פיסיקה 2 חשמלומגנטיות

פיסיקה 2 חשמלומגנטיות R L C V אייל לוי

סטודנטים יקרים ספרתרגיליםזההינופרישנותנסיוןרבותשלהמחברבהוראתפיסיקהבאוניברסיטתתלאביב, במכללת אפקה,ועוד. שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים בפניקורסחשובזה. הספר עוסק בפיסיקה 2 חשמל ומגנטיות,והוא מתאים לתלמידים במוסדות להשכלה גבוהה אוניברסיטאות או מכללות. הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד,בהתאם לתכניות הלימוד השונות. הנסיון מלמדכילתרגולבקורסזהחשיבותיוצאתדופן,ולכןספרזהבולטבהיקפוובמגווןהתרגילים המופיעים בו. לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר www.gool.c o.il הפתרונות מוגשים בסרטוני פלאש המלווים בהסבר קולי,כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית,שיטתית ופשוטה,ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי. הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה. תקוותי היא שספר זה ישמש כמורה דרך לכם הסטודנטים ויוביל אתכם להצלחה! אייל לוי

תוכן עניינים 1 חוק קולומב והשדה החשמלי 2 1.1 מערכתמטעניםנקודתיים.................................. 2 1.2 תנועתחלקיקבשדהחשמלי................................. 6 1.3 התפלגויותמטעניםרציפות................................. 8 2 חוקגאוס 13 2.1 שטףחשמלי......................................... 13 2.2 חוקגאוס(האינטגרלי).................................... 17 2.3 חוקגאוס(הדיפרנציאלי).................................. 22 3 אנרגיה ופוטנציאל חשמליים 24 3.1 אנרגיהפוטנציאליתחשמליתופוטנציאלחשמלי....................... 24 4 קיבול חשמלי והתנגדות חשמלית 35 4.1 קיבולוחומריםדיאלקטרים................................. 35 4.2 התנגדות.......................................... 41 4.3 מעגליזרםישר....................................... 44 4.4 מעגליRC (נגדוקבל).................................... 46 5 השדה המגנטי 49 5.1 כחומומנטכחבשדהמגנטי................................. 49 5.2 חוקביו סבר......................................... 54 5.3 חוקאמפר.......................................... 57 6 השראה אלקטרומגנטית 61 6.1 חוקפאראדיי לנץ...................................... 61 1

פרק 1 חוק קולומב והשדה החשמלי 1.1 מערכת מטענים נקודתיים 1.1.1 מטעןC q 1 = 1 נמצאבמנוחהעלהקרקע. באיזהגובהניתןלשיםמסהton m = 1 בעלתמטעןזההC q 2 = 1 שתרחףבאוירכנגדכחהכובד? h = 958.3 m 1.1.2 ארבעהמטעניםנקודתיים q 1,q 2,q 3,q 4 נמצאיםבמיקומים: r 1 = (1,1) m ; r 2 = ( 1,1) m ; r 3 = ( 1, 1) m ; r 4 = (1, 1) m בהתאמה. המטענים q 1 = q 2 = 200 µc והמטענים.q 3 = q 4 = 200 µc מטעןנקודתי Q = 100 µc נמצא בראשית הצירים. y q 2 q 1 Q x q 3 q 4 2

(א)מהוהכחשמרגישהמטעןQ? (ב)מהוהכחשמרגישהמטען?q 3 (ב) F = ( 121.82,58.18) N (א) F = (0,254.56) N 1.1.3 ארבעהמטעניםנקודתייםnC q 1 = q 2 = q 3 = q 4 = 300 נמצאיםבמיקומים: r 1 = (1,0,0) m ; r 2 = (0,1,0) m ; r 3 = (0, 1,0) m ; r 4 = ( 1,0,0) m z בהתאמה. מטעןנקודתיnC Q = 500 נמצאעלצירz במיקוםm R = (0,0,3). Q q 3 q 4 x q 1 q 2 y מהצריכהלהיותמסתושלהמטעןQ כדישהואירחףבאווירכנגדכחהכובד? m = 52.27 kg y 1.1.4 שנימטעניםנקודתייםזהיםQ מצאיםבמנוחהעלצירx במרחקd זהמזה. Q d 2 d 2 Q x (א)היכןעלצירy מתקבלהערךהמקסימלישלהשדההחשמלי? 3

(ב)הראוכיבמרחקרב( d y ),השדהמתנהגכמושדהחשמלישלמטעןנקודתיבעלגודל 2Q << (המטעןהכולל שלהמערכת)! y = ± d (א) 2 2 1.1.5 נתונהמערכתשלשנימטעניםנקודתייםבעליגודלq וסימןהפוך(דיפול),הנמצאיםעלצירx במיקומים: r 1 = ( d 2,0) m ; r 2 = ( d 2,0) m y q d 2 d 2 q x (א) מצאו את השדה החשמלי בכל מקום לאורך ציר x, כפונקציה של המרחק x מהראשית. יש לבטא בעזרת E(x >> d) = 2kqd x 3 (ב)( 1,0,0 ) E(x,0,0) = kq!k,q,d,x (ב)מהוהשדההחשמליבמרחקרבמהדיפול( d?(x >> 2 3 2 [ x d 2 x d 3 x+ ] d 2 (א)( 1,0,0 ) x+ d 1.1.6 נתונהמערכתשלארבעהמטעניםנקודתייםבעליגודל q כלאחד, הנמצאיםבקודקודיושלריבועבעלצלע 2a שמרכזו בראשית. לכל זוג מטענים סמוכים יש מטען הפוך (קוואדרופול): 4

y q q 2a Q x q q (א)מצאואתהכחשפועלעלמטעןנקודתיQ שמונחעלצירx כפונקציהשלהמרחקx מראשיתהצירים! יש לבטאבאמצעותk,Q,q,a,x. (ב)מהוהכחשיפעלעלQ אילוהואהיהממוקםבמרחקרבמהראשית( a x)? << [ ] 1 F(x,0,0) = 2kqQa [(x a) 2 +a 2 ] 1 (א)( 1,0,0 ) 3/2 [(x+a) 2 +a 2 ] 3/2 F(x >> a) = 2kqQa2 (ב)( 1,0,0 ) x 4 5

1.2 תנועת חלקיק בשדה חשמלי 1.2.1 פרוטון (מטענו q p = 1.602 10 19 C ומסתו (m p = 1.67 10 27 kg מוכנס בין שני לוחות שהמרחק ביניהם.E = 310 4 N הלוחותטעוניםכךשנוצרביניהםהשדההחשמליאחידהמכווןאנכיתמטהוגודלו.d = 0.8 cm C הפרוטוןמוכנסבצמודללוחהעליוןעםמהירותאופקית.v 0 = 510 6 m s E d (א)תוךכמהזמןיפגעהפרוטוןבלוחהתחתון? (ב)מהו המרחק האופקי אותו יעבור הפרוטון עד שיפגע בלוח התחתון? (א) s t = 7.4710 8 (ב) cm x = 37.4 1.2.2 נתוניםשנילוחותאינסופיים. מזריקיםגוףשמסתוgr M = 5 ומטענו Q = 10 µc אלביןהלוחות. מהוגודלו וכיוונושלשדהחשמלישישליצרביןהלוחותכדישהמטעןיתמידבמגמתתנועתו,כלומרימשיךלנועבקוישר, אם נתון שתאוצת הגרביטציה פועלת אנכית מטה? v 0 M,Q g E = 4900 N C במגמהאנכיתמטה. 1.2.3 נתונים שני לוחות טעונים שהמרחק ביניהם d = 0.7 cm ושאורך כל אחד מהם הוא L. = 10 cm הלוחות טעונים כך שנוצר ביניהם שדה חשמלי אחיד המכוון אנכית מעלה וגודלו E. = 2500 N אלקטרון (מטענו C q e = 1.60210 19 C ומסתוkg m )מוזרקאלביןשנילוחותבצמודלקצההשמאלישלהלוח e = 9.1110 31 התחתוןבמהירותשגודלה.v 0 = 110 7 m s 6

L θ v 0 E d מהותחוםהזוויותθ עבורוניתןלהזריקאתהאלקטרון,כדישהואלאיפגעבאףאחדמהלוחות? 14.36 > θ > 13.04 7

1.3 התפלגויות מטענים רציפות 1.3.1 נתונהקשתמעגליתבעלתרדיוסR,הנשענתעלזוויתθ וטעונהבצפיפותמטעןקווית( λ(θ,כאשר θ הזוויתמציר מרכזהשלהקשתבנקודהO. x. y R O θ λ(θ ) x (א)חשבואתהמטעןהכולללאורךהקשתאםנתוןכיצפיפותהמטען 1 )אחידה: λ(θ ) = λ 0 2 )משתנה: sinθ λ(θ ) = λ 0 (ב)חשבואתהשדההחשמלישמפעילההקשתבנקודהO עבורשתיצפיפויותהמטעןשנתונותב (א). E(0,0,0) = (2 E(0,0,0) = kλ 0 (א) (1 Rθ λ 0R(1 cosθ) (2 q = λ 0 (ב) (1 C R ( sinθ,cosθ 1,0) N kλ 0 R ( sin2 θ 2, θ 2 + sin2θ 4 ) N,0 C 1.3.2 נתוןמוטדקאינסופיטעוןבצפיפותמטעןקוויתאחידה.λ = 510 6 C m λ (א)חשבואתהשדההחשמלישיוצרהמוטבכלנקודהבמרחב,כלומרכפונקציהשלהמרחקהאנכימצירהתיל, r (רדיוס גלילי)! (ב)מניחיםמטעןנקודתיµC Q = 10 במרחקcm r = 10 מהתיל. מהוהכחהחשמלישמרגישהמטען? F = 9 N (ב) E(r) = 9104 r N (א) C 8

1.3.3 תילאינסופיהטעוןבצפיפותמטעןקוויתאחידהλ מכופףבאמצעוכךשהואיוצרקשתשצורתהחצימעגלשרדיוסו y.r O x מהו השדה החשמלי שיוצר התיל בנקודה O,מרכז הקשת המעגלית? E(0,0,0) = 0 1.3.4 מוטדקבעלאורךL שוכבלאורךצירx כשמרכזובראשית. המוטטעוןבאופןאחידבמטעןכוללQ. y (0,y,0) L x הראוכיהשדההחשמלישיוצרהמוטבנקודה( 0,y,0 ) הוא: E(0,y,0) = 2kQ y L 2 +4y 2(0,1,0) 1.3.5 חשבו את הכח ההדדי שפועל בין מטען נקודתי q = 1 µc שמיקומו ראשית הצירים, ובין מוט דק שאורכו L,הטעוןבצפיפותמטעןקווית = 0.2 cm λ(x) = 100x 2 C כאשרנתוןכיהמוטשוכבלאורךצירx כךשקצהו m השמאלינמצאבמרחקL x = מהראשית. 9

y q L λ(x) 2L x F = 1800 N 1.3.6 חשבואתהכחההדדישפועלביןשנימוטותדקיםשאורכושלכלאחדמהםהואL. כלמוטטעוןבצפיפותמטען אחידהλ. מוטאחדשוכבלאורךצירx כךשקצהוהשמאליבראשית,והמוטהשנישוכבלאורךצירx כךשקצהו השמאלי במרחק 2L מהראשית. y 0 λ L 2L λ 3L x F = ln ( ) 4 kλ 2 3 1.3.7 נתונהטבעתמעגליתשרדיוסהR הטעונהבצפיפותמטעןקווית( λ(θ כאשרθ הזוויתשנמדדתעלמישורxy מציר ה x. z λ(θ) θ R y x 10

(א)חשבואתהשדההחשמלישיוצרתהטבעתלאורךהצירהאנכימרכזישלה(צירz )עבור: λ(θ) = λ 0 (1 λ(θ) = λ 0 sinθ(2 (ב)במקרהשלצפיפותמטעןאחידה,הראוכיבמרחקרב( R z )מתקבלשדהשלמטעןנקודתי! << E(0,0,z) = πkλ 0R 2 (R 2 +z 2 ) 3/2ŷ(2 E(0,0,z) = 2πkλ 0Rz (א) 3/2ẑ(1 (R 2 +z 2 ) z 1.3.8 נתונה דיסקה מעגלית שרדיוסה R הטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה σ. R y x (א)חשבואתהשדההחשמלישיוצרתהדיסקהלאורךהצירהאנכימרכזישלה(צירz )! (ב)הראוכיבמרחקרב( R z )מתקבלשדהשלמטעןנקודתי! << (ג)בעזרת הפתרון לסעיף (א),חשבו את השדה החשמלי שיוצר מישור אינסופי (הטעון בצפיפות משטחית אחידה) בכל מקום במרחב. E = 2πkσ = σ בכיווןמאונךלמישורבכלנקודה (סימן ( E(0,0,z) (ג) 2ε 1 = 2πkσz 0 z 1 (א) ẑ( R2 +z 2 חיובי מתאר דחייה). 11

z 1.3.9 נתוןגלילמלאשרדיוסוR וגובהוH הטעוןבצפיפותמטעןנפחיתאחידהρ. R ρ H y x חשבואתהשדההחשמלישיוצרהגליללאורךהצירהאנכימרכזישלו(צירz )! σ E(0,0,z) = 2πkρ (2z H + R 2 +(z H) 2 R 2 +z 2 ) ẑ 1.3.10 חשבואתהשדההחשמליבמרכזהשלקליפהחציכדוריתהטעונהבצפיפותמטעןמשטחיתאחידהσ. E = πkσ = σ 4ε 0 12

פרק 2 חוק גאוס 2.1 שטף חשמלי 2.1.1 חשבוישירותמההגדרהאתהשטףהחשמלישלשדהחשמליאחיד E דרךמנסרהמשולשת(חתךשהואמשולש שווהשוקייםבעלאורךשוקa ואורךבסיסb. עומקהשלהמנסרהc ). השדהמאונךלבסיס. a E b a c φ E = 0 13

2.1.2 נתון קוואדרופול חשמלי (מערך של שני דיפולים חשמליים)כמשורטט: q q q q חשבובעזרתחוקגאוסמהוהשטףהחשמלידרךכלאחדמהמשטחיםהצבעוניים. φ E = (כחולה) 2q ε 0 ; φ E = (אפורה) 2q ε 0 ; φ E = (אדומה) 0 ; φ E (ירוקה) = q ε 0 2.1.3 נתוןמלבןשנמצאעלמישורx y בעלצלעותm a = 1 (לאורךצירx )ו m b = 2 (לאורךצירy ). המלבןנמצא ברביעהראשוןכךשקצהאחדשלובראשית. כמוכןנתוןכיבכלהמרחבקייםשדהחשמלי: z E = (3x 2 y,3xy 2,x 2 y +y 2 z +z 2 x) N C a b y x (א)מהוהשטףשלהשדההחשמלידרךהמלבן? (ב)מהוהשטףדרךהמלבןאםנתוןכימרימיםאתהמלבן 2 מטריםכךשהואנמצאעלהמישורm?z = 2 φ E = a3 b 2 6 + 2 3 ab3 +2a 2 b = 10 N m2 C φ E = a3 b 2 (ב) 6 = 2 3 N m 2 C (א) 14

q 2.1.4 מטעןנקודתיq נמצאבגובהh מעלמרכזהשלדיסקהשרדיוסהR. h R (א)מהו השטף החשמלי דרך הדיסקה? (ב)השתמשובפתרוןל (א)כדילחשבאתהשטףהחשמלידרךמישוראינסופי. φ E = 2πkq = q ( ) h (א) 1 φ E = 2πkq (ב) 2ε 0 R2 +h 2 q 2.1.5 חשבו את שטף השדה החשמלי שיוצר המטען הנקודתי דרך הצורות בשרטוטים הבאים: q a a a a a a q q a a a a 2a 2a שורהראשונה: מימין ; φ E = q משמאל φ E = q 8ε 0 2ε 0 שורהשניה: מימין ; φ E = q משמאל φ E = q 4ε 0 6ε 0 15

2.1.6 מוטדקשאורכוh טעוןבצפיפותמטעןקוויתאחידהλ. המוטשוכבלאורךהצירהאנכי מרכזישלדיסקהשרדיוסה R כךשקצהוהתחתוןנמצאבגובהh מעלמרכזהשלהדיסקה. λ h h R מהו השטף החשמלי דרך הדיסקה? φ E = 2πkλ (h R 2 +4h 2 + ) R 2 +h 2 16

2.2 חוק גאוס (האינטגרלי) 2.2.1 חשבואתהשדההחשמלישיוצרמטעןנקודתיQ בעזרתחוקגאוס. E = kq r 2 2.2.2 נתוןכדורמלאבעלרדיוסR. חשבואתהשדההחשמלישיוצרהכדורבכלמקוםבמרחב,בעזרתחוקגאוס,אם נתון כי צפיפות המטען הנפחית בכדור היא: (א)קבועה ρ(r) = ρ 0 ρ(r) = ρ 0 r 2 (ב)תלויהבמרחקמהמרכזr : R 2 E(r) = ρ 0 5ε 0 R 2r3 ρ 0 R 3 1 5ε 0 r 2 r R r R = E(r) (ב) ρr 3ε 0 ρr 3 3ε 0 r 2 r R r R (א) 2.2.3 נתונה קליפה כדורית בעלת רדיוס R הטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה σ. (א)חשבואתהשדההחשמלישיוצרתהקליפהבכלמקוםבמרחב,בעזרתחוקגאוס. E = σ ε 0 (ב)הראוכיהקפיצהבשדההחשמליבמעברדרךצפיפותמטעןמשטחיתσ שווהל E = 0 r < R σr 2 (א) ε 0 r 2 r > R 2.2.4 קליפהכדוריתעבה,בעלתרדיוסיםפנימיa וחיצוניb טעונהבצפיפותמטעןנפחית.ρ(r) = A במרכזהמערכת r נמצא מטען נקודתי Q. (א)מהצריךלהיותהקבועA כדישהשדההחשמליבכלמקוםבתחוםb a r יהיהקבוע? (ב)עבורהקבועשמצאתםב (א),מצאואתהשדההחשמליבכלמקוםבמרחב. 17

E(r) = Q 4πε 0 r 2 Q 4πε 0 a ( 2 ) Q 2 b2 1 a 2 4πε 0 r 2 r a a r b r a A = Q (ב) (א) πa 2 2.2.5 נתונה קליפה כדורית בעלת עובי, שרדיוסה הפנימי R והחיצוני 2R. הקליפה טעונה בצפיפות מטען נפחית.ρ(r) = ρ 0 במרחק 3R ממרכז הקליפה נמצא קצהו השמאלי של מוט דק שאורכו 2R הטעון צפיפות מטען R r.λ(r) = λ 0 r ρ(r) λ(r) ˆr R R R 2R (א)מהוהשדההחשמליבכלמקוםלאורךהצירהרדיאליr ˆ בתחום 3R < r <?0 (ב)מהוהכחשמפעילהכדורעלהמוט? E(r) = [ ( ) ] r 5R 2Rr kλ 0 ln + ˆr r 3R (r 5R)(r 3R) { [ ( ) ]} ρ0 R(r 2 R 2 ) r 5R 2Rr kλ 2ε 0 r 2 0 ln + ˆr r 3R (r 5R)(r 3R) { [ ( ) ]} 3ρ0 R 3 r 5R 2ε 0 r kλ 2Rr 2 0 ln + ˆr r 3R (r 5R)(r 3R) { [ ( ) ]} 3ρ0 R 3 r 5R 2ε 0 r +kλ 2Rr 2 0 ln + ˆr r 3R (r 5R)(r 3R) F = 3 2 ln ( 5 3 r R R r 2R 2R r < 3R r > 5R ) (א) ρ0λ 0 R 3 (ב) r ˆ ε 0 18

2.2.6 נתוןכדורמלאבעלרדיוסR הטעוןבצפיפותמטעןנפחיתאחידהρ. יוצריםבכדורחללכדוריבעלבעלרדיוסr כךשמרכזונמצאבוקטורמיקוםa ביחסלמרכזהכדור. נתוןa + R. > r R a r מהו השדה החשמלי בכל נקודה בחלל הכדורי? E = ρ a 3ε 0 2.2.7 נתוןמוטדקאינסופיטעוןבצפיפותמטעןקוויתאחידהλ. λ חשבואתהשדההחשמלישיוצרהמוטבכלנקודהבמרחב,בעזרתחוקגאוס. ρ(r) = ρ 0R r E(r) = λ 2πε 0 r = 2kλ r 2.2.8 נתוןגלילאינסופיבעלרדיוסR הטעוןבצפיפותמטעןנפחית sin ( ) 2πr R לחלק החיצוני של הגליל צמודה קליפה גלילית אינסופית הטעונה בצפיפות מטען אחידה σ. מצאואתהשדההחשמליבכלמקוםבמרחב,כתלותבמרחקהאנכימצירהגליל( r,הרדיוסהגלילי). 19

R ρ(r) σ E(r) = ρ 0 R [1 cos ( )] 2 2πr R 2πε 0 r σr ε 0 r r < R r > R 2.2.9 שני לוחות אינסופיים מקבילים טעונים בצפיפויות מטען σ+ ו σ. המרחק בין הלוחות הוא d. (א)מהוהשדההחשמליבכלנקודהבמרחב? (ב)ממלאיםאתהמרחבשביןהלוחותבחומרבעלצפיפותמטעןנפחיתאחידהρ. מהוהשדההחשמליבכלנקודה במרחב במצב החדש? = E(z) כאשר ρd 2ε 0 z < d 2 ρz ε 0 σ ε 0 d 2 z < d 2 ρd 2ε 0 z > d 2 = E(z) כאשרz המרחקהאנכימהמרכז. (ב) σ ε 0 z < d 2 0 z > d 2 (א) z המרחק האנכי מהמרכז. 2.2.10 לוחאינסופיבעלעוביcm d = 8 טעוןבצפיפותמטעןנפחית ( ρ(z,כאשרz = 510 5 z 2 C m 3 המרחקהאנכיממרכז הלוח (כלומר,ראשית הצירים ממוקמת במרכז הלוח). 20

z y x (א)מהוהשדההחשמליבכלנקודההמרחב? (ב)מוטדקבעלאורךd L = מונחלאורךצירz כשקצהוהתחתוןבראשית. המוטטעוןבאופןאחידבמטעןכולל Q. מהוהכחשמרגישהמוט? = E(z) (ב) F = Q75.4 N בכיווןדחייהמהלוח. { 1884955.6z 3 z d 2 120.6 z d 2 N (א) C 21

E(r) = α r ˆr 2.3 חוק גאוס (הדיפרנציאלי) 2.3.1 נתון במרחב שדה חשמלי רדיאלי בעל סימטריה כדורית: E = { E 0ˆr מצאואתהתפלגותהמטען( ρ(r שיוצרתאתהשדה. r < R 0 r > R ρ(r) = ε 0α r 2 2.3.2 שדהאלקטרוסטטיE מקיים: כאשרr הואהמרחקמהראשית(קואורדינטותכדוריות)ו E 0 ו R קבועיםחיוביים. (א)האםישמטעניםנקודתייםבמרחב? אםלא נמקו! אםכן מהוגודלםוהיכןהםנמצאים? (ב)האםישצפיפותמטעןמשטחיתσ במרחב? אםלא נמקו! אםכן מהיומהומיקומה? (ג)האםישצפיפותמטעןנפחיתρ במרחב? אםלא נמקו! אםכן מהיומהומיקומה?.E 1 r 2ε 0 E 0 r < R ρ(r) = r 0 r > R 2 (א)לא! נוכחותמטעןנקודתייוצרתשדהחשמלישתלויבמרחבבאופן (ב) σ = ε 0 E 0 (ג) E(r) = Q 4πε 0 r 2ˆr [ Q (r ) ] 4 1 ˆr 4ε 0 r 2 R 15Q 4ε 0 r 2ˆr 2.3.3 נתון שדה חשמלי בכל המרחב בעל סימטריה כדורית: r < R R < r 2R r 2R 22

כאשרQ קבועבעליחידותשלמטען,ו R קבועבעליחידותשלמרחק. איזהמערךמטעניםיוצרשדהזה? ρ(r) = Qr Q מטעןנקודתיQ במרכז( 0 = r ),צפיפותמטעןמשטחית = σ ברדיוסR וצפיפותמטעןנפחית בתחום 2R R4 4πR2.R < r 23

פרק 3 אנרגיה ופוטנציאל חשמליים 3.1 אנרגיה פוטנציאלית חשמלית ופוטנציאל חשמלי 3.1.1 חשבואתהאנרגיההאלקטרוסטטיתשלמערךשלזוגמטענים q 1 ו q 2 שנמצאיםבמרחקr זהמזה. U = kq 1q 2 r 3.1.2 ארבעה מטענים מסודרים בארבע פינותיו של ריבוע שצלעו a,כמשורטט. המטענים מוחזקים במקומם ואינם יכולים לנוע. 2q q v a q q a (א)חשבו את האנרגיה האלקטרוסטטית של המערך (כלומר את העבודה שיש להשקיע כדי לבנות אותו). (ב)המטען 2q משוחררויכוללנועבמרחב. ברגעמסויםהואמגיעלמרכזהריבוע. מהימהירותושם, v,אםנתון כימסתוהיאm? 24

v = 0.7 kq 2 ma 3.88 = U (ב) kq 2 (א) a y 3.1.3 זוגמטעניםזהיםq המרוחקיםזהמזהמרחקd נמצאעלצירה x כמשורטט: q d 2 d 2 q x (א)חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר זוג המטענים בכל נקודה במרחב,ביחס לאינסוף. (ב)הראוכיבמרחקרבמתקבלפוטנציאלשלמטעןנקודתי! ϕ( r) = kq 1 r 2 xd+ d2 4 1 + r 2 +xd+ d2 4 (א) y 3.1.4 דיפולחשמלינמצאעלצירה x כמשורטט: q d 2 d 2 q x (א)חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר הדיפול בכל נקודה במרחב,ביחס לאינסוף. (ב)מהו הפוטנציאל במרחק רב מהדיפול? ϕ(r d) = kqxd r 3 kq ϕ( r) = (ב) 1 r 2 xd+ d2 4 1 r 2 +xd+ d2 4 (א) 3.1.5 בשמונתקודקודיקוביהשצלעהa נמצאיםשמונהמטעניםזהיםבגודלםq,אךסימנםשלכלזוגשכניםקרוביםהוא הפוך. (א)מהי האנרגיה האלקטרוסטטית של המערך? 25

(ב)מהו הפוטנציאל החשמלי במרכז הקוביה,ביחס לאינסוף? (ג)מהי העבודה הדרושה בהבאת מטען נקודתי Q מאינסוף למרכז הקוביה? W = (ג) 0 = (מרכז) ϕ (ב) 0 U = 5.82 kq2 (א) a z 3.1.6 נתונה טבעת מעגלית שרדיוסה R הטעונה בצפיפות מטען קווית אחידה λ. λ R y x (א)חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצרת הטבעת לאורך הציר האנכי מרכזי שלה (ציר z ),ביחס לאינסוף. (ב)הראוכיבמרחקרב( R z )מתקבלפוטנציאלשלמטעןנקודתי! ϕ(0,0,z) = 2πkλR (א) R2 +z 2 26

z 3.1.7 נתונה דיסקה מעגלית שרדיוסה R הטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה σ. R y x (א)חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצרת הדיסקה לאורך הציר האנכי מרכזי שלה (ציר z ),ביחס לאינסוף. (ב)הראוכיבמרחקרב( R z )מתקבלפוטנציאלשלמטעןנקודתי! (ג)נתון: R = 20 cm ו.σ = 3 10 8 C m 2 מטעןנקודתי q = 10 µc שמסתו m = 2 gr נעזבממנוחהבגובה z = 30 cm מעלמרכזהדיסקה. באיזומהירותהואיפגעבדיסקה? (הזניחוגרביטציה). v = 1.54 m s (ג) ϕ(0,0,z) = 2πkσ ( R2 +z 2 z ) (א) 3.1.8 מוטדקבעלאורךL שוכבלאורךצירx כשמרכזובראשית. המוטטעוןבאופןאחידבמטעןכוללQ. y (0,y,0) L x חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר המוט בנקודה (0,y, 0 ),ביחס לאינסוף. dx (x+ x2 +a = ln ) ניתןלהשתמשבאינטגרל: x 2 +a 2 2 27 ϕ(0,y,0) = kq L L ln 2 + (L ) 2 +y 2 2 L + (L 2 2 2) +y 2

3.1.9 חשבו את הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב שיוצר כדור מלא שרדיוסו R הטעון בצפיפות מטען נפחית: (א)אחידהρ,בשנימקרים: 1 )ביחסלאינסוף(כלומר 0 =.(ϕ( ) ( 2 )ביחסלשפתהכדור(כלומר 0 =.(ϕ(r) 1+ 0 ( ρ(r,בשניהמקריםהנתוניםב (א). = ρ (ב)תלויהברדיוס R) r ϕ(r) = ρr 2 ρr2 ρr r R 2 ρr2 6ε ϕ(r) = 0 6ε 0 2ε (2 ϕ(r) = 0 6ε 0 ρr 3 3ε 0 r ρr2 ρr r R 3 3ε 0 3ε 0 r ρ 0 R 2 ρ ( ) r 2 4ε 0 ε 0 6 + r3 5ρ r R 0 R 12R 2 ρ ( ) r 2 6ε ( ) (2 ϕ(r) = 0 ε 0 6 + r3 12R 7ρ 0 R 2 R 12ε 0 r 1 r R 7ρ 0 R 3 12ε 0 r r R r R r R r R (א) 1 ) (ב) 1 ) 3.1.10 כדורמוליךבעלרדיוסR טעוןבאופןאחידבמטעןכוללQ. (א)חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר המוליך בכל המרחב. (ב)יוצרים בכדור חלל כדורי קונצנטרי (שמרכזו במרכז הכדור)בעל רדיוס 0.3R. חשבו מחדש את הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב. (ג)במצבשל(ב),חשבומחדשאתהפוטנציאלהחשמליבכלהמרחבאםנתוןכיבמרכזנמצאמטעןנקודתיQ. kq ϕ(r) = 0.3R kq r 0.3R ביחס r 0 r 0.3R = ϕ(r) ביחסלאינסוף! (ב)זההל (א). (ג) kq R kq r r R r R (א) לאינסוף! 3.1.11 שתיקליפותמוליכות עבות בעלות מרכז משותף נמצאות אחת בתוך השניה. לקליפה הפנימית רדיוס פנימי R 1 וחיצוני.R 2 לקליפההחיצוניתרדיוספנימי R 3 ורדיוסחיצוני.R 4 נתוןכיהקליפההפנימיתנייטרלית,והחיצונית טעונהבמטעןכוללQ. כמוכן,במרכזהמערכתנמצאמטעןנקודתיQ. 28

Q R 1 Q R 2 R3 R 4 E(r) = Q 4πε 0 r 2 r < R 1 0 R 1 < r < R 2 Q R 4πε 0 r 2 3 < r < R 2 (ב) σ 1 = Q 4πR 2 1 (א)מצאו את צפיפויות המטענים על דפנות המוליכים. (ב)מהוהשדההחשמליבכלמקום? (ג)מהו הפוטנציאל החשמלי בכל מקום,ביחס לאינסוף? ; σ 2 = Q 4πR 2 2 ; σ 3 = Q 4πR 2 3 ; σ 4 = Q 2πR 2 4 (א) 0 R 3 < r < R 4 Q r > R 2πε 0 r 2 4 ϕ(r) = ( 1 kq r 1 + 1 1 + 2 R 1 R 2 R 3 R ( 4 1 kq 1 + 2 ) R 2 R 3 R ( ) 4 1 kq ) r R 1 R 1 r R 2 R 2 r R 3 r 1 + 2 R 3 R 4 2kQ R 3 r R 4 R 4 2kQ r r R 4 (ג) 3.1.12 שניכדוריםמוליכים,האחדבעלרדיוסR R 1 = והשניבעלרדיוס 2R R 2 = נמצאיםבמרחקרבזהמזה(כךשאינם משפיעיםזהעלזה). כלאחדמהכדוריםטעוןבמטעןq. מחבריםאתהכדוריםבעזרתחוטמוליךדק. 29

R1 R 2 מהוהמטעןעלכלאחדמהכדוריםלאחרזמןרב? q 1 = 2 3 q ; q 2 = 4 3 q 3.1.13 כדורמוליךבעלרדיוסm R 1 = 0.1 טעוןבמטעןכוללnC.Q = 100 מסביבלכדורישנהקליפהכדוריתמוליכה קונצנטריתבעלתרדיוסm.R 2 = 0.15 נתוןכיהקליפהמוארקת. R 1 R 2 (א)מצאו את התפלגויות המטענים בכל המרחב. (ב)מצאואתהשדההחשמליבכלנקודהבמרחב. (ג)מצאו את הפוטנציאל החשמלי בכל נקודה במרחב. (ד)משחרריםממנוחהמטעןנקודתי q = 1 nc שמסתו m = 3.210 6 kg בצמודלחלקהפנימישלהקליפה. באיזו מהירות הוא יפגע בכדור המוליך? v = 1.37 m s (א)עלשפתהכדורהמוליךמטעןnC Q = 100 ועלהקליפההמוליכהמטעןnC. Q = 100 = ϕ(r) (ד) 3000 r < R 1 900 r 6000 R 1 < r < R 2 0 r > R 2 V (ג) E(r) = 0 r < R 1 900 r 2 R 1 < r < R 2 0 r > R 2 N (ב) C 3.1.14 במערכת כדורית קונצנטרית, מטען נקודתי Q נמצא במרכז. מסביבו ישנה קליפה כדורית עבה ומוליכה בעלת רדיוסיםפנימיa וחיצוניb. הקליפההעבהמוארקת. מסביבלקליפההעבהישנהקליפהדקהבעלתרדיוסc הטעונה 30

σ באופן אחיד בצפיפות מטען משטחית σ. a Q b c (א)מהן צפיפויות המטען על הדפנות הפנימית והחיצונית של הקליפה המוליכה העבה? (ב)מהו הפוטנציאל החשמלי בכל נקודה במרחב? ϕ(r) = ( 1 kq r 1 ) a r a 0 a r b ( 4πkσc 1 b ) b r c r V (ב) σ a = Q (א) σc 4πa 2 ; σ b = 4πkσc r (c b) r c 3.1.15 חשבואתהאנרגיההאלקטרוסטטיתשלכדורבעלרדיוסR הטעוןבצפיפותמטעןאחידהρ. U = 4πρ2 R 5 15ε 0 3.1.16 גלילאינסופימבודדשרדיוסוR R 1 = טעוןבצפיפותמטעןנפחיתAr ρ(r) = כאשרr המרחקהאנכימצירהגליל. הגליל מוקףבקליפהגליליתמוליכהקואקסיאלית(בעלותצירמשותף)שרדיוסה.R 2 = 1.5R נתוןכיהקליפה נייטרלית. נתוןכיהפוטנציאלהחשמליבמרחק 2R r = שווהלאפס(זהוה ref ). 31

R 1 R 2 (א)מהוהפוטנציאלהחשמליבכלמקוםבמרחב(ביחסל ref )? (ב)מאריקיםאתהקליפההמוליכה. מהיצפיפותהמטעןעליהלאחרזמןרב? (ג)מהיהאנרגיההחשמליתשלהמערכתליחידתאורךבמצבשלסעיף(ב)? U L = 0.572 πa2 R 6 9ε 0 σ = AR2 (ג) 3 = ϕ(r) (ב) 0.12 AR3 ε 0 0.11 Ar3 AR3 3ε 0 ln ( r 2R ) ε 0 r R r R (א) E 0 E = r ˆr r < R 0 r > R 3.1.17 שדהאלקטרוסטטיE מקיים: כאשרr הואהמרחקמהראשית(קואורדינטותכדוריות)ו E 0 ו R קבועיםחיוביים. (א)מהו מערך המטענים שנמצא במרחב? (ב)מהו הפוטנציאל החשמלי בכל נקודה במרחב? (ג)מהי האנרגיה האלקטרוסטטית של המערכת?.r = ברדיוסR σ = ε 0E 0 r ρ(r) = ε 0E 0 בתחוםR r < וכןצפיפותמטעןמשטחית U = 2πε 0 E 0 (ג) R ϕ(r) = (א)צפיפותמטעןנפחית r 2 0 r < R ( r E 0 ln r > R (ב) (R 3.1.18 נתון פוטנציאל חשמלי בקואורדינטות כדוריות: ϕ(r,θ) = Acosθ r 2 32

כאשרA קבועכלשהו, θ הזוויתביחסלצירz ו r המרחקמהראשית. (א)מהוהשדההחשמליבכלמקוםבמרחב? (ב)מהי התפלגות המטענים בכל נקודה במרחב? E(r,θ,φ) = ˆr 2Acosθ Asinθ (ב)דיפולחשמלישנמצאעלצירz. אתהפוטנציאלהנתוןיוצרדיפול (א) ˆθ + r 3 r 3 חשמליכאשרהמרחקביןהמטעניםהואקטןמאדיחסיתל r. 3.1.19 נתוןגלילמלאאינסופיבעלרדיוסR שצפיפותהמטעןעליו( ρ(r לאידועה,כאשר r הואהמרחקמצירהגליל. נתון כי הפוטנציאל החשמלי ביחס לשפת הגליל הוא: ϕ 0r 2 +C ϕ(r) = R 2 ϕ 0 ln r R 4ε 0ϕ 0 r < R ρ(r) = R 2 0 r > R r R r R כאשר ϕ 0 הואפוטנציאלכלשהו. (א)מהוהקבועC? (ב)מהוהשדההחשמליבכלמקום? (ג)מהי צפיפות המטען,( ρ(r,בכל מקום במרחב? E(r) 2ϕ 0r (ג) = ˆr R 2 ϕ 0 r r < R r > R (א) C = ϕ 0 (ב) 3.1.20 בקואורדינטותכדוריותנתוןכיהפוטנציאלבתחוםR r < הוא ( ϕ(r < R) = A r R ) 2 2 E(r > R) = B r 2ˆr וכןשהשדההחשמליבתחוםR r > הוא כאשר A ו B קבועים חיוביים. (א)מהו הפוטנציאל בכל מקום? 33

ρ(r) = B A = R3 = E(r) (ג) 4 ( 2A r R ) ˆr 2 r < R = ϕ(r) (ב) B r 2ˆr r > R (ב)מהוהשדהבכלמקום? (ג)מצאואתהיחס. B A (ד)מצאו את התפלגות המטענים במרחב. ( A r R 2 r < R 2) B r r > R 2ε 0 (R 3r) r < R וכןצפיפותמטעןנפחית 0 r > R r = במיקוםR σ = 5ε 0AR (ד)צפיפות מטען משטחית 4 (א) 34

פרק 4 קיבול חשמלי והתנגדות חשמלית 4.1 קיבול וחומרים דיאלקטרים 4.1.1 חשבו ישירות ממהגדרה את הקיבול של קבל לוחות. הניחו כי ישנם שני לוחות מוליכים, ששטחם A והמרחק ביניהםd. ישלהניחכי A,כלומרניתןלהתייחסללוחותכאלאינסופיים. d 2 מעביריםמטעןQ מהלוחהתחתון לעליון,כךשהלוחהעליוןטעוןבמטעןQ והתחתוןבמטעןQ וכןשהמרחבביןהמוליכיםמלאבחומרדיאלקטרי עםמקדם.ε r A A d C = ε 0ε r A d 4.1.2 חשבו ישירות מההגדרה את הקיבול של קבל כדורי. הניחו כי ישנן שתי קליפות כדוריות מוליכות וקונצנטריות בעלותרדיוסים R 1 ו R,ומעביריםמטעןQ 2 מהקליפההחיצוניתלפנימית,כךשהקליפההפנימיתטעונהבמטעןQ והחיצוניתבמטעןQ וכןשהמרחבביןהמוליכיםמלאבחומרדיאלקטריעםמקדם ε. r R 1 R 2 35

C = 4πε 0ε r R 1 R 2 (R 2 R 1 ) 4.1.3 חשבוישירותממהגדרהאתהקיבולשלקבלגלילי(ליחידתאורך). הניחוכיישנןשתיקליפותגליליותבעלות רדיוסים R 1 ו R. 2 ישלהניחכיאורךהקליפותL הרבהיותרגדולמהרדיוסיםשלהן,כךשניתןלהתייחסאליהן כאל אינסופיות. מעבירים מטען Q מהקליפה החיצונית לפנימית,כך שהקליפה הפנימית טעונה במטען Q והחיצונית במטעןQ וכןשהמרחבביןהמוליכיםמלאבחומרדיאלקטריעםמקדם ε. r R 1 R 2 L C L = 2πε 0ε r ln(r 2 /R 1 ) 4.1.4 מהו הקיבול השקול של: (א)שני קבלים המחוברים במקביל? (ב)שני קבלים המחוברים בטור? (ג)שלושה קבלים,שניים בטור והשלישי במקביל אליהם? (ד)שלושת הקבלים הנתונים בשרטוט? C 1 C 2 C 1 C 1 C 2 C 1 C 2 C 3 C 3 C 2 (ד) (ג) (ב) (א) 36

C tot = C 1 +C 2 +C 3 (ד) C tot = C 1C 2 +C 1 C 3 +C 2 C 3 C 1 +C 2 C tot = C 1C 2 (ג) C 1 +C 2 (א) C tot = C 1 +C 2 (ב) 4.1.5 קיבולו של קבל לוחות בריק הינו C. 0 ממלאים את חציו בחומר דיאלקטרי בעל קבוע ε, r בשני אופנים שונים, כמשורטט. מהו הקיבול החדש בכל מקרה? εr ε r (ב) (א) C tot = 2ε r C 0 (ב) C tot = 1+ε r 1+ε r 2 (א) C 0 4.1.6 קבלכדורימורכבמרדיוספנימיa ורדיוסחיצוני 3a. אלתוךהקבלמכניסיםחומרדיאלקטריבעלמקדם ε r כך שהואממלארקאתחלקמנפחו,בשניאופניםשונים,כמשורטט. מהוהקיבולהחדשבכלמקרה? ε r ε r a (ב) (א) 2a a a a C tot = 3πε 0 (1+ε r (ב) a ( C tot = 24πε 0ε r a 3+ε r (א) 4.1.7 קבללוחותעשוימלוחריבועיששטחוL L A,ומרחקביןהלוחותd. = מטיםאתאחדהלוחותבזוויתקטנהtanθ.θ sinθ מהו קיבול הקבל? ln(1+x) x x2 ניתןלהשתמשבקירוב 2 37

d θ L C = ε 0L 2 d (1 L2d θ ) 4.1.8 במעגלהמופיעבשרטוטמחובריםשניקבלים C 1 ו C 2 ומקורמתח.V (א)כאשר המפסק S נמצא במצב השמאלי, הקבל C 1 נטען. לאחרגמרהטעינה, מהיהיההמתחעליו? המטען עליו? והאנרגיה האגורה בו? (ב)כאשרמעביריםאתהמפסקלמצבהימני(לאחרש C 1 נטען)חלקמהמטעןיעבורלקבל.C 2 לאחרגמרהמעבר, מהיהיההמתחעלכלאחדמהקבלים? המטעןעלכלאחדמהקבלים? והאנרגיההאגורהבכלאחדמהקבלים? S V C 1 C 2 (א) V 1 = V ; Q 1 = C 1 V ; U 1 = 1 2 C 1V 2 V 1 = V 2 = C 1 C 1 +C 2 V ; Q 1 = C2 1 C 1 +C 2 V ; Q 2 = C 1C 2 C 1 +C 2 (ב) V U 1 = 1 C1 3 2(C 1 +C 2 ) 2V 2 ; U 2 = 1 C1 2C 2 2(C 1 +C 2 ) 2V 2 4.1.9 שלוש קליפות כדוריות (דקות)מוליכות וקונצנטריות בעלות רדיוסים: R 1 = R ; R 2 = 3R ; R 3 = 5R מחוברותלסוללהבתמתח V,באופןהבא: הקליפה הפנימית והקליפה החיצונית מחוברת להדק החיובי של הסוללה,והקליפה האמצעית מחוברת להדק השלילי. כמו כן נתון כי הקליפה החיצונית מוארקת. 38

V (א)מהםהמטעניםעלכלאחתמהקליפות? (ב)מהו קיבול המערכת? C = 36πε 0 (ב) R q 1 = 3VR 2k ; q 2 = 9VR k ; q 3 = 15VR 2k (א) 4.1.10 שני קבלי לוחות זהים, בעלי שטח A ומרחק בין לוחות d מחוברים כמתואר בשרטוט. כל אחד מהקבלים טעון במטעןזההQ (כלומרשלוחאחדשלכלקבלטעוןבמטעןחיוביוהשניבמטעןשלילי). מכניסיםחומרעםמקדם דיאלקטרי ε r לתוךהקבלהימני,כךשהואממלאאתכלנפחהקבל. Q Q Q Q ε r (א)מהוהמטעןעלכלאחדמהקבליםזמןרבלאחרהכנסתהלוח? (ב)מהי העבודה שהושקעה בעת הכנסת החומר הדיאלקטרי? W = Q2 d ε 0 A ( ) 1 εr 1+ε r q 1 = 2ε r (ב) 1+ε r Q ; q 2 = 2 1+ε r (א) Q 4.1.11 קבל לוחות בעל לוח ריבועי ששטחו A = 0.25 m 2 ומרחק בין לוחות d = 5 mm מחובר לסוללה בת מתח.V = 250 V מכניסיםלתוךהקבללוחעשויסיליקון( 12 = r ε )ששטחוA ועוביוmm.p = 2 בכמהמשתנים הקיבול,המטען,והאנרגיה האגורה בקבל לאחר הכנסת הלוח,ביחס למצב המקורי? 39

C = 256.3 pf ; Q = 65 nc ; U = 8 µj 4.1.12 נתוןהמעגלהבא,ובוקבליםבעליקיבולC וקבליםבעליקיבולכפול 2C. מקורהמתחהואבעלכא מε. C 2C B ε C 2C A (א)מהםהמטעןוהמתחעלכלקבל? (ב)מהו הפרש הפוטנציאלים בין הנקודות A ו B? (ב) ε V AB = 1 6 4.1.13 קבלשלוחותיועגוליםבעלירדיוסR ומרוחקיםזהמזהמרחקd ממולאבחומרדיאלקטריהתלויבמרחקr ממרכז המערכת, 1 + ε 2R r = αr כאשר = 3.α הקבלמחוברלמקורמתח.V R d מהי האנרגיה האגורה בקבל? U = πε 0R 2 V 2 d 40

4.2 התנגדות 4.2.1 מהו ההתנגדות השקולה של: (א)שני נגדים המחוברים במקביל? (ב)שני נגדים המחוברים בטור? (ג)שלושה נגדים,שניים בטור והשלישי במקביל אליהם? (ד)שלושת הנגדים הנתונים בשרטוט? R 1 R 2 R 1 R 1 R2 R3 R 1 R 2 R 3 R 2 (ד) (ג) (ב) (א) R tot = R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 +R 1 R 3 +R 2 R 3 R tot = (R 1 +R 2 )R 3 (ד) R 1 +R 2 +R 3 R tot = R 1R 2 (ב) R tot = R 1 +R 2 (ג) R 1 +R 2 (א) ( σ(x,כאשרx = σ 0 המרחקמקצההגליל. L x 4.2.2 נתוןגלילבעלשטחחתךA,אורךL ומוליכות (א)מהי התנגדות הגליל? (ב)מהתהיהצפיפותהזרםבגלילאםנחבראתקצותיולהפרשפוטנציאלים V? (ג)מהיהיההשדההחשמליבמוליךכאשריזרוםבוזרם? E(x) = 2V L (ג) x j = 2σ 0V L (ב) R = L (א) 2σ 0 A 4.2.3 קליפה כדורית שרדיוסה הפנימי a והחיצוני b עשויה חומר שהתנגדותו הסגולית הינה ρ. 0 הדופן הפנימית של הקליפה מוארקת והדופן החיצונית שלה מוחזקת בפוטנציאל V. (א)מהי התנגדות הקליפה בין הדופן הפנימית לחיצונית? (ב)מהו הזרם הכללי הזורם בקליפה? (ג)מצאואתצפיפותהזרםכפונקציהשלהמרחקr ממרכזהקליפה? 41

E(r) = V ( ) ab j(r) = V ( ) ab (ד) I = 4πV (ג) r 2 b a ρ 0 r 2 b a ρ 0 (ד)מהו השדה החשמלי השורר בקליפה? (ה)מהו הספק החום הנוצר בקליפה? ( ) ab R = ρ 0 (ב) b a 4π P = 4πV 2 ρ 0 ( ) b a ab ( ab b a ) (א) (ה) 4.2.4 נתוןנגד בעל גיאומטריהקונית, בעל רדיוס קטןa, רדיוסגדול b, וגובה h. בהנחה כיההתנגדות הסגולית של החומרהיאρ,מצאואתהתנגדותושלהנגד. כמוכן,בדקוכיהתוצאהמתארתנכוןאתהמצבb.a = b h a R = ρ h πab 4.2.5 ביןשנילוחותבעלישטחחתךריבועיa a ושהמרחקביניהםd,מצויחומרדיאלקטריבעלמוליכותשאינהקבועה d.σ y a 0 x חשבו את ההתנגדות במקרים הבאים: 42

R = 1 ( a 2 β ln 1+ βa ) = R (ב) σ 0 (א) βy +.σ = σ 0 (ב) βx +.σ = σ 0 d a 2 (σ 0 + βa (א) ) 2 43

4.3 מעגליזרםישר 4.3.1 נתון מעגל חשמלי ובו סוללה ונגד,כמשורטט. ε R (א)היכןישלחברמדמתחלמעגלכדילמדודאתהמתחהחשמליעלהנגד? מהישלדרושלגביהתנגדותושלמד המתח? (ב)היכןישלחברמדזרםלמעגלכדילמדודאתהזרםהזורםבו? מהישלדרושלגביהתנגדותושלמדהזרם? (א)ישלחברמדמתחבמקביללנגד. עלהתנגדותמדהמתחלהיותהרבהיותרגדולהמהתנגדותושלהנגדהנמדד. (ב)ישלחברמדזרםבטורלמעגל. עלהתנגדותמדהזרםלהיותהרבהיותרקטנהמהתנגדותהנגד. R 1 R 1 4.3.2 נתון המעגל הבא: R 2 ε 2 ε 1 R 1 ε 2 R 1 נתונים:.R 1 = 1.7 Ω ; R 2 = 3.5 Ω ; ε 1 = 2.1 V ; ε 2 = 6.3 V (א)מצאואתהזרםוהמתחעלכלנגד. (ב)חשבואתהספקהמעגל. (ב) W P tot = 3.44 44

4.3.3 ε 1 ε 2 נתוןהמעגלהחשמליהבא,ובונתוניםהכא מים ε 1 ו ε 2 וההתנגדויות R 0 ו R. R 0 R R 0 מצאועבוראיזוהתנגדותR הספקהחוםהמתבזבזעלנגדזההואהמקסימלי,ואתערכושלהספקזה. אתהפתרונות ישלספקבעזרתהנתונים ε 2,ε 1 ו.R 0 R = R 0 2 ; P max = (ε 1 +ε 2 ) 2 8R 0 4.3.4 ε 3 נתון המעגל החשמלי הבא: ε 1 = 2 V ; ε 2 = 3 V ; ε 3 = 6 V R 1 = 20 Ω ; R 2 = 7 Ω ; R 3 = 12 Ω ε 2 R 2 R 3 R 1 ε 1 (א)חשבואתהזרםבכלענף. (ב)מהוההספקעלהנגד?R 1 (א) A 0.069 A ; 0.517 A ; 0.448 (ב) W P R1 = 0.095 45

4.4 מעגליRC (נגדוקבל) S 4.4.1 נתוןמעגלRC (פריקה). ברגע 0 = t הקבלטעוןבמטען Q 0 ואזסוגריםאתהמפסקS. C R I(t) = Q 0 (א)רשמו את משוואת המעגל. (ב)מצאואת( Q(t,המטעןעלהקבלכפונקציהשלהזמן. (ג)מצאואתהזרםבמעגלבכלרגע,( I(t. RC e t RC (ג) Q(t) = Q 0 e t RC (ב) R dq (א) 0 = C dt Q S 4.4.2 קבל C 1 טעוןבמטען.Q 0 כאשרסוגריםאתהמפסקמתחברקבלזהבטורלקבל C 2 ונגדR. C 2 C 1 R (א)רשמו את משוואת המעגל. (ב)מצאואת( t ) Q,המטעןעלהקבל 1 C 1 כפונקציהשלהזמן. (ג)מצאואתהזרםבמעגלבכלרגע,( I(t. (ד)מהי האנרגיה האלקטרוסטטית במעגל לפני סגירת במפסק,וזמן רב לאחר סגירתו. (ה)הראו כי הפרש האנרגיות שחושבו בסעיף הקודם שווה לאנרגיית החום שהתבזבזה על הנגד בעת הזרימה. Q 1 (t) = C 1 C 1 +C 2 Q 0 + C 2 C 1 +C 2 Q 0 e ( 1 1 + )t 1 R C 1 C 2 (ב) R dq 1 U 0 = Q2 0 2C 1 ; U(t ) = dt ( 1 + 1 C 1 C 2 Q 2 0 2(C 1 +C 2 ) (ד) I(t) = Q 0 ) Q 1 + Q 0 RC 1 e C 2 (א) 0 = ( ) 1 1 + 1 R C 1 C 2 (ג) t 46

S 4.4.3 נתוןמעגלRC (טעינה). ברגע 0 = t הקבלאינוטעוןואזסוגריםאתהמפסקS. C R V (א)רשמו את משוואת המעגל. (ב)מצאואת( Q(t,המטעןעלהקבלכפונקציהשלהזמן. (ג)מצאואתהזרםבמעגלבכלרגע,( I(t. I(t) = V R e t RC (ג) Q(t) = CV ( ) 1 e t dq RC (ב) R dt + Q C (א) 0 = V 4.4.4 נתוןהמעגלהבא. ברגע 0 = t המתחעלהקבלהוא V. 0 מצאואתהמתחעלהקבלכפונקציהשלהזמן! R 1 C R 2 ε R 2 V C (t) = ε R 1 +R 2 [ ( ] ( 1 e 1 1 + )t 1 C R 1 R 2 +V 0 e 1 1 + )t 1 C R 1 R 2 4.4.5 סיליקוןהואבעלמקדםדיאלקטרי 12 = r ε והתנגדותסגוליתΩm ρ,בטמפרטורתהחדר. = 2.510 3 ממלאים בסיליקוןקבללוחותבעלמימדיםששטחלוחותיו A = 0.25 m 2 ומרחקביןלוחותmm.d = 0.2 (א)מצאו את הקיבול,ההתנגדות,וזמן הפריקה האופייני של הקבל. (ב)הראו כי האנרגיה שאובדת בזמן הפריקה שווה בדיוק לאנרגיית החום המתפתחת בנגד. 47

(א) ns C = 132.81 nf ; R = 2 Ω ; τ = 265.62 48

פרק 5 השדה המגנטי 5.1 כחומומנטכחבשדהמגנטי 5.1.1 פרוטון( c m )בעלאנרגיהקינטית p = 1.6710 27 kg ; q p = e = 1.610 19 E k = 5.3 MeV נעבזווית 30 ביחסלצירx. באיזורשוררשדהמגנטיאחידשגודלוT B = 1.2 וכיוונוצירy. מהו הכח שפועל על הפרוטון? בכיווןצירz. F = 5.310 12 N 5.1.2 חלקיקיםזהיםבעלימטען 0 > q ומסהm נכנסיםבמהירות v 0 בדיוקבמרכזביןשנילוחותקבלשהמרחקביניהם v 0 d.d L (א) מהושדה חשמלי אחיד E (ללאשדה מגנטי B ( שישלהפעיל כדי שהחלקיקים יפגעו בלוח העליון במרחק אופקי L? (ב)מהושדהמגנטיאחיד B (ללאשדהחשמלי E )שישלהפעילכדישהחלקיקים יפגעובלוחהתחתון במרחק אופקי L? (ג)מפעילים יחדיו את שני השדות שמצאתם בסעיפים הקודמים. האם החלקיקים יתחילו לסטות לכיוון מסוים? אם כן,באיזה לוח הם יפגעו במידה והלוחות ארוכים מספיק? 49

B = 4mdv 0 בכיווןהחוצהמהדף. (ג)כן,הםיסטוכלפימעלהויפגעו q(4l 2 +d 2 ) בכיווןמעלה. (ב) E = mdv2 0 (א) ql 2 בלוח העליון. 5.1.3 חלקיק בעל מטען q = 1.6 10 19 c מואץ בהפרש פוטנציאלים V. = 800 V בתום שלב ההאצה הוא נכנס לתוךספקטרוגרףמסות, בושוררשדהמגנטיאחידומאונך(פנימהלדף) T B,ונתוןכיהואפוגעבשפת = 0.2 הספקטרוגרףבמרחקm.D = 2.76 D V מהי מסתו של החלקיק? m = 7.6210 24 kg 5.1.4 אלקטרון( c m )נעבהשפעתשדהמגנטיT e = 9.1110 31 kg ; q e = e = 1.610 19 B = 0.5î ושדהחשמלי. v 0 = (1.510 5,0,210 5 ) לאלקטרוןישמהירותm/s t = ברגע 0. E = 310 4 î V m (א)תארואתמסלולושלהאלקטרוןומצאואת T זמןמחזורהתנועההמעגלית. (ב)מצאואתהמרחקשעוברהאלקטרוןלאורךצירx מרגעההתחלהועדלרגע.t = T 2 (א) ps T = 71.5 (ב) µm x = 8.73 50

5.1.5 קשתמעגליתהנשענתעלזוויתθ נושאתזרם I עםכיווןהשעון. רדיוסהשלהקשתהואR. באיזורשוררשדה מגנטיאחידהניצבלמישורהדף( B = (0,0,B 0 כאשר B 0 קבועחיוביכלשהו. y I θ x מהוהכחהפועלעלהקשת? F = IB 0 R( sinθ,cosθ 1,0) N 5.1.6 בקשתמעגליתשרדיוסהR הוחלףחלקהנשעןעלזוויתα במיתר. הקשתנושאתזרם I נגדכיווןהשעון. באיזור B(r) R כאשר B 0 קבועכלשהוו r המרחקממרכזהקשת. ˆϕ הואהכיווןהמשיקי. שוררשדהמגנטיϕ ˆ = B 0 r y α x I מהוהכחהפועלעלהקשת? F = 0 5.1.7 מסדרתזרםמלבניתבעלתגיאומטריהm a = 0.3 m ; b = 0.4 נושאתזרםA I = 3 עםכיווןהשעון. המסגרת נמצאתבאיזורובושדהמגנטילאאחידT B = (0,0, 2xy 2 ). 51

y I a b x מצאואתהכחעלהמסגרת! F = (0.0216,0.0432,0) N 5.1.8 נתוןתילהמורכבמחציקשתמעגליתבעלתרדיוסR וחלקישר(לאורךהקוטר). התילמונחכךשחלקוהישרעל צירה x ומרכזהקשתהמעגליתבראשית. בתילזורםזרםI עםכיווןהשעון. באיזורשוררשדהמגנטישאינואחיד B = (0,0,6r 2 ) T במערכתהציריםהנתונה,כאשרr המרחקמהראשית. y x I מהוהכחעלהתיל? F = 8IR 3 ĵ 5.1.9 שדהמגנטישגודלוT B = 0.05 שוררבמרחבבכיווןהחיובישלצירה x. זרםשלA 50 זורםבתילבעלצורה מלבנית שקודקודיו בנקודות ( 1, 1, 1) = D.A = (1,1,1) ; B = (1,1, 1) ; C = ( 1, 1,1) ; כיוון הזרםהואמ A ל B. (א)חשבואתהמומנטהמגנטישלהתילהמלבני. (ב)חשבואתהכחואתמומנטהכחשפועליםעלהתילהמלבני. 52

F = 0 ; (א) µ = ( 200,200,0) Am 2 (ב) Nm τ = (0,0, 10) 5.1.10 נתונהטבעתנושאתזרםI שרדיוסהR. הטבעתשוכבתעלמישורxy. מכופפיםאתהטבעתלאורךהקוטרששוכב עלצירה x כךשנוצרתביןשניחצאיהזוויתα. נתוןשדהמגנטיאחידשגודלוB וכיוונוצירz. z מבט בזווית מבט מהצד z I α y I y x (א)מהוהכחומהומומנטהכחהפועליםעלהטבעת? (ב)כיצדישלכווןאתהטבעתכדישתימצאבשווימשקל? F = 0 ; τ = ) ( IB πr2 (א) Nm 2 sinα î 5.1.11 טבעתעגולהבעלתשטח A = 4.45 cm 2 נושאתזרםA.I = 5 הטבעתחופשיהלהסתובבסביבקוטרה. ברגע 0 = t המומנטהמגנטישלהטבעתנתוןבביטוי( 0.8î+0.6ĵ ) µ = µ 0 כאשר µ 0 הואגודלושלהמומנטהמגנטי. ברגע זהמפעיליםשדהמגנטיT B = 1.410 3 (î+2ĵ 3ˆk). כתוצאהמכךהטבעתמסתובבת,כךשלאחרשהסתובבה ב 90 המומנטהמגנטישלההוא 0ˆk. µ = µ חשבו את השינוי באנרגיה הפוטנציאלית. U = 8.110 6 J 53

5.2 חוק ביו סבר 5.2.1 y קשתמעגליתהנשענתעלזוויתθ נושאתזרםI נגדכיווןהשעון. רדיוסהקשתהואR. I θ x מהו השדה המגנטי במרכז הקשת? B = µ 0I 4πR θ 5.2.2 בקשתמעגליתשרדיוסהR הוחלףחלקהנשעןעלזוויתα במיתר. הקשתנושאתזרם I נגדכיווןהשעון. y α x I מהו השדה המגנטי בראשית (מרכז הקשת המעגלית)? B = µ 0I (2π α+2tanα) 4πR 54

R R 5.2.3 ארבעה תיילים אינסופיים נושאים זרם I ומקופלים בצורות הבאות: a P 45 I P I I I P P R (א) מהוהשדההמגנטיבנקודה P בכלאחדמהמקרים? (ד) (ג) (ב) B = µ 0I 4πR (2+5π/4 (ד)( 2 B = µ 0I 4πR (ג)( 2+π ) B = µ 0I 8R (ב) B = µ 0I (א) 4πR 5.2.4 טבעתבעלתרדיוסR טעונהבמטעןQ המפולגלאורכהבאופןאחיד. הטבעתמסתובבתסביבמרכזהבתדירות f. (א)מצאואתהשדההמגנטישיוצרתהטבעתלאורךהצירהאנכימרכזישלה. (ב)בדקוכיהשדהשמצאתםמקייםאתחוקאמפר. B = µ 0QfR 2 (א) 3/2ˆk 2(R 2 +z 2 ) 5.2.5 תילאינסופישוכבעלצירה x ונושאזרםA.I 1 = 1.3 תילנוסף,שאורכוסופי,נושאזרםA I 2 = 0.6 כמשורטט. y 0.4 m 0.4 m I 2 45 I 1 0.3m x מהוהכחשפועלעלהתילנושאזרם?I 2 55

F = ( 1.3210 7, 3.410 7 ) N 5.2.6 r נתונהדיסקהבעלתרדיוסR הטעונהבצפיפותמטעןמשטחיתלאאחידה ( σ(r,כאשרr = σ 0 המרחקממרכזה. R מסובבים את הדיסקה במהירות זוויתית קבועה ω סביב הציר האנכי מרכזי שלה (ציר z). z ω R (א)חשבו את השדה המגנטי במרכז הדיסקה. (ב)חשבואתהמומנטהמגנטישלהדיסקה. (ג)נתוןכיבמרחבפועלשדהמגנטיחיצוני( î ĵ ) B = B 0. מהומומנטהכחהפועלעלהדיסקה? τ = πσ 0ωR 4 B 0 5 (ג) k ˆ µ = πσ 0ωR 4 5 (ב) k ˆ B = µ 0σ 0 ωr (א) k ˆ 4 56

5.3 חוקאמפר 5.3.1 בגלילאינסופישרדיוסוR זורםזרם I לאורכו. התפלגותהזרםאינהאחידהכךשצפיפותהזרםתלויהבמרחק r r מצירהגלילבאופןהבא:.j(r) = j 0 R מצאואתהשדההמגנטיבכלנקודהבמרחב. B(r) = µ 0 j 0 r 2 3R µ 0 j 0 R 2 3r r R r R 5.3.2 בגלילחלולוארוךמאדבעלרדיוספנימיa וחיצוניb זורםזרםבצורההיקפית,עםכיוון השעון. צפיפותהזרם אינהאחידהותלויהבמרחקr מצירהגלילבאופןהבא 2ˆϕ ( j(r,כאשרα = αr קבועכלשהו. a b (א)מהן היחידות הפיסיקליות של הקבוע α? (ב)מהוהשדההמגנטיבכלמקוםבמרחב? B(r) = µ 0 α b3 a 3 r a 3 µ 0 α b3 r 3 a r b 3 0 b r (א) [α] = A m 4 (ב) 5.3.3 נתוןסלילארוךמאד, בעלרדיוסR. צפיפותהליפופיםשלהסלילהיא 5000 ליפופיםלמטר. חשבואתהשדה המגנטיבכלנקודהבסליל,אםנתוןכיזורםבוזרםmA.I = 30 57

R B = 1.88510 4 T 5.3.4 טורוסהואטבעתעבהעםחתךמעגלי(צורהשלבייגלה). עלטורוסבעלרדיוספנימיa ורדיוסחיצוניb מלפפים חוט מוליך N פעמים כך שצפיפות הליפופים קבועה. b a מהוהשדההמגנטיבכלמקוםבמרחב,אםנתוןכימזרימיםזרםI בחוטהמוליך? B(r) = 0 r a µ 0 NI a r b 2πr 0 b r 5.3.5 נתוןגלילאינסופיבעלרדיוסa ובתוכוקדחגליליאינסופיבעלרדיוסb. מרכזהקדחנמצאבמרחקd ממרכזהגליל. נתוןכילאורךהגלילזורםזרםI בצפיפותאחידה. השרטוטמתארמבטמלמעלהעלהמערכת. d a b 58

מהו השדה המגנטי בכל נקודה בקדח הגלילי? B = µ 0 Id ( ˆr ẑ) 2π(a 2 b 2 ) }{{} ˆϕ 5.3.6 פסמבודדדק,שאורכוL גדולמאדורוחבוa,טעוןבצפיפותמטעןאחידה σ. הפסנמצאעלמישור 0 = z כך שאחתמצלעותיומתלכדתעםצירy. הפסנעבמהירותקבועהv בכיווןŷ (אורכוכהגדולכךשניתןלהתייחסאליו כאל אינסופי). z σ y a x L dx 1+x 2 = tan 1 (x) ; (א)חשבואתוקטורהשדההחשמלילאורךצירz. (ב)מהוהזרםI? (ג)חשבואתוקטורהשדההמגנטילאורךצירz. לאורך ציר z. הסבירו את התוצאה שהתקבלה! xdx 1+x 2 = 1 2 ln(1+x2 ) ; (ד)חשבואתהאינטגרל B d l ניתן להשתמש בפתרון האינטגרלים הבאים: ) ln (1+ a2 dx = 2πa x 2 I = (ב) σva E = σ 2πε 0 B d l = µ 0σva 2 B = µ 0σv (ד) 2π ( 12 ) (1+ ln a2 z 2,0,tan 1 ( a (א) ) z) ( ( a tan ),0, 1 1 (1+ z 2 ln a2 z 2 )) (ג) 59

5.3.7 שני לוחותקבל עגולים בעלי רדיוס R נמצאים במרחק d זה מזה (הניחו d). R הקבל נטען בקצב אחיד כך שהמטעןעליותלויבזמןבאופןαt Q(t) = (הלוחהעליוןבעלהמטעןהחיובי). R d מצאו את השדות החשמלי והמגנטי בין לוחות הקבל! E = αt πr 2 ε 0 ; B(r) = µ 0α 2πR 2r 5.3.8 שנימישוריםאינסופייםמקביליםלמישורxz. המישוריםהםa y = ו a y. = במישורהראשוןישצפיפותזרם ליחידתאורךẑ k = k 0 ובמישורהשניישצפיפותזרםליחידתאורךẑ k = k 0. z k k x y (א)מהוהשדההמגנטיבכלמקוםבמרחב? (ב)מהי צפיפות האנרגיה המגנטית בכל מקום במרחב? B = µ 0 k 0ˆx ביןהמישורים. מחוץלמישוריםהשדההואאפס. 60

פרק 6 השראה אלקטרומגנטית 6.1 חוק פאראדיי לנץ 6.1.1 מוטמוליךבאורךm L = 0.2 מונחעלמסילהמוליכהשצורתה ח,כמשורטט. למסילהמחוברנגדבעלהתנגדות.R = 10 Ω באיזורשוררשדהמגנטישכיוונוהחוצהמהדףוגודלוmT.B = 10 מושכיםאתהמוטימינהכךשהוא נעבמהירותקבועהm/s.v = 2 R v L (א)מהוגודלווכיוונושלהזרםהמושרהבמעגלברגעs?t = 4 (ב)מהוהכחשישלהפעילעלהמוטכדילהניעאותובמהירותהנתונה? (ג)ברגעמסויםמפסיקיםלהפעילאתהכחהמניע. מהוהזרםהמושרהבמעגלמרגעזהואילך? I ind = BLv B 2 L 2 כאשרm מסתהמוט. (א) A I ind = 410 4 עםכיווןהשעון. (ב) N F ind = 810 7 (ג) R e mr t 6.1.2 טבעתמוליכהבעלתרדיוסcm b = 50 נושאתזרםחילופין 100sin(2t)A I(t) = (כאשרהכיווןעםהשעוןנחשב לחיובי). במרכזהטבעתנמצאסלילשטוחבעל 20 ליפופיםשהתנגדותוהכלליתהיאΩ R. = 10 3 רדיוסהסליל.a = 0.1 cm 61

I(t) ניתןלהתייחסלמקרהb a כךשהשדההמגנטיבכלנקודהבסלילשווהבקירובטובלשדהבמרכזו. מהוהזרםהמושרה(גודלוכיוון)בסלילברגעs?t = 1 I ind = 6.6610 7 A עםכיווןהשעון. 6.1.3 לכריכהמעגליתבעלת N ליפופיםושהתנגדותהR יששטחחתך S. הכריכהנמצאתבשדהמגנטי B. המאונך למישורבוהיאנמצאת. מסובביםאתהכריכהבזוויתθ סביבקוטרה. כמה מטען זרם בכריכה במהלך התהליך? q = NBS R (1 cosθ) 6.1.4 חוטמוליךמגולגלעלטורוסבעלחתךמלבניכךשמספרהכריכותהואN. רדיוסוהפנימישלהטורוסהואa,רדיוסו החיצוניb,וגובהוh. מזרימיםזרם( sin(ωt I(t) = I 0 בחוטהמוליך. כמוכןנתוןכיטבעתמוליכהשהתנגדותהR עוטפת את הטורוס. h b a (א)מהו השדה המגנטי בטורוס? (ב)מהוגודלושלהזרםהמושרהבטבעת? 62

I ind = µ 0NI 0 hω 2πR (ב)( cos(ωt B(a r b) = µ 0NI 0 (א)( sin(ωt 2πr 6.1.5 בתילאינסופיזורםזרםמשתנהA.I(t) = 10t במרחקm a = 0.2 נמצאתכריכהמרובעתבעלת 50 ליפופיםשהתנגדותההכוללתΩ.R = 10 צלעהכריכההיאm.b = 0.15 מניעיםאתהכריכהימינהבמהירות קבועהm/s.v = 0.3 a I b v (א)מהוגודלווכיוונושלהזרםהמושרהבכריכהברגעs?t = 1 (ב)מהוהכחשישלהשקיעבכדילהניעאתהכריכהבמהירותהנתונה? (א) A I ind = 1.8610 7 נגדכיווןהשעון. (ב)למשלברגעs t = 1 הכחשישלהשקיעהואN F = 2.5710 14 במגמה שמאלה. 6.1.6 טבעתמוליכהבעלתרדיוסa נמצאתעלמישורx y ונושאתזרםמשתנה I(t) = αt 2 כמשורטט. בגובהd מעליה נמצאמרכזהשלטבעתנוספת,בעלתרדיוסb,אשרהצירהאנכי מרכזישלהמוטהבזוויתθ ביחסלצירz. טבעת 63

z זועשויהחומרבעלהתנגדותליחידתאורךr. נתוןכיb a וכןa,b.d θ b d a I(t) (א)מהוהזרםהמושרהבטבעתבעלתרדיוסb? (ב)מהומומנטהכחהפועלעלהטבעתבעלתהרדיוסb? τ = πµ2 0α 2 a 4 b 3 sin2θ בכיווןפנימה. 8d 6 r (ב) t I ind = µ 0αa 2 b 2 cosθ (א) t 2bd 3 r 6.1.7 מוטמוליךבאורךL מונחעלמסילהמוליכהשצורתה ח,כמשורטט. למסילהמחוברנגדבעלהתנגדותR וקבל בעלקיבול C. באיזורשוררשדהמגנטישכיוונוהחוצהמהדףוגודלו B. מושכיםאתהמוטימינהכךשהואנע במהירות קבועה v. C R v L (א)מהוגודלווכיוונושלהזרםהמושרהבמעגלבכלרגע? (ב)מהוהכחשישלהפעילעלהמוטכדילהניעאותובמהירותהנתונה? B2 L 2 v במגמהימינה. R e t/rc עםכיווןהשעון. (ב) BLv (א) R e t/rc 64

6.1.8 מוטמוליךבעלאורךL והתנגדותR נעעלמסילהאנכיתמוליכהשהתנגדותהזניחה(ישגרביטציה). באיזורשורר שדהמגנטיאחידשכיוונומאונךלמסילה(פנימהלדף). ברגע 0 = t משחרריםאתהמוטממנוחה. L g B (א)מצאואתהמהירותשלהמוטבכלרגע? לאיזומהירותיגיעהגוףלאחרזמןארוךמאד? (ב) בנקודה כלשהי במסילה מחברים מקור מתח, והמוט מתחיל לנוע כלפי מעלה כך שלאחר זמן ארוך מספיק מהירותומתייצבתעלערךקבועu. שרטטואתאופןהחיבורשלמקורהמתחומצאואתגודלו. (ג)הראו כי מתקיים בבעיה חוק שימור האנרגיה,ע י השוואת ההספקים המכני והחשמלי. mgr mgr ( ) (ב) BLu + v(t ) = ומכאןשמהירותוהסופית v(t) = 1 e B2 L 2 (א) B 2 L2 B 2 L 2 mr t V = mgr BL 6.1.9 תילמוליך(בעלהתנגדותזניחה)שצורתופרבולה( y )מונחעלשולחןאופקיחסרחיכוך. = Cx 2 באיזורשורר שדהמגנטיאחידשגודלוB וכיוונואנכיתמעלה(בציורהחוצהמהדף). מוטמוליךדקוארוךמאד,בעלהתנגדות ליחידתאורךλ,נמצאבמנוחהלאורךצירx. ברגע 0 = t מתחיללפעולעלהמוטכח( F(t שכיוונוŷ כךשהוא נמשך במהירות קבועה v. 65

y F(t) x (א)מצאואתהשטףהמגנטידרךשטחהמעגלהמורכבמחלקהמוט(ביןשתינקודותהמגעשלועםהפרבולה)וחלק הפרבולה(ביןשתינקודותהמגעשלהעםהמוט)כפונקציהשלהזמן! (ב)מהו הכא מ המושרה במעגל? (ג)מהו הזרם המושרה במעגל (גודל וכיוון)? (ד)מהוהכח( F(t הדרושכדילהניעאתהמוטבמהירותקבועה? F(t) = 2B2 v 3/2 λ (ד) t Iind = Bv C λ = ε (ג) 2Bv3/2 C (ב) t φb = 4Bv3/2 (א) C t3/2 3 6.1.10 גלילאינסופישרדיוסו R טעוןבצפיפותמטעןנפחיתאחידהρ. מסובביםאתהגלילבמהירותזוויתיתקבועה ω סביב צירו. R ω N V (א)חשבואתצפיפותהזרםכפונקציהשלהמרחקמצירהגליל,( J(r. 66

(ב)חשבואתהשדההמגנטיבכלמקוםבמרחבכפונקציהשלהמרחקממצירהגליל,( B(r. (ג)מלפפיםסביבהגלילסלילבעל N ליפופים,ומחבריםאתקצותיולמדמתח. מהתהיהקריאתמדהמתחאם מרגעמסוים( 0 = t )פועלתתאוטהזוויתיתקבועה(תאוצהזוויתיתשלילית)שגודלהα? ε = πnµ 0ραR 4 4 { µ 0 ρω ( R r 2) r R 2 (ג) B(r) = 2 0 r R (א) ρωr J(r) = (ב) 67