σχεδ ον µια γραµµ η δε ιξτε οτι το πλ ηθος των σκεδασµ ενων σωµατιδ ιων που θα καταφθ ανουν στη µον αδα του χρ ονου σε µια τ ετοια λωρ ιδα απειροστο υ π αχους v και µ ηκους ^ που βρ ισκεται σε γων ια w (βλ. σχ ηµα) ως προς τον σωλ ηνα θα ε ιναι u?x^_v Ty6z{ w {} ~ w:. (δ) Βρε ιτε τη θ εση της λωρ ιδας που θα δ εχεται το µ εγιστο πλ ηθος σωµατιδ ιων. Π οσο µεγαλ υτερο ε ιναι αυτ ο το πλ ηθος απ ο εκε ινο εξαιτ ιας της απευθε ιας ρο ης των σωµατιδ ιων στην εν λ ογω λωρ ιδα ; [ ιδεται οτι y6z{ w " {} ~ w:.] Να γραφο υν και τα θ εµατα. Καλ η σας επιτυχ ια. 2

Œ Λ υσεις Θ εµα 1: α) Απ ο το εξωτερικ ο γιν οµενο αµ εσως φα ινεται οτι η ασκο υµενη δ υναµη στην διε υθυνση ε ιναι µηδενικ η. Συνεπ ως η κ ινηση ε ιναι ισοταχ ης σε αυτ η τη διε υθυνση ( = σταθερ η ). Γρ αφουµε για µελλοντικ η χρ ηση τις συνιστ ωσες της δ υναµης σε κυλινδροπολικ ες συντεταγµ ενες. Επειδ η η ταχ υτητα ε ιναι: ;6 [+ P ;ƒ#+ # η δ υναµη εχει τις συνιστ ωσες: P ;6 " β) Πα ιρνοντας το εσωτερικ ο γιν οµενο της εξ ισωσης κ ινησης µε την ταχ υτητα εχουµε αµ εσως οτι 7 7# Επειδ η δε 37 Š καταλ ηγουµε οτι η συνολικ η κινητικ η εν εργεια ;ƒ S ˆ S 7 G διατηρε ιται κατ α τη κ ινηση. Υπολογ ιζοντας το εσωτερικ ο γιν οµενο εχουµε την εκφραση της κινητικ ης εν εργειας στις κυλινδροπολικ ες συντεταγµ ενες: 7 Œ + + & S Σηµει ωνουµε επ ισης οτι επειδ η ε ιναι η = σταθερ η κατ α τη κ ινηση διατηρε ιται και η ολικ η "οριζ οντια" Ž κινητικ η εν εργεια: Œ + & S γ) Το σωµατ ιδιο εκτελε ι οµαλ η κυκλικ η κ ινηση οταν η ακτ ινα του παραµ ενει σταθερ η : καθ ως επ ισης και η γωνιακ η του ταχ υτητα: και η ισορροπ ια δυν αµεων απαιτε ι:. Στην περ ιπτωση αυτ η η επιτ αχυνση ε ιναι: f " " 8S Συνεπ ως το σωµατ ιδιο πρ επει να τοποθετηθε ι στο µε µηδενικ η ακτινικ η ταχ υτητα καθ ως και A και µε γωνιακ η ταχ υτητα A " για να εκτελ εσει κυκλικ η κι ινηση. δ) Η χρονικ η εξ ελιξη της στροφορµ ης ε ιναι: Š Š ˆ 37 N 3" Œ 37 Œ ;6 #+ ;ƒ#+ # " 3 + N S ;6

S Χρησιµοποι ησαµε οτι το δι ανυσµα θ εσης ε ιναι: δ ινει για την εξ ελιξη της στροφορµ ης σε αυτ η τη διε υθυνση: Συνεπ ως Š :" " " Š ;6 +. Η συνιστ ωσα της παραπ ανω εξ ισωσης + N + S + Š Η ποσ οτητα δηλαδ η διατηρε ιται κατ α τη κ ινηση. Ε αν λοιπ ον η στροφορµ η στη θ εση ε ιναι & τ οτε µπορε ι να συµπερ ανουµε οτι στη θ εση θα ε ιναι: &#" $"! S ε) Ε ιναι οπως αµ εσως φα ινεται απ ο το ;6 #+ N ;6 [+ P ;ƒ#+ # S Η διατηρο υµενη κινητικ η εν εργεια ε ιναι λοιπ ον: ' Œ + + S Η ακτινικ η κ ινηση εξελ ισσετται σα να βρισκ οταν το σωµατ ιδιο σε ενεργ ο δυναµικ ο: V eff () = z /λ + 0 Veff( )=λ 2 /2 Σχ ηµα 1: Το ενεργ ο δυναµικ ο για την περ ιπτωση! - f- /.10&0 και. Το ενεργ ο δυναµικ ο š οταν š και στο οριο šœ /.10&0 το ενεργ ο δυναµικ ο γ ινεται š. Το ενεργ ο δυναµικ ο παρουσι αζει ελ αχιστο στην ακτ ινα 6ž & + οπου η στροφορµ η µηδεν ιζεται. Για εν εργειες µικρ οτερες απ ο ' Ÿ εχουµε φραγµ ενες κιν ησεις µε µ εγιστη και ελ αχιστη απ οσταση τα σηµε ια τοµ ης της καµπ υλης µε την εν εργεια αλλως αν ' /.10&0 το σωµατ ιδιο διαφε υγει στο απειρο. &#" <"%&} S Επ ι του προκειµ ενου για δεδοµ ενη εν εργεια ' οι επιτρεπ οµενες περιοχ ες κ ινησης ε ιναι αυτ ες για τις οπο ιες '!#" $"%&}

K S S 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 Σχ ηµα 2: Τυπικ η τροχι α στη περ ιπτωση που η κ ινηση ε ιναι φραγµ ενη. και σχεδι αζεται στο Σχ. 1. Οπως φα ι- το σωµατ ιδιο διαφε υγει στο απειρο αφο υ για %š. Αλλως το σωµατ ιδιο εκτελε ι τη κ ινηση που σχεδι αζουµε στο Σχ. 2 (δεν εζητε ιτο αυτ ο στο διαγ ωνισµα). Μπορε ιτε να σκεφθε ιτε τι κ ινηση θα εκτελο υν φορτισµ ενα σωµατ ιδια που βρ ισκονται στο επ ιπεδο του ισηµερινο υ σε µεγ αλα υψη στην ατµ οσφαιρα. Το ενεργ ο δυναµικ ο για την περ ιπτωση & νεται απ ο το σχ ηµα για εν εργειες ' ' š Θ εµα 2: Κατ αναλογ ιαν µε το βαρυτικ ο πεδ ιο µιας γεµ ατης σφα ιρας στην περ ιπτωση µιας φορτισµ ενης σφα ιρας το ηλεκτρικ ο πεδ ιο στο µεν εξωτερικ ο θα ε ιναι εν ω στο εσωτερικ ο αυτ ης ' ' >3 J > J : για > J!E$J J για c S Για να υπολογ ισυµε τη δυναµικ η εν εργεια εν ος φορτ ιου που φ ερεται µ εσα στο ηλεκτρικ ο πεδ ιο της φορτισµ ενης σφα ιρας (θεωρ ωντας οτι η εν εργεια αυτ η ως συν ηθως ε ιναι 0 στο απειρο) Για εν ω για "n ˆ + «ª ' 7 J :R K : : ' 7 S + " (βλ. Σχ ηµα 3) οπ οτε στο κ εντρο της σφα ιρας η δυναµικ η εν εργεια ε ιναι P S Συνεπ ως στο κ εντρο η εν εργεια ε ιναι 1.5 φορ ες η εν εργεια στην επιφ ανεια. (β) Ας συγκρ ινουµε την κινητικ η εν εργεια των σωµατιδ ιων µε τη δυναµικ η εν εργεια στο κ εντρο της σφα ιρας. ' ± QTS B S Qo NM ( J ²dc g kedo ³ S Qo M ( g M ( 5 Q B k

3 V 0 / 2 V() V 0 = k/ 0 0 Σχ ηµα 3: Η δυναµικ η εν εργεια ( οπου ( µ º¹ ) του φορτ ιου στο πεδ ιο της φορτισµ ενης σφα ιρας ως συν αρτηση της απ οστασης. Αφο υ λοιπ ον η κινητικ η ε ιναι τ οσο µεγαλ υτερη αποκλε ιεται η παρουσ ια εν ος τ ετοιου πυρ ηνα να ανακ οψει την κ ινηση του βλ ηµατος και να το οπισθοσκεδ ασει. Αυτ ο θα µπορο υσε να συµ ε ι µ ονο αν οι δ υο εν εργειες γιν οντουσαν ισες οπ οτε τ οτε το βλ ηµα θα σταµατο υσε στο κ εντρο του πυρ ηνα και θα εκσφενδονιζ οταν π αλι π ισω (αν δεν εφτανε ακρι ως στο κ εντρο που θα ισορροπο υσε ασταθ ως). Η» µ ( ¼ φορ ες µικρ οτερη δηλαδ η ³ k Q B # M ( µ O ακτ ινα λοιπ ον θα επρεπε να ε ιναι που ε ιναι πολ υ κοντ υτερα στην παραγµατικ η τιµ η του µεγ εθους του πυρ ηνα. Στην ε υρεση της ακτ ινας του πυρ ηνα µ αλιστα ο ορος 3/2 θα µπορο υσε να αγνοηθε ι αφο υ για να πετ υχουµε οπισθοσκ εδαση χωρ ις να διαλ υσουµε τον πυρ ηνα θα θ ελαµε το σωµατ ιδιο α να φθ ασει απλ ως µ εχρι την επιφ ανεια και να γυρ ισει π ισω και οχι να διαπερ ασει τον πυρ ηνα. Θ εµα 3: α) Η δ υναµη που ασκε ιται σε κ αθε σηµε ιο της κοιλ οτητας ε ιναι: ' "<½ bbed J& = $"%½ bbed J( " = J ( " J( BED ½ = 2o οπου 2c " ( ε ιναι το δι ανυσµα µ ετρου 2 που εν ωνει το κ εντρο της σφα ιρας µε το κ εντρο της κοιλ οτητας η απ οσταση κ αποιου σηµε ιου της κοιλ οτητας απ ο το κ εντρο της κ υριας σφα ιρας ( η απ οσταση του σηµε ιου αυτο υ απ ο το κ εντρο της κοιλ οτητας (βλ. Σχ. ). Συνεπ ως το πεδ ιο µ εσα στη κοιλ οτητα ε ιναι οµογεν ες µε κατε υθυνση παρ αλληλη µε την ευθε ια που εν ωνει τα κ εντρα των δ υο σφαιρ ων και φορ α προς το κ εντρο της µεγ αλης σφα ιρας. a 1 Σχ ηµα : Το πεδ ιο µ εσα στη κοιλ οτητα ε ιναι οµογεν ες. 6

Ð w β) Για να εκµεταλλευτε ι κανε ις οσο το δυνατ ον περισσ οτερο το οµογεν ες αυτ ο πεδ ιο το σωµατ ιδιο θα πρ επει να αφεθε ι στο ακρο της διαµ ετρου της κοιλ οτητας που δι ερχεται απ ο το κ εντρο της µεγ αλης σφα ιρας ωστε να διαν υσει απ οσταση. Η ταχ υτητα που θα αποκτ ησει θα ε ιναι ¾ e À ` À οπου ` το πεδ ιο εντ ος της κοιλ οτητας και η απ οσταση που θα διαν υσει επιταχυν οµενο. Συνεπ ως η ταχ υτητα ¾ στο αλλο ακρο της κοιλ οτητας ε ιναι αν αλογη της 2. Πρ επει λοιπ ον να µεγιστοποι ησουµε το 2. Οµως πρ επει 2 ŸÁ οπου η ακτ ινα της µεγ αλης σφα ιρας οπως και ŸÂ. Επ ισης για δεδοµ ενο τo 2 πρ επει να λαµ ανει τιµ ες στο δι αστηµα 2 ". Αρα για δεδοµ ενο η µ εγιστη ταχ υτητα επιτυγχ ανεται για 2à " Ä. Οπ οτε πρ επει να βρο υµε το που µεγιστοποιε ι το γιν οµενο? ". Αυτ ο επιτυγχ ανεται οπως ε υκολα διαπιστ ωνεται (για παρ αδειγµα µε παραγ ωγιση) για : και αρα και 2c :. Θ εµα : (α) Στις 2 διαστ ασεις το αντ ιστοιχο της επιφ ανειας των 3 διαστ ασεων ε ιναι το µ ηκος κ αθετα στην κ ινηση των σωµατιδ ιων και το αντ ιστοιχο της στερε ας γων ιας ε ιναι η γων ια σκ εδασης. Ετσι s Nt ³Æ Αν αυτ η η διαφορικ η ενεργ ος διατοµ η πολλαπλασιαστε ι µε τη ρο η αν α µον αδα µ ηκους και αν α µον αδα χρ ονου των σωµατιδ ιων βληµ ατων θα π αρουµε τη ρο η των σωµατιδ ιων που θα σκεδαστο υν γ υρω απ ο τη γων ια w που αντιστοιχε ι στη συγκεκριµ ενη παρ αµετρο κρο υσης. (β) Για σκληρ ο κ υκλο εχουµε: {} ~ Συνολικ α Το µ εγιστο της ενεργο υ διατοµ ης : ε ιναι ˆ M w% w w H y6z{/ H w y6z{i. Παρ αλληλα w D " w " {} ~ w: το εχουµε οταν w RÇ D (οπισθοσκ εδαση). Η δε ολικ η διατοµ η WÈ {} ~ M w: w {} ~ M WÈ οπως ηταν αναµεν οµενο αφο υ το υψος του κ υκλου ε ιναι. (γ) Η λωρ ιδα πλ ατους v βλ επει τον σχεδ ον σηµειακ ο σκεδαστ η υπ ο γων ια vew v <y6z{ w:. Απ ο τη γεωµετρ ια του προ λ ηµατος ÉÊ#y6z{ w οπ οτε vew v <y6z{ w:. Το πλ ηθος λοιπ ον των σωµατιδ ιων που αφο υ σκεδαστο υν θα καταλ ηγουν αν α µον αδα χρ ονου στην εν λ ογω λωρ ιδα θα ε ιναι u ^ËH Ew3H vew u?: T{} ~ w:?v ^? Ty6z{ w. (δ) Ο µ εγιστος ρυθµ ος σωµατιδ ιων θα προσπ ιπτει στη λωρ ιδα µε {} ~ w: Ty6z{ )Ì3ÍÎ. Αλλ α {} ~ ³ " {} ~ Ì3ÍÎ οταν το {} ~ µεγιστοποιε ι την ³ ". Αυτ ο συµ α ινει οταν ³ " ËÑÓÒ ³ " + ³ " " B ³ " ³ ". Ετσι η γων ια w για την οπο ια {} ~ w: A οδηγε ι στο µ εγιστο ρυθµ ο σωµατιδ ιων (η αλλη λ υση αντιστοιχε ι σε w D και εποµ ενως δεν συναντ α την επιφ ανεια). Το γεγον ος οτι πρ οκειται περ ι µεγ ιστου ε υκολα µπορε ι να το δει κανε ις απ ο to δι αγραµµα της {} ~ ³ " {} ~ αλλ α και απ ο το γεγον ος οτι η παρ ασταση αυτ η ε ιναι µηδ εν για και D CB και θετικ η ενδι αµεσα. Ετσι στη θ εση του µεγ ιστου καταφθ ανουν?: ³ ³ " περισσ οτερα σωµατ ιδια απ οτι απ ευθε ιας.. 7