Γεωμετρία - Ασκήσεις με γωνίες

Σελίδα 1 από 19 Γεωμετρία - Ασκήσεις με γωνίες Χαρακτηριστικές ασκήσεις με γωνίες πυ αρέσυν γητεύυν τυς μαθητές πυ ασχλύνται με τυς μαθηματικύς διαγωνισμύς! Μπάμπης Στεργίυ Φεβρυάρις 01 11 ίννται στη σειρά τα τετράγωνα ΑΒΓ, ΒΓΕΖ ΕΖΗΘ, τα πία δεν έχυν κινά εσωτερικά σημεία Να απδειχθεί ότι AE + ΑΘ =45 Θεωρύμε τ τετράγων ΖΗΚΙ, όπως στ σχήμα Έστω ΑΕ x AΘ y Θα απδείξυμε ότι Πρφανώς y ΘΑ Τα ρθγώνια τρίγωνα xy 45 Η ΑΕ ΙΖΑ είναι ίσα, αφύ ισχύει ότι ΙΖ α Άρα: ΑΖ Ε Α α ΙΑΖ ΑΕ x Αρκεί λιπόν να απδείξυμε ότι IAΘ 45 Όμως τα τρίγωνα ΙΖΑ ΘΚΙ είναι ίσα, πότε: Επίσης: IA IΘ ΑΙΖ ΖΙΘ ΚΙΘ ΙΘΚ 90 Επμένως τ τρίγων ΙΑΘ είναι ρθγώνι ισσκελές, πότε ΙΑΘ 45 Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!

Σελίδα από 19 1 Σε ένα ισσκελές τρίγων ΑΒΓ είναι (ΑΒ = ΑΓ) Α =0 Στην πλευρά ΑΓ θεωρύμε σημεί τέτι, ώστε Α = ΒΓ Να απδειχθεί ότι ΑΒ =1 0 (Θέμα πλλών διαγωνισμών) Τ θέμα αυτό τίθεται πλύ συχνά σε μαθηματικύς διαγωνισμύς πλλών χωρών Ας δύμε μια ωραία λύση Θεωρύμε τ ισόπλευρ τρίγων ΕΑΒ Είναι τότε: ΓΒΕ ΑΒΓ ΑΒΕ 80 60 0 ΑΕ ΑΓ ΓΑΕ 60 ΒΑΓ 40, πότε: Έτσι: 180 40 ΑΕΓ ΑΓΕ 70 ΒΕΓ ΑΕΓ ΑΕΒ 70 60 10 Τα τρίγωνα όμως ΒΓΕ ΑΒ είναι ίσα, διότι: ΒΓ Α, ΒΕ ΑΒ α ΓΒΕ ΑΒ 0 Άρα ι γωνίες x ΒΕΓ είναι ίσες Επμένως x 10 13 ίνεται ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ (Α =90 ) ι διχτόμι τυ Β ΓΕ Αν ΕΗ, Ζ ΒΓ, να απδειχθεί ότι ΗΑΖ =45 (Αγγλία 1997) Έστω ΑΘ ΒΓ Επειδή τ Ε είναι σημεί της διχτόμυ της Γ, ΕΑ ΑΓ ΕΗ ΗΓ, θα είναι ΕΗ ΕΑ Άρα: Α H x (1) όπυ: A x x EAH x H x EHA Οι ΕΗ ΑΘ είναι κάθετες στη ΒΓ, πότε ΕΗ // ΑΘ Άρα: ΕΗΑ ΗΑΘ x y () όπυ y HAΘ Επμένως η ΑΗ είναι διχτόμς της Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!

Σελίδα 3 από 19 γωνίας ΒΑΘ Όμια, η ΑΖ είναι διχτόμς της γωνίας ΘΑΓ Άρα: ΒΑΘ ΓΑΘ 90 ΗΑΖ ΗΑΘ ΘΑΖ 45 14 ίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ, με ΑΒ = ΑΓ Α =0 Στις πλευρές ΑΓ ΑΒ παίρνυμε σημεία Ε αντίστιχα, ώστε ΒΓ =50 ΕΓΒ =60 Να απδειχθεί ότι ΓΕ =30 Παίρνυμε στην ΑΒ σημεί Ζ, ώστε ΖΓΒ 0 Τότε: ΓΒ ΓΖ ΓΒ Γ ΖΓ ΖΕ, αφύ τ τρίγων ΓΒΖ είναι ισσκελές,, αφύ τ τρίγων ΓΒ είναι ισσκελές,, αφύ τ τρίγων ΖΕΓ είναι ισσκελές ΖΓ 60 Αλλά τ τρίγων ΓΖ θα είναι τότε ισόπλευρ, διότι Άρα Ζ ΖΓ ΖΕ, πότε: Τελικά έχυμε: 180 ΕΖ 180 40 ΖΕ 70 ΓΕ ΖΕ ΖΕΓ 70 40 30 15 Σε ένα τρίγων ΑΒΓ είναι Α =10 Αν Α, ΒΕ ΓΖ είναι ι διχτόμι τυ τριγώνυ αυτύ, να απδειχθεί ότι ΕΖ =90 (ιαγωνισμός ΕΜΕ) Στ τρίγων ΑΓ ι ΑΖ ΓΖ είναι αντίστιχα η εξωτερική η εσωτερική διχτόμς Έτσι τ Ζ είναι παράκεντρ τυ τριγώνυ ΑΓ Συνεπώς, η Ζ είναι εξωτερική διχτόμς, δηλαδή διχτόμς της ΑΒ Όμια η Ε είναι διχτόμς της γωνίας AΓ, πότε: ΕΖ 90 διότι ι διχτόμι δύ εφεξής παραπληρωματικών γωνιών τέμννται κάθετα Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!

Σελίδα 4 από 19 16 ίνεται τρίγων ΑΒΓ, με Α =10, ι διχτόμι Α ΒΖ, πυ τέμννται στ Ι Αν η ΓΙ τέμνει τη Ζ στ Ε, να απδειχθεί ότι ΑΕ =30 Επειδή ΑΓ 60, για να είναι x 30, αρκεί να απδείξυμε ότι η ΑΕ είναι διχτόμς της γωνίας AΓ Όμως τ Ι είναι έγκεντρ τυ τριγώνυ ΑΒΓ, διότι ι Α ΒΖ είναι διχτόμι Έτσι η ΓΙ είναι διχτόμς της γωνίας Γ τυ τριγώνυ ΑΓ Γ ( η Βαλκανιάδα Μαθηματικών) Αφύ λιπόν η ΓΙ είναι διχτόμς της, για να είναι η ΑΕ διχτόμς της γωνίας ΑΓ, αρκεί να είναι η Ζ διχτόμς της γωνίας ΑΓ τυ τριγώνυ ΑΓ Όμως, στ τρίγων ΑΒ η ΒΖ είναι εσωτερική διχτόμς η ΑΖ είναι εξωτερική διχτόμς, αφύ: ΑΓ ΓΑΗ 60 Τ Ζ είναι λιπόν παράκεντρ τυ τριγώνυ ΑΒ, πότε η Ζ είναι η (άλλη) εξωτερική διχτόμς τυ τριγώνυ ΑΒ Έτσι, η Ζ είναι διχτόμς της γωνίας της γωνίας Γ, πότε τ Ε είναι έγκεντρ τυ τριγώνυ ΑΓ Άρα: ΑΓ, η ΓΙ είναι διχτόμς x 30, αφύ ΑΓ 60 x 30 17 ίνεται τρίγων ΑΒΓ, τ ισόπλευρ τρίγων ΑΒ εκτός αυτύ, καθώς τ ισσκελές τρίγων ΑΓΕ στ εξωτερικό τυ μέσ τυ ΒΓ, να απδειχθεί ότι ΜΕ =90 ΑΒΓ, με ΕΑΓ = ΕΓΑ =30 Αν Μ είναι τ Έστω Ζ τ συμμετρικό τυ ως πρς τ Μ Τ ΒΓΖ είναι παραλληλόγραμμ, διότι ι διαγώνιες διχτμύνται Επμένως είναι: ΓΖ Β Α ΒΓΖ ΓΒ 60 Β Τα τρίγωνα ΑΕ ΓΕΖ είναι ίσα, διότι: Α ΓΖ γ ΑΕ ΓΕ Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!

Σελίδα 5 από 19 ΕΓΖ 360 ΕΓΑ ΑΓΒ ΒΓΖ 360 30 Γ (60 Β) 70 (Β Γ) 70 (180 Α) 90 Α ΑΕ Άρα είναι Ε ΕΖ ύψς Είναι δηλαδή ΜΕ 90 αφύ στ ισσκελές τρίγων ΕΖ η ΕΜ είναι διάμεσς, είναι 18 Στ εσωτερικό ενός τετραγώνυ ΑΒΓ δίννται τα σημεία Ε, Ζ, Η έτσι, ώστε ΕΑ = Ε, ΖΑ = ΖΒ τα τρίγωνα ΑΕΖ, ΗΕΖ να είναι ισόπλευρα Να απδειχθεί ότι Ε = ΓΗ Επειδή EA ZAB, είναι EΑ 15 ΕΑ 150, πότε: ΕΖ 360 150 60 150 (Αυστραλία 008) Επμένως ΕΑ ΕΖ, πότε: Ζ Α Γ ΕΖ ΕΑ 15 Είναι, πότε τ ΑΖ 30 ΖΓ είναι ισόπλευρ, αφύ επιπλέν είναι Ζ Α Γ Αφύ τ ΓΖ Ζ Όμως: ΖΓ είναι ισόπλευρ είναι ΕΖ ΕΖΗ ΖΗ ΖΓ ΖΗ ΗΖΓ Τα τρίγωνα ΕΖ ΗΖΓ είναι ίσα, διότι Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!

Σελίδα 6 από 19 Ζ ΖΓ, ΕΖ ΖΗ Άρα είναι Ε ΓΗ, ΕΖ ΗΖΓ 19 Σε ένα τρίγων ΑΒΓ, με Α =45 Γ =30, φέρυμε τη διάμεσ ΑΜ Να απδειχθεί ότι ΜΑΒ =30 Φέρυμε ΒΝ ΑΓ Τότε: ΒΓ ΒΝ ΒΜ έτσι τ τρίγων ΒΜΝ είναι ισόπλευρ Επειδή Β 105 ΝΒΜ 60, είναι: ΑΒΝ 45 Α Άρα ΝΑ ΝΒ ΝΜ Τ τρίγων λιπόν ΝΑΜ είναι ισσκελές επειδή: ΑΜΒ ΜΑΓ ΜΓΑ 30 y έχυμε: NMB 60 y (30 y) 60 y 15 Αφύ MAΓ y15 Â 45, είναι MAB 30 Άλλς τρόπς Φέρυμε τ ύψς Α τη διάμεσ Ν τυ AΓ Είναι ΜΝ // ΑΒ, πότε: ΜΝΓ 45 MΝ 45 30 75 Τ τρίγων ΑΝ είναι ισόπλευρ, αφύ ΑΓ Ν ΑΝ ΑΝ 60 Άρα: ΝΜ 75 ΜΝ Επμένως Α Μ αφύ ΑΜ 90 είναι: ΜΑ 45 Γ ΜΑΓ45 ΜΑΓ 15 ΜΑΒ 30 Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!

Σελίδα 7 από 19 110 Στις πλευρές ΒΓ, Γ ενός τετραγώνυ ΑΒΓ με ΑΒ = α, παίρνυμε τα σημεία Ε, Ζ αντίστιχα Αν η περίμετρς τυ τριγώνυ ΓΕΖ είναι ίση με α, να απδειχθεί ότι ΕΑΖ =45 Στ ρθγώνι τρίγων ΓΕΖ είναι: ΓΖ ΖΕ ΕΓ α ΓΖ ΖΕ ΕΓ Α ΑΒ α Άρα τ Α είναι παράκεντρ της γωνίας τυ ΓΕΖ Αν λιπόν ΑΗ ΖΕ, τότε: Γ ΑΗ ΗΑΒ ΑΒ ΖΑΕ ΖΑΗ ΗΑΕ 45 Μπρύμε επίσης απευθείας να πύμε ότι: Γ ΖΑΕ 90 45 με βάση γνωστή ιδιότητα των διχτόμων των γωνιών τριγώνυ Σχόλι Αν Ι είναι τ παράκεντρ ρθγωνίυ τριγώνυ ΑΒΓ α (Α 90 ), τότε είναι: ΑΒ ΒΓ ΓΑ ρα ΑΖ τ Αντίστρφα, αν ισχύει η παραπάνω σχέση, τότε τ Ι α είναι παράκεντρ τυ ΑΒΓ Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!

Σελίδα 8 από 19 Άλλς τρόπς Στην πρέκταση τυ ΓΒ παίρνυμε τμήμα ΒΗ Ζ Είναι τότε ΑΒΗ ΑΖ, πότε: ΑΗ ΑΖ ΖΑΗ 90 Είναι πότε: ΕΖ αεγζγ (αεγ) (αζγ) ΒΕ Ζ ΒΕ ΒΗ ΕΗ ΑΕΗ ΑΕΖ, διότι ΑΗ ΑΖ, ΕΗ ΕΖ ΑΕ κινή Άρα παίρνυμε: ΖΑΗ 90 ΖΑΕ 45 Άλλς τρόπς Έστω ΓΕ x Γ Z y Είναι τότε: ΓΕ ΓΖ ΕΖ α xy x y α x y [α (x y)] x y (α x) (α y) (α x)(α y) x y (α αxx ) (α αyy ) (α x)(α y) (α x)(α y) αx αy α (1) α x α y α xy (1) εφω εφφ α α α α(α xy) εφ(ωφ) 1 α x α y 1εφωεφφ 1 α (α x)(α y) α αx αy α α α α Άρα ωφ45, πότε ΕΑΖ 45 Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!

Σελίδα 9 από 19 111 Στη διαγώνι ΑΓ ενός τετραγώνυ ΑΒΓ παίρνυμε σημεί Ε έτσι, ώστε ΓΒΕ =30 Στην πρέκταση της διαγωνίυ ΑΓ, πρς τ Γ, παίρνυμε σημεί Ζ, ώστε ΓΖ = ΓΕ Να απδειχθεί ότι τ τρίγων ΖΒ είναι ισόπλευρ Θεωρύμε τ ισόπλευρ τρίγων ΒΓΗ Αν η ευθεία Η τέμνει την ΑΒ στ σημεί Θ, τότε: Τ σημεί Η βρίσκεται στη μεσκάθετη τυ ΒΓ, άρα τυ Α, έτσι τ Η είναι μέσ τυ Θ, αφύ Η ΗΑ Α 90 Επειδή ΓΗ με με Γ η γωνία ΓΗ είναι ίση 30, η γωνία ΑΘ είναι ίση με 90 75 45 15 Άρα η γωνία ΘΗΒ είναι ίση Τα τρίγωνα ΒΓΕ ΘΒΗ είναι ίσα, διότι ΒΓ ΒΗ ι πρσκείμενες σε αυτές γωνίες είναι ίσες (ι γωνίες αυτές είναι ΕΓ ΗΘ έτσι: ΖΕ ΕΓ ΗΘ Θ δηλαδή ΖΕ Θ Τα τρίγωνα ΘΒ ΕΒΖ είναι τώρα ίσα, διότι Θ είναι ίσες με απόδειξη λκληρώθηκε 45 30 αντίστιχα) Επμένως ΒΕ ΒΘ, ΕΖ, ΘΒ ΕΒ ι γωνίες ΒΘ, ΒΕΖ 105 η καθεμιά Άρα Β ΒΖ Αλλά ΒΖ Ζ, πότε Β ΒΖ Ζ η 11 ίνεται τρίγων ΑΒΓ, τ ισόπλευρ τρίγων ΑΒ εκτός αυτύ, καθώς τ ισσκελές τρίγων ΑΓΕ στ εξωτερικό τυ ΑΒΓ, με ΕΑΓ = ΕΓΑ =30 Αν Μ είναι τ μέσ τυ ΒΓ, να απδειχθεί ότι ΜΕ =90 Έστω Ζ τ συμμετρικό τυ ως πρς τ Μ Τ ΒΓΖ είναι παραλληλόγραμμ, διότι ι διαγώνιες διχτμύνται Επμένως είναι: ΓΖ Β Α ΒΓΖ ΓΒ 60 Β Τα τρίγωνα ΑΕ ΓΕΖ είναι ίσα, διότι: Α ΓΖ γ ΑΕ ΓΕ Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!

Σελίδα 10 από 19 ΕΓΖ 360 ΕΓΑ ΑΓΒ ΒΓΖ 360 30 Γ (60 Β) 70 (Β Γ) 70 (180 Α) 90 Α ΑΕ Άρα είναι Ε ΕΖ αφύ στ ισσκελές τρίγων ΕΖ η ΕΜ είναι διάμεσς, είναι ύψς Είναι δηλαδή ΜΕ 90 113 ίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ με γωνία (ΑΒ = ΑΓ) Α =0 Πάνω στην πλευρά ΑΓ θεωρύμε σημεί τέτι, ώστε ΒΓ =70 πάνω στην πλευρά ΑΒ θεωρύμε σημεί Ε τέτι, ώστε ΕΓΒ =60 Να απδειχθεί ότι ΕΒ =0 Η παράλληλη από τ Ε πρς την πλευρά ΒΓ τέμνει την ΑΓ στ σημεί Η ι ΒΗ ΓΕ τέμννται στ Ο Τότε είναι Άρα: ΒΟΓ 60 ΒΓ, πότε τ Ο είναι περίκεντρ στ τρίγων ΒΓ ΟΓ ΟΓ 0, ΕΟ 40 ΟΗ 0 ΟΒ ΟΒ 10 Επμένως έχυμε ότι, πότε ΟΗ Η ΗΕ Η (αφύ τ τρίγων ΟΕΗ είναι ισόπλευρ), : 180 80 ΕΗ 50 Τέλς: ΕΒ ΕΗ ΟΗ ΟΒ 50 0 10 0 Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!

Σελίδα 11 από 19 Άλλς τρόπς Παίρνυμε σημεί Ζ, με ΒΑΖ 80 ΑΖ ΒΓ α, τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΒΖ είναι ίσα (ΑΒ κινή, ΑΒΓ ΒΑΖ 80 Α Τα, ΒΓ Ζ α ) Άρα ΑΒΖ 0, πότε: ΒΖ 10 ΒΑ Στ ισσκελές τρίγων ΒΑΖ η Β διχτμεί, λιπόν, τη γωνία Β, άρα είναι μεσκάθετς της ΑΖ Έτσι Α Ζ τ τρίγων ΑΖ είναι ισόπλευρ με πλευρά α (είναι ΖΑ 60 ) Ίσ με τ ΑΖ είναι τ ισόπλευρ τρίγων ΟΒΓ Ακόμη είναι ΒΓ Β Γ 30, από τ τρίγων Τα τρίγωνα ΕΟΒ, ΗΖ είναι ίσα ( ΕΒΟ ΖΗ 0, ΟΒ Ζ α, ΕΟΒ ΗΖ 10 ), πότε ΕΟ Η Οι ΕΗ, ΒΓ είναι παράλληλες, διότι από τα ίσα τρίγωνα ΑΕΓ, ΑΗΒ παίρνυμε ότι είναι ισσκελές με παίρνυμε: Η ΕΟ ΕΗ ΑΕΗ 80 ΑΒΓ ΑΕ ΑΗ, πότε τ ΑΗΕ Άρα τ τρίγων ΕΟΗ είναι ισόπλευρ, πότε τελικά Τ τρίγων ΕΗ είναι ισσκελές τρίγων, με γωνία κρυφής ΕΗ 80 Θα είναι λιπόν: ΕΗ 50 ΕΒ 50 30 0 Η λύση αυτή έγινε από τν Λεωνίδα Θαρραλίδη Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!

Σελίδα 1 από 19 Άλλς τρόπς Φέρνυμε την ΒΗ έτσι, ώστε πρκύπτει εύκλα ότι Από τ σχήμα (ως τρίτη γωνία τυ τριγώνυ ΒΓ, στ πί ΓΒ 70 εκ κατασκευής ΓΒ 80, ως γωνία της βάσης τυ ισσκελύς κρυφής είναι ισόπλευρα 0 ΒΓ 30 ΓΒΗ ΕΓΒ 60, τυ πίυ η γωνία της ) Τα τρίγωνα ΒΖΓ ΕΖΗ είναι ΒΑΓ Στην ΑΒ θεωρύμε τ σημεί Θ έτσι, ώστε ΒΘ επειδή τ είναι ΒΗΘ ΘΒΗ 0 Συνεπώς τ ΒΗΘ ΗΘΒ 80 ΒΗ Τότε: είναι ισσκελές η γωνία της κρυφής τυ Είναι όμως : ΘΕΗ ΕΒΓ 80 ΕΘΗ ΒΗΘ ΘΗΕ είναι ισσκελές, με: ΗΘ ΗΕ (1) Στ τρίγων ΕΘΗ είναι ΘΗΕ 0, πότε ΘΗ 60 επειδή: ΚΗ ΚΗ 60 30 90 πρκύπτει ότι η Β είναι κάθετη στη ΒΘ Επειδή ΒΗ ΒΘ, η Β είναι μεσκάθετς της ΘΗ Άρα Θ Η, πότε ΘΚ ΗΚ 30 30 60 έτσι τ ΘΗ είναι ισόπλευρ Επμένως Θ ΘΗ Η ΕΗ, από τη σχέση (1) Συνεπώς τ ΗΕ είναι ισσκελές, πότε: 180 ΕΗ 180 80 ΕΗ ΗΕ 50 Αφύ ΕΗ 50, παίρνυμε τελικά ότι: ΕΒ ΕΗ ΒΗ 50 30 0 Η λύση αυτή έγινε από τν καλό φίλ συνάδελφ Πάν Γιαννόπυλ Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!

Σελίδα 13 από 19 114 Σε ένα κυρτό τετράπλευρ ΑΒΓ είναι, ΓΒ =18 ΒΑΓ =7 ΑΓ = = ΒΓ =36 γωνία ΑΡ Αν ι διαγώνιες ΑΓ Β τέμννται στ σημεί Ρ, να υπλγιστεί η (JBMO 007) Θεωρύμε τν περιγεγραμμέν κύκλ C τυ τριγώνυ ΑΒ Έστω ότι ι ΑΓ, Γ τέμνυν τν C στα σημεία Ε Ζ αντίστιχα Αφύ ΒΕ ΑΕ 36 ΒΓ 18 ΒΓ 1 η ΒΓ είναι διχτόμς της γωνίας ΒΕ Αφύ BΕ ΒΑΕ 7 ΒΖ 36 ΒΕ 1 η Ζ είναι διχτόμς της γωνίας ΒΕ Αφύ ι ΒΓ, Ζ είναι διχτόμι των γωνιών ΒΕ, ΒΕ αντίστιχα πρκύπτει ότι τ Γ είναι τ έγκεντρ τυ τριγώνυ ΒΕ Είναι όμως: ΑΒ 360 (36 7 ) 144 πότε ΕΒ 7 Επμένως βρίσκυμε ότι: Αφύ ΒΖΕ 7 144 Α 36 7 Α ΒΖΕ 7 144 ΑΡ 108 7 ΕΑ ΒΕΑ 36, είναι: Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!

Σελίδα 14 από 19 Άλλς τρόπς Στις ημιευθείες Α, ΒΑ παίρνυμε σημεία Ε, Ζ αντιστίχως τέτια, ώστε ΑΓ ΑΕ ΑΖ Επειδή: ΑΓ ΕΓ 18 ΓΒ τ τετράπλευρ ΕΒΓ είναι εγγράψιμ Όμια, επειδή: ΒΑΓ ΑΖΓ 36 ΒΓ τ τετράπλευρ ΓΒΖ είναι εγγράψιμ Άρα τα σημεία Β, Γ,, Ζ, Ε βρίσκνται στν κύκλ (Α, ΑΓ) Άρα ΑΓ Α έτσι: Άρα ΑΡ 36 ΑΡ 108 180 36 ΑΓ ΑΓ 7 115 Στην πλευρά ΑΓ ενός ρθγωνίυ τριγώνυ ΑΒΓ (Α =90 ), με ΑΓ =3ΑΒ, παίρνυμε σημεία Ε, ώστε Α = Ε = ΕΓ Να απδειχθεί ότι: ΑΓΒ + ΑΕΒ =45 Φέρυμε ΓΖ Β, πότε τ ΑΖΓΒ είναι εγγράψιμ Άρα ΑΖΒ ΑΓΒ x ZΓ ΑΒ 45 Επειδή, τ ρθγώνι τρίγων ΖΓ είναι ισσκελές επειδή η ΖΕ είναι διάμεσς, είναι: ΖΕ Γ ΖΕ Ε ΑΒ Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!

Σελίδα 15 από 19 Αφύ ΑΒ // ΕΖ, τ ΑΒΕΖ είναι παραλληλόγραμμ, πότε ΑΕΒ ΕΑΖ y Έχυμε πότε: AB 45 ΑΖ ΖΑ 45 x y 45 δηλαδή AΓΒ ΑΕΒ 45 Στην άσκηση αυτή μπρύν να βρεθύν άλλες λύσεις με πι στιχειώδη μέσα 116 Σε τρίγων ΑΒΓ φέρυμε τ ύψς ΑΗ τη διχτόμ ΒΕ Αν ΒΕΑ =45, να απδειχθεί ότι ΓΗΕ =45 Αν ΑΖ ΒΕ, τότε ΖΕ ΖΑ ΖΘ, πότε: ΑΕΘ 90 ΑΗΓ Τ ΑΗΘΕ είναι επμένως εγγράψιμ, πότε ΕΗΘ ΕΑΘ 45 Άλλς τρόπς Αν ΑΝ ΒΕ, τ ΑΝΗΒ είναι εγγράψιμ Άρα ΝΑ ΝΗ (αφύ ΝΒΑ φ ΝΒΗ ) Επειδή ΝΗ ΝΑ ΝΕ, τ Ν είναι περίκεντρ στ τρίγων ΑΗΕ, πότε: 1 ΑΗΕ ΑΝΕ 45 Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!

Σελίδα 16 από 19 Και άρα ΓΗΕ 45, αφύ ΑΗΓ 90 117 Σε ξυγώνι τρίγων ΑΒΓ φέρνυμε τ ύψς Β τη διάμεσ ΓΜ Αν ισχύει Β = ΓΜ, να απδειχθεί ότι ΑΓΜ =30 αντιστρόφως Φέρνυμε τη ΜΗ ΑΓ Επειδή τ Μ είναι μέσ τυ ΑΒ ΜΗ // Β, είναι: Β ΓΜ ΜΗ Στ ρθγώνι τρίγων ΗΓΜ είναι ΜΓ ΜΗ Άρα: ΜΓΑ 30 Τ αντίστρφ απδεικνύεται παρόμια Αφύ ΜΓ ΜΗ Αλλά Β ΜΗ Άρα ΜΓ Β ΜΓΑ 30, είναι 118 Σε ένα ισσκελές τρίγων ΑΒΓ, με ΑΒ = ΑΓ, είναι Α =0 Αν Ε είναι σημεία των πλευρών ΑΓ ΑΒ αντίστιχα τέτια, ώστε: ΒΓ =50 ΕΓΒ =0, να απδειχθεί ότι ΕΒ =10 Στ τρίγων ΓΕΒ είναι: Γ 0 Β 80 πότε: ΒΕΓ 180 0 80 80 ΕΒΓ Τ τρίγων αυτό είναι λιπόν ισσκελές, πότε ΓΒ ΓΕ Στ τρίγων ΓΒ είναι: Γ 80 ΓΒ 50 πότε: Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!

Σελίδα 17 από 19 ΒΓ 180 80 50 50 ΒΓ Τ τρίγων λιπόν αυτό είναι ισσκελές, πότε Γ Από τις σχέσεις ΓΒ ΓΕ Γ ΓΒ συμπεραίνυμε ότι: ΓΒ Επειδή: ΓΕ Γ ΕΓ ΒΓΑ ΒΓΕ 80 0 60 τ τρίγων ΕΓ είναι ισόπλευρ Άρα ΕΓ 60 έτσι: x 60 50 10 119 Στ διπλανό σχήμα, δίνεται ένα τραπέζι ΑΒΓ σημεί Ε στην πλευρά Α τέτι, ώστε τ τρίγων ΒΕΓ να είναι ισόπλευρ τα τρίγωνα ΑΒΕ ΓΕ να είναι ισσκελή, με ΑΒ = ΒΕ Γ = Ε Να υπλγιστεί η γωνία ΒΑ = ω (ιαγωνισμός ΕΜΕ, Θαλής 001) Επειδή τα τρίγωνα ΑΒΕ ΓΕ είναι ισσκελή, με ΑΒ ΒΕ Γ Ε, θα έχυμε: ΑΕΒ ΒΑΕ ω ΕΓ ΓΕ φ Επιπλέν έχυμε: ωφ60 ΑΕ 180 πότε φ 10 ω Επίσης: ΕΓ 180 φ 180 (10 ω) 180 40 ω ω 60 Επειδή ΑΒ // Γ, παίρνυμε: ΕΑΒ ΕΓ 180 ω (ω 60 ) 180 3ω 40 ω 80 Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!

Σελίδα 18 από 19 10 Σε ένα ισσκελές τρίγων ΑΒΓ είναι (ΑΒ = ΑΓ) Α =108 Φέρνυμε τη διχτόμ Γ της Γ την κάθετη στη διχτόμ στ, πυ τέμνει τη ΒΓ στ Ε Να απδειχθεί ότι ΒΕ = Α (ΕΜΕ, Ευκλείδης 1997) Είναι Όμως Α 108, πότε: ΒΓ180 108 7 Β Γ, πότε: Β Γ 36 Επειδή η Γ είναι διχτόμς, θα είναι: ΓΑ ΓΕ 18 Άρα: ΑΓ 180 108 18 180 16 54 Επίσης: ΒΕ 180 54 90 180 144 36 Επειδή ΒΒΕ 36, τ τρίγων ΕΒ είναι ισσκελές, πότε ΒΕ Ε Θεωρύμε τώρα τ σημεί Ζ, ώστε ΓΖ 54 Επμένως είναι: ΕΖ 90 54 36 ΖΕ ΖΓ ΖΓ 54 18 7 Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!

Σελίδα 19 από 19 Επειδή ΕΖ ΖΕ 7, τ τρίγων ΕΖ είναι ισσκελές Άρα Ε Ζ Όμως τα τρίγωνα ΑΓ ΖΓ είναι ίσα, διότι: Γ - κινή ΑΓ ΖΓ 54 ΑΓ ΖΓ 18 Άρα Ζ Α Από τις σχέσεις: ΒΕ Ε, Ε Ζ Ζ Α πρκύπτει ότι: ΒΕ Α 11 ίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) δύ εσωτερικά σημεία, Ε της πλευράς ΑΓ τέτια, ώστε Β = Ε ΓΒ = ΑΒΕ Αν Ο είναι τ έγκεντρ τυ τριγώνυ ΕΒΓ, να απδειχθεί ότι ΓΟΕ =10 (JBMO 006) Έστω ΕΒ ω Επειδή Ε Β, είναι ΒΕ ω Αλλά: ΕΒΓ ω x ΕΟΓ 90 90 (1) Στ τρίγων ΒΕΑ είναι: BEΓ ΒΑΕ ΕΒΑ ωα x ω (180 Β) x ω 180 (x ω) x 6ω 180 3x 3x 6ω 180 xω 60 () Έτσι η (1) δίνει: ΕΒΓ ΕΟΓ 90 () x ω 60 90 90 10 Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός *** Αφιερώνεται στυς συναδέλφυς μαθηματικύς στυς μαθητές πυ αγαπύν τα μαθηματικά!