ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 50 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 5 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα ΓΕΝΑΡΗΣ 216 ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 1

6 Σημαντικά θεωρήματα της Γεωμετρίας 1. Ευθεία Euler Η ευθεία του Euler σε τρίγωνο ορίζεται από τα σημεία α) το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου β) το ορθόκεντρο και γ) το βαρύκεντρο του τριγώνου. Απόδειξη Αν ΑΔ, ΒΕ,ΓΖ ύψη του τριγώνου με ορθόκεντρο Η, ΑΟΡ διάμετρος και το ύψος ΑΔ επανατέμνει το κύκλο με κέντρο Ο στο σημείο Κ. Τότε είναι φανερό ότι 2 9 1 1 2 δηλαδή ΒΔ ύψος και διχοτόμος στο τρίγωνο ΒΔΚ, άρα ΒΗ=ΒΚ (1). Είναι 9 γιατί βλέπουν ημικύκλιο συνεπώς και ΒΗ ΓΡ ως κάθετες στην ίδια ευθεία, επομένως το τραπέζιο ΚΡΓΒ είναι ισοσκελές ΡΓ=ΚΒ (2) και λόγω της (1) είναι (α) δηλαδή #. Αν οι διαγώνιοι του # τέμνονται στο Μ τότε ΑΜ διάμεσος και μέσον του ΗΡ, οπότε από το τρίγωνο ΑΗΡ είναι παράλληλο και ίσο με το μισό του ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 2

ΑΟ. Αν ΑΜ και ΟΗ τέμνονται στο Θ τότε τα τρίγωνα 2 1 2 Συνεπώς ΑΘ=2ΘΜ 3 Θ κέντρο 3 3 βάρους και 2 δηλαδή η απόσταση του βαρυκέντρου από το ορθόκεντρο είναι διπλάσια της απόστασης του κέντρου του κύκλου από το κέντρο βάρους. 2. Κύκλος των 9 σημείων του Euler κύκλος των 9 σημείων του Euler σε τρίγωνο ορίζεται α) από τα ίχνη των υψών του β) από τα μέσα των πλευρών του και γ) από τα μέσα των τμημάτων που ορίζονται από το ορθόκεντρο και τις κορυφές του. Απόδειξη Κύκλος του Euler ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 3

Από την ευθεία του Euler είναι γνωστό ότι, 2 κάθετες στη ΒΓ ΑΙΜΟ# άρα ΙΜ=ΑΟ=R και επειδή Δ,Μ,Ι ανήκουν στο κύκλο # R. Αλλά και Λ,Ζ,Τ ανήκουν στο κύκλο ως κύκλο του Euler. R C, 2.Ομοίως 9 τα σημεία # R 9 και επομένως τα σημεία Κ,Ε,Ρ R C, γνωστό και ως κύκλο των 9 σημείων ή 2 3.ΘΕΩΡΗΜΑ NAGEL Δίνεται κύκλος (O,R) και εγγεγραμμένο σε αυτόν τρίγωνο ΑΒΓ. Αν ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ ύψη. Να δείξετε ότι: α) το ορθόκεντρο Η έχει συμμετρικά ως προς τις πλευρές του στο κύκλο και β) το τμήμα ΔΕ είναι κάθετο στην ακτίνα ΟΑ. Απόδειξη ΣΧΗΜΑ ΓΙΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ NAGEL Απόδειξη α ) Αν το ύψος ΑΖ επανατέμνει το κύκλο στο σημείο Θ τότε 1 1 ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 4

βλέπουν το ίδιο τόξο και 2 x είναι οξείες με πλευρές κάθετες. Συνεπώς 1 2 διχοτόμος και ύψος δηλαδή ΒΘΗ ισοσκελές μεσοκάθετος. Άρα Η,Θ συμμετρικά ως προς τη πλευρά ΒΓ. Ομοίως Η,Ι συμμετρικά ως προς ΑΒ και Η,Κ συμμετρικά ως προς ΑΓ. β ) Επειδή 3 1 οξείες με πλευρές κάθετες,είναι, ΙΟ=ΚΟ=R δηλαδή ΑΟ μεσοκάθετος στην ΙΚ. Όμως στο τρίγωνο ΗΙΚ, Ε μέσον ΗΙ, Δ μέσον ΗΚ 4. Ευθεία του SIMPSON Η ευθεία του simpson ορίζεται από τις προβολές ενός σημείου του περιγεγραμμένου κύκλου σε τρίγωνο. Απόδειξη ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 5

Αν,,,, είναι εγγράψιμα σε κύκλο οπότε από τις ιδιότητες εγγραψίμων τετραπλεύρων έχουμε y x 9 y x. Επομένως ισχύει x x Ζ,Ε,Δ είναι συνευθειακά. 9 9 18 άρα τα σημεία 5. Θεώρημα Lehmus-Steiner Λήμμα : Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι και, διχοτόμοι των γωνιών τότε Θεώρημα : Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι και, διχοτόμοι των γωνιών με τότε. Απόδειξη Λήμμα : Γράφουμε το κύκλο που περνά από τα σημεία Β,Γ,Ε που τέμνει τη ΒΔ στο σημείο Δ και έχουμε 1 2 1, 1 1 1 2, 3 2. 2 2 2 1 1 Επειδή 9 όμως παρατηρούμε ότι 2 2 1 1 1 1 ισχύει 1 3 2 ( ) 9 όμως 2 2 2 2 9 2 2 18 ΣΧΗΜΑ ΛΗΜΜΑΤΟΣ ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 6

Θεώρημα :Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) Αν ά Ομοίως αν ά δηλαδή το συμπέρασμα είναι αδύνατο, άρα Επομένως αν δύο διχοτόμοι τριγώνου είναι ίσες το τρίγωνο είναι ισοσκελές. 6. Θεώρημα Frank Morley Λήμμα Αν τα σημεία Y', Z, Y, Z' ικανοποιούν τις συνθήκες 1.Y'Z = ZY = YZ' και 2. Y Z ' YZ 18 2 a 6 Τότε τα σημεία Y', Z, Y, Z' είναι σημεία του ίδιου κύκλου ( c ). Αν ένα σημείο A ανήκει στο ημιεπίπεδο που ορίζουν το Y και δεν περιέχει το Y σχηματίζοντας τη γωνία Y ' AZ ' 3 a, τότε και το πέμπτο σημείο Α ανήκει στον ίδιο κύκλο ( c ). Απόδειξη Αν οι διχοτόμοι των γωνιών YZY ' και Z ' YZ τέμνονται O. Είναι φανερό ότι ισχύουν 1 1 18 2 9 και 2 1 1 1 18 18 2 9 2. Αλλά τα τρίγωνα Άρα OY ' OZ OY OX ' Τα τρίγωνα OY'Z, OZY, OYZ' είναι ισοσκελή και ίσα με γωνίες βάσης 9 - και Y 2a Άρα συνεπώς αν με κέντρο το Ο και ακτίνα OY,γράψουμε ( c ) δηλαδή Y', Z, Y, Z' είναι 1 σημεία του ίδιου κύκλου ( c ). Αν πάρουμε μια γωνία Y ' AZ ' 3 a Y ' Z ' αυτή 2 είναι εγγεγραμμένη κύκλο ( c ).Άρα και το πέμπτο σημείο Α ανήκει στο κύκλο ( c ) ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 7

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΒΓ=2ΑΒ, Δ μέσο της πλευράς ΒΓ και Ε μέσο του τμήματος ΒΔ. Να δείξετε ότι ΑΔ διχοτόμος της γωνίας. ΑΣΚΗΣΗ 2 Σε τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τα σημεία Δ και Ε πάνω στις πλευρές ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα αν οι διχοτόμοι των γωνιών 1 τέμνονται στο σημείο Μ. Να δείξετε ότι:. 2 ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 8

ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με 9 και ΑΒ<ΑΓ, Δ μέσο ΒΓ. Αν ΑΟ διχοτόμος της γωνίας του τριγώνου ΑΒΓ τέμνει τη κάθετο στη ΒΓ και στο σημείο της Δ,σε ένα σημείο Ε όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα. Να δείξετε ότι : i. ΑΔ=ΔΕ 1 ii. 2 ΑΣΚΗΣΗ 4 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και γωνία 12. Αν τα σημεία Δ, Ε τριχοτομούν τα πλευρά ΒΓ ώστε ΒΔ=ΔΕ=ΕΓ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισόπλευρο. ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 9

ΑΣΚΗΣΗ 5 Αν Δ, Ε σημεία των πλευρών ΒΓ, ΑΒ αντίστοιχα ώστε ΒΔ=ΒΕ και η ευθεία ΔΕ τέμνει τη πλευρά ΑΓ στο σημείο Ζ. Αν ΔΗ διχοτόμος της γωνίας του τριγώνου ΒΔΕ. ΑΣΚΗΣΗ 6 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με 9. Πάνω στην υποτείνουσα ΒΓ παίρνουμε τα τμήματα ΓΔ=ΑΓ και ΒΕ=ΑΒ. Αν,. Να δείξετε ότι: α) 45 και β) ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 1

ΑΣΚΗΣΗ 7 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ<ΑΓ) το ύψος ΑΔ και η διάμεσος ΑΜ τριχοτομούν τη γωνία του. Αν.α) Να δείξετε ότι: β) Να βρεθούν οι 4 γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. ΑΣΚΗΣΗ 8 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με τα σημεία Δ,Ε,Ζ μέσα των πλευρών του ΒΓ,ΑΒ,ΑΓ και το ύψος του ΓΗ. Να δείξετε ότι: ΑΣΚΗΣΗ 9 Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ και σημείο Ρ της ΑΒ ώστε Να δείξετε ότι :.. 4 ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 11

ΑΣΚΗΣΗ 1 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ, Ε πάνω στις πλευρές ΑΒ, ΑΓ του τριγώνου. Αν τα τμήματα ΒΕ, ΓΔ τέμνονται στο σημείο Η. Να δείξετε ότι. ΑΣΚΗΣΗ 11 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με 6 και οι διχοτόμοι ΒΔ, ΓΕ των γωνιών του, τέμνονται στο σημείο Ι. Να δείξετε ότι α) 12 και β). ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 12

ΑΣΚΗΣΗ12 Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και οι διαγώνιοι ΑΓ, ΒΔ τέμνονται στο Ο. Αν η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την ΑΓ στο Ρ, ενώ η κάθετος τέμνει ΒΔ, ΑΒ στα Ε,Ζ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι : 2 ΑΣΚΗΣΗ 13 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, Ο σημείο τομής των διαγωνίων. Αν Ε συμμετρικό του Δ ως προς τη διαγώνιο ΑΓ και το τμήμα ΔΕ τέμνει την ΑΓ στο Κ και τη πλευρά ΑΒ στο Ν. Αν το τμήμα ΓΕ τέμνει την ΑΒ στο σημείο Μ. Να δείξετε ότι : i. Το τετράπλευρο ΑΕΒΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο. ii. ΓΚ=ΑΚ+ΕΒ iii. Το σημείο Μ είναι μέσο του ΝΒ. ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 13

ΑΣΚΗΣΗ 15 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Χαράσσουμε τη πλευρά ΒΓ και παίρνουμε τμήματα ΒΔ=ΑΒ και ΓΕ=ΑΓ. Αν οι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών τέμνονται στο Ι. Να δείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα,, είναι ισοσκελή. β) 2. ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 14

ΑΣΚΗΣΗ 16 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ισοσκελές ΑΒ=ΑΓ και τα σημεία Δ, Ε στη πλευρά ΑΒ και στη προέκταση της ΑΓ ώστε να ισχύει ΒΔ=ΓΕ. Αν,. Να αποδείξετε ότι : α) ΔΚ=ΕΛ.β) Το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ διχοτομείται από τη ΒΓ. ΑΣΚΗΣΗ 17 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με 9. Αν ΒΔ διχοτόμος της γωνίας,η κάθετος τέμνει τη πλευρά ΑΒ στο σημείο Ζ και η ΒΔ τέμνει το τμήμα ΓΖ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι : α) Το τρίγωνο ΒΓΖ είναι ισοσκελές. β) ΔΗ διχοτόμος της γωνίας. ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 15

ΑΣΚΗΣΗ 19 Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι 6 και οι διχοτόμοι ΒΔ και ΓΕ των γωνιών και τέμνονται στο Ι. Να δείξετε ότι : α) 12 και β) ΒΓ=ΒΕ+ΓΔ. ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 16

ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με, 2 και διχοτομούμε τη γωνία ώστε η διχοτόμος να κόψει την πλευρά ΒΓ στο Δ. Πάνω στη προέκταση της ΓΑ παίρνουμε τμήμα ΑΕ=ΑΒ. Να δείξετε: α) β) το τρίγωνο ΒΔΕ είναι ισοσκελές γ) ΒΔ= περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ. ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 17

ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 18