Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Θεωρία Συνόλων, Συναρτήσεις Πραγματικής Μεταβλητής, Όριο και Συνέχεια Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Σελίδα

1 Σκοποί ενότητας 4 Περιεχόμενα ενότητας 4 3 Σύνολα 5 4 Σχέσεις 9 5 Συναρτήσεις μιας Πραγματικής Μεταβλητής 1 51 Βασικές Συναρτήσεις 13 5 Όριο Συνέχεια 18 51 Όριο καθώς το (πεπερασμένο): f ( ) = 19 5 Όριο καθώς το (Μη πεπερασμένο): ± lim f ( ) = ± 3 53 Όριο καθώς το ± lim f( ) = l ή lim f ( ) = ± 4 6 Συνεχείς Συναρτήσεις 6 Σελίδα 3

1 Σκοποί ενότητας Παρουσιάζονται θέματα Θεωρίας Συνόλων, Συναρτήσεων Πραγματικής Μεταβλητής, Ορίου και Συνέχειας που είναι απαραίτητα για τον χρηματοοικονομικό και λογιστικό αναλυτή Περιεχόμενα ενότητας Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις μιας Πραγματικής Μεταβλητής, Βασικές Συναρτήσεις, Όριο Συνέχεια, Όριο καθώς το (πεπερασμένο): f ( ) =, Όριο καθώς το (Μη πεπερασμένο): lim f ( ) = ±, Όριο καθώς το ± lim f( ) = l ή lim f ( ) = ±, Συνεχείς Συναρτήσεις ± Σελίδα 4

3 Σύνολα Σύνολο (set) είναι μια συλλογή διακεκριμένων αντικειμένων Νίκος, Μαρία, Γιάννης, Πέτρος Πχ } = {,1,,3, }, A= { ab, }, { } Τα αντικείμενα ενός συνόλου ονομάζονται στοιχεία (element) του συνόλου και αν ένα στοιχείο ανήκει σε ένα σύνολο το συμβολίζουμε a { ab, }, ενώ αν δεν ανήκει συμβολίζουμε c { ab, } Ένα σύνολο μπορεί να μην περιέχει στοιχεία, ένα τέτοιο σύνολο ονομάζεται κενό και συμβολίζεται με {} ή Ορισμός: Το σύνολο P είναι υποσύνολο του συνόλου Q εάν το κάθε στοιχείο του P είναι στοιχείο του Q και θα συμβολίζουμε με P Q Πχ { a} { ab, }, ενώ { abc,, } { ab, } Ορισμός: Δύο σύνολα P και Q ονομάζονται ίσα, αν αποτελούνται από τα ίδια ακριβώς στοιχεία Ορισμός: Έστω P ένα υποσύνολο του Q Θα λέμε ότι το P είναι γνήσιο υποσύνολο του Q εάν το P δεν είναι ίσο με το Q και θα συμβολίζουμε με P Q Τα σύνολα μπορούν να συνδυαστούν με διάφορους τρόπους και να παράγουμε νέα σύνολα Τα σύνολα που προέρχονται από συνδυασμό άλλων συνόλων μπορούν να αναπαρασταθούν γραφικά χρησιμοποιώντας τα διαγράμματα Venn Έτσι αν θεωρήσουμε δυο σύνολα P και Q, τα σύνολα αυτά αναπαρίστανται από τις γραμμοσκιασμένες περιοχές, όπως φαίνεται και στο σχήμα 1 παρακάτω Σχήμα 1 Τα σύνολα P και Q αναπαρίστανται από τις γραμμοσκιασμένες περιοχές Ορισμός: Η ένωση (union) δύο συνόλων P και Q είναι το σύνολο P Q του οποίου τα στοιχεία είναι ακριβώς τα στοιχεία που ανήκουν στο P ή στο Q { : ή } P Q= P Q Σελίδα 5

Παράδειγμα: { ab, } { cd, } { abcd,,, } = { ab, } { ac, } { abc,, } = { ab, } = { ab, } Σχήμα Ένωση των συνόλων P και Q Ορισμός: Η τομή (intersection) δύο συνόλων P και Q είναι το σύνολο P Q του οποίου τα στοιχεία είναι ακριβώς τα στοιχεία που ανήκουν τόσο P όσο και στο Q { : και } P Q= P Q Παράδειγμα: { ab, } { cd, } = { ab, } { ac, } { a} = { ab, } = Σχήμα 3 Η τομή των συνόλων P και Q Σελίδα 6

Ιδιότητες: 1 Προσεταιριστική P P P = P P P 1 3 1 3 11 ( ) 1 ( ) P P P = P P P 1 3 1 3 Αντιμεταθετική 1 P P = P P 1 1 P P = P P 1 1 3 Ουδέτερο στοιχείο 31 P = P 3 P Ω= P (όπου το Ω είναι το σύνολο αναφοράς) 4 Επιμεριστική (Σχήμα 4) 41 ( P1 P) P3 ( P1 P3) ( P P3) 4 ( P P ) P ( P P ) ( P P ) = = 1 3 1 3 3 Σχήμα 4 Επιμεριστική ιδιότητα Ορισμός: Η διαφορά δύο συνόλων P και Q, είναι το σύνολο P Q που περιέχει ακριβώς τα στοιχεία του P τα οποία δεν είναι στοιχεία του Q { και Q} P Q= P (συμπλήρωμα του Q ως προς P) Παράδειγμα: { ab, } { ac, } { bc, } = Σχήμα 5 Η διαφορά των συνόλων P και Q Σελίδα 7

Ορισμός: Το δυναμοσύνολο ενός συνόλου Α είναι το σύνολο το οποίο περιέχει ακριβώς όλα τα υποσύνολα του Α, το σύνολο αυτό το συμβολίζουμε με ( A) ή A { } ( A) = X X A Παράδειγμα: ({ ab, }) { },{ a},{ b},{ ab, } = { } Θεώρημα: Το δυναμοσύνολο ενός συνόλου με n στοιχεία έχει n ( A) = A πλήθος στοιχείων, δηλαδή Ορισμός: Αν P, Q δύο σύνολα τότε ονομάζουμε καρτεσιανό γινόμενο των P και Q το σύνολο που αποτελείται από όλα τα διατεταγμένα ζεύγη (a, b) όπου a P και b Q, δηλαδή {(, ): και } P Q= a b a P b Q Σελίδα 8

4 Σχέσεις Έστω Α και Β δύο σύνολα, τότε κάθε υποσύνολο R του καρτεσιανού γινομένου Α Β λέγεται σχέση (relation) μεταξύ του Α και του Β Παράδειγμα: Ορίζουμε την σχέση R : «μικρότερος ή ίσος πραγματικός αριθμός», συμβολικά Ry {(, ) : } R= y y y Σχήμα 6 Γραφική απεικόνιση της σχέσης R Σελίδα 9

5 Συναρτήσεις μιας Πραγματικής Μεταβλητής Γενικά, µε τον όρο συνάρτηση (function) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ορίζουμε μια σχέση μεταξύ του Α και του Β ώστε κάθε στοιχείο του Α να σχετίζεται μόνο με ένα στοιχείο του Β f : Α Β, με τύπο y = f ( ) Το σύνολο Α ονομάζεται πεδίο ορισμού Το σύνολο Β σύνολο αφίξεως Το σύνολο f ( Α) Β πεδίο τιμών Η ανεξάρτητη μεταβλητή A μπορεί να παριστάνει µία ή περισσότερες πραγματικές ή μιγαδικές μεταβλητές µε y B την αντίστοιχη τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής Αν A η συνάρτηση θα λέμε ότι είναι μιας πραγματικής μεταβλητής Αν f ( Α) η συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνάρτηση πραγματικών τιμών Παραδείγματα: 1 Η Η 3 Η f( ) = είναι συνάρτηση με πεδίο ορισμού A = και πεδίο τιμών ( ) f A = + f( ) = 3 + είναι συνάρτηση με πεδίο ορισμού A = και πεδίο τιμών 3 f( A) = 3 f( ) = 1 είναι συνάρτηση με πεδίο ορισμού το A = [ 1,1] και πεδίο τιμών το f( A ) = [,1] Ορισμός: Το σύνολο των σημείων του επιπέδου που οι συντεταγμένες τους είναι διατεταγμένα ζεύγη μιας συνάρτησης (, f( )), ονομάζεται γραφική παράσταση {(, ) ( )} Grf = y y y = f ή C f Σχήμα 7 Γραφική παράσταση συνάρτησης Σελίδα 1

Ορισμός: Έστω f : A B αν 1, τότε f ( ) f ( ) για οποιαδήποτε 1, A, τότε η f 1 λέγεται αμφιμονοσήμαντη, συμβολίζεται 1-1 και διαβάζεται «ένα προς ένα» Ορισμός: Έστω f : A B μια αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση από το Α στο Β, τότε η αντίστροφη συνάρτηση (inverse function) της f, συμβολίζεται με αντιστοιχεί το μοναδικό A 1 f, είναι η συνάρτηση που σε κάθε y B Σχήμα 8 Με κόκκινο χρώμα απεικονίζεται η, με μπλε η αντίστροφή της και με πράσινο η y= ως άξονας αναφοράς Ορισμός: Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α ονομάζεται: Άρτια, όταν για κάθε A Περιττή, όταν για κάθε A είναι A και f ( ) = f ( ) είναι A και f ( ) = f ( ) * Περιοδική, όταν υπάρχει T, τέτοιος ώστε για κάθε A είναι Παράδειγμα: ( ) ( ) + T A και f + T = f Η συνάρτηση Η συνάρτηση f( ) f( ) = είναι άρτια 3 = είναι περιττή Η συνάρτηση f( ) cos( ) = είναι περιοδική Σελίδα 11

Ορισμός: Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α ονομάζεται: Γνησίως αύξουσα, όταν για 1 < f ( 1) < f ( ) Γνησίως φθίνουσα, όταν για 1 f ( 1) f ( ) Αύξουσα, όταν για 1 < f ( 1) f ( ) Φθίνουσα, όταν για < f ( ) f ( ) < > 1 1 Μια συνάρτηση που είναι αύξουσα ή φθίνουσα ονομάζεται μονότονη Ορισμός: Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α ονομάζεται: Φραγμένη άνω, όταν υπάρχει ϕ τέτοιος ώστε για κάθε A Φραγμένη κάτω, όταν υπάρχει ϕ τέτοιος ώστε για κάθε A Φραγμένη, όταν είναι φραγμένη άνω και κάτω ισχύει ( ) ισχύει ( ) f ϕ f ϕ Πρόταση : Μια συνάρτηση f είναι φραγμένη, αν και μόνο αν υπάρχει δ τέτοιος ώστε για κάθε f ( ) δ Ορισμός: Έστω μια συνάρτηση f : A Αν υπάρχει στοιχείο A τέτοιο ώστε για κάθε A συνάρτηση παρουσιάζει στο μέγιστο Αν υπάρχει στοιχείο A τέτοιο ώστε για κάθε A συνάρτηση παρουσιάζει στο ελάχιστο Ορισμός: (Πράξεις συναρτήσεων) Ορίζουμε ως: Άθροισμα f g: A1 A να είναι ( ) ( ) f f να είναι ( ) ( ) f f +, με τύπο ( f + g)( ) = f ( ) + g( ) Διαφορά f g: A1 A, με τύπο ( f g)( ) = f ( ) g( ) Γινόμενο f g: A1 A, με τύπο ( f g)( ) = f ( ) g( ) Πηλίκο f/ g: A A\ { g ( ) = }, με τύπο ( f / g)( ) f ( ) / g( ) 1 =, τότε λέμε ότι η, τότε λέμε ότι η Ορισμός: Αν f : A1, g: A η σύνθεση της f με τη g είναι η συνάρτηση g f : A ( ) με A { A : f( ) A } με τύπο ( g f )( ) = g f ( ) 3 Παράδειγμα: Η f ( ) sin ( ) = = 1 Σελίδα 1

51 Βασικές Συναρτήσεις 1 Πολυωνυμική: n f( ) = a + a + + a+ a, a, i = 1,, n έχουν πεδίο ορισμού το n n 1 n 1 1 Αποτελείται από n υποδιαστήματα στα οποία είναι μονότονη (με διαφορετική μονοτονία) i Σχήμα 9 Παράδειγμα Πολυωνυμικής Συνάρτησης Ρητή: P ( ) f( ) =, όπου P ( ), Q ( ) πολυώνυμα πεπερασμένου βαθμού Πεδίο ορισμού το Q ( ) { ( ) } A= Q 3 Εκθετική με βάση το α: : με f( ) = a και a > f + Πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών το (, + ) Σχήμα 1 Εκθετική συνάρτηση με βάση το α Σελίδα 13

Ιδιότητες πράξεων με δυνάμεις: y y aa = a + a a y a = a ( ) y a b = y = y a ab ( ) 4 Λογαριθμική με βάση α: f : Πεδίο ορισμού A = (, + ) με f ( ) ( ) + = log a Σχήμα 11 Λογαριθμική συνάρτηση με βάση α Ιδιότητες πράξεων με λογαρίθμους: y loga = y a = loga a = και log a a = loga a = 1 και logα 1 = log = log + log ( ) α 1 α 1 α 1 log = log log α α 1 α k log = klog log α α 1 α 1 α = log = Αν a > 1 τότε: logα 1 < logα 1 < Αν < a < 1 τότε: logα 1 < logα 1 > ln y = y e = ln a ln a a = e, διότι a = e logβ logα = log β α Σελίδα 14

5 Τριγωνομετρικές: 51 Ημίτονο: f( ) = sin Πεδίο ορισμού: A = Σύνολο τιμών f ( A) [, ] = 1 1 Σχήμα 1 Συνάρτηση ημιτόνου 5 Συνημίτονο: f( ) cos( ) = Πεδίο ορισμού: A = Σύνολο τιμών f ( A) [, ] = 1 1 Σχήμα 13 Συνάρτηση συνημίτονου 53 Εφαπτομένη: f( ) tan ( ) = π Πεδίο ορισμού: A \ = κπ +, κ Z Σύνολο τιμών f ( A)= R Σχήμα 14 Συνάρτηση εφαπτομένης Σελίδα 15

6 Αντίστροφες Τριγωνομετρικές: 61 Τόξο Ημιτόνου: arcsin() π π Η συνάρτηση f( ) = sin περιορισμένη στο διάστημα, είναι αντιστρέψιμη 1 Συμβολίζουμε με sin ή arcsin την αντίστροφη της arcsin :[ 1,1] π π Πεδίο Τιμών είναι το, Πίνακας 1 Ενδεικτικές τιμές ημιτόνου και τόξου ημιτόνου α/α Ενδεικτικές τιμές ημιτόνου: Ενδεικτικές τιμές τόξου ημιτόνου: 1 sin( π π ) = 1 arcsin(1) = sin() = arcsin() = 3 π π sin( 1) = arcsin( 1) = Σχήμα 15 Συνάρτηση Τόξου Ημιτόνου 6 Τόξο Συνημιτόνου: arcos() Η συνάρτηση f( ) = cos περιορισμένη στο διάστημα [, π ] είναι αντιστρέψιμη Συμβολίζουμε με cos arccos :[ 1,1] 1 Πεδίο Τιμών είναι το [, π ] ή arccos την αντίστροφη της Πίνακας Ενδεικτικές τιμές συνημιτόνου και τόξου συνημιτόνου α/α Ενδεικτικές τιμές συνημιτόνου: Ενδεικτικές τιμές τόξου συνημιτόνου: 1 cos() = 1 arcos(1) = cos( π π ) = arcos() = 3 cos( π ) = 1 arcos( 1) = π Σελίδα 16

Σχήμα 16 Συνάρτηση Τόξου Συνημιτόνου 63 Τόξο Εφαπτομένης: arctan() π π Η συνάρτηση f( ) = tan περιορισμένη στο διάστημα, Συμβολίζουμε με tan 1 ή arctan την αντίστροφη της είναι αντιστρέψιμη arctan : π π Πεδίο Τιμών είναι το, Σχήμα 17 Συνάρτηση Τόξου Εφαπτομένης Σελίδα 17

5 Όριο Συνέχεια Ορισμός: Έστω V και d : V V με τις ιδιότητες: 1 d( y, ) για κάθε y, V και ( ) d( y, ) = d( y, ) 3 d(, y) d(, z) + d( z, y) d y, = αν και μόνο αν = y Η πραγματική συνάρτηση d ονομάζεται μετρική και ο αριθμός d( y, ) απόσταση του από το y Το ζεύγος ( V, d ) ονομάζεται μετρικός χώρος (Metric Space) Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών μια απόσταση είναι η: d1 ( y, ) = y (συνήθης απόσταση) Ορισμός: Έστω ( V, +, ) ένας πραγματικός γραμμικός χώρος μια απεικόνιση νόρμα αν: :V ονομάζεται 1 για κάθε V και = αν και μόνο αν = λ = λ για κάθε V και λ 3 + y + y για κάθε y, V Το ζεύγος ( V, ) ονομάζεται χώρος με νόρμα Έτσι η απεικόνιση d( y, ) = y είναι μια μετρική στον V Στον γραμμικό χώρο ( ) n μια νόρμα (η ευκλείδεια νόρμα) είναι n = 1,,, n και έτσι η απόσταση μεταξύ δύο στοιχείων y, y είναι ( ) ( ) ( ) ( ) d, y = y = y + y + + y n n 1 1 Ορισμός: Έστω ένα σύνολο V και ώστε d(, ) < ε ( ε >) ονομάζεται περιοχή του = 1 + + + n αν V τότε το σύνολο όλων των σημείων V τέτοιων Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών με τη συνήθη απόσταση, μια περιοχή είναι ένα ανοικτό διάστημα (, ) d = < ε ε < < ε 1 (, ) ε + < < ε + ε + ε Ορισμός: Έστω A Ένα σημείο ονομάζεται σημείο συσσώρευσης του Α, αν και μόνο αν κάθε περιοχή του περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο του Α διαφορετικό του Σελίδα 18

51 Όριο καθώς το (πεπερασμένο): f ( ) = Διαισθητικά: Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης προσεγγίζουν όσο «κοντά» θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό, καθώς το προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο το είναι το, τότε το όριο της συνάρτησης f ( ) Σχήμα 18 Διαισθητική απεικόνιση του ορίου Ορισμός: Έστω f : A μια συνάρτηση και ένα σημείο συσσώρευσης του Α τότε θα λέμε ότι η f έχει στο όριο το όταν για κάθε ε> υπάρχει δ ( ε ) > τέτοιο ώστε για κάθε A με < < δ, να ισχύει f( ) ε και συμβολίζουμε lim f( ) = Σχήμα 19 Απεικόνιση του ορίου Σελίδα 19

Ορισμός: Έστω f :(, ) b λέμε ότι η f έχει στο δεξιό πλευρικό όριο το όταν για με < < + δ, να ισχύει f( ) ε κάθε ε> υπάρχει δ ( ε ) > τέτοιο ώστε για κάθε A και συμβολίζουμε lim f( ) = + Ορισμός: Έστω :(, ) f a λέμε ότι η f έχει στο για κάθε ε> υπάρχει δ ( ε ) > τέτοιο ώστε για κάθε A και συμβολίζουμε Παρατηρήσεις: lim f( ) = + αριστερό πλευρικό όριο το όταν με δ < <, να ισχύει f( ) ε 1 Αν το όριο της f στο υπάρχει, τότε αυτό είναι μοναδικό f : α,, b, τότε lim f( ) = lim f( ) = lim f( ) = Έστω ( ) ( ) 3 Έστω f :(, ) 4 Έστω f :( α, ) 5 Αν b, τότε + 6 lim c = c 7 lim =, τότε + + lim f( ) = lim f( ) lim f( ) = lim f( ) lim f( ) lim f( ),τότε δεν υπάρχει το όριο της f στο Σχήμα Αριστερά: Τα πλευρικά όρια είναι ίσα Δεξιά: Τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα Σελίδα

Θεώρημα (κριτήριο Παρεμβολής): Έστω f, gh, : A και έστω σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α Αν: h ( ) f( ) g ( ) για κάθε A, και όριο lim f( ) υπάρχει και lim f( ) = lim h ( ) = lim g ( ) = τότε το Θεώρημα: Αν υπάρχουν τα όρια lim f( ) και lim g ( ) =, τότε: 1 lim( f ( ) + g( )) = lim f ( ) + lim g( ) lim( κf ( )) = κ lim f ( ), για κάθε κ 3 lim( f( ) g ( )) = lim f( ) lim g ( ) 4 lim ( ) lim f ( ) f =, εφόσον lim g( ) g( ) lim g( ) 5 lim f ( ) = lim f ( ) 6 lim κ f ( ) = κ lim f ( ) εφόσον f( ) για κάθε, με (α, ) (,β) 7 lim[ f ( )] = [ lim f ( )] ν ν 8 lim = ν ν 9 Αν p ( ) πολυώνυμο βαθμού n,τότε: lim p( ) = p( ) 1 Αν p, ( ) q( ) πολυώνυμα, τότε: p ( ) p ( ) = lim, q ( ) q ( ) q ( ) Παραδείγματα: Αν 3 f( ) = + 5 τότε: f = + = + = + = + = = f 3 3 3 lim ( ) lim 5 lim lim 5 lim lim 5lim lim 1 5 4 (1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 lim = lim = lim = 1 1 1 1 + 1 1 + 1 ( ) ( )( ) ( ) π π lim 3sin + cos = 3 sin + cos = 3 + π 4 4 4 ( ) ( ) ( )( ) 5 5 + 5 lim = lim = 5 5 5 5 + 5 ( 5)( + 5) = 5 1 1 1 lim = lim = = 5 5 + 5 5+ 5 5 Σελίδα 1

Πρόταση: Αποδεικνύεται με χρήση του ορισμού ότι: lim sin = sin lim cos = cos lim tan = tan sin lim = 1 sin a lim = 1 a cos 1 lim = Σελίδα

5 Όριο καθώς το (Μη πεπερασμένο): lim f ( ) = ± Ορισμός: Το Το lim f( ) = + αν για κάθε Μ > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε, για όλα τα με < δ f( ) > M lim f( ) = αν για κάθε Μ > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε, για όλα τα με < δ f( ) < M Σχήμα 1 Η συνάρτηση αποκλίνει στο άπειρο καθώς το Παρατηρήσεις: Αν lim f ( ) = +, τότε lim ( f ( )) = Αν lim f ( ) =, τότε lim ( f ( )) = + 1 Αν lim f ( ) = + ή, τότε lim = f ( ) 1 Αν lim f ( ) = και f ( ) > κοντά στο, τότε lim = + f ( ) Αν lim f ( ) = και f ( ) < κοντά στο, τότε lim Αν lim f ( ) = + ή, τότε lim f ( ) = + Αν lim f ( ) = +, τότε lim k f ( ) = + 1 f ( ) = α/α Όρια Τιμές Τιμές Τιμές Τιμές Τιμές Τιμές Τιμές Τιμές lim f + + 1 ( ) lim g ( ) 3 lim ( f( ) g ( )) 4 lim ( f( ) g ( )) + + + + + + + + Α Α > + < < > + + + Σελίδα 3

53 Όριο καθώς το ± lim f( ) = l ή ± lim f ( ) = ± Ορισμός: Το lim f( ) Μ< f( ) < ε = αν για δοθέν ε > υπάρχει ένας αριθμός Μ τέτοιος ώστε, για όλα τα με Σχήμα Όριο ημιτονοειδούς συνάρτησης Θεώρημα: Αν υπάρχουν τα lim f( ) = 1, lim g ( ) =,τότε: lim( f( ) ± g ( )) = 1 ± lim( f( ) g ( )) = 1 lim( k f( )) k 1 = 1 g ( ) f( ) lim =, Πρόταση: Αποδεικνύεται με χρήση του ορισμού ότι: lim n = +, lim n + 1 1 lim =, lim + n = 1 1 lim =, lim n = + = av n άρτiος av n περρiτ ός Σελίδα 4

lim α n + α n + + α = lim ( α n ) 1 ( 1 ) + n n n + 1 ( ) lim α ν + α ν + + α = lim ( α ν ) ν ν 1 ν n n 1 n αn + αn 1 + + α1+ α αn lim = lim n n 1 n ± βn + βn 1 β1 β ± + + + βn lim a =, < a < 1, lim a = +, < a < 1 + lim a = +, a > 1, lim a =, a > 1 + 1 lim 1+ = e, + lim log = + + Παραδείγματα: 1 lim 1+ = e 1 lim lim = lim = lim = = = 3 1 1 3 1 3 lim 3 lim 3 3 1 1 1 1 1 3 + 1 3 + 3+ 1 lim = lim = lim 3 3 1 1 1 1 1 1 1 3 + lim 1 3 lim + lim 1 1 lim lim lim 1 3 + = = = = 1 1 lim lim Σελίδα 5

6 Συνεχείς Συναρτήσεις Μια συνάρτηση είναι συνεχής αν η γραφική της παράσταση δεν παρουσιάζει διακοπές, χάσματα ή άλματα Μια συνάρτηση y = f( ) είναι συνεχής σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της αν lim f( ) = f( ) Μια συνάρτηση y = f( ) είναι συνεχής στο αριστερό ακραίο σημείο του πεδίου ορισμού της αν lim f( ) = f( ) + Μια συνάρτηση y = f( ) είναι συνεχής στο δεξιό ακραίο σημείο του πεδίου ορισμού της αν lim f( ) = f( ) Μια συνάρτηση είναι συνεχής εάν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της Σχήμα 3 Γραφική παράσταση συνεχούς συνάρτησης Μια συνάρτηση y = f( ) είναι συνεχής στο αν και μόνο αν ισχύουν τα ακόλουθα: 1 Το ανήκει στο πεδίο ορισμού Το lim f( ) υπάρχει 3 lim f( ) = f( ) Παρατηρήσεις: Τα πολυώνυμα και τα πηλίκα πολυωνύμων είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους Αν οι συναρτήσεις f( ), g ( ) είναι συνεχείς στο τότε και οι f( ) ± g ( ), f( ) g ( ), kf ( ), f( ) g ( ) είναι συνεχείς στο Η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση Σελίδα 6

Οι συναρτήσεις sin, cos, tan, e είναι συνεχής sin Παράδειγμα: Η συνάρτηση f( ) = είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων εκτός από το σημείο = όπου δεν ορίζεται Σχήμα 4 Γραφική παράσταση της f( ) Μπορούμε όμως να επεκτείνουμε αυτή την συνάρτηση ώστε να είναι συνεχής και στο =, ορίζοντάς την ως εξής sin, f( ) = (γεμίσαμε το σημείο ασυνέχειας) 1, = Σχήμα 5 Γραφική παράσταση της f( ) (μετά την επέκταση) Σελίδα 7

Παράδειγμα: Η συνάρτηση f( ) = είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της Αν βγάλουμε το, > απόλυτο, η συνάρτηση γράφεται f( ) = +, < y 7 6 5 4 3 1-4 - 4 Σχήμα 6 Γραφική παράσταση της f( ) Παράδειγμα: Η συνάρτηση 3, 1 f( ) =, < 1 στο = 1 είναι διαφορετικά, άρα δεν υπάρχει το από τη γραφική της παράσταση είναι ασυνεχής στο = 1 Πράγματι, τα πλευρικά όρια lim f( ) (ασυνέχεια α-είδους) Αυτό προκύπτει και Σχήμα 7 Γραφική παράσταση της f( ) Σελίδα 8

Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Οικονομικό Πανεπιστήμιον Αθηνών, Ανδριανός Ε Τσεκρέκος, 15 Ανδριανός Ε Τσεκρέκος «Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα» Έκδοση: 1 Αθήνα 15 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://opencoursesauebgr/modules/document/?course=loxr1 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων πχ φωτογραφίες, διαγράμματα κλπ, τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων» [1] http://creativecommonsorg/licenses/by-nc-sa/4/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (πχ διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων

το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους Σελίδα 3

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Σελίδα 31