1. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ, ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ a. Αναγνώριση και ονομασία Δραστηριότητα 1 1. Ας κατασκευάσουμε όσο το δυνατόν περισσότερες γραμμές μπορούμε να σκεφτούμε. 2. Έχουμε ξανασυναντήσει τα ονόματα αυτών των γραμμών; Μπορούμε να τα ονομάσουμε. Δραστηριότητα 2. Ερωτήσεις: 1. Να αναφέρεται τα γεωμετρικά αντικείμενα που αναγνωρίζετε στις παραπάνω εικόνες. Ονομασία Δραστηριότητα 3. Ερωτήσεις: 1. Να αναγνωρίσετε και να ονομάσετε γεωμετρικά σχήματα στα παραπάνω στερεά. Ενότητα 1. Γεωμετρικά σχήματα μέτρηση μήκους, γωνίας Σελίδα 1
1. Οι ορισμοί των βασικών Γεωμετρικών εννοιών Το σημείο δεν έχει διαστάσεις και καθορίζει μια θέση. Σημειώνεται με τελεία και συμβολίζεται με ένα κεφαλαίο γράμμα, όπως φαίνεται στη διπλανή εικόνα. Διαβάζεται ως σημείο Α. Η ευθεία είναι ένα σύνολο από σημεία, με άπειρο μήκος, χωρίς αρχή ή τέλος και χωρίς πλάτος και κατασκευάζεται με χάρακα. Η ευθεία συμβολίζεται: με ένα μικρό γράμμα του αλφαβήτου π.χ.(ε). με δύο μικρά γράμματα π.χ. x x. με δύο σημεία π.χ. AB ή BA. Διαβάζεται ως ευθεία ΑΒ ή ευθεία ε ή ευθεία x x Ημιευθεία είναι ένα μέρος της ευθείας που έχει συγκεκριμένη αρχή, αλλά δεν έχει τέλος. Η ημιευθεία συμβολίζεται με το σημείο που είναι η αρχή και ένα άλλο σημείο πάνω σε αυτή π.χ. B ένα γράμμα που καθορίζει τη φορά π.χ. x Διαβάζεται ως Ημιευθεία ΑΒ ή Ημιευθεία AX. Αν το Ο είναι ένα σημείο της ευθείας x x, τότε με αρχή το Ο ορίζονται δύο ημιευθείες Οx και Ox, οι οποίες λέγονται αντικείμενες ημιευθείες Ευθύγραμμο τμήμα είναι ένα μέρος της ευθείας. Αποτελείται από δύο σημεία της ευθείας (άκρα) και όλα τα σημεία μεταξύ τους. Συμβολίζεται με τα δύο άκρα του π.χ. AB ή BA ή με ένα μικρό γράμμα π.χ. α. Διαβάζεται ως ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ή ΒΑ ή ως ευθύγραμμο τμήμα α. Καμπύλη είναι μια γραμμή της οποίας κανένα τμήμα δεν είναι ευθύγραμμο. Κύκλος είναι το σύνολο των σημείων ενός επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από σταθερό σημείο. Η σταθερή απόσταση ονομάζεται ακτίνα και συμβολίζεται με το γράμμα R ή ρ. Το σταθερό σημείο Κ ονομάζεται Κέντρο του κύκλου. Τόξο ονομάζεται ένα μέρος του κύκλου. Παραδείγματα - εφαρμογές Ενότητα 1. Γεωμετρικά σχήματα μέτρηση μήκους, γωνίας Σελίδα 2
Εφαρμογή 1 Ας πάρουμε από τα γνωστά μας σχήματα το τρίγωνο, με κορυφές τα σημεία Α, Β, Γ και το τετράπλευρο, με κορυφές τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και ας δούμε, ποια ονομασία έχουν τα ευθύγραμμα τμήματα που βλέπουμε στα σχήματα αυτά. Λύση Στο τρίγωνο ΑΒΓ, τα τμήματα ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ που ορίζονται από δύο κορυφές, λέγονται πλευρές του τριγώνου. Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κορυφές τα σημεία Α, Β, Γ, Δ έχει πλευρές τα τμήματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ που ορίζονται από διαδοχικές κορυφές. Τα τμήματα ΑΓ και ΒΔ, που ορίζονται από μη διαδοχικές κορυφές, λέγονται διαγώνιες του τετραπλεύρου. Εφαρμογή 2 Στο σχήμα φαίνονται πέντε σημεία, τα Α, Β, Γ, Δ και Ε. Να χαράξετε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα, που έχουν άκρα τα σημεία αυτά. Πόσα διαφορετικά ευθύγραμμα τμήματα είναι; Λύση Κάθε σημείο είναι άκρο ενός από τα τέσσερα ευθύγραμμα τμήματα, που το συνδέουν με τα υπόλοιπα τέσσερα σημεία. Επομένως: Το σημείο Α είναι άκρο των τμημάτων: ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ,ΑΕ Το σημείο Β είναι άκρο των τμημάτων: ΒΑ, ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ Το σημείο Γ είναι άκρο των τμημάτων: ΓΑ, ΓΒ, ΓΔ, ΓΕ Το σημείο Δ είναι άκρο των τμημάτων: ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ, ΔΕ Το σημείο Ε είναι άκρο των τμημάτων: ΕΑ, ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ Στα παραπάνω, κάθε τμήμα εμφανίζεται δύο φορές π.χ. το ΑΒ και ΒΑ, αφού το τμήμα έχει δύο άκρα. Έτσι, στο σχήμα, δεν είναι είκοσι (20) διαφορετικά τμήματα, αλλά δέκα (10) τα: ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ, ΑΕ, ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ, ΓΔ, ΓΕ, ΔΕ. Ασκήσεις Ενότητα 1. Γεωμετρικά σχήματα μέτρηση μήκους, γωνίας Σελίδα 3
Άσκηση 1 Να δώσεις το δικό σου όνομα σε όλα (α) τα σημεία και (β) σε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα που αναγνωρίζεις Άσκηση 2 Πάρε τα σημεία Α, Β, Γ, Δ πάνω σε μια ευθεία και ένα σημείο Κ που δεν βρίσκεται στην παραπάνω ευθεία. Ένωσε το Κ με τα Α, Β, Γ, Δ και ονόμασε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα του σχήματος. Άσκηση 3 Πάνω σε μια ευθεία x x παίρνουμε δύο σημεία Α και Β. Ονόμασε τις αντικείμενες ημιευθείες που έχουν αρχή το Α και τις αντικείμενες ημιευθείες που έχουν αρχή το Β. Άσκηση 4 Στο διπλανό σχήμα χάραξε τις αντικείμενες ημιευθείες των ημιευθειών ΑΒx, ΒΓy και ΓΑz. Ενότητα 1. Γεωμετρικά σχήματα μέτρηση μήκους, γωνίας Σελίδα 4
2. Μέτρηση Μήκους Σύγκριση ευθύγραμμων τμημάτων- Ίσα ευθύγραμμα τμήματα- Μέσο τμήματος 1 Διερεύνηση Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το λογισμικό Geogebra για την πιο κάτω κατασκευή: Να κατασκευάσετε ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ. Να τοποθετήσετε ένα σημείο Β πάνω στο ΑΓ. Να βρείτε το μήκος των ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ. Να βρείτε το άθροισμα ΑΒ+ΒΓ. Να μετακινήσετε το σημείο Β σε διάφορες θέσεις και να καταγράψετε για κάθε θέση τις μετρήσεις σας στον πίνακα. Να βρείτε μια σχέση που συνδέει τα μήκη ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ; Να βρείτε τη θέση του σημείου Β για την οποία το ΑΒ είναι ίσο με το ΒΓ Μαθαίνουμε Απόσταση δύο σημείων Α και Β ονομάζεται το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ που τα ενώνει. Tο μήκος του ευθύγραμμου τμήματος θα το συμβολίζουμε ως (ΑΒ) ή ως μήκος ΑΒ ή ως ΑΒ. Ίσα ευθύγραμμα τμήματα είναι αυτά που έχουν ακριβώς το ίδιο μήκος. Αν τοποθετηθεί το ΑΒ πάνω στο ΓΔ τότε κάθε σημείο του ΑΒ συμπίπτει με κάθε σημείο του Γ. ΑΒ=Γ Για να προσθέσουμε ευθύγραμμα τμήματα, τα τοποθετούμε διαδοχικά πάνω σε μία ευθεία. Το τμήμα που έχει άκρα την αρχή του πρώτου και το τέλος του τελευταίου είναι το άθροισμά τους. 1 Στο σχολικό βιβλίο σε αυτή την ενότητα έχει τις μονάδες μέτρησης και την αφαίρεση ευθύγραμμου τμήματος. Ίσως να το βάζομε και εμείς. Ενότητα 1. Γεωμετρικά σχήματα μέτρηση μήκους, γωνίας Σελίδα 5
Μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι το σημείο του τμήματος που απέχει εξίσου από τα άκρα του. Παραδείγματα - εφαρμογές Εφαρμογή 1 Να σχεδιαστεί το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ, το οποίο είναι ίσο με το τμήμα ΑΒ: (α) με το υποδεκάμετρο και (β) με διαβήτη. Απάντηση (α) Με το υποδεκάμετρο μετράμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και βρίσκουμε ότι ΑΒ = 3,2 cm. Στη συνέχεια πάνω σε μια ευθεία ε παίρνουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ με μήκος ίσο με 3,2 cm, όπως δείχνει το σχήμα. (β) Ανοίγουμε το διαβήτη, ώστε η μία άκρη του να ακουμπάει στο Α και η άλλη στο Β. Μετακινούμε το διαβήτη, χωρίς να μεταβάλλουμε το άνοιγμα του. Χαράζουμε μια ευθεία ε. Τοποθετούμε τη μία άκρη του διαβήτη σε ένα σημείο Γ της ε και με το άλλο άκρο, που έχει τη γραφίδα, βρίσκουμε το σημείο Δ της ε. Τότε το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ είναι ίσο με το ΑΒ. Εφαρμογή 2 Τρόποι σύγκρισης ευθυγράμμων τμημάτων Α τρόπος : Μέτρηση με το υποδεκάμετρο Ενότητα 1. Γεωμετρικά σχήματα μέτρηση μήκους, γωνίας Σελίδα 6
Β τρόπος : σύγκριση με τη χρήση του διαβήτη Εφαρμογή 3 Να κατασκευάσετε το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος με τη βοήθεια υποδεκάμετρου Λύση Με το υποδεκάμετρο βρίσκουμε ένα σημείο Μ του ΑΒ, για το οποίο είναι: ΑΜ = 3,8 : 2 = 1,9 cm. Αλλά τότε και ΜΒ = 3,8 : 2 = 1,9 cm. Ενότητα 1. Γεωμετρικά σχήματα μέτρηση μήκους, γωνίας Σελίδα 7
Δηλαδή: ΑΜ = ΜΒ. Ασκήσεις 1. Να βρείτε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με μονάδα μέτρησης το ευθύγραμμο τμήμα α. Να χρησιμοποιήσετε μόνο τον διαβήτη σας. 2. Το σημείο A απέχει 10 cm από το σημείο B. Σε καθεμία από τις πιο κάτω περιπτώσεις να τοποθετήσετε το σημείο Γ στην κατάλληλη θέση, έτσι ώστε να ισχύουν τα πιο κάτω και στη συνέχεια να υπολογίσετε το μήκος ΓΑ. (α) Το Γ είναι μέσο του ΑΒ. (β) Το Α είναι μέσο του ΒΓ. (γ) Το Β είναι μέσο του ΑΓ. (δ) Το είναι μέσο του ΑΒ και το Γ μέσο του Β. 3. Πάρε ένα σημείο Α. Να βρεις τρία σημεία που το καθένα να απέχει 2,7 cm από το Α. 4. Σε μία ευθεία ε, πάρε στη σειρά τα σημεία Α, Β, Γ και Δ έτσι ώστε να είναι: ΑΒ = 2,5 cm, ΒΓ = 3 cm και ΓΔ = 2,5 cm. Εξέτασε αν τα τμήματα ΑΓ και ΒΔ είναι ίσα. 5. Το μέσο Ο ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ απέχει 4,2 cm από το άκρο Α. Πόσο είναι το μήκος του ΑΒ; 6. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το λογισμικό Geogebra για την πιο κάτω κατασκευή: (α) Να κατασκευάσετε τρία σημεία Α,Β,Γ στο επίπεδο, ώστε να μη βρίσκονται στην ίδια ευθεία. (β) Να κατασκευάσετε ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ. (γ) Να κατασκευάσετε το μέσο Μ του ΑΒ. (δ) Να κατασκευάσετε το μέσο Ν του ΑΓ. (ε) Να υπολογίσετε το μήκος των ΒΓ και ΜΝ. (στ) Να μετακινήσετε το σημείο Β. (ζ) Ποια είναι η σχέση που συνδέει τα μήκη ΒΓ και ΜΝ; Ενότητα 1. Γεωμετρικά σχήματα μέτρηση μήκους, γωνίας Σελίδα 8
Ενότητα 1. Γεωμετρικά σχήματα μέτρηση μήκους, γωνίας Σελίδα 9
Ενότητα 1. Γεωμετρικά σχήματα μέτρηση μήκους, γωνίας Σελίδα 10