Άσκηση 7 & 8 Προσομοιώσεις αστροφυσικών ροών

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Κατεύθυνσης Αστροφυσικής Άσκηση 7 & 8 Προσομοιώσεις αστροφυσικών ροών Επιμέλεια άσκησης: Νεκτάριος Βλαχάκης

Περιεχόμενα 1 Σκοπός της άσκησης 1 Θεωρητικό υπόβαθρο 1 3 Ο κώδικας PLUTO 6 4 Βήματα της άσκησης 7 5 Βιβλιογραφία 9

1 Σκοπός της άσκησης Η θεωρία της μαγνητοϋδροδυναμικής είναι απαραίτητη για την κατανόηση πληθώρας αστροφυσικών φαινομένων, αφού ως γνωστόν η συντριπτική πλειοψηφία της ορατής ύλης βρίσκεται σε κατάσταση πλάσματος, δηλ. ιονισμένου αερίου. Τα μαθήματα «Δυναμική των Ρευστών» και «Αστροφυσική Πλάσματος» καλύπτουν την βασική περιγραφή των ρευστών αυτών, μαγνητισμένων ή μη. Λόγω της μη-γραμμικότητας των σχετικών διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους, αποτελούν εξαιρέσεις οι περιπτώσεις όπου μπορούν να λυθούν αναλυτικά. Παρότι είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε αυτές τις αναλυτικές λύσεις, καθώς αποτελούν οδηγό για την ποιοτική περιγραφή πολυπλοκότερων και πιο ρεαλιστικών περιπτώσεων, η ποσοτική περιγραφή των τελευταίων μπορεί να γίνει μόνο με αριθμητική επίλυση. Τις τελευταίες δεκαετίες έχουν αναπτυχθεί αρκετοί κώδικες που επιλύουν τις εξισώσεις αυτές. Με την πάροδο του χρόνου αφενός βελτιώνονται σημαντικά, αφετέρου γίνονται φιλικότεροι στον χρήστη. Ο κώδικας PLUTO που θα χρησιμοποιήσουμε είναι ίσως το καλύτερο παράδειγμα ως προς την ευκολία στη χρήση του. Το να χρησιμοποιηθεί στα πλαίσια προπτυχιακού προγράμματος σπουδών είναι πρωτοπόρο και θα φάνταζε αδύνατο πριν μερικά χρόνια, όπου χρειαζόταν μήνες δουλειάς μόνο και μόνο για να εξοικειωθεί κανείς με κάποιον παρόμοιο κώδικα. Στην άσκηση αυτή θα χρησιμοποιήσουμε τον συγκεκριμένο κώδικα για να προσομοιώσουμε κάποιες σχετικά απλές περιπτώσεις υδροδυναμικών ρευστών (αερίων). Το πρώτο μέρος της άσκησης (πρώτο δίωρο) σκοπό έχει την εξοικείωση των φοιτητών με: τις βασικές εξισώσεις των ρευστών νόμους διατήρησης, τα ωστικά κύματα και της συνθήκες άλματος που τα περιγράφουν, το πως μεταφέρουμε ένα πρόβλημα στον υπολογιστή (αδιαστατοποίηση αρχικές και οριακές συνθήκες κώδικας PLUTO), προσομοίωση κίνησης πιστονιού σε κύλινδρο με ακίνητο ιδανικό αέριο για μικρές ή μεγάλες ταχύτητες σχετικά με την ταχύτητα του ήχου. Στο δεύτερο μέρος (δεύτερο δίωρο) θα μελετηθούν: η αλληλεπίδραση δύο ρευστών και τα «απλά» κύματα (simple waves) που την περιγράφουν, κύματα αραίωσης, προσομοίωση του προβλήματος του Sod. Θεωρητικό υπόβαθρο Ακολουθεί μια σύντομη παρουσίαση των εξισώσεων που περιγράφουν την δυναμική ενός ρευστού και τις οποίες επιλύει ο κώδικας PLUTO. Εδώ μας ενδιαφέρει η πιο απλή εκδοχή παρότι ο κώδικας προσφέρεται και για την επίλυση προβλημάτων που τα περιλαμβάνουν, θα αγνοήσουμε το μαγνητικό πεδίο, το ιξώδες του ρευστού και την θερμική αγωγιμότητα, την ειδική και γενική σχετικότητα. Θα έχουμε δηλ. κινήσεις ιδεατών υδροδυναμικών ρευστών, με μη-σχετικιστικές ταχύτητες και θα αμελούμε την παραμόρφωση του χωρόχρονου γύρω από συμπαγή σώματα. Επίσης θα θεωρούμε τα ρευστά ιδανικά αέρια. Ενα τέτοιο αέριο περιγράφεται από την ταχύτητά του V, την πυκνότητά του ρ και την πίεσή του P. Οι βασικές εξισώσεις της υδροδυναμικής που καθορίζουν αυτές τις ποσότητες (σαν συναρτήσεις του χώρου και του χρόνου) αντιστοιχούν στη διατήρηση μάζας, ορμής και ενέργειας. 1

Διατήρηση μάζας Εστω ένας σταθερός όγκος δτ στο χώρο. Ο ρυθμός ελάττωσης της μάζας που βρίσκεται μέσα στον όγκο αυτό είναι d ρ ρ dτ = dτ, επομένως σε χρόνο dt η μάζα ελαττώνεται dt t ρ κατά dτ dt. t Λόγω διατήρησης μάζας ίση μάζα περνά στο χρόνο dt την επιφάνεια δs που περικλείει τον όγκο. Από μια στοιχειώδη επιφάνεια ds σε χρόνο dt περνά μάζα ρv dt ds = ρv ds dt. Το γινόμενο ρv εκφράζει τη ροή μάζας (μάζα ανά επιφάνεια, ανά χρόνο). Η συνολική μάζα που περνά την επιφάνεια δs είναι ρv ds dt = (ρv )dτ dt χρησιμοποιώντας το [ ] ρ θεώρημα της απόκλισης. Εξισώνοντας τις δυο εκφράσεις έχουμε t + (ρv ) dτ = 0. Επιλέγοντας τον όγκο δτ αρκούντως μικρό ώστε η ολοκληρωτέα να είναι σταθερή προκύπτει τελικά ρ t + (ρv ) = 0. (1) Διατήρηση ορμής Ομοια θα βρούμε το ισοζύγιο της ορμής, λαμβάνοντας υπόψη τις προσθαφαιρέσεις λόγω των δυνάμεων και των κινήσεων του αερίου. Θα βρούμε την εξίσωση που εκφράζει τη διατήρηση της ˆx ορμής και μετά θα γενικεύσουμε το αποτέλεσμα. d Ο ρυθμός αύξησης της ˆx ορμής μέσα στον τυχαίο σταθερό όγκο δτ είναι ρv x dτ = dt t (ρv x)dτ. Από το μέρος ds της επιφάνειας που περικλείει τον όγκο, λόγω μακροσκοπικής κίνησης του ρευστού με ταχύτητα V εξέρχεται ˆx ορμή ανά χρόνο ρv dt ds V x = ρv x V ds. Η αντίστοιχη dt συνολική εξερχόμενη ˆx ορμή ανά χρόνο είναι ρv x V ds = (ρv x V ) dτ χρησιμοποιώντας το θεώρημα της απόκλισης. Λόγω της πίεσης το αέριο ασκεί δύναμη στο περιβάλλον του P ds = P dτ η οποία P αφαιρεί ˆx ορμή στη μονάδα του χρόνου x dτ. Αν υπάρχουν δυνάμεις όγκου f (δύναμη ανά όγκο, π.χ. ρg αν το αέριο είναι μέσα σε βαρυτικό πεδίο έντασης g) αυτές προσθέτουν ˆx ορμή στη μονάδα του χρόνου f x dτ, όπου f x = f ˆx. P Το ισοζύγιο της ˆx ορμής είναι λοιπόν t (ρv x)dτ = f x dτ x dτ (ρv x V ) dτ ή ισοδύναμα t (ρv x) + (ρv x V ) + P x = f x. Γενικεύοντας το αποτέλεσμα και για τις άλλες δύο συνιστώσες της ορμής μπορούμε να γράψουμε t (ρv i) + j=x,y,z j (ρv iv j + P δ ij ) = f i, i = x, y, z. ()

Διατήρηση ενέργειας Ομοια θα εκφράσουμε τη διατήρηση ενέργειας. Η ενέργεια του αερίου που σε κάθε στιγμή βρίσκεται μέσα στον σταθερό όγκο δτ είναι το άθροισμα της κινητικής ενέργειας λόγω της μακροσκοπικής κίνησης με ταχύτητα V και της εσωτερικής ενέργειας λόγω των θερμικών κινήσεων ( ρv + 1 ) Γ 1 P dτ, όπου Γ ο πολυτροπικός δείκτης του αερίου για μονατομικό αέριο ( ρv Γ = 5/3. Ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας αυτής είναι + 1 ) t Γ 1 P dτ, επομένως η ενέργεια αυξάνεται κατά + 1 ) ( ρv t Γ 1 P dτ dt σε χρόνο dt. Για να γράψουμε την έκφραση της διατήρησης ενέργειας πρέπει να λάβουμε υπόψη κάθε ενέργεια που προστίθεται ή αφαιρείται από το αέριο που βρίσκεται στο συγκεκριμένο όγκο. Αν υπάρχει θέρμανση που προσθέτει ενέργεια q ανά μονάδα μάζας και ανά μονάδα χρόνου τότε στο χρόνο dt προστίθεται ενέργεια ρq dτ dt. Αν ασκείται εξωτερική δύναμη f ανά όγκο του αερίου τότε μέσω του έργου της σε χρόνο dt προσθέτει ενέργεια dτ f V dt. Λόγω του έργου της δύναμης πίεσης που ασκείται μεταξύ αερίου και περιβάλλοντος στην επιφάνεια που κλείνει το συγκεκριμένο όγκο, αφαιρείται ενέργεια ds P V dt. Τέλος, λόγω της κίνησης του αερίου που έχει σαν αποτέλεσμα από το μέρος ds της επιφάνειας ( ρv σε χρόνο dt να εξέρχεται όγκος V dt ds = V ds dt αφαιρείται ενέργεια + 1 ) Γ 1 P V ds dt. Προσθέτοντας τις δύο τελευταίες συνεισφορές, η ενέργεια που αφαιρείται από την επιφάνεια ( ρv που περικλείει τον όγκο είναι + Γ ) Γ 1 P V ds dt. ( Ολες οι προηγούμενες εκφράσεις είναι αλγεβρικές, δηλ. αρνητικό πρόσημο σημαίνει αντίθετη συνεισφορά στο ενεργειακό ισοζύγιο.) ( ρv Η διατήρηση ενέργειας γράφεται λοιπόν + 1 ) t Γ 1 P dτ dt = ρq dτ dt + ( ρv ρf V dt dτ + Γ ) Γ 1 P V ds dt, ή χρησιμοποιώντας το θεώρημα της απόκλισης [ ( ) ( ρv ρv + ρe + t V + Γ ) ] Γ 1 P V f V ρq dτ = 0. Επιλέγοντας τον όγκο δτ αρκούντως μικρό ώστε η ολοκληρωτέα να είναι σταθερή προκύπτει τελικά ( ρv + 1 ) ( ρv t Γ 1 P + V + Γ ) Γ 1 P V = f V + ρq. (3) Εξισώσεις διατήρησης Οι πέντε προηγούμενες σχέσεις (1) (3) έχουν την μορφή εξίσωσης συνέχειας (πυκνότητα) t + j=x,y,z (ροή) = πηγές καταβόθρες (4) j για τις πέντε ποσότητες: μάζα, ˆx ορμή, ŷ ορμή, ẑ ορμή και ενέργεια. Εκτός της φυσικής σημασίας που έχει μια τέτοια σχέση, βοηθά και στην αριθμητική αντιμετώπισή της. Αν π.χ. 3

χωρίσουμε το χώρο που μας ενδιαφέρει σε μικρές κυβικές κυψελίδες, μπορούμε στο χρόνο t + dt να βρούμε την πυκνότητα στο κέντρο κάθε κυψελίδας προσθέτοντας στην τιμή που είχε στο χρόνο t τις συνεισφορές από τους όρους των ροών που περιγράφουν το πόση μάζα περνά ανά χρόνο από κάθε μία από τις έξι έδρες της κυψελίδας. Σε γενικές γραμμές σε αυτή την ιδιότητα βασίζεται ο τρόπος επίλυσης του κώδικα PLUTO (οι λεπτομέρειες δεν θα μας απασχολήσουν). Ωστικά κύματα και συνθήκες άλματος Γενικά οι ροές αερίων δεν είναι πάντα ομαλές. Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι αναπόφευκτη η δημιουργία ασυνεχειών, μέσα στις οποίες το αέριο δεν βρίσκεται σε θερμοδυναμική ισορροπία. Οπως θα δούμε στη συνέχεια αυτό συμβαίνει όταν τα αέρια κινούνται με υπερηχητικές ταχύτητες. Ενα παράδειγμα για τη δημιουργία ασυνέχειας είναι το ακόλουθο: Εστω ότι έχουμε ένα κυλινδρικό δοχείο μεγάλου μήκους γεμάτο με ιδανικό μονατομικό αέριο, το οποίο είναι κλειστό στην μια μεριά με ένα κινούμενο έμβολο. Εστω ότι για t = 0 αρχίζουμε να κινούμε το έμβολο με σταθερή ταχύτητα V ε. Προφανώς τα άτομα/μόρια που βρίσκονται κοντά στην επιφάνεια του εμβόλου εξαναγκάζονται να κινηθούν με ταχύτητα V ε και αρχικά δημιουργείται ένα πύκνωμα και μια αύξηση πίεσης (να σημειώσουμε εδώ ότι η μέση ταχύτητα της ροής είναι ανεξάρτητη από τις θερμικές κινήσεις μέτρο των οποίων είναι η θερμοκρασία). Η πληροφορία ότι η πίεση αυξήθηκε, η οποία θα οδηγήσει σε κίνηση τελικά όλα τα άτομα/μόρια του δοχείου, διαδίδεται με πεπερασμένη ταχύτητα, την ταχύτητα του ήχου C s. Για μικρές ταχύτητες του εμβόλου V ε < C s υπάρχει αρκετός χρόνος να διαδοθεί η πληροφορία και να αποκατασταθεί ισορροπία. Τα τελευταία άτομα/μόρια που «μαθαίνουν τα νέα» τη χρονική στιγμή t βρίσκονται σε απόσταση (C s V ε )t από το έμβολο. Τι γίνεται όμως αν κινήσουμε το έμβολο με ταχύτητα V ε > C s ; Τότε δεν δίνουμε χρόνο στα άτομα/μόρια να αντιδράσουν και να μεταδώσουν την πληροφορία ομαλά, αφού τα ηχητικά κύματα είναι πιο αργά από το έμβολο. Σίγουρα βέβαια κοντά στο έμβολο τα άτομα/μόρια έχουν ταχύτητα V ε όπως πριν, ενώ σε κάποια απόσταση το αέριο παραμένει ακίνητο. Το αέριο λύνει το πρόβλημα «επικοινωνίας» αυξάνοντας την ταχύτητα του ήχου σε μια περιοχή κοντά στο έμβολο, κάτι που συνεπάγεται αύξηση της θερμοκρασίας, της πίεσης και της πυκνότητας. Το μέτωπο αυτής της πυκνής περιοχής είναι το ωστικό κύμα. Η δημιουργία της ασυνέχειας είναι συνέπεια του γεγονότος ότι η αδιαβατική ταχύτητα του ήχου με την οποία μεταφέρεται η πληροφορία μέσα σε ένα αέριο είναι ανάλογη της θερμοκρασίας, πυκνότητας και πίεσης. Συγκεκριμένα είναι C s = Γ P/ρ T 1/ ρ (Γ 1)/ P (Γ 1)/Γ, διότι στις αδιαβατικές μεταβολές (σταθερής) μάζας M του αερίου, η οποία καταλαμβάνει (μεταβλητό) όγκο τ = M/ρ είναι P ( τ) Γ = σταθερό, ή P ρ Γ. Κατά συνέπεια όταν δημιουργείται μια μεταβολή μέσα στο αέριο το μέτωπο των πυκνότερων τμημάτων του κινείται πιο γρήγορα και τείνει να προσπεράσει το μέτωπο των πιο αραιών τμημάτων. Η προσπέραση είναι βέβαια αδύνατη, αλλά η προηγούμενη σκέψη δείχνει ότι η απόσταση μεταξύ πυκνών και αραιών τμημάτων ολοένα και μικραίνει, δηλ. η κλίση των μεγεθών ολοένα και μεγαλώνει. Οταν η απόσταση αυτή γίνει μηδενική η κλίση γίνεται άπειρη και έχει δημιουργηθεί ασυνέχεια, όπως φαίνεται στο σχήμα 1 (πρακτικά η ασυνέχεια έχει πάχος συγκρίσιμο με την μέση ελεύθερη διαδρομή, η οποία είναι όμως πολύ μικρή σε σχέση με τις διαστάσεις που μας ενδιαφέρουν). Στο εσωτερικό της ασυνέχειας δεν είναι εύκολο να περιγράψουμε το αέριο (το οποίο υπόκειται σε μη-αντιστρεπτή μεταβολή καθώς περνάει την ασυνέχεια). Ομως, μπορούμε να παρακάμψουμε τη δυσκολία αυτή και να συνδέσουμε τις δύο καταστάσεις πριν και μετά την ασυνέχεια μέσω των νόμων διατήρησης. Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε σαν επίπεδο της ασυνέχειας το x = 0 (τοπικά η ασυνέχεια είναι πάντα επίπεδη), δηλ. είναι προτιμότερο να εργαστούμε στο σύστη- 4

Σχήμα 1: Δημιουργία ωστικού κύματος. Καθώς πυκνότερα στρώματα κινούνται γρηγορότερα, η κλίση της πυκνότητας με την πάροδο του χρόνου γίνεται πιο απότομη και πέρα από κάποιο χρόνο άπειρη. μα αναφοράς στο οποίο η ασυνέχεια είναι ακίνητη και να επιλέξουμε τον άξονα x κάθετα στο επίπεδο της ασυνέχειας. Εστω το μέρος είναι το μέρος x > 0 του αερίου απ όπου έχει περάσει η ασυνέχεια (δηλ. το πυκνότερο μέρος στο οποίο η ταχύτητα του ήχου έχει αυξηθεί) με πυκνότητα ρ, πίεση P και ταχύτητα V (ως προς την ασυνέχεια), ενώ το μέρος «1» είναι το μέρος x < 0 που δεν έχει περάσει, με πυκνότητα ρ 1, πίεση P 1 και ταχύτητα V 1 (ως προς την ασυνέχεια). Ολοκληρώνοντας την εξίσωση (1) ως προς x σε ένα απειροστό διάστημα που περιλαμβάνει την ασυνέχεια, δηλ. σε διάστημα ( ϵ, ϵ) με ϵ 0 +, έχουμε ϵ lim ϵ 0 + ϵ [ ρ t + (ρv x) + (ρv y) + (ρv z) x y z ] dx = 0 lim ϵ 0 + [ρv x] ϵ ϵ = 0, διότι όλοι οι όροι είναι ομαλοί (και άρα το ολοκλήρωμά τους μηδενικό), εκτός της παραγώγου ως προς x που είναι άπειρη λόγω της ασυνέχειας. Ετσι βρίσκουμε την πρώτη συνθήκη άλματος που εκφράζει την διατήρησης μάζας ρ 1 V 1x = ρ V x. (5) Ομοια το ολοκλήρωμα της εξίσωσης () δίνει ρ 1 V 1x + P 1 = ρ V x + P για i = x, ρ 1 V 1x V 1y = ρ V x V y για i = y και ρ 1 V 1x V 1z = ρ V x V z για i = z, με τις δύο τελευταίες να απλοποιούνται σε V 1y = V y και V 1z = V z λόγω της συνθήκης (5). Ετσι, οι συνθήκες άλματος που εκφράζουν την διατήρηση της ορμής κάθετα και παράλληλα στο επίπεδο της ασυνέχειας (δηλ. στην διεύθυνση ˆx και στο επίπεδο xy) γράφονται ρ 1 V 1x + P 1 = ρ V x + P, (6) V 1y = V y, V 1z = V z. (7) Το ολοκλήρωμα της εξίσωσης (3) δίνει όμοια 1 ρ 1V1 V 1x + Γ Γ 1 P 1V 1x = 1 ρ V V x + Γ Γ 1 P V x. Χρησιμοποιώντας τις συνθήκες (5) και (7) η συνθήκη άλματος που εκφράζει την διατήρηση ενέργειας γράφεται 1 ρ 1V 3 1x + Γ Γ 1 P 1V 1x = 1 ρ V 3 x + 5 Γ Γ 1 P V x. (8)

Οι πέντε συνθήκες άλματος (5) (8) καθορίζουν μονοσήμαντα την κατάσταση στο μέρος αν γνωρίζουμε αυτή του μέρους «1» και αντίστροφα. Μπορεί να αποδειχθεί ότι συνεπάγονται ρ ρ 1 = V 1x V x = Γ + 1 Γ 1 + /M 1 όπου M 1 είναι ο αριθμός Mach του μέρους «1» M 1 = V 1x C s1, C s1 =, P = Γ M 1 Γ + 1, (9) P 1 Γ + 1 Γ P 1 ρ 1. (10) Η πρώτη από τις εξισώσεις (9) συνεπάγεται ότι ρ > ρ 1 M 1 > 1. Η ίδια σχέση, εναλλάσσοντας τους δείκτες 1 και δίνει ότι ρ 1 < ρ M < 1. Άρα σε ένα ωστικό κύμα έχουμε πάντα μετάβαση από υπερηχητική σε υποηχητική ροή. Πάντα αναφερόμαστε στις συνιστώσες της ταχύτητας κάθετα στο επίπεδο της ασυνέχειας και στο σύστημα όπου η ασυνέχεια είναι ακίνητη. Στο όριο που η ταχύτητα του μέρους «1» είναι κατά πολύ μεγαλύτερη της ταχύτητας ήχου στο ίδιο μέρος, δηλ. M 1 1, λέμε ότι έχουμε ισχυρή ασυνέχεια, διότι ο λόγος συμπίεσης γίνεται μέγιστος και ίσος με ρ = V 1x = Γ + 1. Στην περίπτωση που Γ = 5/3 αυτός ο λόγος ρ 1 V x Γ 1 ισούται με 4, δηλ. ρ = 4ρ 1 και V 1x = 4V x. Στο παράδειγμα με το έμβολο που κινείται με υπερηχητική ταχύτητα V ε μέσα σε ακίνητο μονατομικό αέριο, έστω η πυκνότητα και πίεση του αδιατάρακτου αερίου είναι ρ 1 και P 1, αντίστοιχα. Η ταχύτητα του ήχου στο μέρος αυτό θα είναι C s1 = 5P 1 /3ρ 1. Αν έχουμε ισχυρή ασυνέχεια V ε C s1 ο λόγος συμπίεσης θα είναι 4. Άρα η πυκνότητα στο μέρος του αερίου κοντά στο έμβολο που έχει συμπιεστεί (από το οποίο έχει περάσει το ωστικό κύμα) θα είναι ρ = 4ρ 1 και η πίεση θα είναι P = (5/4)M1 P 1. Αν U είναι η ταχύτητα της ασυνέχειας τότε στο σύστημα της ασυνέχειας θα είναι V 1 = U και V = U V ε, οπότε η σχέση V 1 = 4V δίνει την ταχύτητα του ωστικού κύματος U = (4/3)V ε. 3 Ο κώδικας PLUTO Το PLUTO user s guide περιγράφει αναλυτικά τις διάφορες δυνατότητες του κώδικα και θα το συμβουλευόμαστε όποτε χρειάζεται. Υπάρχει αντίγραφο μέσα στον υποφάκελο PLUTO/Doc του home directory. Για κάθε πρόβλημα γενικά εκτελούμε τις παρακάτω ενέργειες: 1. Αδιαστατοποίηση: Κάθε κώδικας επεξεργάζεται καθαρούς αριθμούς (χωρίς μονάδες), επομένως πρέπει να ορίσουμε μονάδες για τρία βασικά μεγέθη τα οποία μπορεί να είναι μήκος, μάζα, χρόνος ή τρεις ανεξάρτητοι συνδυασμοί τους. Αν π.χ. μετράμε αποστάσεις σε μονάδες r n, ταχύτητες σε μονάδες V n και πυκνότητες σε μονάδες ρ n τότε θέτουμε r = r n r, = 1 r n, V = V n V, ρ = ρ n ρ, όπου τα τονούμενα είναι αδιάστατα. Για να μείνει αναλλοίωτη η μορφή των σχέσεων (1) (3) πρέπει να μετράμε το χρόνο σε μονάδες r n /V n, την πίεση σε μονάδες ρ n Vn και την δύναμη ανά όγκο σε μονάδες ρ n Vn /r n. Τότε, οι σχέσεις που συνδέουν τις τονούμενες ποσότητες, αφού διώξουμε τους τόνους για απλούστευση, είναι ακριβώς οι (1) (3). Με τον τρόπο αυτό έχουμε μονάδες για όλα τα μεγέθη του ρευστού και μπορούμε να μετατρέπουμε κάθε φυσικό μέγεθος σε καθαρό αριθμό (για να τον εισάγουμε στον κώδικα) και αντίστροφα (για να καταλαβαίνουμε τι σημαίνει ένα αριθμητικό αποτέλεσμα του κώδικα). 6

. Επιλέγουμε σύστημα συντεταγμένων (καρτεσιανές, κυλινδρικές, σφαιρικές). 3. Ορίζουμε πλέγμα σημείων σε κάθε χωρική κατεύθυνση, με ελάχιστη τιμή, μέγιστη τιμή και πλήθος σημείων. Ετσι οριοθετείται το χωρίο στον οποίο θα λυθεί το πρόβλημα. Οι ακραίες τιμές της χωρικής μεταβλητής είναι καθαροί αριθμοί (έχουν αδιαστατοποιηθεί). Για τη διαμέριση του χώρου υπάρχουν διάφορες δυνατότητες, π.χ. πλέγμα με ισαπέχοντα σημεία, ή με την απόσταση μεταξύ των σημείων να αυξάνεται λογαριθμικά. 4. Δίνουμε (αδιαστατοποιημένες) αρχικές συνθήκες στο πρόβλημα, δηλ. τις τιμές των ρ, V, P σε κάθε σημείο του χωρίου που λύνουμε το πρόβλημα τη χρονική στιγμή t = 0. 5. Δίνουμε οριακές συνθήκες, δηλ. πληροφορίες σε κάθε πλευρά του χωρίου που βοηθούν τον κώδικα να υπολογίσει τις ροές σε όλες τις έδρες των κυψελίδων που βρίσκονται στα άκρα του χωρίου. Π.χ. έστω η μία χωρική συντεταγμένη είναι η x και το αντίστοιχο πλέγμα εκτείνεται από το αριστερό άκρο x = x min στο δεξί άκρο x = x max. Για να υπολογιστεί η πυκνότητα στο σημείο x = x max χρειάζεται η ροή μάζας που μπαίνει από την έδρα που βρίσκεται δεξιότερα του x max, που δεν είναι γνωστή μιας και το σημείο αυτό βρίσκεται εκτός χωρίου που λύνουμε το πρόβλημα. Πρέπει λοιπόν να δώσουμε επιπλέον πληροφορία για να υπολογιστούν αυτές οι ροές για όλες τις ποσότητες. Υπάρχουν διάφορες επιλογές οριακών συνθηκών που δέχεται ο κώδικας. Π.χ. «outflow» σημαίνει μηδενική παράγωγο (δηλ. στο σημείο δεξιότερα του x max οι τιμές όλων των ποσοτήτων του ρευστού θεωρούνται ίδιες με τις τιμές στο x max ). Μια δεύτερη επιλογή είναι «userdef» (δηλ. user-defined) στην οποία ο χρήστης πρέπει να καθορίσει τις τιμές. Οι οριακές συνθήκες σε πολλές περιπτώσεις είναι το πιο σημαντικό δεδομένο που καθορίζει τη λύση ενός προβλήματος. Αν αντιστοιχούν σε πραγματικό όριο του ρευστού τότε έχουν άμεση φυσική σημασία (π.χ. πρέπει να υποχρεώσουμε την κάθετη ταχύτητα να είναι μηδενική). Σε πολλά αστροφυσικά προβλήματα όμως, στα οποία ο χώρος που καταλαμβάνει ένα ρευστό είναι πολύ μεγάλος και άρα ανέφικτο να προσομοιωθεί στο σύνολό του, είμαστε αναγκασμένοι να δώσουμε τεχνητές οριακές συνθήκες. Αν δεν προσεχθούν μπορεί να οδηγήσουν σε λανθασμένα συμπεράσματα καθότι κύματα που φτάνουν στα όρια του χωρίου μπορεί να ανακλώνται και να επηρεάζουν τεχνητά τη λύση. 6. Επιλέγουμε τον τελικό χρόνο στον οποίο θέλουμε την λύση (είναι καθαρός αριθμός γιατί έχει αδιαστατοποιηθεί). 7. Επιλέγουμε μορφή για το αποτέλεσμα που θα προκύψει ώστε να μπορούμε να το απεικονίσουμε γραφικά και να το καταλάβουμε. 4 Βήματα της άσκησης Βήμα 1: Εξοικείωση με τον κώδικα: Ανοίξτε ένα terminal. Δημιουργήστε ένα υποφάκελο του home directory και ονομάστε τον σύμφωνα με τους αριθμούς μητρώου σας. Αυτό γίνεται δίνοντας την ακόλουθη εντολή στο terminal: mkdir AM 1 _AM (όπου AM 1 _AM οι επταψήφιοι αριθμοί μητρώου σας το έτος ακολουθούμενο από τα τρία τελευταία ψηφία). Μην αφήνετε κενά στο όνομα του φακέλου και μην χρησιμοποιείτε Ελληνικούς 7

χαρακτήρες. Μεταφερθείτε μέσα στον φάκελο που δημιουργήσατε με την εντολή cd AM 1 _AM Βήμα : Δώστε την εντολή setuppy και ακολουθήστε τις οδηγίες που θα δοθούν στο εργαστήριο (όλες οι δυνατότητες περιγράφονται στο Problem Setup του PLUTO user s guide). Βήμα 3: Αυτό το βήμα πρέπει να συμπεριληφθεί στην γραπτή εργασία (η οποία θα παραδοθεί μετά το τέλος του δεύτερου μέρους της άσκησης). Για τις αρχικές συνθήκες που δόθηκαν για το πρόβλημα της κίνησης εμβόλου σε αέριο επεξεργαστείτε τα αποτελέσματα και επαληθεύσετε ότι ικανοποιούνται οι συνθήκες άλματος που αναφέρονται στο «Θεωρητικό υπόβαθρο». Πως αλλάζουν τα αποτελέσματα αν αλλάξουμε την ταχύτητα του εμβόλου; Μπορεί η προσομοίωση αυτή να αφορά ένα ωστικό κύμα υπερκαινοφανούς που κινείται με ταχύτητα 10 4 km s 1 μέσα στο (ακίνητο) μεσοαστρικό υλικό, του οποίου η ταχύτητα ήχου είναι C 1 = 10 km s 1 ; Ποια η ταχύτητα και η θερμοκρασία του μεσοαστρικού υλικού από το οποίο έχει περάσει το ωστικό κύμα; Το μεσοαστρικό υλικό μπορεί να θεωρηθεί ιδανικό μονατομικό αέριο πρωτονίων-ηλεκτρονίων, με πίεση P = ρ m p / k BT. Δίνονται k B = 1.38 10 16, m p = 1.67 10 4, στο σύστημα cgs. ΕΔΩ ΤΕΛΕΙΩΝΕΙ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Βήμα 4: Αυτό το βήμα πρέπει να συμπεριληφθεί στην γραπτή εργασία. Το πρόβλημα του Sod αφορά δύο ρευστά σε ένα σωλήνα, το «αριστερό» και το «δεξιό», τα οποία βρίσκονται σε επαφή. Αρχικά τα ρευστά είναι στατικά, αλλά αν οι πιέσεις τους είναι διαφορετικές η επιφάνεια επαφής θα κινηθεί και τα χαρακτηριστικά τους θα αλλάξουν. Προσομοιώστε το πρόβλημα αυτό αν το αριστερό ρευστό αρχικά καταλαμβάνει το χώρο x < 0, έχει πυκνότητα ρ l = 10 5 και πίεση P l = 1, ενώ το δεξιό ρευστό αρχικά καταλαμβάνει το χώρο x > 0, έχει πυκνότητα ρ r = 1.5 10 4 και πίεση P r = 0.1. Και για τα δύο ρευστά Γ = 1.4. 8

Σχεδιάστε την πυκνότητα, πίεση και ταχύτητα σαν συνάρτηση της θέσης για t = 5000. Διακρίνετε τις περιοχές της παραπάνω εικόνας στα αποτελέσματά σας και σχολιάστε τι συμβαίνει στην κάθε μία περιοχή. Κάντε τα διαγράμματα της πυκνότητας, πίεσης και ταχύτητας σαν συνάρτηση της μεταβλητής x/t σε διάφορες χρονικές στιγμές. Τι παρατηρείτε; Σε τι αντιστοιχούν οι τιμές των x/t που υπάρχουν ασυνέχειες; 5 Βιβλιογραφία PLUTO: A modular code for computational astrophysics http://plutocode.ph.unito.it PLUTO user s guide http://plutocode.ph.unito.it/files/userguide.pdf PLUTO: A Numerical Code for Computational Astrophysics, Mignone, A., et al. 007, ApJS, 170, 8 http://adsabs.harvard.edu/abs/007apjs..170..8m Δυναμική των Ρευστών, Ν. Βλαχάκης http://eclass.uoa.gr/courses/phys10/ 9