47. Σώµα (Σ 1 ) είναι τοποθετηµένο πάνω σε σώµα (Σ ) και το σύστηµα εκτελεί Α.Α.Τ. κατακόρυφα µε περίοδο Τ. α) Να εκφράσετε τη δύναµη αντίδρασης F του σώµατος (Σ ) στο σώµα (Σ 1 ), σε συνάρτηση µε την απόσταση x του συστήµατος πάνω και κάτω από τη θέση ισορροπίας. β) Να βρεθεί το µέγιστο επιτρεπόµενο πλάτος της Α.Α.Τ. του συστήµατος, ώστε το σώµα (Σ 1 ) να µη χάνει την επαφή του µε το σώµα (Σ ). ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητηας g. 4π F = m g x, β) A= g 4 π ] 48. Σώµα, µάζας Μ=3 g, είναι στερεωµένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, σταθερής =100 /m. Πάνω στο σώµα (Μ) είναι απλά τοποθετηµένο ένα µικρότερο σώµα, µάζας m=1 g. Το σύστηµα ισορροπεί στη θέση του σχήµατος. Εκτρέπουµε το σύστηµα προς τα κάτω κατά x=0, m και το αφήνουµε ελεύθερο. α) Να ελέγξετε αν υπάρχει περίπτωση το σώµα (m) να χάσει την επαφή του µε το σώµα (Μ); β) Να βρεθεί το µέτρο της αντίδρασης F του σώµατος (Μ) στο σώµα (m), τη στιγµή που το σύστηµα περνάει από το ανώτατο σηµείο της Α.Α.Τ. που κάνει. ίνεται g=10 m/s. όχι, β) F=5 ] 49. Στη διάταξη του σχήµατος της άσκησης 48, το σύστηµα ισορροπεί στη θέση του σχή- µατος. Εκτρέπουµε το σύστηµα προς τα κάτω κατά x=0,5 m και το αφήνουµε ελεύθερο. α) Σε ποια θέση το σώµα (m) θα εγκαταλείψει (χάσει την επαφή µε) το σώµα (Μ); β) Ποιο το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος (m) τη στιγµή που χάνει την επαφή του από το σώµα (Μ); 0,4 m πάνω από τη Θ.Ι., β) υ=1,5 m/s ]
50. Σώµα (Σ 1 ) είναι τοποθετηµένο πάνω σε σώµα (Σ ) και το σύστηµα εκτελεί Α.Α.Τ. οριζόντια πάνω σε λείο επίπεδο µε περίοδο Τ. Μεταξύ του σώµατος (Σ 1 ) και του σώµατος (Σ ) υπάρχει τριβή µε συντελεστή τριβής ολίσθησης µ. α) Ποια δύναµη κρατάει σε επαφή το (Σ 1 ) µε το (Σ ) κατά τη διάρκεια της Α.Α.Τ.; β) Να βρεθεί το µέγιστο επιτρεπόµενο πλάτος της Α.Α.Τ. του συστήµατος, ώστε το σώµα (Σ 1 ) να µη χάνει την επαφή του µε το σώµα (Σ ). ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητηας g. µ g η δύναµη της στατικής τριβής, β) A= ] 4π 51. Σώµα (Σ ), µάζας M=3 g, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι στερεωµένο στο δεξιό άκρο ελατηρίου, σταθερής = 100 /m. Πάνω στο σώµα (Σ ) τοποθετείται άλλο σώµα (Σ 1 ), µάζας m=1 g, το οποίο παρουσιάζει τριβή, µε συντελεστή τριβής ολίσθησης µ=0,4, µε το σώµα (Σ ). α) Εκτρέπουµε το σύστηµα των δύο σωµάτων προς τα δεξιά κατά x=0,1 m και το αφήνουµε ελεύθερο. Να ελέγξετε αν υπάρχει περίπτωση το σώµα (m) να χάσει την επαφή του µε το σώµα (Μ); β) Στο σύστηµα των δύο σωµάτων, όταν βρίσκεται στη θέση ισορροπίας, δίνουµε ταχύτητα V=1 m/s οριζόντια προς τα δεξιά. (i) Σε ποια θέση το σώµα (m) θα αρχίσει να γλυστράει πάνω στο σώµα (Μ); (ii) Ποιο το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος (m) τη στιγµή που αυτό αρχίζει να γλυστράει πάνω στο σώµα (Μ); όχι, β) (i) σε απόσταση Α=0,16 m δεξιά της Θ.Ι., (ii) υ=0,6 m/s ] 5. ύο σώµατα εκτελούν γ.α.τ. ίσου πλάτους και κινούνται στην ίδια ευθεία έχοντας π rad την ίδια θέση ισορροπίας, µε γωνιακές ταχύτητες ω 1 = 4 sec και π rad ω = 3 sec. Τη χρονική στιγµή t o =0 το πρώτο σώµα έχει αποµάκρυνση x 1 =+A και το δεύτερο A x = µε υ > 0. α) Να υπολογίσετε τις αρχικές φάσεις φ 01 και φ 0 των δύο κινητών. β) Ύστερα από πόσο χρόνο θα συναντηθούν τα δύο κινητά; π φ 01 = rad, φ 0 = 11 π rad, β) 6 8 t= sec ] 7
53. Σώµα, µάζας m=1 g, είναι αρχικά ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώµα είναι στερεωµένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου, σταθερής 1 =100 /m και σε επαφή µε το ε- λεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου, σταθερής =300 /m, όπως φαίνεται στο σχήµα. ίνουµε στο σώµα οριζόντια ταχύτητα υ ο =6 m/s µε φορά προς τα δεξιά. α) Να υπολογίσετε την περίοδο Τ της κίνησης του σώµατος και την απόσταση d µεταξύ των ακραίων θέσεων της τροχιάς του. β) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις της αποµάκρυνσης x=f(t) και της ταχύτητας υ=f(t) για το χρονικό διάστηµα µιας περιόδου. 3π = sec, d=0,9 m ] 0 54. Να λυθεί η άσκηση 53, για την περίπτωση που η ταχύτητα υ ο που δίνουµε αρχικά στο σώµα έχει φορά προς τα αριστερά. 3π = sec, d=0,9 m ] 0 55. Στη διάταξη του σχήµατος το σώµα M(= g) είναι στερεωµένο στην κάτω άκρη του ελατηρίου, σταθεράς, και µε τη βοήθεια του νήµατος συγκρατεί τη σφαίρα m(=1 g). Η σφαίρα m απέχει από το έδαφος απόσταση h = (0, 8 π )m. Κάποια στιγµή κόβουµε το νήµα. Παρατηρούµε ότι µέχρι να φτάσει η σφαίρα m στο έδαφος το σύστηµα σώµα Μ-ελατήριο έχει εκτελέσει δύο ολόκληρες ταλαντώσεις. α) Να βρεθεί η τιµή της σταθεράς του ελατηρίου. β) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώµατος M, µετά από χρόνο 3π t= sec, από τη στιγµή που κόψαµε το νήµα. 0 m = 00, β) υ=+0, 5 ] m s
56. Το σώµα, µάζας m= g, είναι στερεωµένο στη µία άκρη του ελατηρίου του σχήµατος, σταθερής =100 /m. Εκτρέπουµε το σώµα προς τα πάνω από τη θέση ισορροπίας (θέση (Α) ) κατά d=0, m (θέση (Γ) ). Κάποια στιγµή (t o =0) δίνουµε στο σώµα ταχύτητα 5 m υ= προς τα κάτω. Να βρεθούν: s α) Το πλάτος της γ.α.τ. που θα εκτελέσει το σύστηµα. β) Η ταχύτητα του σώµατος τη στιγµή που αυτό διέρχεται (για 1 η φορά) από τη θέση φυσικού µήκους του ελατηρίου. γ) Ο χρόνος για να πάει το σώµα από θέση ( ) κάτω του (Γ), όπου (Γ )=0,05 m ( κατεβαίνοντας ), µέχρι τη θέση όπου το σώµα σταµατά στιγµιαία για πρώτη φορά. π δ) Η θέση και η ταχύτητα του σώµατος µετά από χρόνο t 1 = sec από τη στιγµή 10 της εκτόξευσης του σώµατος. Α=0,3 m, β) υ 1 = m s, γ) π 5 m t= sec, δ) x = 0, m, υ =+ ] 15 s 57. Σώµα, µάζας m=1 g, είναι δεµένο στην άκρη oριζόντιου ελατηρίου, σταθερής =100 /m. Στο σώµα δένεται νήµα µε όριο θραύσης 10 Ν. Στην ελεύθερη άκρη του νήµατος ασκείται οριζόντια δύναµη, µεταβλητού µέτρου σύµφωνα µε την εξίσωση: F = 80 + 00 x. Κάποια στιγµή κόβεται το νήµα. Να βρεθεί το πλάτος της γ.α.τ. που θα εκτελέσει στη συνέχεια το σώµα. ν ή µα F m ///////////////////////////////////// [ Απ. A= 0, 10 m ]
58. Στη διάταξη του σχήµατος το σώµα µάζας (Μ) είναι στερεωµένο στην κάτω άκρη του κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς Κ, η επάνω άκρη του οποίου είναι στερεωµένη στην οροφή. Ένα δεύτερο σώµα, µάζας (m), κινούµενο µε ταχύτητα (υ ο ), σφηνώνεται ακαριαία στο σώµα (Μ) και προκύπτει συσσωµάτωµα. ίνονται: M = 3 g, m = 1 g, = 100 /m, g = 10 m/s. Να βρεθεί το ελάχιστο χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί (α- µέσως µετά την κρούση) ώστε το συσσωµάτωµα να µετατοπιστεί από τη θέση (1) στην οποία το ελατήριο έχει δυναµι- (1) κή ενέργεια U = (J) µέχρι τη θέση () στην οποία το ελατ ελατήριο έχει δυναµική ενέργεια U = ελατ 1, 5(J). () ελατ //////// (M) υ ο (m) π [ Απ. t min = (s) ] 15 59. Στη διάταξη του σχήµατος το ελατήριο, σταθεράς Κ = 100 /m, έχει φυσικό µήκος l o = 0,8 m. Στο ελεύθερο άκρο του θεκτρ.. s έχουµε στερεώσει ένα σώµα, µάζας Μ = (m) θφµ... 4 g, και µε τη βοήθεια νήµατος (στε- l ρεωµένου στον τοίχο) έχουµε συσπειρώ- (M) σει το ελατήριο σε µήκος l = 0,4 m. Από ν ή µα απόσταση s = 0,9 m αφήνουµε να πέσει πάνω στο σώµα Μ ένα µικρότερο σώµα, µάζας m = g, το οποίο ενσωµατώνε- φ ται µ αυτό. Μετά την ενσωµάτωση των δύο σωµάτων κόβουµε το νήµα. ίνεται g = 10 m/s. α) Να βρεθεί το πλάτος της γ.α.τ. που θα εκτελέσει το συσσωµάτωµα. β) Να βρεθεί το µέτρο της ταχύτητας του συσσωµατώµατος, τη στιγµή κατά την οποία η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου είναι U ελατ = J. γ) Τη στιγµή στιγµή κατά την οποία η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου είναι U ελατ = 4,5 J, να βρεθεί ο λόγος της κινητικής ενέργειας της γ.α.τ. προς την ολική ενέργεια της γ.α.τ., δηλαδή γατ. E δ) Να βρεθεί το µέτρο της δυναµικής ενέργειας του ελατηρίου τη στιγµή που ισχύει 3 γατ = E για τη γ.α.τ. που εκτελείται µετά την κρούση. 4
7 A = (m) 0, 645(m), β) υ = 1 m/s, γ) γατ = 1, 10 E δ) 7 U ελατ = 50 0, 3 ± (J) 9, 3436(J)(ή 1, 406(J) 0 ]