Ψ Υ Υ Χ Χ Α Α Σ Σ Β Β Α Α Γ Γ Γ Γ ΕΛΗΣ ΕΛΗΣ--

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ψ Υ Υ Χ Χ Α Α Σ Σ Β Β Α Α Γ Γ Γ Γ ΕΛΗΣ ΕΛΗΣ--"

ῬαΧάβ Λύτρας
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

5 5 5

6 6 6

7 7 7

8 8 8

9 9 9

11 Τα συμμετρικά του ορθοκέντρου τριγώνου (ως προς τις πλευρές του) βρίσκονται επάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του

12 Τα ύψη τριγώνου, διχοτομούν τις γωνίες του ορθικού του

13 Τα συμμετρικά του ορθοκέντρου (ως προς τα μέσα των πλευρών του) βρίσκονται επάνω στο περιγεγραμμένο κύκλο του

14 Η ΖΕ είναι αντιπαράλληλος της ΒΓ. Αν Τ μέσο της ΖΕ τότε η ΑΚ είναι συμμετροδιάμεσος. AΔ,OA ισογώνιες συζυγείς

15 Το ορθόκεντρο, το περίκεντρο και το βαρύκεντρο τριγώνου, βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία (ευθεία του Euler). HG=2OG 15 15

16 Τα μέσα των πλευρών, ταίχνητωνυψώνκαιταμέσατων αποστάσεων ορθοκέντρου-κορυφών, βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο (κύκλος του Euler)

17 Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου είναι ομοιόθετος του κύκλου Euler. Κέντρο του κύκλου Euler είναι το μέσο του ΟΗ. Ακτίνα του κύκλου Euler είναι R/

18 18 18

19 19 19

20 20 20

21 Αν Ρ τυχόν σημείο του τόξου ΒΓ του περιγεγραμμένου κύκλου ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ, τότε ΡΑ=ΡΒ+ΡΓ

22 Αν Ρ τυχόν σημείο του τόξου ΒΓ του περιγεγραμμένου κύκλου ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ, τότε ΡΑ=ΡΒ+ΡΓ

23 Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). MM 1 + MM 2 = KK 2 KK 1 = υ β = υ γ 23 23

24 Ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. ΡΔ + ΡΕ + ΡΖ = υ α 24 24

25 Οι προβολές σημείου του περιγεγραμμένου κύκλου στις πλευρές τριγώνου, βρίσκονται σε ευθεία (ευθεία Simson)

26 ΗγωνίαπουσχηματίζουνοιευθείεςSimson (που αντιστοιχούν στα σημεία Κ και Μ) ισούται με την εγγεγραμμένη που βαίνει στο ΚΜ

27 AA 2 // A1 B

28 28 28

29 Το μέσο του ΜΗ ανήκει στην ευθεία Simson που αντιστοιχεί στο σημείο Μ και τον κύκλο του Euler

30 Τα συμμετρικά σημείου του περιγεγραμμένου κύκλου, ως προς τις πλευρές τριγώνου, βρίσκονται σε ευθεία που περνά απότοορθόκεντρότου

31 31 31

32 Αν Δ, Ε, Ζ είναι σημεία στις πλευρές τριγώνου, τότε οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ΑΖΕ, ΒΔΖ και ΓΔΕ περνάνε απότοίδιοσημείο(σημείο Miquel του τριγώνου)

33 Σε πλήρες τετράπλευρο ΑΒΓΔΕΖ, οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ΑΔΕ, ΑΒΖ, ΒΓΕ και ΓΔΖ περνάνε από το ίδιο σημείο (Σημείο Miquel του τετραπλεύρου)

34 Αν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο, τότε το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου βρίσκεται επάνω στην ΕΖ

35 Τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων, είναι ομοκυκλικά με το σημείο Miquel του τετραπλεύρου

36 Τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων, είναι ομοκυκλικά με το σημείο Miquel του τετραπλεύρου

37 Ευθεία Simson πλήρους τετραπλεύρου

38 Τα μέσα των διαγωνίων πλήρους τετραπλεύρου είναι συνευθειακά

39 Οι διχοτόμοι... δημιουργούν ρόμβο

40 Σημείο των μέσων (βαρύκεντρο τετραπλεύρου)

41 Σε κάθε εγγεγραμμένο τετράπλευρο, οι κάθετες από τα μέσα των πλευρών του προς τις απέναντι κορυφές του, περνάνε από το ίδιο σημείο (αντίκεντρο τετραπλεύρου)

42 Το αντίκεντρο είναι ορθόκεντρο του τριγώνου SMN

43 Οι διαγώνιες εγγεγραμμένου τετραπλεύρου είναι κάθετες μεταξύ τους και τέμνονται στο σημείο Ρ. ΗκάθετηαπότοΡ προς οποιαδήποτε πλευρά του, περνάει από το μέσο της απέναντι πλευράς

44 Το κέντρο Ο απέχει από κάθε πλευρά, το μισό του μήκους της απέναντι πλευράς

45 Οι εφαπτόμενες στις κορυφές του τετραπλεύρου ορίζουν εγγράψιμο τετράπλευρο

Σχετικά έγγραφα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει