Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 8: ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ Η ΣΥΝΘΕΤΟΣ ΤΟΚΟΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creave Coons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σε αντίθεση με τον απλό τόκο, στην περίπτωση του ανατοκισμού ή σύνθετου τόκου ο τόκος προστίθεται στο κεφάλαιο στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου και στην επόμενη χρονική περίοδο τοκίζεται το αυξημένο κατά τον τόκο κεφάλαιο. Αυτό συνεχίζεται μέχρι τη λήξη του δανείου, δηλαδή οι τόκοι κεφαλοποιούνται στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου και επομένως, τόσο ο τόκος όσο και το τοκιζόμενο κεφάλαιο αυξάνονται κάθε χρονική περίοδο με επιταχυνόμενο ρυθμό. Ο μηχανισμός αυτής της κεφαλοποίησης, όπου το τόκος κάθε χρονικής περιόδου μετατρέπεται σε
παραγωγικό κεφάλαιο για όλες τις επόμενες χρονικές περιόδους, λέγεται ανατοκισμός ή σύνθετος τόκος. Στον ανατοκισμό η περίοδος της κεφαλοποίησης μπορεί να είναι το έτος, το εξάμηνο, το τρίμηνο, κ.λπ. Ο συνολικός χρόνος που ένα κεφάλαιο τοκίζεται με ανατοκισμό λέγεται διάρκεια ανατοκισμού. Το κεφάλαιο που κατατίθεται στην αρχή της πρώτης περιόδου, πριν αρχίσει να παράγει τόκο, λέγεται αρχικό κεφάλαιο ή αρχική αξία ή παρούσα αξία και συμβολίζεται με. Το κεφάλαιο που σχηματίζεται στο τέλος της χρονικής διάρκειας του δανείου λέγεται τελικό κεφάλαιο ή τελική ή μέλλουσα αξία και
συμβολίζεται με, αν ο χρόνος εκφράζεται σε έτη,. Εύρεση τελικής αξίας ενός κεφαλαίου στον ανατοκισμό όταν ο χρόνος δίνεται σε ακέραιες χρονικές περιόδους Έστω κεφάλαιο τα οποίο τοκίζεται με επιτόκιο για χρονικό διάστημα χρονικών περιόδων και με ανατοκισμό. Τότε: Το κεφάλαιο στη λήξη της πρώτης περιόδου θα είναι: 1 Το κεφάλαιο στη λήξη της δεύτερης περιόδου θα είναι: 2 1 1 2 1
Το κεφάλαιο στη λήξη της τρίτης περιόδου θα είναι: 3 2 2 2 2 Συμπεραίνουμε λοιπόν, ότι ο γενικός τύπος της τελικής αξίας του κεφαλαίου στο τέλος της περιόδου είναι Το διώνυμο 3 ( 1 λέγεται συντελεστής κεφαλοποίησης ή ανατοκισμού. Το επιτόκιο και ο αριθμός που εκφράζει το πλήθος των περιόδων θα πρέπει να αναφέρονται στην ίδια χρονική μονάδα.
Παράδειγμα 1. Να βρεθεί η τελική αξία ενός κεφαλαίου 8. ευρώ το οποίο ανατοκίζεται με ετήσιο επιτόκιο 5% ανά τρίμηνο επί 2 έτη και 3 μήνες. ΛΥΣΗ Λόγω της υπόθεσης ότι ο ανατοκισμός είναι τριμηνιαίος, θα πρέπει να μετατρέψουμε το χρονικό διάστημα 2 έτη και 3 μήνες σε τρίμηνα, δηλ. θα έχουμε: 2 4 8 τρίμηνα και 3 μήνες = 1 τρίμηνο, επομένως συνολικά 9 τρίμηνα. Αντικαθιστούμε στο γενικό τύπο του ανατοκισμού και έχουμε: 4.16,3 ευρώ 9 8.,5 9
Εύρεση τελικής αξίας ενός κεφαλαίου στον ανατοκισμό όταν ο χρόνος δίνεται σε μικτό αριθμό χρονικών περιόδων Αν ο χρόνος είναι μικτός, δηλ. αποτελείται από ακέραιες περιόδους και από το τμήμα όπου το πλήθος των περιόδων ανατοκισμού σε ένα έτος και το πλήθος των μηνών της ακέραιας περιόδου, τότε για να υπολογίσουμε την τελική αξία ενός κεφαλαίου στο τέλος των χρονικών περιόδων, διακρίνουμε τις δύο παρακάτω περιπτώσεις-συνθήκες:
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ( 1 Αν ο ανατοκισμός είναι ετήσιος, τότε 1 και αντικαθιστώντας στον παραπάνω τύπο, έχουμε: Αν ο ανατοκισμός είναι εξαμηνιαίος, τότε 2 και αντικαθιστώντας στον παραπάνω τύπο, έχουμε: 6 Αν ο ανατοκισμός είναι τριμηνιαίος, τότε 4 και αντικαθιστώντας στον παραπάνω τύπο, έχουμε: 6
3 Εάν ο χρόνος εκφράζεται σε έτη, μήνες και ημέρες, τότε μετατρέπουμε τους μήνες σε ημέρες και εφαρμόζουμε τον τύπο: d 36 3 d 36 (μικρό, εμπορικό έτος ή d 365 (πολιτικό έτος d 365 ΓΡΑΜΜΙΚΗ Στην περίπτωση της γραμμικής συνθήκης, εφαρμόζεται ο ανατοκισμός για τις
ακέραιες περιόδους και ο απλός τόκος για το υπόλοιπο χρονικό διάστημα. Επομένως, αν ο χρόνος εκφράζεται σε έτη και μήνες και το επιτόκιο σε έτη, η τελική αξία του κεφαλαίου δίνεται από τη σχέση: Στην περίπτωση του εξαμηνιαίου ανατοκισμού, ο τύπος λαμβάνει τη μορφή: 6 6 Εάν ο χρόνος εκφράζεται σε έτη, μήνες και ημέρες, τότε μετατρέπουμε τους μήνες σε ημέρες και εφαρμόζουμε τον τύπο:
d 36 d 36 (μικρό, εμπορικό έτος ή d d 365 365 Παράδειγμα 2. (πολιτικό έτος Να βρεθεί η τελική αξία ενός κεφαλαίου 1.. ευρώ το οποίο ανατοκίζεται με ετήσιο επιτόκιο 6% επί 5 έτη και 7 μήνες. ΛΥΣΗ Θα εφαρμόσουμε και τις δύο συνθήκες για την εύρεση του τελικού κεφαλαίου.
Α Εκθετική Εφαρμόζουμε τη σχέση: ευρώ 1.384.493,389,5,6 1.. 7 5 Β Γραμμική Εφαρμόζουμε τη σχέση: ευρώ 1.385.63,473 7,6,6 1.. 5
Υπολογισμός της αρχικής αξίας ή παρούσας αξίας στον ανατοκισμό Αν λύσουμε ως προς το γενικό τύπο του ανατοκισμού, τότε θα έχουμε: Aν συμβολίσουμε με τότε: U U 1, 1 Το U ονομάζεται συντελεστής προεξόφλησης και δίνει την παρούσα αξία μιας νομισματικής μονάδας. Παράδειγμα 3. Να βρεθεί η αρχική (παρούσα αξία ενός κεφαλαίου 8. ευρώ το οποίο ανατοκίζεται με ετήσιο επιτόκιο 7% επί 1 έτη.
ΛΥΣΗ U 8. 4.667,94 1 1,7 ευρώ 1 8.,5834929 Η παρούσα αξία στην περίπτωση που ο χρόνος δεν είναι ακέραιος αριθμός, αλλά κλασματικός προκύπτει από τους αντίστοιχους τύπους της γραμμικής ή εκθετικής συνθήκης. Για παράδειγμα:
Α Εκθετική 1 U Β Γραμμική U 1 1
Παράδειγμα 4. Να βρεθεί η αρχική (παρούσα αξία ενός κεφαλαίου 48.5 ευρώ το οποίο ανατοκίζεται με ετήσιο επιτόκιο 5% επί 1 έτη και 5 μήνες. ΛΥΣΗ Εφαρμόζουμε τη σχέση: 48.5 5 1 ( 1,5 1,5 48.5 29.176 ευρώ 1,62889 1,254
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creave Coons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό. Οι όροι χρήσης των έργων τρίτων επεξηγούνται στη διαφάνεια «Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων». Τα έργα για τα οποία έχει ζητηθεί άδεια αναφέρονται στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».
[1]hp://creavecoons.org/lcenses/ από-nc-sa/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να
χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων Δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, παρά μόνο εάν ζητηθεί εκ νέου άδεια από το δημιουργό. διαθέσιμο με άδεια CC-BY Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου και η δημιουργία παραγώγων αυτού με απλή αναφορά του δημιουργού. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-SA Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού, και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-ND Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η δημιουργία παραγώγων του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-SA Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-ND Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου και η δημιουργία παραγώγων του. διαθέσιμο με άδεια CC ublc Doan Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού.
διαθέσιμο ως κοινό κτήμα Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. χωρίς σήμανση Συνήθως δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους.