Βασικές έννοιες Τα σώματα μπορούν να αλληλεπιδράσουν ηλεκτρικά. Ο Θαλής ο Μιλήσιος παρατήρησε πρώτος την έλξη μικρών αντικειμένων από ήλεκτρο, αφού πρώτα τριφτεί σε ξηρό ύφασμα. Το φαινόμενο αυτό ονομάστηκε ηλεκτρισμός. Παράλληλα μελετήθηκε και ο μαγνητισμός, με τον οποίο όμως δεν πρόκειται να ασχοληθούμε. Μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού φορτίου στο Διεθνές Σύστημα (S.I.) είναι το προς τιμήν του Γάλλου φυσικού hles Augustin de oulomb., coulomb, Νόμος του oulomb Μετά από αρκετά πειράματα, ο oulomb, κατέληξε στο εξής συμπέρασμα: «Κάθε σημειακό ηλεκτρικό φορτίο ασκεί δύναμη σε κάθε άλλο σημειακό ηλεκτρικό φορτίο. Το μέτρο της δύναμης είναι ανάλογο του γινομένου των φορτίων που αλληλεπιδρούν και αντιστρόφως ανάλογο με το τετράγωνο της μεταξύ τους απόστασης». Η διατύπωση αυτή είναι γνωστή κι ως ο Νόμος του oulomb. Η μαθηματική έκφραση του νόμου αυτού είναι η: F (), όπου η ηλεκτρική σταθερά, τους απόσταση. και τα ηλεκτρικά φορτία που αλληλεπιδρούν και η μεταξύ Η δύναμη oulomb έχει: Μέτρο, που υπολογίζεται από την παραπάνω σχέση Διεύθυνση, τη διεύθυνση της ευθείας που ενώνει τα δύο σημειακά φορτία Φορά, που εξαρτάται από το πρόσημο των φορτίων, αν είναι ελκτική δηλαδή ή απωστική. Σημείο εφαρμογής, τα σημειακά φορτία. Αν η δύναμη είναι θετική τότε τα φορτία είναι ομόσημα, άρα η δύναμη είναι απωστική. Αντίθετα αν η δύναμη είναι αρνητική, τότε τα φορτία είναι ετερόσημα, άρα η δύναμη είναι ελκτική. Αγκανάκης Α. Παναγιώτης
της σχέσης Η ηλεκτρική σταθερά, έχει τιμή 0 Nm. Για τον υπολογισμό της κάνουμε χρήση 4 0, όπου 0 η απόλυτη διηλεκτρική σταθερά του κενού με τιμή 0 8,850 Nm Ηλεκτρικό Πεδίο Όπως είδαμε και παραπάνω οι δυνάμεις oulomb είναι σχεδόν μηδέν σε μεγάλες αποστάσεις. Άρα από κάποια απόσταση και μετά γίνονται ισχυρές και μπορούμε να τις λάβουμε υπόψιν. Γενικά, τον χώρο μέσα στον οποίο όταν βρεθεί ένα ηλεκτρικό φορτίο δέχεται ηλεκτροστατική δύναμη, τον ονομάζουμε ηλεκτρικό πεδίο. Για να γίνει πιο εύκολα κατανοητό, έχουμε ένα φορτίο, το οποίο ονομάζουμε φορτίο πηγή. Από αρκετά μεγάλη απόσταση φέρνουμε ένα φορτίο, το οποίο ονομάζουμε δοκιμαστικό φορτίο. Αρχικά η απόσταση είναι αρκετά μεγάλη οπότε τα φορτία πρακτικά δεν αλληλεπιδρούν. Καθώς κινούμε το δοκιμαστικό φορτίο από κάποια απόσταση και μετά ξεκινάει η αλληλεπίδραση των δύο φορτίων. Αυτή η απόσταση είναι σταθερή για κάθε φορτίο και ουσιαστικά σχηματίζει έναν κύκλο γύρω από το φορτίο πηγή. Ο κύκλος αυτός είναι ο χώρος που ονομάσαμε ηλεκτρικό πεδίο. Το ηλεκτρικό πεδίο υπολογίζεται από την σχέση: F E () όπου Ε η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου. Γενικά ένταση Ε σε σημείο του ηλεκτρικού πεδίου ονομάζουμε το φυσικό διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο ίσο με το πηλίκο του μέτρου της δύναμης που ασκείται σε φορτίο που βρίσκεται σ αυτό το σημείο προς το φορτίο αυτό και κατεύθυνση την κατεύθυνση της δύναμης, αν αυτή ασκείται σε θετικό φορτίο. Μονάδα μέτρησης στο Διεθνές Σύστημα είναι το N /. Στην παραπάνω σχέση αν αντικαταστήσουμε την ηλεκτροστατική δύναμη με τον νόμο του oulomb τότε μπορούμε να εξάγουμε την σχέση: F E E () Αγκανάκης Α. Παναγιώτης
Στην πρώτη σχέση για το ηλεκτρικό πεδίο είναι το δοκιμαστικό φορτίο. Στην δεύτερη σχέση είναι το φορτίο πηγή. Άρα ανάλογα ποιο φορτίο γνωρίζουμε ή ψάχνουμε να υπολογίσουμε χρησιμοποιούμε και την κατάλληλη σχέση. Επομένως όπως γίνεται ευκόλως κατανοητό το ηλεκτρικό πεδίο το δημιουργεί κάθε ηλεκτρικά φορτισμένο σώμα. Δεν μας ενδιαφέρει αν κινείται ή όχι. Ουσιαστικά η παραγωγή ηλεκτρικών δυνάμεων είναι η απόρροια αλληλεπιδράσεων των ηλεκτρικών πεδίων δύο ή περισσοτέρων ηλεκτρισμένων σωμάτων. Δυναμικές Γραμμές Όπως ήδη είδαμε κάθε ακίνητο σημειακό φορτίο δημιουργεί γύρω του ηλεκτρικό πεδίο. Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίο όπως είδαμε μεταβάλλεται συναρτήσει της απόστασης, δηλαδή διαφέρει η τιμή της από το ένα σημείο στο άλλο. Για δική μας διευκόλυνση στο σχεδιασμό του ηλεκτρικού πεδίου, σχηματίζουμε γραμμές. Στις γραμμές αυτές η ένταση του πεδίου είναι εφαπτόμενη σε κάθε σημείο τους και ονομάζονται δυναμικές γραμμές. Οι δυναμικές γραμμές έχουν τις παρακάτω ιδιότητες:. Απομακρύνονται από τα θετικά φορτία και κατευθύνονται προς τα αρνητικά, επομένως είναι ανοιχτές.. Η ένταση του πεδίου έχει μεγαλύτερο μέτρο στις περιοχές του χώρου, όπου είναι πιο πυκνές.. Δεν τέμνονται. Ανάλογα την μορφή που έχουν οι δυναμικές γραμμές, μπορούμε να χαρακτηρίσουμε ένα πεδίο ως ομογενές ή ανομοιογενές. Ομογενές είναι το ηλεκτρικό πεδίο όπου η ένταση του είναι η ίδια σε κάθε σημείου του (π.χ. επίπεδος πυκνωτής). Αντίθετα ανομοιογενές είναι το πεδίο όπου η ένταση του μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο (π.χ. σημειακό φορτίο). Αγκανάκης Α. Παναγιώτης
Δυναμικό Διαφορά Δυναμικού Η δυναμική ενέργεια ενός δοκιμαστικού φορτίου που απέχει απόσταση από φορτίο πηγή είναι: U (4) ποσότητα Από την σχέση αυτή μπορούμε να εξάγουμε την εξίσωση: συγκεκριμένη. U. Παρατηρούμε πως η θα είναι πάντα σταθερή, αφού οι ποσότητες και είναι σταθερές και η απόσταση είναι Την σταθερή ποσότητα την ονομάζουμε δυναμικό,, δηλαδή θα ισχύει: (5). Αυτό είναι το δυναμικό ηλεκτροστατικού πεδίου oulomb. Κάνοντας χρήση των παραπάνω μπορούμε να U εξάγουμε την σχέση (6). Άρα, δυναμικό σε μία θέση του ηλεκτρικού πεδίου ονομάζεται το μονόμετρο φυσικό μέγεθος που είναι ίσο με το πηλίκο της δυναμικής ενέργειας φορτίου στη θέση αυτή προς το φορτίο αυτό. Και επειδή η δυναμική ενέργεια ουσιαστικά είναι η ενέργεια που χρειάζεται να δώσουμε στο φορτίο για να κινηθεί εκτός ηλεκτρικού πεδίου, δηλαδή μαθηματικά να πάει στο άπειρο, θα ισχύει: W (7). A Διαφορά Δυναμικού Από τις παραπάνω σχέσεις μπορούμε να καταλάβουμε πως το δυναμικό δεν είναι σταθερό σε κάθε σημείο. Η διαφορά στο δυναμικό μεταξύ δύο θέσεων (Β) και (Γ) θα είναι: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης 4
U B U U B U (8) Θα ισχύει όμως ότι: U B U W B, άρα η τελευταία σχέση γράφεται: W (). B Η διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων (Β) και (Γ) ηλεκτρικού πεδίου ισούται με το πηλίκο έργου της δύναμης του πεδίου κατά τη μεταφορά δοκιμαστικού φορτίου από τη θέση (Β) στη θέση (Γ), προς το φορτίο αυτό. Επιπλέον η διαφορά δυναμικού μας δίνει το έργο της δύναμης του ηλεκτρικού πεδίου ανά μονάδα φορτίου για τη μετακίνηση του από τη θέση (Β) στη θέση (Γ). Παρατηρήσεις:. Στην περίπτωση του πεδίου oulomb η διαφορά δυναμικού μεταξύ των δύο σημείων υπολογίζεται από τη σχέση:. Από την τελευταία σχέση μπορούμε να εξάγουμε την W B B () (0). Αγκανάκης Α. Παναγιώτης 5
Μεθοδολογία Ασκήσεων Αρχικά ας δούμε ασκήσεις που αφορούν τον νόμο του oulomb. Οι ασκήσεις σ αυτή την περίπτωση μπορεί να μας ζητάνε να υπολογίσουμε κάποιο ηλεκτρικό φορτίο, την ηλεκτρική δύναμη ή την απόσταση των δύο φορτίων. Επιπλέον μπορεί να μας ζητήσουν να βρούμε που θα τοποθετήσουμε κάποιο τρίτο φορτίο προκειμένου να υπάρξει ισορροπία. Λυμένο Παράδειγμα cm Δύο ηλεκτρικά φορτία, 4 και 8, αλληλεπιδρούν. Αν η μεταξύ τους απόσταση είναι, να υπολογίσετε την δύναμη oulomb. Δίνεται ότι 0 N m. Λύση Αρχικά παρατηρούμε ότι οι ποσότητες που μας δίνει η εκφώνηση δεν έχουν τις μονάδες στο Διεθνές Σύστημα. Άρα πρώτο βήμα να κάνουμε τις απαραίτητες αλλαγές στις μονάδες. 6 6 4 40, 8 80, cm 0 m Πλέον το μόνο που μας μένει να κάνουμε είναι να εφαρμόσουμε τον νόμο του oulomb και θα έχουμε: F F 6 6 4 0 80 0 6 6 4 0 80 0 F 0 4 0 Για να διευκολυνθούμε στις πράξεις μπορούμε να χωρίσουμε τις παραπάνω ποσότητες σε δύο κατηγορίες, σε αριθμούς και δυνάμεις και να εκτελέσουμε πιο εύκολα τις πράξεις, δηλαδή: F 0 F 0 6 6 4 0 80 4 8 4 0 F 0N 0 0 0 6 4 0 6 0 664 Το αρνητικό πρόσημο μας δείχνει πως η δύναμη είναι ελκτική. Αγκανάκης Α. Παναγιώτης 6
Λυμένο Παράδειγμα Έχουμε δύο σφαίρες φορτισμένες ηλεκτρικά. Η πρώτη έχει φορτίο μεταξύ των δύο σφαιρών είναι. Αν η μεταξύ του απόσταση είναι F 4, 5N N m δεύτερης σφαίρας. Δίνεται ότι 0 /. Λύση 4 ενώ η δύναμη oulomb, να υπολογίσετε το φορτίο της 0cm Αρχικά παρατηρούμε πως δεν είναι όλα τα μεγέθη σε μονάδες του SI. Άρα πρώτο βήμα είναι να κάνουμε την μετατροπή. 6 4 40 και 0cm 0, m Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον γνωστό τύπο: F F 4,5 0 40 0 5 0 8 F 6,50 4,5 6 0 4 0 4,5 0 4 0 0 5 0, 6,5 0 4. Άρα πλέον θα έχουμε ότι: 6 Λυμένο Παράδειγμα Έχουμε δύο σφαίρες φορτισμένες ηλεκτρικά. Η πρώτη έχει φορτίο, η δεύτερη 4 ενώ η δύναμη oulomb μεταξύ των δύο σφαιρών είναι F N. Να υπολογίσετε την μεταξύ τους απόσταση. Δίνεται ότι N m 0. Λύση Αρχικά παρατηρούμε πως δεν είναι όλα τα μεγέθη σε μονάδες του SI. Άρα πρώτο βήμα είναι να κάνουμε την μετατροπή. 6 6 0 και 4 4 0 Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον γνωστό τύπο: F. Άρα πλέον θα έχουμε ότι: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης 7
F 0 F 4 6 6 0 0 0 600 0, 0,6 0,6m 6 6 0 4 0 66 0, 600 Λυμένο Παράδειγμα 4 Έχουμε δύο σφαίρες φορτισμένες ηλεκτρικά καρφωμένες στα σημεία ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ μήκους. Η πρώτη έχει φορτίο, η δεύτερη 8. Να βρείτε σε ποιο σημείο του ευθυγράμμου τμήματος πρέπει να τοποθετήσουμε ένα θετικό ηλεκτρικά φορτισμένο σωματίδιο και αυτό να ισορροπεί. l 40cm Λύση Αρχικά κάνουμε τις απαραίτητες μετατροπές: 6 6 0, 8 80, l 40cm l 0, 4m Στη συνέχεια πρέπει να κάνουμε το σχήμα της άσκησης προκειμένου να βοηθούμε στην επίλυση. Για να ισορροπεί το σώμα θα πρέπει η συνισταμένη δύναμη oulomb να είναι μηδέν. Επειδή η δεύτερη σφαίρα έχει μεγαλύτερο φορτίο θα τοποθετήσουμε το σωματίδιο πιο κοντά στη πρώτη σφαίρα. Άρα το σχήμα θα είναι το παρακάτω: Την απόσταση του σωματιδίου από το άκρο Α την ονομάζουμε επομένως η απόστασή του από το Β θα είναι l. Αγκανάκης Α. Παναγιώτης 8
Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τις δυνάμεις: F και F l Για να ισορροπεί το σωματίδιο θα πρέπει οι δύο δυνάμεις να είναι ίσες. Δηλαδή: F F l l Παρατηρούμε πως τελικά δεν μας επηρεάζει η ποσότητα του σωματιδίου η οποία είναι και άγνωστη. Δηλαδή η θέση θα είναι συγκεκριμένη για οποιοδήποτε σωματίδιο κι αν τοποθετήσουμε και εξαρτάτε μονάχα από τα φορτία που είναι καρφωμένα. Μπορείτε να σκεφτείτε άραγε γιατί; Λύνουμε λοιπόν την εξίσωση: l 0.4 4 6 l 0 0.4 80 6 Σ αυτό το σημείο έχουμε δύο επιλογές, είτε να αναπτύξουμε την ταυτότητα και να λύσουμε το τριώνυμο είτε να αποτετραγωνίσουμε τις δύο ποσότητες. Εδώ θα επιλέξουμε το δεύτερο καθώς θεωρούμε πως πλέον έχουμε μάθει να λύνουμε με μεγάλη ευκολία δευτεροβάθμιες εξισώσεις. 0.4 4 0.4 0.4 4 0.4 0.4 m 0 0.4 0.4 0.4m 4 0.4 Η δεύτερη λύση μας δίνει αρνητική απόσταση άρα απορρίπτεται, επομένως το σωματίδιο θα 4 τοποθετηθεί σε απόσταση m δεξιά του Α. 0 Σ αυτές τις ασκήσεις πρέπει να δώσουμε λίγο προσοχή στην επιλογή τοποθέτησης του σωματιδίου, το οποίο θα το λέμε από δω και πέρα δοκιμαστικό φορτίο. Αν τα δύο ακλόνητα φορτία είναι ομόσημα τότε το δοκιμαστικό φορτίο υποχρεωτικά θα τοποθετηθεί ανάμεσα στα δύο αυτά φορτία. Αν είναι ετερόσημα τότε το δοκιμαστικό φορτίο θα τοποθετηθεί εξωτερικά στην προέκταση του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τα ακλόνητα φορτία. Αγκανάκης Α. Παναγιώτης
Λυμένο Παράδειγμα 5 Να υπολογίσετε το ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργεί μία σφαίρα, φορτίου 8 σε απόσταση cm. N m Να φτιάξετε κι ένα σχήμα που να φαίνεται η κατεύθυνση των δυναμικών γραμμών. Δίνεται ότι 0. Λύση Αρχικά κάνουμε τις απαραίτητες μετατροπές: 6 8 80, cm 0 m Για τον υπολογισμό του ηλεκτρικού πεδίου πρέπει να φέρουμε ένα δοκιμαστικό φορτίο απόσταση από το φορτίο της άσκησης, το οποίο πλέον θα το αποκαλούμε φορτίο πηγή, όπως φαίνεται και στο σχήμα. Επιπλέον στο σχήμα φαίνεται και η κατεύθυνση των δυναμικών γραμμών. σε Άρα θα έχουμε: E E 0 E 0 7 N / 80 0 6 0 80 80 6 4 8 0 0 4 8 0 6 Σ αυτές τις ασκήσεις δεν μας ενδιαφέρει το φορτίο του δοκιμαστικού φορτίου αφού έτσι κι αλλιώς δεν το χρησιμοποιήσαμε πουθενά τελικά στην άσκηση. Το χρησιμοποιούμε ουσιαστικά μόνο για να δηλώσουμε το σημείο που μελετάμε. Αγκανάκης Α. Παναγιώτης 0
Λυμένο Παράδειγμα 6 Τρία σημειακά φορτία Η πλευρά του τριγώνου είναι 6 βρίσκονται ακλόνητα στις κορυφές ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ. 4cm. Να υπολογίσετε: i. Το δυναμικό στο μέσο Μ της πλευράς ΒΓ ii. Να προσδιορίσετε τη θέση ενός σημείου Ζ της πλευράς ΑΒ όπου το δυναμικό από το φορτίο διπλάσιο από το δυναμικό από το φορτίο είναι Λύση N m Δίνεται ότι 0. Το σχήμα της άσκησης θα είναι το παρακάτω: Αρχικά το σημείο Ζ το έχουμε τοποθετήσει σε τυχαία θέση, μόνο για να μπορέσουμε να έχουμε μία οπτική άποψη της άσκησης. Κάνουμε τις απαραίτητες μετατροπές 6 60 και 0, 04m i) Το δυναμικό στο Μ θα είναι το αλγεβρικό άθροισμα των δυναμικών που δημιουργούν στο σημείο αυτό τα τρία φορτία, δηλαδή. Επομένως θα έχουμε: M M M M M BM M M Αγκανάκης Α. Παναγιώτης
Αγκανάκης Α. Παναγιώτης Πρέπει να υπολογίσουμε την πλευρά ΑΜ συναρτήσει του Α. Το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την ΑΒ άρα θα ισχύει: 4 4 MB AB MB AB Επομένως θα ισχύει: M M M 7 6 0 8.7 0.6 0.0 6 0.0 0 6 0 ii) Την απόσταση του Ζ από το Α την ονομάζουμε. Στο σημείο αυτό θα ισχύει: Άρα το Ζ βρίσκεται σε απόσταση α/ από το Α. Παρατηρούμε ότι όντως το Ζ είναι πιο κοντά στο Α. Αυτό είναι λογικό αν σκεφτεί κάποιος πως όσο πιο κοντά βρισκόμαστε στο φορτίο τόσο μεγαλύτερο είναι το δυναμικό.