ΕΜΜΟΝΗ ΣΤΟΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟ ΚΑΙ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ: ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ από ΤΗΝ ΗΛΙΚΙΑ; Ιωάννης Παπαδόπουλος 1 Άννα Αναστασιάδου 2 1, 2

ΕΜΜΟΝΗ ΣΤΟΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟ ΚΑΙ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ: ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ από ΤΗΝ ΗΛΙΚΙΑ; Ιωάννης Παπαδόπουλος 1 Άννα Αναστασιάδου 2 1, 2 Π.Τ.Δ.Ε., Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκη 1 ypapadop@eled.auth.gr 2 annaanas@eled.auth.gr 2 Στην εργασία αυτή εξετάζεται κατά πόσο η εμμονή στον αλγόριθμο, ένας παράγοντας που σχετίζεται άμεσα με την επίδειξη δημιουργικής μαθηματικής σκέψης, εξαρτάται από την ηλικία και κατά συνέπεια τη μαθηματική εμπειρία. Στην έρευνα συμμετέχουν μαθητές της Στ' Δημοτικού, και φοιτητές του Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης διαφορετικών εξαμήνων και με διαφορετικές επιλογές στα σχετικά με τα Μαθηματικά μαθήματα που έχουν επιλέξει. Τα αποτελέσματα δίνουν ενδείξεις ότι η εμμονή που επιδεικνύεται στον εκάστοτε αλγόριθμο δεν επηρεάζεται από την ηλικία των συμμετεχόντων. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η δημιουργικότητα στη μαθηματική σκέψη έχει αποτελέσει θέμα ερευνητικού ενδιαφέροντος εδώ και πάρα πολύ καιρό. Η ερευνητική κοινότητα δεν έχει καταλήξει σε έναν κοινά αποδεκτό ορισμό και αυτό αποτυπώνεται στη σχετική έρευνα όπου κανείς μπορεί να διακρίνει μια σειρά από διαφορετικές προσεγγίσεις: Δημιουργικότητα σε σχέση με το παραγόμενο προϊόν της σκέψης ή τη διαδικασία της σκέψης (Shriki, 2010), ως γενική ικανότητα ή σχετιζόμενη με συγκεκριμένη επιστημονική περιοχή (Lev-Zamir & Leikin, 2011), δημιουργικότητα που σχετίζεται με τους προικισμένους μαθητές (Sriraman, 2005) ή δημιουργικότητα για όλους (Silver, 1997) και ακόμη πιο πρόσφατα, μαθηματική δημιουργικότητα όπως αυτή εκφράζεται σε εξωσχολικά περιβάλλοντα, όπως αυτό του εργασιακού χώρου (Noss & Hoyles, 2013). Σε όλες αυτές τις προσεγγίσεις εντοπίζονται εκείνες οι παράμετροι που φαίνεται να επηρεάζουν θετικά ή αρνητικά την παρουσία της δημιουργικής μαθηματικής σκέψης. Σύμφωνα με τον Haylock (1997) μια τέτοια παράμετρος είναι η «εμμονή» που μπορεί να είναι δύο ειδών: είτε εμμονή με τον αλγόριθμο είτε εμμονή με το μαθηματικό περιεχόμενο. Παρά το γεγονός ότι ο όρος «αλγόριθμος» μπορεί να συνδέεται κυρίως με πράξεις εν τούτοις τον όρο αυτό καθιέρωσε ο Haylock και για τη συγκεκριμένη περίπτωση και έτσι χρησιμοποιείται στη βιβλιογραφία. Στην έρευνα αυτή μελετάμε την επίδραση της εμμονής στον αλγόριθμο σε διαφορετικούς πληθυσμούς (μαθητές δημοτικού σχολείου και φοιτητές παιδαγωγικού τμήματος). Το ερευνητικό μας ερώτημα είναι: Σχετίζεται η εμφάνιση της εμμονής στον αλγόριθμο με την ηλικία και αν ναι σε τι βαθμό συμβαίνει αυτό; 136

Στην επόμενη ενότητα παρουσιάζεται το θεωρητικό πλαίσιο της έρευνας, ακολουθεί η περιγραφή της μεθοδολογίας, η παρουσίαση και ο σχολιασμός των ευρημάτων και στο τέλος παρουσιάζονται κάποια συμπερασματικά σχόλια. Η ΕΜΜΟΝΗ ΣΤΟΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟ ΚΑΙ Η ΥΠΕΡΒΑΣΗ ΤΗΣ H ικανότητα των μαθητών να επιδεικνύουν αποκλίνουσα σκέψη κατά την ενασχόλησή τους με μαθηματικά προβλήματα αποτελούσε πάντα ένα κριτήριο δημιουργικότητας. Η αποκλίνουσα σκέψη αποτελεί τον αντίθετο πόλο της συγκλίνουσας σκέψης η οποία αναφέρεται στη διαδικασία προσδιορισμού της μιας και μοναδικής λύσης ενός δοσμένου προβλήματος. Η αποκλίνουσα σκέψη αναφέρεται στη διαδικασία προσδιορισμού πολλών λύσεων και γι αυτό συχνά μετράται με βάση την ικανότητα των μαθητών να επιδεικνύουν ευελιξία, ευχέρεια, και πρωτοτυπία στις απαντήσεις τους σε ένα πρόβλημα. Η ευελιξία αποτελεί ένα μέτρο της ικανότητας του μαθητή να κάνει χρήση μια ποικιλίας διαφορετικών μεθόδων ή προσεγγίσεων για ένα δοσμένο πρόβλημα. Η ευχέρεια αναφέρεται στη μέτρηση του αριθμού των κατάλληλων απαντήσεων που παράγει ο μαθητής. Τέλος, η πρωτοτυπία αποτελεί ένα μέτρο της σχετικής καινοτομίας (ή περιορισμένης συχνότητας εμφάνισης) των απαντήσεων αυτών (Haylock, 1997). Ουσιαστικά δηλαδή η αποκλίνουσα σκέψη δηλώνει ότι το να είναι κανείς δημιουργικός είναι κάτι παραπάνω από το να μπορεί απλά να λύνει προβλήματα. Στο σημείο αυτό αξίζει να γίνει η διάκριση ανάμεσα στην διαδικαστική και στην εννοιολογική κατανόηση. Η πρώτη σχετίζεται κυρίως με υπολογιστική ακρίβεια ενώ η δεύτερη χαρακτηρίζεται από μια κατανόηση του πως αυτοί οι υπολογισμοί λειτουργούν. Αυτός ο διαχωρισμός απαντάται και στη διάκριση που κάνει ο Polya (1981) ανάμεσα στη μαθηματική πληροφορία και στη μαθηματική τεχνογνωσία αντίστοιχα. Ένας μαθητής μπορεί να είναι σε θέση να λύσει ένα μαθηματικό πρόβλημα εφαρμόζοντας σωστά έναν αλγόριθμο που έχει μάθει χωρίς την ύπαρξη πραγματικής εννοιολογικής κατανόησης σχετικά με το πώς προκύπτει η απάντηση αυτή στο πρόβλημα. Η ύπαρξη κάποιας έστω περιορισμένης εννοιολογικής κατανόησης ταυτόχρονα με την αλγοριθμική (διαδικαστική) επιτρέπει στο μαθητή μεγαλύτερα περιθώρια μαθηματικής δημιουργικότητας. Όμως αυτό το καλό μαθηματικό υπόβαθρο δεν είναι επαρκές κριτήριο για την εμφάνιση ή ανάπτυξη μαθηματικής δημιουργικότητας. Είναι επίσης απαραίτητο να είναι ο μαθητής σε θέση να αποδεσμευτεί από τον εδραιωμένο τρόπο να αντιμετωπίζει καταστάσεις αλλά και να εφαρμόζει αυτό το υπόβαθρο για να δει ευκαιρίες πέρα από αυτές που του εμφανίζονται ως δοσμένες, και ακριβώς σε αυτήν την ικανότητα για ευελιξία στην προσέγγιση της επίλυσης προβλήματος ελλοχεύει η δημιουργικότητα (Sriraman, 2009). 137

Η εμμονή στον τρόπο σκέψης μπορεί να θεωρηθεί ως το ακριβώς αντίθετο της ευελιξίας και επομένως η αποδέσμευση από την εμμονή αυτή αποτελεί εν δυνάμει μια ένδειξη μαθηματικής δημιουργικότητας. Ο Haylock (1997) την αποκαλεί και ακαμψία της σκέψης και την διακρίνει σε δυο βασικούς τύπους: την εμμονή με το περιεχόμενο και την εμμονή με τον αλγόριθμο. Ο πρώτος τύπος εμμονής συναντάται όταν οι μαθητές, προσπαθώντας να λύσουν ένα μαθηματικό πρόβλημα, περιορίζουν τη σκέψη τους χωρίς αυτό να είναι απαραίτητο- σε ένα στενό και, πολλές φορές, ανεπαρκές, εύρος στοιχείων που μπορούν να σχετίζονται με το πρόβλημα (πχ χρήση μόνο φυσικών αριθμών όταν στο σύνολο των λύσεων του προβλήματος απαιτείται και η χρήση ρητών). Ο δεύτερος τύπος εμμονής εντοπίζεται όταν κάποιος μαθητής συνεχίζει κατ' επανάληψη να είναι προσκολλημένος σε έναν αρχικά επιτυχή αλγόριθμο, ακόμα και όταν αυτός καθίσταται ακατάλληλος ή όχι τόσο ιδανικός. Ο αλγόριθμος αυτός μπορεί να είναι ένας που διδάχθηκε πρόσφατα ή που να αναπτύχθηκε μέσα από μια σειρά ερωτημάτων που περιλαμβάνονται σε αυτό καθεαυτό το πρόβλημα. Ένα ιδιαίτερα χρήσιμο παράδειγμα μπορεί να αντληθεί από το National Numeracy Project στο Ηνωμένο Βασίλειο (Straker 1999, όπως αναφέρεται στο Newton, 2012). Ένα από τα αριθμητικά προβλήματα που χρησιμοποιήθηκαν για την αποτίμηση της ικανότητας επιτέλεσης νοερών υπολογισμών των μαθητών ήταν η αφαίρεση 3000-1997. Παραδόξως, μόνο το 31% των μαθητών ηλικίας 10 ετών έδωσε σωστή απάντηση. Η ανάλυση των προσπαθειών των μαθητών έδειξε ότι πολλοί από αυτούς απέτυχαν επειδή προσπάθησαν να κάνουν νοερή χρήση του κατακόρυφου αλγόριθμου τη στιγμή που θα ήταν ευκολότερο γι αυτούς να χρησιμοποιήσουν πιο άτυπες μεθόδους. Δηλαδή, η αποτυχία προέκυψε ως αποτέλεσμα της εμμονής των μαθητών στο να εφαρμόσουν έναν αλγόριθμο που είχαν πριν διδαχτεί ακόμη και όταν αυτός δεν προσφερόταν για το συγκεκριμένο πρόβλημα. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Η έρευνα ολοκληρώθηκε σε δυο φάσεις. Στην πρώτη φάση συμμετείχαν 50 μαθητές της Στ Δημοτικού από σχολείο της Θεσσαλονίκης που δεν επιλέχθηκαν με κάποιο συγκεκριμένο κριτήριο. Πρόκειται για δύο τυπικά τμήματα Στ τάξης δημοτικού σχολείου. Σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα για τη συγκεκριμένη τάξη, οι μαθητές ήταν σε θέση να διαχειριστούν φυσικούς, κλασματικούς και δεκαδικούς αριθμούς και να εκτελούν όλες τις πράξεις μεταξύ τους. Στη δεύτερη φάση συμμετείχαν δυο ομάδες φοιτητών (46 και 17 φοιτητές αντίστοιχα) του Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης του Α.Π.Θ. με τη δεύτερη ομάδα να χαρακτηρίζεται από μεγαλύτερη μαθηματική εμπειρία σε σχέση με την πρώτη λόγω των μαθημάτων που επέλεξαν να παρακολουθήσουν. 138

Εικόνα 1. Δραστηριότητα «Κοψίματα» Στους μαθητές και φοιτητές δόθηκαν τέσσερις δραστηριότητες επιλεγμένες (και ελαφρά τροποποιημένη η μια από αυτές) από αυτές που χρησιμοποίησε ο Haylock (1997) στη δική του έρευνα. Όλες οι δραστηριότητες ευνοούν στην αρχή την εφαρμογή και ανάπτυξη ενός αλγορίθμου ο οποίος όμως στη συνέχεια δεν αποτελεί τη βέλτιστη επιλογή για την λύση των επιμέρους δραστηριοτήτων όπως θα εξηγηθεί στην επόμενη ενότητα. Δίνεται λοιπόν πρώτα η δυνατότητα εδραίωσης ενός αλγορίθμου και στη συνέχεια αποτιμάται η ικανότητα του λύτη να αποδεσμευτεί από αυτόν όταν κάτι τέτοιο έχει νόημα. Οι δραστηριότητες συμπληρώθηκαν στη διάρκεια τεσσάρων συνεδριών για τους μαθητές του δημοτικού και μιας συνεδρίας για τους φοιτητές και συνοδεύονταν από ένα λυμένο παράδειγμα. Στη δεύτερη συνεδρία του δημοτικού συμμετείχαν 46 αντί των 50 μαθητών. Για τις ανάγκες της εργασίας αυτής θα περιοριστούμε σε δύο από τις δραστηριότητες που δόθηκαν, όπως αυτές φαίνονται στις εικόνες 1 και 2 πιο πάνω. Τα συμπληρωμένα φύλλα εργασίας αποτέλεσαν τα δεδομένα της έρευνας και οι απαντήσεις ταξινομήθηκαν ως προς τα εξής επίπεδα: (α) Κατά πόσο είναι αποκαλυπτικές μιας εμμονής με τον αλγόριθμο ή μιας αποκλίνουσας σκέψης, και (β) Πως αυτές κατανέμονται στους τρεις πληθυσμούς, προκειμένου να γίνει αντιληπτή η σχέση της ηλικίας με την εμφάνιση της εμμονής αυτής. 139

Εικόνα 2 Δραστηριότητα «Ισορροπία» ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ ΕΥΡΗΜΑΤΩΝ Δραστηριότητα 1 - Κοψίματα Στους λύτες δόθηκε ένα ορθογώνιο και ζητήθηκε να βρουν πόσα κοψίματα χρειάζονται για να το χωρίσουμε σε συγκεκριμένο αριθμό ίσων μερών. Το λυμένο παράδειγμα δείχνει ότι για να πάρουμε 2 ίσα μέρη χρειαζόμαστε ένα κόψιμο και για να πάρουμε 3 ίσα μέρη, δύο κοψίματα. Ο χωρισμός σε 2, 3, 5, 7 μέρη θέτει τα θεμέλια του αλγόριθμου των κατακόρυφων γραμμών που το πλήθος τους είναι μειωμένο κατά ένα σε σχέση με τον ζητούμενο αριθμό μερών (Εικόνα 3, αριστερά). Οι δυο ερωτήσεις που μένουν ζητούν το χωρισμό σε 6 και 9 μέρη. Κάνοντας χρήση του πιο πάνω αλγόριθμου, δηλαδή κάνοντας μια γενίκευσή του, αυτό που αναμένεται είναι οι λύτες να φτάσουν στην απάντηση «5 κοψίματα για τα 6 μέρη» και «8 κοψίματα για τα 9 μέρη». Εν τούτοις και οι δυο περιπτώσεις μπορούν να ικανοποιηθούν με τη χάραξη μικρότερου αριθμού κοψιμάτων, όπως φαίνεται στην Εικόνα 3 (δεξιά). Αν και ο αρχικός σχεδιασμός του Haylock περιελάμβανε μόνο την περίπτωση των 9 μερών εδώ προτιμήθηκε και η περίπτωση των 6 ώστε να δοθεί μεγαλύτερο περιθώριο στην αποδέσμευση από τον αλγόριθμο των κατακόρυφων γραμμών. 140

Εικόνα 3. Εμμονή στον αλγόριθμο (αριστερά) και αποκλίνουσα σκέψη (δεξιά) Στην ομάδα των μαθητών του Δημοτικού όλοι πλην τεσσάρων ακολούθησαν πιστά την εφαρμογή του αλγορίθμου των κατακόρυφων κοψιμάτων. Όμως αυτοί οι τέσσερις διαφοροποιήθηκαν μόνον στο ορθογώνιο που ζητούσε το χωρισμό σε 6 ίσα μέρη ενώ για την περίπτωση των 9 μερών εφάρμοσαν και πάλι τον αλγόριθμο. Στις ομάδες των φοιτητών η εικόνα ήταν λίγο πολύ η ίδια. Όλοι οι φοιτητές με την μικρότερη εμπειρία (-) επέδειξαν προσήλωση στον αλγόριθμο. Στην δεύτερη ομάδα, με την αυξημένη εμπειρία (+) η εικόνα ήταν σχεδόν η ίδια αφού μόνο ένας φοιτητής έδειξε αποκλίνουσα σκέψη και αυτό μόνο για το χωρισμό σε 6 ίσα μέρη (και όχι και για την περίπτωση των 9 μερών). Τα ποσοστά για την κάθε περίπτωση φαίνονται συγκεντρωτικά για κάθε μια δραστηριότητα στον Πίνακα 1. Δραστηρ. Μαθητές Φοιτητές (+) Φοιτητές (-) Εμμονή Αποκλίνουσα Εμμονή Αποκλίνουσα Εμμονή Αποκλίνουσα Κοψίματα 92% (46/50) 8% (4/50) 94,12% (16/17) 5,88% (1/17) 100% (46/46) 0% Ισορροπία 82,61% (38/46) 17,39% (8/46) 100% 17/17 0% 97,83% (45/46) 2,17% (1/46) Πίνακας 1. Συγκεντρωτικά αποτελέσματα 141

Κοινό χαρακτηριστικό όλων των ομάδων είναι το εντυπωσιακά υψηλό ποσοστό εμμονής με τον αλγόριθμο. Το ενδιαφέρον εστιάζεται στο ότι 4 μαθητές του δημοτικού έδειξαν να διαφοροποιούνται σε σχέση με τον αλγόριθμο αλλά μόνο για μια από τις δυο περιπτώσεις. Δεν μπορεί να συμπεράνει κανείς με ασφάλεια για το αν όντως πρόκειται για αποκλίνουσα σκέψη, καθώς λίγες μέρες νωρίτερα, σε κεφάλαιο του σχολικού εγχειριδίου που διαπραγματεύεται τα ισοδύναμα κλάσματα, υπήρχε η αναπαράσταση ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου χωρισμένο σε 6 ίσα μέρη, χωρίς κάτι αντίστοιχο για την περίπτωση χωρισμού σε 9 ίσα μέρη. Το γεγονός ότι δεν επιχείρησαν μια τέτοια διαφορετική προσέγγιση στο χωρισμό σε 9 ίσα μέρη ενισχύει την υποψία ότι ίσως να μην πρόκειται για αποκλίνουσα σκέψη αλλά για επιρροή από το σχολικό εγχειρίδιο. Όμως και στις άλλες ομάδες που και ηλικιακά αλλά και σε επίπεδο μαθηματικών εμπειριών υπερείχαν σε σχέση με τους μικρούς μαθητές τα ευρήματα είναι ενδεικτικά μιας απόλυτης επικράτησης της εμμονής στον αλγόριθμο. Ενδιαφέρον παρουσιάζει επιπλέον το γεγονός ότι δεν υπάρχουν διαφοροποιήσεις ούτε μεταξύ των ομάδων των φοιτητών (μόλις ένας φοιτητής επέλεξε άλλη προσέγγιση για τον χωρισμό σε 6 ίσα μέρη) αν λάβει κανείς υπόψη ότι η μια ομάδα είχε κατ επιλογή παρακολουθήσει πρόσθετες παραδόσεις σε πιο εστιασμένα Μαθηματικά (Επίλυση Προβλήματος) και θα ήταν αναμενόμενο τα μέλη της να επιδείξουν μια ευελιξία στις προσεγγίσεις τους. Δραστηριότητα 2 - Ισορροπία Στη Δραστηριότητα αυτή απαιτείται από τους λύτες να προσδιορίσουν πώς θα υπολογίσουν μια δοσμένη ποσότητα άμμου σε μια ακολουθία επιμέρους προβλημάτων δεδομένου ότι σε κάθε περίπτωση δίνονται μια ζυγαριά ισορροπίας (με δυο δίσκους Α και Β) και τρία βάρη. Ως ένα παράδειγμα, τους δόθηκε η περίπτωση όπου έχοντας δοσμένα τρία βάρη των 20, 9 και 5 γραμμαρίων είναι δυνατόν να σχηματίσουν ποσότητα άμμου με βάρος 24 γρ στο δίσκο Β. Αν τοποθετήσουν τα βάρη των 20 και 9 γρ στο δίσκο Α, και το βάρος των 5 γρ στο δίσκο Β, και στη συνέχεια προσθέσουν άμμο στο δίσκο Β μέχρι η ζυγαριά να ισορροπήσει τότε το βάρος της άμμου θα είναι 24γρ. Το φύλλο εργασίας που δόθηκε περιλάμβανε μια ακολουθία τέτοιων προβλημάτων. Είναι αλήθεια ότι σε κάθε ένα από αυτά είναι δυνατόν να υπολογιστεί η ζητούμενη ποσότητα άμμου κάνοντας χρήση της ίδιας διαδικασίας όπως και στο δοσμένο παράδειγμα. Έτσι ήδη από τα πρώτα παραδείγματα αρχίζει και αναπτύσσεται και εδραιώνεται ο αλγόριθμος: Χώρισε τις τέσσερις ποσότητες (τρία δοσμένα βάρη και ζητούμενο βάρος της άμμου) σε δυο ζευγάρια που έχουν ίσο άθροισμα. Το άθροισμα των δύο βαρών στο δίσκο Α ελαττωμένο κατά το τρίτο βάρος που βρίσκεται στο δίσκο Β μας δίνει τη ζητούμενη ποσότητα άμμου. Ο Πίνακας 2 παρακάτω μας δίνει τις απαντήσεις που προκύπτουν αν ο λύτης παρουσιάζει εμμονή με τον συγκεκριμένο αλγόριθμο. 142

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Διαθέσιμα βάρη 20 9 5 16 7 3 2 50 40 5 55 50 14 11 3 81 7 8 55 10 5 7 6 10 30 20 8 32 20 8 Βάρος άμμου Πώς να το κάνω Δίσκος Α Δίσκος Β 24 20 9 5 12 16 3 7 12 50 2 40 10 5 55 50 6 14 3 11 80 81 7 8 60 55 10 5 3 7 6 10 18 30 8 20 20 32 8 20 Πίνακας 2. Απαντήσεις που δείχνουν εμμονή στον αλγόριθμο Ωστόσο οι περιπτώσεις 7, 8 και 10 προσφέρονται για να αναδείξουν την περίπτωση αποκλίνουσας σκέψης από το λύτη. Στην 7 είναι αρκετό να τοποθετήσουμε μόνο τα βάρη 55γρ και 5 γρ στο δίσκο Α. Στην 8, αρκεί να βάλουμε το βάρος των 10 γρ στο δίσκο Α και των 7γρ στο δίσκο Β. Τέλος, στην 10, αρκεί να βάλουμε μόνο το βάρος των 20γρ στο δίσκο Α. Εικόνα 4. Αποκλίνουσα σκέψη στη Δραστηριότητα «Ισορροπία» Ένας μικρός μόνο αριθμός μαθητών αν και ανέπτυξαν αρχικά τον αλγόριθμο εν τούτοις παρέκλιναν από αυτόν στα προβλήματα 7, 8 και 10. Από τους 46 μαθητές του δημοτικού που συμμετείχαν στη δραστηριότητα αυτή οι 36 παρουσίασαν την εμμονή με τον αλγόριθμο. Από τους υπόλοιπους μαθητές τρεις παρέκλιναν μόνο στην περίπτωση 7, δύο μόνο στη 10, ένας παρέκλινε στις περιπτώσεις 7 και 10, και μόλις δύο μαθητές αναγνώρισαν τη δυνατότητα αυτή και στις τρεις περιπτώσεις που μπορούσε να γίνει (βλ. απαντήσεις αυτής της κατηγορίας στην Εικ. 4) Από τις δυο ομάδες των φοιτητών στην ομάδα με την αυξημένη μαθηματική εμπειρία και οι 17 συμμετέχοντες επέδειξαν εμμονή με τον αλγόριθμο για το 143

σύνολο των προβλημάτων. Στην ομάδα των 46 φοιτητών με τη μικρότερη εμπειρία, μόνο ένας φοιτητής παρέκλινε από τον αλγόριθμο για τα προβλήματα 7 και 8 (βλέπε σχετικά ποσοστά σε Πίνακα 1). Στον ίδιο Πίνακα φαίνεται ότι το ποσοστό της αποκλίνουσας σκέψης ήταν μεγαλύτερο στη δραστηριότητα αυτή για δύο από τις τρεις ομάδες που συμμετείχαν. Όμως δεν αντιπροσωπεύει αποκλίνουσα σκέψη για το σύνολο των προβλημάτων. Μόνο δύο μαθητές (δημοτικού σχολείου) στάθηκαν ικανοί να απομακρυνθούν από τον αλγόριθμο και στα τρία προβλήματα. Είναι μάλιστα εντυπωσιακό ότι στο πρόβλημα 10 όπου το ζητούμενο είναι τα 20γρ και ενώ τους δίνεται ήδη ένα από τα τρία βάρη να είναι 20γρ, μόλις 5 από τους 50 μαθητές του δημοτικού μπόρεσαν να κάνουν χρήση πιο άμεσης εναλλακτικής προσέγγισης ενώ κανένας από τους 63 φοιτητές δεν στάθηκε ικανός να δει για το πρόβλημα αυτό παραπέρα από τον αλγόριθμο. Όλα τα παραπάνω δίνουν ενδείξεις σχετικά με το ερευνητικό ερώτημα που τέθηκε ήδη από την αρχή. Η εμμονή με τον αλγόριθμο φαίνεται να μην σχετίζεται με την ηλικία αφού τόσο οι μικροί μαθητές όσο και οι φοιτητές παρουσίασαν υπερβολικά μεγάλα ποσοστά εμμονής στον αλγόριθμο ενώ τα ποσοστά αποκλίνουσας σκέψης ήταν μεγαλύτερα για τους μικρούς μαθητές (αν και αυτά δεν κάλυπταν το σύνολο των προβλημάτων). Τα ευρήματα αυτά έρχονται να επιβεβαιώσουν ανάλογα ευρήματα έρευνας που συγκρίνει παρόμοιους περίπου πληθυσμούς (μαθητές δημοτικού, λυκείου, φοιτητές παιδαγωγικού τμήματος) αναφορικά όμως με την ικανότητα της επιχειρηματολογίας μέσα σε πλαίσια που δεν φαίνεται να έχουν άμεση σχέση με την τάξη των μαθηματικών (Papadopoulos, 2015). ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Προφανώς δεν μπορούν να γίνουν γενικεύσεις των ευρημάτων μιας που αυτά βασίζονται σε μια μικρής σχετικά κλίμακας έρευνα. Εν τούτοις αν και δεν μπορεί να δοθεί ακριβής απάντηση στο ερώτημά μας μπορεί να αναφερθεί κανείς σε σαφείς ενδείξεις που ενισχύουν την άποψη ότι η εμμονή με τον αλγόριθμο δεν σχετίζεται απαραίτητα με την ηλικία. Οι ενδείξεις αυτές βοηθούν στο να σχεδιαστεί μια μεγαλύτερης κλίμακας έρευνα σχετικά με το ίδιο ερώτημα. Τα υπερβολικά υψηλά ποσοστά της εμφάνισης της εμμονής πιθανόν σχετίζονται με την απουσία κατάλληλα προσανατολισμένης διδασκαλίας. Μια διδασκαλία, που θα παρέχει στους μαθητές εμπειρίες στα μαθηματικά, που θα ενθαρρύνει τους μαθητές να ξεπερνούν εμμονές και να παράγουν αποκλίνουσα σκέψη και επομένως δημιουργική μαθηματική σκέψη. Τέτοιες ευκαιρίες πρέπει να δίνονται στους μαθητές ακόμη και αν φαίνεται να έρχονται σε κάποιο βαθμό σε αντίθεση με άλλες συμπεριφορές στα μαθηματικά που επίσης έχουν την αξία τους για τον εκπαιδευτικό, όπως η συμμόρφωση με τους κανόνες ή η συστηματική σειρά βημάτων στην επίλυση. 144

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Haylock, D. (1997). Recognising mathematical creativity in schoolchildren. ZDM, 29(3), 68-74. Lev-Zamir, H., & Leikin, R. (2011): Creative mathematics teaching in the eye of the beholder: focusing on teachers' conceptions, Research in Mathematics Education, 13(1), 17-32. Newton, L. D. (Ed.) (2012).Creativity for a new curriculum: 5-11. Routlege. Noss, R., & Hoyles, C. (2013). Modeling to address techno-mathematical literacies in work. In R. Lesh et al. (eds.), Modeling Students' Mathematical Modeling Competencies (pp. 75-86). Springer Netherlands. Papadopoulos, I. (2015). Beliefs and mathematical reasoning during problem solving across educational levels. In C. Bernack-Schüler, R. Erens, T. Leuders, & A. Eichler (Eds.), View and Beliefs in Mathematics Education (183-196). Springer Fachmedien Wiesbaden. Pólya, G. (1981). Mathematical discovery: On understanding, learning, and teaching problem solving (Combined ed.). New York: Wiley. Shriki, Α. (2010). Working like real mathematicians: Developing prospective teachers awareness of mathematical creativity through generating new concepts. Educational Studies in Mathematics, 73(2), 159-179. Silver, E. A. (1997). Fostering creativity through instruction rich in mathematical problem solving and problem posing. ZDM Mathematics Education, 3, 75-80. Sriraman, B. (2005). Are giftedness and creativity synonyms in mathematics? JSGE The Journal of Secondary Gifted Education, 17(1), 20-36. Sriraman, B. (2009). The characteristics of mathematical creativity. ZDM, 41, 13-27 145