ας γ γ ν[ασ] ου ατ κα

ε α να [ηπ] τ κ ς α κ ησ ε ε ς π λ σ υ ε ' ωετ ρ ας ν[ασ] ου ατ κα [ ] ε λ

[ ] ε λ 2

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ... 4 ΙΣΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΞΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ... 8 ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ... 15 ΟΜΟΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ... 18 M a [ ] ε λ 3

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1. 2. 3. 4. Καθειά από τις παρακάτω προτάσεις πορεί να είναι σωστή ή λάθος Να ράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες τις ωνίες τους ύο τρίωνα είναι ίσα αν δυο πλευρές του ενός είναι ίσες ε δυο πλευρές του άλλου ία προς ία και ία ωνία του ενός ίση ε ία ωνία του άλλου ύο τρίωνα είναι ίσα αν δυο ωνίες του ενός είναι ίσες ε δυο ωνίες του άλλου ία προς ία και ία πλευρά του ενός ίση ε ία πλευρά του άλλου Η διάεσος προς την βάση ενός ισοσκελούς τριώνου χωρίζει το τρίωνο σε δύο ίσα τρίωνα. Κάθε σηείο της διχοτόου ενός τριώνου ισαπέχει από δύο πλευρές του τριώνου. Στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε την σωστή απάντηση: εν υπάρχει τρίωνο που να έχει πλευρές ε ήκη την τριάδα Α.: 3cm, 3cm, 3cm. B.: 2 cm, 2 cm, 3cm. Γ.: 2cm, 3cm, 5cm..: 3cm, 4cm, 5cm. Κάθε σηείο που ισαπέχει από τις πλευρές ιας ωνίας ενός τριώνου θα βρίσκεται σίουρα πάνω σε Α.: διάεσο του τριώνου. B.: διχοτόο του τριώνου. Οι πλευρές ενός τριώνου έχουν ήκη φυσικούς αριθούς. Αν η εαλύτερη Γ.: ύψος του τριώνου..: πλευρά του τριώνου. πλευρά του είναι 5 cm τότε οι άλλες δυο πλευρές του πορεί να είναι Α.: 3cm, 2cm B.: 2 cm, 2 cm Γ.: 4cm, 3cm.: 3cm, 3cm [ ] ε λ Να κάνετε ένα παραλληλόραο ΑΒΓ. α) Να δείξετε ότι η διαώνιος ΑΓ χωρίζει το παραλληλόραο σε δύο ίσα τρίωνα β) Αν Ο το σηείο τοής των διαωνίων του παραλληλοράου να δείξετε ότι ΟΑ=ΟΓ και ΟΒ=Ο. ( Θυηθείτε ότι σε παράλληλες ευθείες οι εντός εναλλάξ ωνίες είναι ίσες). Να κάνετε ένα ισοσκελές τρίωνο ΑΒΓ ε ΑΒ = ΑΓ. Έστω Μ το έσο της ΒΓ. Από το Μ φέρνουε τα κάθετα ευθύραα τήατα Μ και ΜΕ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι Μ = ΜΕ. 4

5. Να κάνετε ένα τρίωνο ΑΒΓ ώστε ΑΒ<ΑΓ. Να προεκτείνετε την ΑΒ προς το Β και να πάρετε στην προέκτασή της σηείο ώστε Α = ΑΓ. Έστω Ε σηείο της ΑΓ ώστε ΑΕ = ΑΒ. Να ενώσετε τα σηεία και Ε και να δείξετε ότι Ε=ΒΓ. 6. 7. Να κάνετε ένα ισοσκελές τρίωνο ΑΒΓ ε ΑΒ = ΑΓ. Να προεκτείνετε την ΒΓ προς τα Β και Γ και να πάρετε σηεία και Ε αντίστοιχα ώστε Β = ΓΕ. Να δείξετε ότι το τρίωνο Α Ε είναι ισοσκελές. Να κάνετε ία ωνία χοψ. Στην πλευρά της Οχ να πάρετε δύο σηεία Α και Γ, (ΟΑ<ΟΓ). Στην πλευρά της Οψ να πάρετε δύο σηεία Β και ώστε ΟΒ = ΟΑ και Ο = ΟΓ. Αν Κ το σηείο που τένονται τα τήατα Α και ΒΓ τότε: α) Να δείξετε ότι τα τρίωνα ΟΑ και ΟΒΓ είναι ίσα. β) Να δείξετε ότι τα τρίωνα ΚΑΓ και ΚΒ είναι ίσα. ) Να δείξετε ότι τα τρίωνα ΟΚ και ΟΚΓ είναι ίσα. δ) Να δείξετε ότι η ΟΚ είναι διχοτόος της χοψ. [ ] ε λ 5

8. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Από το έσο Μ της υποτείνουσας ΒΓ ενός ορθοωνίου τριώνου ΑΒΓ φέρνουε τα κάθετα τήατα Μ και ΜΕ προς τις πλευρές του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. α)να δείξετε ότι τα τρίωνα Μ Β και ΜΕΓ είναι ίσα. ΑΓ β) Να δείξετε ότι Μ = και 2 ΑΒ ΜΕ = 2 9. 10. Να κάνετε ένα τρίωνο ΑΒΓ ώστε ΑΒ<ΑΓ. Να φέρεται την διάεσο ΑΜ και να την προεκτείνετε προς το Μ. Από τα σηεία Β και Γ να φέρετε τις καθέτους ΒΕ και ΓΖ πάνω στην διάεσο ΑΜ (προσοχή το Ζ θα είναι στην προέκταση της ΑΜ). Να δείξετε ότι ΒΕ = ΓΖ. [ ] ε λ Να κάνετε έναν κύκλο ε κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Να πάρετε δύο ίσες χορδές ΑΒ και ΑΓ, (όχι διαέτρους ). Να δείξετε ότι οι ωνίες ΟΑΒ και ΟΑΓ είναι ίσες. 6

11. Να κάνετε ένα ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ // Γ, ΑΒ<Γ ). Να φέρεται τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Να δείξετε ότι οι ωνίες και Γ είναι ίσες. β) Να δείξετε ότι οι διαώνιες ΑΓ και Β είναι ίσες. 12. α) Έχουε τέσσερα ίσα ορθοώνια τρίωνα στα οποία η ια κάθετη πλευρά τους είναι διπλάσια της άλλης. Να τοποθετήσετε το ένα δίπλα στο άλλο ε κατάλληλο τρόπο ώστε να προκύψει ένα τετράπλευρο. Τι είδους τετράπλευρο προκύπτει; Να κάνετε το σχήα. β) Να χωρίσετε ένα τετράωνο σε τέσσερα ίσα ορθοώνια τρίωνα M a. Να υπολοίσετε τις πλευρές των τριώνων αν νωρίζετε ότι η πλευρά του τετραώνου είναι 10 cm. Να κάνετε το σχήα. [ ] ε λ 7

ΙΣΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΞΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ 13. Στις παρακάτω προτάσεις πρέπει να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Οι προτάσεις στηρίζονται στην ιδιότητα της διαέσου ενός ορθοωνίου τριώνου προς την υποτείνουσά του, (είναι ίση ε το ισό της). ο Στο τραπέζιο ΑΒΓ είναι Αˆ = ˆ = 90 και ˆΒ = 60 ο. Αν Γ = 2x και ΒΓ = 8x, η διάεσος ΕΖ του τραπεζίου ισούται ε: α) 3x β) 4x ) 5x δ) 6x ε) 7x Στο τρίωνο ΑΒΓ είναι ˆ 0 ˆ 0 Α = 90 και Β = 35. Αν ΑΜ διάεσος του ΑΒΓ τότε η ωνία ΑΜΒ ισούται ε: α) 55 β) 70 ) 110 δ) 100 ε) 125 [ ] ε λ 8

Το τρίωνο ΑΒΓ είναι ορθοώνιο στο Α και το Α ύψος του. Αν Μ είναι έσο της ΑΒ και Ν έσο της ΑΓ τότε η περίετρος του τετραπλεύρου ΑΜ Ν ισούται ε: α) ΑΓ + ΒΓ β) ΑΒ + ΒΓ ) ΑΒ + ΑΓ δ) 2ΑΜ ε) ΑΒ + ΑΓ + ΒΓ Στο διπλανό σχήα το τρίωνο ΑΒΓ είναι σκαληνό. Το είναι τυχαίο σηείο της ΒΓ. Αν Ε ΑΒ, Ζ ΑΓ και Μ έσο της Α, τότε το πλήθος των ισοσκελών τριώνων που ορίζονται από τα πέντε σηεία Α, Ε,, Ζ, Μ είναι: α) 2 β) 3 ) 4 δ) 5 ε) 6 [ ] ε λ 9

14. 15. Σε τρίωνο ΑΒΓ φέρνουε το ύψος ΑΗ. Αν, Ε, Ζ είναι τα έσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι το ΕΖΗ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Λύση: (Γράψτε τις παρακάτω προτάσεις στη σωστή σειρά ώστε να προκύψει η λύση του προβλήατος). Άρα αποένει να αποδείξουε ακόη ότι ΕΖ = Η ΑΒ Όως είναι και Η =, ιατί Η 2 είναι διάεσος του ορθοωνίου ΑΗΒ και ισούται ε το ισό της υποτείνουσας Άρα έχουε ΖΕ = Η Το τήα ΕΖ συνδέει τα έσα των ΑΒ ΑΓ και ΓΒ και είναι ΕΖ = 2 Επειδή το Ε συνδέει τα έσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ, θα είναι Ε // ΒΓ και το ΕΖΗ θα είναι τραπέζιο Οι ωνίες Β και τετραπλεύρου ΑΒΓ είναι ορθές. Αν Κ και Λ είναι τα έσα των διαωνίων ΑΓ και Β, να δείξετε ότι ΚΛ Λύση: (Γράψτε τις παρακάτω προτάσεις στη σωστή σειρά ώστε να προκύψει η λύση του προβλήατος). Ενώνουε το Κ ε τα Β και ΑΓ Όοια Κ = 2 Επειδή ΒΚ ισοσκελές και ΚΛ διάεσος Το ΑΒΓ είναι ορθοώνιο και επειδή ΚΑ=ΚΓ θα είναι ΑΓ ΚΒ = 2 Β [ ] ε λ 10

16. Να κάνετε ένα τρίωνο ΑΒΓ. Αν Κ, Λ, Μ τα έσα των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ αντίστοιχα, να δείξετε ότι τα 4 τρίωνα ΑΚΜ, ΒΚΛ, ΓΛΜ, ΚΛΜ είναι ίσα. 17. Να κάνετε ένα ισοσκελές τρίωνο ΑΒΓ. Αν Κ, Λ, Μ τα έσα των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ αντίστοιχα, να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΚΛΜ έχει όλες τις πλευρές του ίσες, (ρόβος). [ ] ε λ 18. Να κάνετε ένα τρίωνο ΑΒΓ και να πάρετε ένα τυχαίο σηείο στην ΒΓ. Αν Κ, Λ τα έσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα να δείξετε ότι η ΚΛ θα περάσει από το έσο της Α. 11

19. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να κάνετε ένα τρίωνο ΑΒΓ και να φέρετε τα ύψη του Β και ΓΕ. Αν Μ το έσο της ΒΓ να δείξετε ότι Μ = ΜΕ.(Υπόδειξη: Στα ορθοώνια τρίωνα Β Γ και ΓΕΒ τα τήατα Μ και ΜΕ είναι ) 20. Να κάνετε ένα τετράπλευρο ΑΒΓ στο οποίο οι διαώνιοί του ΑΓ και Β είναι κάθετες. Αν Κ, Λ, Μ, Ν τα έσα των ΑΒ, ΒΓ, Γ, Α αντίστοιχα να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΛΜΝ είναι ορθοώνιο. [ ] ε λ 12

21. 22. Να κάνετε ένα τραπέζιο ΑΒΓ ε ΑΒ// Γ και ΑΒ>Γ. Έστω Ε, Ζ τα έσα των πλευρών του Α και ΒΓ αντίστοιχα. Να ενώσετε το ε το Ζ και να το προεκτείνετε. Η προέκτασή του τένει την προέκταση της ΑΒ στο Η. α) Να δείξετε ότι τα τρίωνα ΓΖ και ΒΖΗ είναι ίσα. β) Να δείξετε ότι το τήα ΕΖ είναι παράλληλο στην ΑΗ και ίσο ε το ισό της. ) Να δείξετε ότι ( ΑΒ + Γ) ΕΖ = 2 Να κάνετε ένα ορθοώνιο τρίωνο ΑΒΓ (Α = 90 0 ) και να φέρετε το ύψος του Α. Έστω Κ και Λ τα έσα των καθέτων πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. α) Να δείξετε ότι τα τρίωνα ΑΚ και ΑΛ είναι ισοσκελή. β) Να δείξετε ότι η ωνία Κ Λ είναι ορθή. [ ] ε λ 13

23. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να κάνετε ένα τρίωνο ΑΒΓ. Έστω τα σηεία, Ε, Ζ της ΑΒ ια τα οποία ισχύει ότι Α = Ε = ΕΖ = ΖΓ. Από τα σηεία, Ε, Ζ να φέρετε τρεις παράλληλες προς την ΒΓ οι οποίες τένουν την ΑΓ στα Κ, Λ, Μ. Να δείξετε ότι τα τήατα ΑΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΓ είναι ίσα. [ ] ε λ 14

ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 24. 25. Να συπληρώσετε τις παρακάτω ιδιότητες των αναλοιών: Αν α = χ τότε αψ =. (χιαστί) β ψ Αν α χ α... β... ψ... = τότε =, =, = β ψ χ... α... β... Αν α χ α+ β... α β... = τότε =, = β ψ β ψ β ψ Αν α χ α χ α χ = τότε =, = β ψ α β... α+ β... Αν α = χ = τότε α = χ = =... β ψ δ β ψ δ... Αν χ = ψ τότε χ =.. και ψ = α β Στο παρακάτω σχήα ε την βοήθεια του θεωρήατος του Θαλή να υπολοίσετε τους ανώστους χ, ψ, όταν ΚΜ//ΑΓ και ΚΛ//ΒΓ. [ ] ε λ 15

26. 27. Στο διπλανό σχήα η Α είναι διχοτόος της ωνίας Α του τριώνου ΑΒΓ και η ΒΕ είναι παράλληλη προς την διχοτόο Α. α) Να δείξετε ότι το τρίωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές ε ΑΒ = ΑΕ. β) Να δείξετε την αναλοία Β ΑΒ = Γ ΑΓ ) Με την βοήθεια της ιδιότητας των αναλοιών :Αν α χ β = ψ τότε α + β χ + = ψ, β ψ να υπολοίσετε τα ήκη των Β και Γ αν νωρίζετε ότι ΑΒ = 4cm, ΑΓ = 6cm, ΒΓ = 5cm Στο διπλανό σχήα ισχύουν ΒΖ // ΚΛ // ΜΝ //ΕΓ ΑΛ = Ν = 3cm. AB = 5cm. ΖΚ = ΜΕ = 4 cm. KM = 7cm. Να υπολοίσετε το εβαδόν του ορθοωνίου ΑΒΓ [ ] ε λ 16

28. Να σχεδιάσετε ένα τρίωνο ΑΒΓ. Να πάρετε ένα σηείο στην ΑΒ ώστε 1 Α = ΑΒ. Από το να φέρετε ια 3 παράλληλη προς την ΒΓ η οποία τένει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε να φέρετε ια παράλληλη προς την ΑΒ η οποία τένει την ΒΓ στο Ζ. α) Να δείξετε ότι 1 1 ΑΕ = ΑΓ και ΒΖ = ΓΒ 3 3 β) Αν η περίετρος του ΑΒΓ είναι 30 cm να υπολοίσετε τις περιέτρους των τριώνων Α Ε, ΓΕΖ. 29. 30. M a Έστω Ο το σηείο τοής των διαωνίων ενός τραπεζίου ΑΒΓ ε ΑΒ//Γ. Να αποδείξετε ότι ΟΑ.Ο = ΟΓ.ΟΒ Στο διπλανό σχήα ισχύουν Γ // ΑΒ ΟΕ //Α ΟΖ //ΒΓ Να δείξετε ότι ΑΕ = ΒΖ [ ] ε λ 17

ΟΜΟΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ 31. Στις παρακάτω προτάσεις πρέπει να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Στο σχήα τα τρίωνα ΑΒ, ΒΓ είναι όοια. Αν Α = 4, Γ = 9, τότε η Β είναι: α) 5 β) 6 ) 5 3 δ) 8 ε) 8 + 3 Στο ορθοώνιο τρίωνο ΑΒΓ (Α = 90 ), Ε ΒΓ. Αν ΑΒ = 6, ΑΓ = 8 και Ε = 4, τότε το ΕΓ ισούται ε: α) 16 3 β) 20 3 ) 5 δ) 6 ε) 19 4 [ ] ε λ Ένα τρίωνο ΑΒΓ έχει πλευρές ε ήκη 12 cm, 8 cm και 6 cm. Το τρίωνο που έχει κορυφές τα έσα των πλευρών του ΑΒΓ έχει περίετρο ίση ε: α) 20 cm β) 18 cm ) 14 cm δ) 13 cm ε) 10 cm 18

32. ίνονται οι προτάσεις: α) ύο ισόπλευρα τρίωνα είναι όοια. β) ύο ισοσκελή τρίωνα είναι όοια. ) ύο ορθοώνια και ισοσκελή τρίωνα είναι όοια. δ) ύο παραλληλόραα ε ια ωνία ίση είναι όοια. Ποιες από τις παραπάνω προτάσεις είναι αληθείς; Α. όλες Β. η (α) και η (β) Γ. η (δ). η (α) και η () Ε. η (β) [ ] ε λ 19

33. Η τιή του x που εφανίζεται σε κάθε περίπτωση της στήλης (Α), ια κάθε σχήα, δίνεται ε αριθό στη στήλη (Β). Να συνδέσετε ε ραές τα αντίστοιχα σχήατα ε τους αντίστοιχους αριθούς. ΣΤΗΛΗ (Α) σχήα ΣΤΗΛΗ (Β) αριθός 1 1,5 [ ] ε λ 2 3 4 4,5 20

34. Κάθε τρίωνο της πρώτης στήλης είναι όοιο ε ένα τρίωνο της δεύτερης στήλης. Συνδέστε ε ία ραή τα όοια τρίωνα: ΣΤΗΛΗ (Α) ΣΤΗΛΗ (Β) [ ] ε λ 21

35. Στο σχήα το τρίωνο ΑΒΓ είναι ορθοώνιο στο Α και Α ύψος του. Α. Να βρείτε ια ωνία ίση ε τη θ Β. Να βρείτε ια ωνία ίση ε τη χ Γ. Να συπληρώσετε τα παρακάτω: α) Το τρίωνο ΑΒ είναι όοιο ε το...α... β) Το τρίωνο ΑΒΓ είναι όοιο ε το...β... ) Το τρίωνο Α Γ είναι όοιο ε το...γ.... Χρησιοποιώντας τις προηούενες απαντήσεις, συπληρώστε τις αναλοίες: ΑΒ = = Β, Γ ΑΓ Α = =, = = Β ΒΑ ΒΓ ΑΓ [ ] ε λ 22

36. Για καθειά απ τις τρεις περιπτώσεις, οοίων τριώνων, να συπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: χ ψ (α) (β) () [ ] ε λ 23

37. Σ ένα τρίωνο ΑΒΓ φέρνουε το ύψος του Β. Έστω Μ,Κ τα έσα των ΒΓ και ΒΑ αντίστοιχα. α) είξτε ότι τα τρίωνα ΑΒΓ και Κ Μ είναι όοια και βρείτε το λόο οοιότητάς τους. β) Γράψτε τις ισότητες των ωνιών των δύο τριώνων που προκύπτουν από την οοιότητά τους. 38. 39. ίνεται ορθοώνιο τρίωνο ΑΒΓ ε Â=90ο και Α το ύψος του προς την υποτείνουσά του. α) είξτε ότι τα τρίωνα Α Γ και Α Β είναι όοια. β) Αν Β = 4 cm, Γ = 9 cm τότε το ύψος του τριώνου Α θα είναι: M a ) Αν Β = 2cm και Α = 4cm υπολοίστε τις πλευρές του τριώνου ΑΒΓ. 1.) 36cm 2.) 6cm 3.) 18cm 4.) 8cm Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. α) Απαντήστε ράφοντας Σ αν είναι σωστή και Λ αν είναι λάθος κάθε ια από τις παρακάτω προτάσεις: ύο ίσα τρίωνα είναι πάντοτε όοια.. ύο όοια τρίωνα είναι πάντοτε ίσα.. Ο λόος των εβαδών δύο όοιων κ. πολυώνων α [ είναι ] ίσος ε ε το τετράωνο του λόου των περιέτρων τους.. λ Το ύψος ενός ορθοωνίου τριώνου χωρίζει το τρίωνο σε δύο όοια τρίωνα.. β) Ποια από τα παρακάτω επίπεδα σχήατα είναι πάντοτε όοια; Γράψτε, εφ όσον είναι όοια, το λόο οοιότητάς τους. Ορθοώνια Κύκλοι Ισόπλευρα τρίωνα Παραλληλόραα Κανονικά πολύωνα ) Σ ένα τρίωνο ΑΒΓ Κ, Λ, Μ είναι τα έσα των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ αντίστοιχα. είξτε ότι τα τρίωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ είναι όοια και να βρείτε το εβαδό του ΚΛΜ αν το εβαδό του ΑΒΓ είναι 20 cm2 24

[ ] ε λ 25