חוברת תרגילים בדינמיקה

Transcript

1 הטכניון- מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה להנדסת מכונות חוברת תרגילים בדינמיקה 0400 עותק מתוקן - חורף תשס"ה 004/005 תוקנה ע"י: פרו"פ מיילס רובין אבו-סאלח סאמי מחאמיד ראשד

2 תשס"ה ו- c פרק תרגיל. ניתן לטעון בקירוב טוב כי הגרר האווירודינמי על מכונית פרופורציוני לריבוע מהירותה. התנגדויות חיכוך אחרות מונחות כקבועות, כך שתאוצת המכונית כאשר היא משייטת (ללא מנוע) יכולה להיות מקורבת ע"י, a = c כאשר cv c c ו- c הם קבועים התלויים בצורת המכונית ו- v היא מהירותה. לשם קביעת בוצע הניסוי הבא: המכונית החלה לשייט במהירות 80 קמ"ש. לאחר שעברה מרחק של 00 מטר, נמצא שמהירותה היא 60 קמ"ש. לאחר שעברה 00 מטר נוספים, נמצא שמהירותה היא 6 קמ"ש. דרוש לחשב את המרחק הכולל אותו תעבור המכונית מתחילת שיוטה עד שתיעצר כליל? תשובה: 58. מטר. תרגיל. הפין במערכת מאולץ לנוע במסלול פרבולי שעל גבי הגוף הנח וכן בחריץ שנמצא בתוך המוט המוליך הניצב, כמתואר בציור. המוט נע בכוון x במהירות קצובה של [mm/s] 0. נתון: א. ביטוי למהירות של הפין P. ב. ביטוי לתאוצה של הפין P. ג. דרוש לחשב את המהירות והתאוצה של הפין כאשר הוא נמצא במרחק 60=x. mm y mm].b = 60 [ דרוש למצוא : y = x / b x a = [ mm ], v = [ mm תשובה : ג. ] 5 s s

3 תשס"ה תרגיל. ו- v& a = כאשר = r& = ( 4t ) הנח כי וקטור התאוצה נתון על ידי: + t קבועים (של מערכת קרטזית עומדת). נתון שהמצב ההתחלתי הוא: = 0 v. t = 0, r = 0, הם וקטורי בסיס דרוש: א. חשב את וקטור המהירות.v(t) ב. חשב את וקטור המקום.r(t) 4 t t t r = + תשובה : ב.. r : (-,4,7) (הערה:המרחק במטרים). נסמן r : (,,) לנקודה תרגיל.4 חלקיק P נע בקו ישר מנקודה וקטור יחידה שכוונו מ- ל- החלקיק נתון על ידי: על ידי ואת המרחק מהנקודה נסמן על ידי s. וקטור המקום של / () s = r + s / = x( s) + x ( s) + x( ) x i ( s) i. r s = x i ( s) P דרוש: א. מצא את הרכיבים הקרטזיים של החלקיק. ב. מצא את הקואורדינאטות של נקודה על הקו (או על המשכו) שהיא הקרובה ביותר לראשית מע. i הצירים ובין ראשית הצירים?? ובין הנקודה ג. מהו המרחק בין הנקודה ד. מהו המרחק בין הנקודה 8 m 7 ( ) 4 ב. ד. תשובה :

4 תשס"ה פרק תרגיל. מושכים עגלה על מסלול בעזרת כבל שנכרך סביב תוף בקוטר 750 mm שמסתובב במהירות סיבוב [rpm]. y = x דרוש: 0. המסלול ניתן לתואר ע"י המשוואה 6 א. מצא ביטוי לתאוצה של העגלה כתלות ב-. x ב. חשב את התאוצה של העגלה כאשר היא נמצאת מטר אחד מתחת לנקודה הגבוהה ביותר שלה. 750 [mm] a =.986 [m/s] v x x + 64 תשובות: א. ב. תרגיל. הפין P בין שתי החוליות מאולץ לנוע במוליכים המחורצים אשר יכולים לנוע בזוית ישרה זה לגבי זה. ברגע מסוים המוליך נע בכיוון ימינה (במהירות [m/s] 0. ובתאוצה [m/s] 0.75). בעוד המוליך נע בכיוון למטה (במהירות [m/s] 0.5 ובתאוצה [m/s] 0.5). דרוש: א. מצא את רדיוס העקמומיות של מסלול הפין P ברגע הנתון. ב. האם תוכל לחשב גם את קצב השינוי של רדיוס העקמומיות של הפין P באותו רגע. P תשובה: [m] ρ =.5

5 תשס"ה תרגיל.. y חלקיק נע על הענף החיובי של מסלול המתואר ע"י המשוואה הדרך שעובר החלקיק לאורך = 4x, ו- t נמדד ( t) t המסלול נתונה כפונקציה של הזמן ע"י = s x,.(y נמדדים ב,mm והם פונקציה גם של s ב- x = 0.(sc עבור = 0.t דרוש: א. מצא את רדיוס העקמומיות של המסלול בנקודה בה ימצא החלקיק אחרי שנייה אחת. ב. מצא את התאוצה באותו רגע. תשובה : א. [mm] ρ =7.84 ב a = תרגיל.4 חלקיק נע בקצב קבוע b במישור לאורך העקום הכללי המוגדר על ידי y(x) y. = דרוש: א. כתוב את וקטור המקום r של החלקיק כפונקציה של x. ב. נגדיר את s כפרמטר של אורך הקשת, ובהנחה ש- x(s) x, = חשב את. dr/ds. dx / ds הוא וקטור יחידה, ובהנחה כי 0 t ג. נזכור כי = dr / ds ds / dx = + ( dy / dx) הראה כי dr dr v = = dt dx dx ds ds dt ד. ה. השתמש בחוק השרשרת חשב באופן דומה את וקטור התאוצה וחשב את וקטור המהירות כפונקציה של x..a & s. a = & s t + ρ n נזכור כי ו. ובהסתמך על התוצאות לעיל, הראה שרדיוס העקמומיות של עקום מישורי. ρ = ( ( ) ) + dy / dx כללי (x) y = y נתון ע"י / d y / dx ( d y / dx 0 ז. מצא ביטוי עבור. n (הנח 4

6 תשס"ה פרק [m/s] תרגיל. החלקיק P נע על עקום מרחבי. ברגע מסוים המהירות היא. v = 4 הערך המוחלט של וקטור + p a a = 0 m/s וכוונו מוטה בזוית התאוצה הוא ביחס למהירות. דרוש: v 0 o 0 א. קבע את רכיבי התאוצה בכוון המסלול ובניצב לו. ב. קבע את רדיוס העקמומיות של המסלול באותה נקודה. ρ = 5m a t = 8.66m / s תשובות: א. ב. תרגיל. החלקיק P נע על עקום מרחבי כך שרכיבי המיקום במערכת קרטזית נתונים ע"י המשוואות הבאות : x = 60cosω t נמדדים במ"מ, t בשניות ו-.ω= rad/s דרוש:, y = 40sinω t, z = 0t ( )., t = 4 [s] t n א. תאר את מסלול החלקיק. ב. קבע את וקטורי היחידה שבכווני המשיק והניצב בזמן ג. קבע את המהירות של החלקיק בזמן [s] t. = 4.t = 4 [s].t = 4 [s] ד. קבע את התאוצה של החלקיק בזמן ה. קבע את רדיוס העקמומיות ρ בזמן תשובות: 0 + t = ; n = ב. a = 4.9 ד v = ג. ה mm ρ = 5

7 תשס"ה תרגיל. חלקיק נע לאורך גליל צילינדרי,כמתואר בציור..בעוברו את נקודה, גודל התאוצה מגיעה לערך של 0 & m 0 ] [m/s ומגביר את מהירותו, בקו המסלול, בקצב של ] [m/s 8. דרוש : א. מהירותו - v. ב. מהירותו הזוויתית - &.. & ג. התאוצה הזוויתית -. a z ד. התאוצה - a 4m / s. ד & & = ג. v = + tg(0) z z = תשובות: א. r = b ccos β תרגיל.4 פיקה מסוימת ניתנת לתאור ע"י המשוואה: כאשר הזווית β נמדדת בין המוט המחורץ לבין הקו O הצמוד לפיקה. הציר שבכיוון r של המערכת הפולרית תמיד הוא צמוד למוט המחורץ. כדור קטן נמצא בחריץ צמוד כל הזמן לשפת הפיקה (ע"י הקפיץ). נתון כי : [mm] b = 00 [mm], c = 75 ותנאי ההתחלה של המערכת הם = 0 β = (הקו O מתלקד עם הציר (. דרוש למצוא את רכיבי התאוצה המוחלטת של הכדור כאשר o = 0 β עבור התנאים הבאים: א. הפיקה עומדת והמוט מסתובב כנגד כיוון השעון ב- [rpm] 40. ב. המוט עומד והפיקה מסתובבת כבכיוון השעון ב- [rpm] 0. ג. והפיקה מסתובבת כבכיוון השעון ב- [rpm] 0 והמוט מסתובב כנגד כיוון השעון ב- [rpm] 40. O r 40 rpm β r a = r a = 0.64 r a = r [ m / s [ m / s [ m / s ] ] ] תשובות: א. ב. ג. 0 rpm 6

8 תשס"ה ( t) תרגיל.5 צינור חלול D מחובר בציר, המאפשר לו להסתובב בזווית קבועה ב מישור האנכי, אל עגלה שנעה במהירות v על מישור אופקי. חלקיק קטן, שנמצא בנקודה P בתוך הצינור, מחובר לקצה אחד של חוט שאורכו ( t ), S( t), L, v הגדלים O. אשר קצהו השני מחובר לקיר בנקודה L, א. קבע וציין בסכימה את מערכות הצירים בהן תשתמש. ב. מצא את וקטור המהירות המוחלטת נתונים וידועים. דרוש:. P של החלקיק v(t).p ג. מצא את וקטור התאוצה המוחלטת a(t) של החלקיק.t ברגע P ד. מצא את וקטור המהירות של החלקיק P ביחס לצינור. ה. מצא את התאוצה של החלקיק P ביחס לצינור. t ו. רשום ביטוי לווקטור יחידה המשיק למסלול התנועה של P D ( t) O v = const. S(t) ( ) ( ) תשובות : ( ) v( t) = S& cos & + S sin + l S & ב. a ( & ( ) & = S l S ) + ( l S) && S& & ) ג. v = S& ד. rl 7

9 תשס"ה פרק 4 תרגיל 4. צינור כפוף מסתובב בתוך מסבים סביב הציר האנכי O במהירות זוויתית קבועה. חלקיק P שנמצא בתוך הצינור קשור לנקודה קבועה D ע"י חוט שאורכו קבוע. O R φ D α P S(t) R, α : const. t = 0 φ(0) = 0, s(0) = 0 נתונים: של החלקיק. v P a P דרוש: א. את המהירות המוחלטת ב. את התאוצה המוחלטת של החלקיק. ג. את וקטור המהירות של החלקיק ביחס לצינור. ד. את תאוצה החלקיק ביחס לצינור. δ r & P Rφ φ δr sin = P φ ד. תשובה : ג. Rφ & cos = δt δt 8

10 תשס"ה תרגיל 4. v. a מעלית מאיצה בכיוון מעלה בתאוצה קבועה על רצפת המעלית נעה עגלה במהירות קבועה 0,. מערכת הצירים. בתוך המסגרת מחליק מוט המסגרת של שני מוטות אלו מסתובבת במהירות זוויתית קבועה & בכיוון o היא 90. D כאשר צמודה לשני המוטות ו- D שמחוברים באופן קשיח והזווית בניהם γ = מהירות המעלית אפס, כמו כן = 0 t היא נקודת אמצע המוט. בזמן = 0 E קבועה. &γ עבור t כלשהו דרוש לחשב : א.. ve D L E. v E. a E ב. ג. γ v E (& γ )( sinγ cosγ ) = L & + ב. תשובה: v a 0 תרגיל 4. קרוב לקצה מסלול ההמראה,מהירות ותאוצת מרכז גלגלי המטוס הן: ו- a c בכוון אופקי. באותו רגע v c מתחיל המטוס להרים את האף במהירות זוויתית ותאוצה זוויתית ω = & ו-. α = & ω אדם הנמצא במרחק a rl rl L(t) מנקודה הולך בשביל המרכזי במטוס לכוון הנקודה במהירות יחסית ותאוצה יחסית ביחס למטוס. דרוש: לפתח ביטוי למהירות והתאוצה המוחלטים של אדם. v ו- L h. ( v cos ) c ωh + vrl + ( ωl vc sin ) v = תשובה: a ( a cos ) c αh Lω + arl + ( ac sin hω + Lα + vrlω) = 9

11 תשס"ה D תרגיל 4.4 המוט המכופף זוויתית קבועה מחובר למוט אנכי הזווית משתנה בקצב קבוע באמצעות פרק חד צירי המוט מסתובב במהירות &. חרוז P נע במהירות קבועה &s על גבי.D דרוש :.ψ& א. למצוא ביטוי עבור המהירות המוחלטת של החרוז P, ברכיבי מערכת הצירים הצמודה למוט המכופף, i = 0, יש לכתוב ביטוי עבור התאוצה המוחלטת של החרוז. עבור כלשהי. ב. עבור הרגע בו Ψ & L D p s ( L & + s& ) + ( sψ& sin Lψ& cos ) v = & P s + תשובה : א. 0

12 תשס"ה פרק 5. תרגיל 5. חלקיק נע במהירות קבועה בחריץ שמקביל לציר והחלקיק תמיד במגע עם הדיסקה הדסקה צמודה לדסקה. הנקודה i > 0 ω & =, מערכת הצירים v (שרדיוסה R) מסתובבת במהירות זוויתית קבועה, = 0 והחלקיק נמצא על הציר, t = 0. היא נקודת המגע הרגעי בין הדסקה והחלקיק בזמן באותו זמן זה החלקיק לא מחליק על הדסקה. א. חשב את גודל המהירות של החלקיק (v) כפונקציה של. b,ω יחסית למערכת של הוקטור x i x i ב. חשב את הקואורדינאטות (t ( אשר מתאר את מסלול הנקודה על הדסקה. ג. חשב את מהירות ההחלקה של החלקיק יחסית לדסקה. ד. חשב את המהירות המוחלטת של נקודת המגע הרגעי. ה. חשב את המהירות היחסית בין הנקודה והנקודה. תשובות: א. v = bω ( cos( ωt) + ωt sin( ωt) ), x ( t) = b( ωt cos( ωt) sin( ω )) x ( t) = b t v = ωb b t( cos( ωt) sin( ωt) ) [(( cos( ωt) + ωt sin( ωt) ) ( ( )) ] + sin( ωt) ωt cos( ωt bω t( cos( ωt) sin( ωt) ), ב. ג. ω ד. ה. y ( t) b

13 תשס"ה תרגיל 5. אדם עומד בנקודה על פלטפורמה אופקית סובבת, בעלת רדיוס r. הפלטפורמה מסתובבת במהירות זוויתית π קבועה ω. בזמן = t האדם זורק כדור במהירות u 0 ובזווית α כלשהי יחסית לפלטפורמה. דרוש: ω א. מהן המהירות u 0 והזווית α כך שהכדור יעוף במהירות מוחלטת V, בכיוון? ב. בהנחה שווקטור המהירות הכדור נשארת קבועה, מהו מסלול הכדור ע"ג הפלטפורמה במערכת i ω t? π עבור t ω (הצמודה לפלטפורמה) u 0 α O r = π ω = π ω u = 0 V cosα, תשובות : ωr א. = tanα V ( cos( ωt ) sin( ωt ) ) x V( t ) r V( t ) r ב.. λ כדור תרגיל 5. מכונית נוסעת צפונה במהירות קבועה v יחסית לפני כדור הארץ, כשהיא חולפת על פני קו רוחב הארץ, שרדיוסו R, מסתובב במהירות זוויתית קבועה p כדור הארץ במרחב. נתון ש- סביב ציר הקטבים. ניתן להזניח את תנועת מרכז ω = p + λ & & = ω כאשר i i, Ω = p & כאשר i = Ω i דרוש: לבחור אחת משתי המערכות ולחשב את התאוצה המוחלטת של המכונית. v P λ v R v R תשובה: a = ( - p R cos λ ) sin λ + pv sin λ a + + = ( p R cos λ v / R ) p R cos λ sin λ pv sin λ

14 תשס"ה תרגיל 5.4, &,ψ& תנועתה של דיסקה נקבעת ע"י שלושה מנועים הסובבים במהירויות זוויתיות קבועות נתון ו- & φ., שמערכת הצירים צמודה למוט ואיננה מסתובבת עם הדיסקה כך ש- ו- נמצאים באותו " i P במרחק R ממרכז הדיסקה. דרוש למצוא את הביטויים ψ& P & φ מישור כל הזמן. על היקף הדיסקה נמצאת נקודה של: א. מהירות ותאוצה (מוחלטות) של מרכז הדיסקה. ב. מהירות ותאוצה של P יחסית ל. ג. מהירות ותאוצה מוחלטות של P. d P φ R b תשובה: v p = ψ& Rcos sinφ R & cosφ = & d ( ψ& b + ψ& d cos א. ) v ג.

15 תשס"ה פרק 6, v ( ) תרגיל 6. במהירות כאשר הקצה מאולץ לנוע 0 הקצה של החוליה הקשיחה, מאולץ לנוע בכוון ω בכיוון. יש למצוא את המהירות הזוויתית של החוליה, כאשר היא חולפת על פני המצב הנתון בציור. n.700 [mm] ואורך המוט הוא v0 = 0.m נתון כי - sc / 600 mm O 00mm 700mm v 00mm ω n = 0.49 rad sc ( ) תשובה: 0.4, m אשר מתגלגלת ללא החלקה על המישור האופקי, נע ימינה תרגיל 6. המרכז O של דיסקה מעגלית שרדיוסה. v 0.m דרוש : במהירות / s P (נק כללית במרחק חצי הרדיוס ממרכז הדיסקה). = 0 א. מצא את וקטור המהירות של הנקודה ב. מצא את וקטור המהירות היחסית של הנקודה ביחס לנקודה. 0.8m P O v o R/ v / ( ) m / s = 0. תשובה : 4

16 תשס"ה תרגיל 6. המהירויות הזוויתיות של החוליות ו- D הן: ωd / = 0.5 [ rad /sc] ω/ = 0.5 [ rad /sc] דרוש לחשב את המהירות הזוויתית של החוליה הטלסקופית (במצב הנוכחי) 75 mm 75 mm 50 mm 00 mm D ω = 0.4 rad / s תשובה : תרגיל 6.4. דיסקה עגולה ממוסבת על ציר אופקי שמסתובב במהירות זוויתית קבועה &φ סביב הציר האנכי הדיסקה מתגלגלת ללא החלקה על גבי המישור האופקי. דרך מרכז הדיסקה עובר צינור רדיאלי חלק.DE בתוך הצינור נע חלקיק קטן.P מערכת צירים i היא צמודה לדיסקה. () t היא זווית הצינור. S() הוא t R = מרחק החלקיק ממרכז הדיסקה. המהירות הזוויתית של הציר היא: & φ = 4rad / s. רדיוס הדיסקה הוא : 60. cm אורך הקטע האופקי של הציר הוא: L. = 60 cm דרוש: א.מצא את המהירות הזוויתית, ω של הדיסקה.. o ב.חשב את ערך המהירות הזוויתית כאשר = 0. i ג.בטא את המהירות המוחלטת v של החלקיק ברכיבים של המערכת ד.בטא את התאוצה המוחלטת a של החלקיק ברכיבים של המערכת. i 5

17 תשס"ה D S(t) P E. φ R, L v P ω = & φ & & φ & φ sin תשובות: א. & φ " + = cos = 0 0 ω = 4 ב. = S & R & sin + R & cos & S & φ S sin ג. ( ) ( ) O תרגיל 6.5 הגלגל במערכת מתגלגל ללא החלקה על המישור האופקי. ברגע מסוים, כאשר מרכז הגלגל מתחת לנקודה,מהירות הנקודה O היא [m/s] v =.5 בכוון ימין והפין P נמצא בזוית בסכימה. דרוש לחשב את גודל המהירות הזוויתית של המוט המחורץ. עובר בדיוק כמתואר o = 0 O P 00 mm 00 mm rad ω = 8. תשובה : sc 6

18 תשס"ה פרק 7 תרגיל 7. ברגע נתון,הזרוע המעוגלת סובבת בניגוד לכיוון השעון סביב ציר O במהירות זוויתית של [rad/s].ברגע המחובר לזרוע, לבין האנך). הזיז O היא הזווית בין משיק העקום β ) = 0 הנתון: = 45 β ; עובר במסילה של הזרוע המעוגלת. דרוש: למצוא את וקטור המהירות של הנקודה. 80mm β 0mm E 0mm rad / s O v [ m s] =.4.9 / תשובה : תרגיל 7. אנכי בסכימה מתואר מתקן לאמון אסטרונאוטים. תוף ממוסב על ציר אופקי במסגרת אשר מסתובבת סביב ציר β. בתוך התוף נמצא תא האימון אשר במהירות זוויתית מסתובב סביב הציר. Ω זווית ציר התוף ביחס לאופק היא במהירות זוויתית & ψיחסית לתוף. בניסוי מסוים נמדדו הגדלים s,. β = 0, & β = 0.9 rad / s, Ω = 0. rad / באותו רגע זה נתון גם ש : ψ& הבאים: = 0.9 rad / s &Ω && ψ = && β =. דרוש: לקבוע את ווקטורי המהירות הזוויתית ω ואת התאוצה הזוויתית &ω של התא. = 0 Ω ψ& β [ rad/s ], ω = [ ] = 0 תשובה : rad/s & ω

19 תשס"ה תרגיל 7., המסה העליונה m = 0 kg והמסה התחתונה = m. מקדם החיכוך 00 kg נתונה מערכת בה שתי מסות בין שתי המסות הוא =.0 5 µ. המסה התחתונה נעה על גלגלים חסרי חיכוך וחסרי מסה. למסה העליונה מחוברת גלגלת (חסרת חיכוך) שסביבה מלופף חוט המחובר בקצה אחד לקיר ובקצה השני פועל כוח P כפי. P כנגד הכוח ו שניתן לראות בציור. דרוש:. שרטט על אותו גרף את התאוצות של המסות. קבע את גודל התאוצות של כל אחת מהמסות עבור שני המקרים הבאים: א. P = 40 N ב.. P = 60 N P g 0 kg 00 kg a =.095 m / s, a = 0.98 m / s a = a = 0.67 m / s תשובות : א. ב. תרגיל 7.4. L = 0.5 m המסות נעות בתוך מסילות חסרות המסות ו- מחוברות עי מוט קשיח שאורכו חיכוך וניתן להזניח את כוח הכובד. ידוע שכאשר המסה נמצאת במרחק x כפי שמתואר = 0. 4 m בציור מהירותה הייתה v = 0.9 m / s ימינה. דרוש לחשב: kg T = N א. ב. את התאוצה של כל אחת משתי מהמסות. את כוח המתיחה T במוט. a ב. =.64 m / s, a =. m / 9 s תשובות : א. 0.5 m kg P = 40 N x 8

20 תשס"ה פרק 8 תרגיל 8. מנוע מסובב ציר אנכי במהירות זוויתית קבועה & φ. בנקודה מחובר לציר, מנוע נוסף אשר מסובב את המוט במהירות זוויתית קבועה &. בנקודה מחוברת מסה נקודתית m. המידות הגיאומטריות מפורטות בציור. מערכת i צמודה לציר הסיבוב. דרוש: א. מצא את וקטור התאוצה של מסה. m ב. מהו הכוח שמפעיל המוט על המסה m. ג. מהו ווקטור כוח הגזירה שמפעילה המסה על המוט. φ & g L L m תשובות: cos א. [ & sin + & φ& sin ( & + & φ ) ] F m( a g ) a = L L ב. = 9

21 תשס"ה תרגיל 8. מסה בת 0 kg יכולה להחליק ללא חיכוך לאורך מוט אנכי. למסה מחוברים שני קפיצים זהים ובעלי אותו קבוע קפיץ k = 800N / m ואורך חופשי 0.. m במצב ההתחלתי היו הקפיצים במצב אופקי באורך 0.4 m 0.4m 0.4m דרוש:. v =.0 ומהירות המסה כלפי מטה הייתה: [s [ m / א. קבע את המרחק המכסימלי אליו תגיע המסה. ב. מהי מהירות המסה ברגע שהיא עוברת את חצי המרחק. g 0kg 0. ב. s.46 m / תשובות: א. 45m תרגיל 8. על חרוז בעל מסה m 0= kg מופעל כוח קבוע P = 50N ע"י חוט העובר דרך גלגלת קטנה חסרת חיכוך, כפי שמתואר בציור. החרוז נע מנקודה בה הוא נמצא במצב מנוחה עד לנקודה על גבי מסלול רבע מעגלי ללא חיכוך. מנקודה הכוח P מפסיק לפעול והחרוז נע על גבי מסלול אופקי עם מקדם חיכוך 0.5= µ עד לנקודה. בנקודה החרוז מתנגש ונדבק לקפיץ חסר מסה בעל קשיחות k. נתון שרדיוס המסלול המעגלי max. a =.4m הוא: א. חשב את עבודת הכוח P ממצב למצב. ב. מצא את מהירות החרוז בנקודה. ג. חשב את עבודת כוח החיכוך ממצב למצב. ב. מצא k עבורו ההתכווצות המקסימלית של הקפיץ היא = 0cm. δ k 0.5a a g P 4a a k =. kn / m. ד W µ = 5 J v = 8.54 m / s א. תשובות: WP = 600 J ב. ג. 0

22 תשס"ה תרגיל 8.4 נתונה קערה פרבולית אשר מתוארת עי הפונקציה.D =.0 [m] קוטר הקערה בקצה העליון הוא. z = 4r פני המשטח של הקערה חלקים וחסרי חיכוך. חלקיק קטן שמסתו kg נזרק בכוון אופקי לחלק העליון של הקערה במהירות [m/s]. דרוש: א. לחשב את מהירות החלקיק כאשר הוא עובר בנקודה P אשר נמצאת בגובה מטר אחד מהבסיס. ב. מה תהיה זווית הנטייה של וקטור המהירות ביחס למישור האופקי בנקודה P. ג. מהו הכוח שמפעיל החלקיק על הקערה בנקודה P. ד. רשום משוואה שממנה אפשר למצוא את משך הזמן עד שהחלקיק יגיע לנקודה P. D = m h = 4 m P r [m] z F = N = α ג. o v ב. ± 4.65 א. תשובות: = 8.66 m s

23 תשס"ה פרק 9 תרגיל 9. ו- מסה נקודתית m מחוברת לקצה של חוט שאורכו l וקצהו השני מקובע אל נקודה שנמצאת בראשו של העמוד האנכי הקבוע. ברגע = 0 t ( 0) = 0 & ( 0 ) = 0 v (בכיוון 0 לו מהירות התחלתית אופקית שגודלה והחוט נטוי בזווית ביחס לאנך. ברגע זה נותנים ). כתוצאה מכך מתחילה תנועה של המסה. הזויות φ מוגדרות בציור. בפתרון יש להשתמש במערכות הצירים כפי שמוגדרות בציור. נמצאים במישור אנכי שמסתובב במהירות זוויתית (, ) (, ) & φ. דרוש:? א. האם נשמר התנע הקווי בכיוון ב. האם נשמר התנע הזוויתי ביחס ל- בכיוון? ג. האם נשמר התנע הזוויתי ביחס ל- בכיוון? ד. האם החוט מבצע עבודה על המסה? ה. מהו התנע הזוויתי ביחס ל- בכיוון ו. מהי האנרגיה הקינטית של החלקיק?? ו- ז. מהו הביטוי עבור &φ? φ &?? ח. מהו הביטוי עבור & ט. מהי תאוצת המסה בכיוון י. מהי המתיחות בחוט? l g m

24 תשס"ה תרגיל 9. חלקיק kg) m) = קשור לקפיץ N/m) k) = 0 נמצא בתוך משפך קוני חסר חיכוך שרדיוס בסיסו = R m ואורך קו היוצר Y. = 5m הקפיץ רפוי כאשר החלקיק נמצא בתחתית הקונוס. בזמן = 0 t החלקיק v 0 בכוון היקפי. דרוש : = m / s מהקצה התחתון של הקונוס ומהירותו x 0 נמצא במרחק = 4m א. רשום משוואה ממנה אפשר למצוא את מרחק החלקיק כפונקציה של הזמן,.x(t) ב. מצא את המרחק המינימלי מתחתית הקונוס אליו יגיע החלקיק. ג. מה תהיה מהירות החלקיק במרחק המינימלי? R m Y תשובות: g=0m/s x x& + 6x 5x א. 0 = x L k v max = 7. 4 x min = 0. 7m [m/s] ב. ג. תרגיל 9. r 0 k מונחת ללא תנועה על שולחן אופקי חסר חיכוך, קשורה ע"י קפיץ בעל מקדם ואורך חופשי מסה m לנקודה קבועה O. ברגע = 0 t אורך הקפיץ הוא, r מקנים למסה מהירות v 0 בכוון ניצב לקפיץ. דרוש: 0 א. ב. האם התנע הקווי, התנע הזוויתי והאנרגיה הכוללת נשמרים? תאר במילים את התנהגות המסה עם הזמן. O k V 0

25 תשס"ה תרגיל 9.4 עגלה שמסתה M נעה על מסילה. על העגלה מורכב מוט אופקי שמסתו זניחה ואורכו R. המוט מורכב על ציר חסר חיכוך כך שהוא חופשי להסתובב סביב ציר אנכי. לקצה של המוט מחוברת מסה נקודתית m, ( 0) =, x& ניתן להזניח חיכוך בין העגלה למסילה. תנאי התחלה: מהירות העגלה (0) מקום המוט 0 = v (0)&. הערה: מפני שלא מופעל מומנט בנקודה, ומפני שהמוט חסר = ω 0 והמהירות הזוויתית של המוט מסה ורק יכול להעביר כוח צירי בין ל-, ניתן להתייחס למערכת כמערכת חלקיקים. לרשום בעזרת הנתונים: את התוצאות יש,ω0. דרוש לחשב את: M, R, v, m? = π א. מהירות העגלה כאשר? = π ג. ב. המהירות הזוויתית של המוט כאשר המהירות הזוויתית המכסימלית והמינימלית של המוט? ד. המהירות המכסימלית והמינימלית של העגלה? m M R m M & M + m max = ω0 ; & min ג. = ω0 M Rω0m x& max = v + ; M ( M + m) ב. ( = π) ω0 & = x& min = v Rω m 0 א. ( π ) = v v = M ( M + m) תשובות: ד. 4

26 תשס"ה פרק 0 תרגיל 0. בבדיקת כדורי טניס פוסלים כדור אם מתברר שהוא איננו קופץ חזרה לפחות לגובה המותניים כאשר הוא משוחרר מגובה הכתף. יש להניח שהגבהים הם כפי שמתואר בציור. דרוש: א.מהו מקדם התקומה המינימלי כדי שהכדור לא יפסל. ב.מה יהיה הפסד האנרגיה המכסימלי של כדור שלא נפסל (באחוזים). תשובות: א. = 0.89 ב. % 600 mm 00 mm תרגיל 0. חלקיק שמסתו m נע במהירות קבועה v על מישור אופקי חסר חיכוך. החלקיק מתנגש חזיתית במקדם תקומה, בחלקיק בעל אותה מסה m שנמצא באותו מישור. החלקיק קשור לקפיץ שקשיחותו אשר k אורכו החופשי הוא L וקצהו השני קבוע בנקודה O שנמצאת באותו מישור. ברגע ההתנגשות החלקיק במנוחה, הקפיץ רפוי ונתון ש-. α דרוש: o = 45 א. מצא משוואה שממנה ניתן למצוא את המרחק המכסימלי של מנקודה O. v ( + ) max ב. מה תהיה מהירותו של חלקיק כאשר המרחק הוא מכסימלי? L v cosα 4k = ב. [ L ( + ) vcosα ] + r ( r L) = ( + תשובות : א. ) v r 4 r m O L α Α v Β 5

27 תשס"ה תרגיל 0. m באמצעות חוט שאורכו m קשורה אל. l מסה m תלויה בתקרה על ידי חוט שאורכו מסה נקודתית m (ראה 0.6 מ- l m ליפול חופשית בהשפעת הגרביטציה מנקודה המרוחקת בשיעור. l נותנים ל-, l מתפתח בשני החוטים כוח מתיחה פתאומי ציור). ברגע t0 בו מרוחקות המסות בשיעור,8 =.0 α ). cos דרוש למצא את המהירות של כל אחת משתי המסות מייד לאחר sinα = 0.6 ) "ההתנגשות". l g l α m. v = v m = 5m + 9m g l [ m + ( 9m + m ) ] g l 5m תשובה: cosα cosα + 9m m 0.6l, = תרגיל 0.4 m, m = m m = מונחים על מישור אופקי חלק. שלושה חלקיקים שמסתם: m m L ואורך חפשי k קשורים ביניהם ע"י קפיץ ליניארי בעל קשיחות m m ו- במנוחה כפי שמתואר בציור והקפיץ במצב רפוי. ברגע = 0 t פוגע חלקיק המסות בחלקיק שני החלקיקים ו- m נמצאות,v במהירות m m m m הוא. דרוש: m ו- m ו-. m מקדם התקומה בהתנגשות בין המסות בניצב לקו המחבר את א. מהי המהירות של כל אחד מהחלקיקים מיד לאחר ההתנגשות? x(t) ברגע כלשהו לאחר ההתנגשות כתלות ב- m ב. מהי המהירות הזוויתית של הקו המחבר את m ו- שהוא המרחק בין המסות. ג. יש לכתוב משוואה דיפרנציאלית עבור x, ממנה ניתן למצוא את x. m k L m m v v תשובות: = ( + )v, v = 0, v א. = v 4 4 & L ב. v = ( + ) 4 x v m m k m = x& + x & + ( x L) ג. 6

28 תשס"ה פרק תרגיל. t = 0. לחוט נתון מוט אחיד באורך L ומסה m מחובר בקצה לפרק חסר חיכוך ובקצה ברגע מנתקים את החוט.נתון שתנאי ההתחלה הם: & ( 0) = 0, (0) = 0. דרוש : א. לרשום את המשוואה הדיפרנציאלית שבעזרתה ניתן לחשב את (t) = (לא לפתור). ב. לחשב את המהירות הזוויתית & כפונקציה של. ג. למצוא את כוח הריאקציות בפרק. g g L & = 0 ( cos cos תשובה: ב. ) על מרכז הגליל פועל כוח P. & ( 0) = ω0 > 0 ו- ( 0) = תרגיל. גליל (מסה m, רדיוס R) מתגלגל על מישור אופקי. מקדם החיכוך הוא. µ 0, x& ( 0) = ω R 0 קבוע בכוון. נתון כי תנאי ההתחלה הם : 0 = 0) x(,,(t ( ואת גודל וכיוון כוח החיכוך בין הגליל ורצפה עבור התנאים הבאים: x( דרוש לחשב את (t א. 0 = P. ב.. P = µ mg g &, & P () t P = 4µ ג. mg תשובות: P P = t ω 0Rt א ו- ב : t, () t = t + ω m mr µ g x() t = µ gt ω0rt ג., () t = t + ω0 R x 0 7

29 תשס"ה v נתון כי מקדם החיכוך בין 0 תרגיל. משליכים כדור באולינג בעל רדיוס R ומסה m על הקרקע במהירות אופקית S הכדור והקרקע הוא µ ותנאי ההתחלה הם 0) ( & ו- = 0 0) (. דרוש לחשב את המרחק = 0 שיעבור הכדור עד שתפסק ההחלקה בינו לבין הקרקע ויתחיל גלגול טהור. v 0. S = 49µ g תשובה: תרגיל.4 עקב תלית המשקולת, m מאיץ הגלגל () שמאלה. הגלגל () כולל חישוק (רדיוס r) ותוף (רדיוס ( r שמסתם המשותפת היא אופקית אל הגלגלת () (שיש לה מסה והאינרציה המשותפת ביחס למרכזו היא ואינרציה. I אין חיכוך בפרק וגם ידוע שמקדם החיכוך בין הרצפה לגלגל () הוא. µ I m m כבל מלופף על התוף ומתחבר ).ידוע שאין החלקה בין הכבל לבין הגלגלת (), m r r m m דרוש: א. בהנחה ש- () מתגלגל על המישור האופקי ללא החלקה, ב. עבור הנתונים הבאים יש להראות שגליל () מחליק. מהי תאוצת המשקולת ()? µ = 0., I = 6mr, I = mr, m = m, m = m /, r = r, r = r ג. עבור הנתונים הנ"ל יש למצוא את תאוצת המשקולת. m 8

30 תשס"ה תרגיל. פרק גליל בעל מסה m ורדיוס R מונח על גבי תיבה שמסתה. m מערכת זו נמצאת במנוחה עד אשר ברגע m ונדבקת אליה (התנגשות פלסטית). כמתואר בציור. = 0 t מסה, m הנעה במהירות,v פוגעת בתיבה דרוש: א. בהנחה שאין חיכוך בין התיבה והגליל מיד לאחר ההתנגשות? (0= µ), מהן המהירויות של התיבה ושל מרכז הגליל (נקודה ) ב. בהנחה שקיימת החלקה בין הגליל m והתיבה m בזמן ההתנגשות (0< µ), מהן המהירויות של התיבה ושל מרכז הגליל (נקודה ) מיד לאחר ההתנגשות? ג. בהמשך לסעיף ב (קיימת החלקה בין התיבה והגליל), חשב את הזמן שעובר עד אשר ההחלקה בין הגליל והתיבה תיפסק ויתחיל גלגול טהור? ד. בהנחה שקיימים גלגלי שינים בין הגליל והתיבה ( = µ), מהן המהירויות של התיבה ושל מרכז הגליל מיד לאחר ההתנגשות? m R µ v m m v v = m = m m v + + ( m + m ) m v t = µ g תשובות: ( m + m + m ) m v 0 ג. mv0 ω= R[ m + ( m + m )] ד. ˆ mmv0 R = m + m + m ( m + m ) ( ) 0 0 9

31 תשס"ה תרגיל. דיסקה מלאה בעלת מסה m ורדיוס b נמצאת במגע עם מסגרת קשיחה הסובבת על מישור אופקי חלק. מקדם b החיכוך בין הדסקה לבין המסגרת הוא. µ קצה אחד של מיתר (בלתי מתארך) באורך מחובר למרכז הדסקה, וקצהו השני מחובר למסגרת בנקודה כמתואר בצויר. בהתחלה (0= t) נמצאות המסגרת והדסקה במנוחה כאשר = 0, ואז מתחילה המסגרת להסתובב בתאוצה זוויתית קבועה.( & = p ) נתון שהכוח המרבי שהמיתר יכול לשאת הוא מומנט האינרציה של דסקה מלאה סביב מרכז המסה שלה.T R. I הזנח את כוח הכובד. דרוש: = mb / א. בהנחה ש- µ = 0. מהי המהירות הזוויתית של הדיסקה?. מהי המתיחות בחוט?. מהי המהירות הזוויתית של המסגרת ברגע שהדיסקה נמצאת על סף ניתוק מהמסגרת? ב. מהו מקדם החיכוך המירבי. t שעבורו הדיסקה תחליק על המסגרת מייד בתחילת התנועה = 0 µ) cr )? ( ) cr ג. בהנחה ש-, µ > µ מהי המהירות הזוויתית של המסגרת ברגע שהדיסקה נמצאת על סף החלקה? ד. אם הדיסקה לא מחליקה כלל על המסגרת: ( t = 0). מהי האנרגיה הקינטית של הדיסקה?. מהו התנע הזוויתי של הדיסקה סביב הנקודה הנייחת O?. מהי התאוצה הזוויתית המינימלית של המסגרת, שעבורה יקרע המיתר מייד עם תחילת התנועה? b b m µ O 0

32 תשס"ה m ורדיוסו R. הגליל מונח על מישור אופקי ומקדם החיכוך ביניהם הוא. µ על תרגיל. בציור מתואר גליל שמסתו הגליל מלופף חוט שמצדו השני תלויה משקולת מושך את הגליל לכוון קיר אנכי חלק (חסר חיכוך). במרחק. m החוט עובר דרכך גלגלת חסרת מסה וגם חיכוך. החוט L = 4R משחררים את המערכת ממצב מנוחה כשהגליל נמצא מהקיר. מקדם התקומה בין הגליל לבין הקיר הוא 0.5 =. דרוש: m R µ L = 4R m א. אם הגליל לא מחליק מצא את התאוצה של מרכז הגליל מייד לאחר שחרור המערכת. ב. מהו מקדם החיכוך המינימלי שמבטיח גלגול ללא החלקה. ג. מצא את המהירות של מרכז הגליל מיד לפני ההתנגשות בקיר (בהנחה של גלגול טהור). ד. מצא את המהירות של מרכז הגליל מיד אחרי ההתנגשות בקיר. ה. מצא את המהירות הזוויתית של הגליל מיד לאחר ההתנגשות בקיר. ו. האם יש החלקה בין הגליל והמישור האופקי מיד לאחר ההתנגשות. ענה "כן" או "לא" ונמק את תשובתך. תרגיל.4 מניחים דסקה בעלת רדיוס R ומסה m על למישור הוא. µ תניח שהמערכת מתחילה ממנוחה. דרוש: משור משופע בזוית α כמשורטט. מקדם החיכוך בין הדסקה א. עבור המקרה בו µ חשב את תאוצת מרכז המסה ואת כוח החיכוך מייד לאחר השחרור. ב. חשב מהו מקדם החיכוך המינימאלי עבורו לא תתרחש החלקה. ג. פתור את משואות התנועה עבור המקרה = 0 µ ומצא את מהירותו ותאוצתו הקווית והזוויתית של הגליל בתחתית המישור. x h m R α

33 תשס"ה פרק תרגיל. דיסקה דקה, שרדיוסה R, = 0.4 m ומסתה m = kg מתגלגלת ללא החלקה על מישור אופקי בזוית נטייה v =.54 [ m / sc] במהירות b = 0.6 m נע במסלול מעגלי שרדיוסו מרכז הדיסקה.α. המערכות ו- מסתובבות כך שהמישור i i מרכז הדסקה נשאר במישור. דרוש: נשאר אנכי ומתלכד עם המישור קבועה בכוון. א. באיזו זווית נטייה יכולה התנועה הזאת להתקיים?. ב. מצא את הכוח שמפעילה הרצפה על הדיסקה. g α R b תרגיל. אל ציר (באורך L), שממוסב בשני מסבים קבועים ו-, מרותכות שלוש דיסקות דקות ואחידות (לכל אחת מסה m ורדיוס R) כמתואר בציור בעמוד הבא. שתי דיסקות מרותכות על הציר בשני קצותיו כך שהציר ניצב למישור הדיסקות. הדיסקה השלישית מרותכת לציר בנקודת האמצע, כך שהזווית בין הציר האופקי והקו שמשיק לדיסקה היא. β הציר מסתובב במהירות זוויתית קבועה ω בכוון המסבים ו- נמצא בבית כדורי שמונע ממנו להעביר מומנטים כלשהם. דרוש: א. מהוא וקטור התנע הזוויתי H של המערכת סביב נקודה?. כל אחד משני. ב. מצא את הכוחות הניצבים לציר שפועלים בנקודות ו- m m ג. רוצים לאפס את הכוחות שפועלים בנקודות חבור מסה להיקף הדיסקה ומסה ו ע"י m להיקף הדיסקה. מצא את גודל המסות ו- והזוויות ו- φ בהן יש לחברן. φ m

34 תשס"ה β m ω φ m φ L L מבט על מבט על ומסה m, וממוט דק באורך L ומסה m, המחובר למרכז הדיסקה תרגיל. גוף קשיח מורכב מדיסקה דקה ברדיוס R וניצב לה. הגוף נמצא במנוחה על רצפה (ראה ציור). ברגע = 0 t מקנים לנקודה D (מרכז הדיסקה) מהירות v0 בכוון ניצב לדף. נתון: אין החלקה בכל נקודות המגע של הגוף עם המשטח שמתחתיו. כתוב בטויים ω& ( t)- ( t) עבור הגדלים הבאים: א.המהירות והתאוצה הזוויתית וω של הגוף. ב.הכוחות שמפעילה הקרקע על הגוף בנקודות המגע. R D L v0 v0 ω =, ω& = Lsinα L cosα sinα תשובה : א.

35 תשס"ה תרגיל.4 pt). y = cos( כמו כן התנודה אוניה מתנדנדת במישור אנכי כך שהתזוזה האנכית של הנקודה היא. = הזוויתית ("עלה ורד ") היא pt) sin( באוניה יש טורבינה. מומנטי האינרציה של הרוטור ביחס ל- t, I רחבי p פולארי. I מהירות הסיבוב של הטורבינה במסבים היא n. הנקודה ומרכז המסה G של : הרוטור נמצאים על ציר הסיבוב. יש גרוויטציה. כל אחד משני המסבים ו- נמצא בבית כדורי שמונע ממנו להעביר מומנטים כלשהם. מסב יכול להפעיל כוח בכוון ציר הטורבינה ומסב לא יכול להפעיל i כוח בכוון זה. דרוש למצוא את רכיבי הכוחות שמפעילים המסבים על הטורבינה במערכת הצמודה לאוניה. b G g y(t) O m = 00kg ; I = 5kg m = 0kg m נתונים : b = 0. m m ; n = 0000rpm ; = m ; = 0.rad ; p = rad / s I p ; t ; 8 4