Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Transcript

1 Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: = Άσκηση η (5 + 3y) 5 ( y) = Να λυθεί το σύστημα: 4 3y = 5 8y + 1 Στο διπλανό σχήμα ισχύουν ΑΒ = ΑΕ, ΑΕ = ΑΒ και ΑΒ = 6cm, Α = 10cm, Β = 1cm, Α = 4cm. α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΕ είναι όμοια. β. Να γραφούν οι ίσοι λόγοι των αντίστοιχων πλευρών. γ. Να υπολογιστούν τα ΑΕ και Ε.

2 Α. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας ω με 0 ω 180. Β. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύουν: α. ημ ω + συν ω = 1 β. εφω = ημω συνω Θέμα ο Α. Ποια είναι η γενική μορφή μιας εξίσωσης ου βαθμού με έναν άγνωστο; Β. Ποια παράσταση ονομάζουμε διακρίνουσα;. Να αντιστοιχίσετε τα ερωτήματα της στήλης (Α) με τις απαντήσεις της στήλης (Β) στον παρακάτω πίνακα γνωρίζοντας ότι αναφέρονται σε εξίσωση ου βαθμού: Στήλη Α ιακρίνουσα Α. > 0 Β. < 0. = 0 Στήλη Β Λύσεις εξίσωσης α. ιπλή λύση β. Αόριστη γ. Αδύνατη δ. ύο λύσεις άνισες Μία απάντηση της στήλης (Β) περισσεύει. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ = Α) και ένα σημείο Ο στο εσωτερικό του τριγώνου τέτοιο ώστε να ισχύει ΟΒ = Ο. Να αποδειχθούν ότι: Α. ΟΒ = ΟΒ Β. ΑΒΟ = ΑΟ. Τα τρίγωνα ΑΒΟ και ΑΟ είναι ίσα μεταξύ τους. Άσκηση η Να λυθεί η εξίσωση: = 0 Να λυθεί το σύστημα: ( + 1) + (y ) = ( 3) + (y + 1) + y = 1

3 Να αποδείξετε τις αξιοσημείωτες ταυτότητες: (α β) = α αβ + β (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 Θέμα ο Να αποδείξετε ότι: ημ ω + συν ω = 1 (Να γίνει σχήμα) 1 Να γίνουν οι πράξεις: α β Άσκηση η 1 + α + αβ 1 α αβ Να λυθεί το σύστημα: 3 y = y 3 = 4 6 Στο διπλανό σχήμα (σκαρίφημα) να 3 βρεθεί το αν είναι γνωστό ότι ισχύει Ε // Β. +1

4 Α. Τι λέγεται μονώνυμο και από τι αποτελείται; ώστε ένα παράδειγμα μονωνύμου στο οποίο και να αναφέρετε από τι αποτελείται. Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια; ώστε ένα παράδειγμα.. Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς λ, μ ώστε η αλγεβρική παράσταση Θέμα ο λ y μ +3 y να είναι μονώνυμο. Α. Τι ονομάζεται ταυτότητα; Β. Να αποδείξετε την ταυτότητα (α β) = α αβ + β. Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες: (α + β)(α β) = (α β) 3 = α 3 + β 3 = ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ = Α) και η διχοτόμος του Α. Έστω Μ τυχαίο σημείο της Α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΜΒ είναι ισοσκελές. Άσκηση η Α. Αν 1< α < και 1< β < 5, να συμπληρώσετε τα κενά...< 3α <,.. < β <,..< 3α β < (Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας). Β. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: + 5 < και +1 > + 3 Να εξετάσετε αν έχουν κοινή λύση οι εξισώσεις: = 0 και = 4.

5 Α. Να διατυπώσετε το θεώρημα που αναφέρεται σε ίσα τμήματα μεταξύ παράλληλων ευθειών. Β. Να αποδείξετε ότι αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του, τότε αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του.. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας δύο ορθογωνίων τριγώνων. Θέμα ο Α. Να αποδείξετε τη σχέση ημ ω + συν ω = 1 (να γίνει σχήμα). Β. Ο τύπος εφω = ημω ισχύει για τις γωνίες των 0, 90 και 180 ; Να δικαιολογήσετε την συνω απάντησή σας.. Να γράψετε τους τύπους που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς δύο παραπληρωματικών γωνιών. Α. Να απλοποιήσετε τα κλάσματα: Α = και Β = 8 και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση Α Β =1. Άσκηση η Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( Α = 90 ) φέρ- νουμε το ύψος ΑΚ προς την υποτείνουσα. Από το Κ Κ φέρνουμε την ΚΛ κάθετη στην ΑΒ. Να αποδείξετε: Α. ότι τα τρίγωνα ΑΚ, ΑΚΛ είναι όμοια και Β. ότι ΑΚ = Α ΚΛ. Λ Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α + β + 3 διέρχεται από τα σημεία 1 7 Α(, 5) και Β,. Να βρείτε τα α, β και στη συνέχεια για α = 1 και β = να 4 βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της παραπάνω συνάρτησης με τους άξονες και y y (υπολογιστικά).

6 Α. Να δώσετε τον ορισμό της ταυτότητας. Β. Να συμπληρώσετε και στη συνέχεια να αποδείξετε την ταυτότητα: (α + β) 3 =... Να χαρακτηρίσετε σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ) τις παρακάτω σχέσεις: α. (α β) = (β α) β. ( α β) = (α + β) γ. α β = (α + β)(β α) Θέμα ο Α. Με τη βοήθεια κατάλληλου σχήματος να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας αμβλείας γωνίας ω. Β. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ημ180 =.. συν(180 ω) = εφ90 =... Να χαρακτηρίσετε σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ) τις σχέσεις: α. ημ ω = 1 + συν ω β. αν ω = 110 τότε συνω >0 Α. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α = ( ) και Β = 8 Β. Να λύσετε την εξίσωση: Β Α = 0 Άσκηση η ίνεται το πολυώνυμο 3 + α + β 6. Να βρείτε τα α, β αν η αριθμητική τιμή του για = 1είναι 0 και για = 3 είναι Στο διπλανό σχήμα είναι Ε // Β. Α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΒ είναι όμοια. 6 Β. Να υπολογίσετε το μήκος.

7 Α. ια κάθε πραγματικό αριθμό α και β να δείξετε ότι: (α β) = α αβ + β Β. Να συμπληρώσετε τα αναπτύγματα των ταυτοτήτων: (α + β) =. (α β) 3 = (α β)(α + αβ + β ) = Θέμα ο Α. Στο διπλανό σχήμα δίνεται σημείο Μ(, y) y τέτοιο ώστε να είναι OM = ωκαι ΟΜ = ρ. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθ- M(, y) ρ ω μούς της γωνίας ω συναρτήσει των συντεταγμένων του σημείου Μ και να γρά- y ψετε τη σχέση του ρ με τις συντεταγμένες του σημείου Μ. Β. Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία ω ισχύει η ισότητα: ημ ω + συν ω = 1 Να λύσετε την εξίσωση: 3 + Άσκηση η = Να λύσετε το σύστημα: (y +1) 1 = y + 8 = ( y) Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ το σημείο Μ είναι μέσο της βάσης Β. Αν είναι Β = Ε, να αποδείξετε ότι: Α. το τρίγωνο ΜΕ είναι ισοσκελές Β. τα τρίγωνα ΑΜ και ΑΕΜ είναι ίσα. M

8 Α. Να αποδείξετε ότι: (α + β) = α + αβ + β Β. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της 1 ης στήλης με τα στοιχεία της ης : 1 η Στήλη η Στήλη 1. (α + β). (α β) 3. (α + β) 3 4. α β 5. (α β) 3 Α. α αβ + β Β. (α β)(α + β). α 3 3 α β + 3αβ β 3. α + αβ + β Ε. α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Θαλή. Β. Να γίνει σχήμα και να γραφτούν οι αντίστοιχες σχέσεις. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ του διπλανού σχήματος το σημείο Μ είναι μέσο της βάσης Β. Αν είναι Β = Ε να αποδείξετε ότι Μ = ΜΕ. Άσκηση η M Να λύσετε την εξίσωση: = ( +1) 9 y = 6 Να λύσετε το σύστημα: 3 y = 14 4

9 Α. Τι είναι μονώνυμο, ποια τα μέρη του και πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια; Να δώσετε παράδειγμα. Β. Να βρεθεί και να αποδειχθεί το ανάπτυγμα στις παρακάτω δύο ταυτότητες: Θέμα ο (α + β) και (α + β) 3 Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνου καθώς και τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. ( 1) + 3y = 3 Να λυθεί το σύστημα: 3 5(y 1) = 6 Άσκηση η Α. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α. + β. 3 6 γ. Β. Να λύσετε την εξίσωση: = 3 6 Σε τρίγωνο ΑΒ φέρνουμε τo τμήμα Ε παράλληλο στη Β. Αν είναι ΑΕ =, Α = 30, Β = 18 και Ε = 4 να υπολογίσετε τα ευθύγραμμα τμήματα Α και Ε

10 Α. Να διατυπώσετε το νόμο των Ημιτόνων, Συνημιτόνων σε ένα τρίγωνο. Β. Σε τρίγωνο ΕΖ να εκφράσετε την πλευρά ΕΖ με το νόμο των Συνημιτόνων και μετά να επιλύσετε τον παραπάνω τύπο ως προς το συνημίτονο της γωνίας. Θέμα ο ίνεται η εξίσωση α + β + γ = 0 με α 0 Α. Να γράψετε τους τύπους που μας δίνουν τη ιακρίνουσα και τις λύσεις της εξίσωσης. Β. ια τις διάφορες τιμές της ιακρίνουσας να διακρίνετε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης. Στο παρακάτω σχήμα είναι: ΑΒ = 3, Α = 3+, Α = 60, = 30 και Β = Α. Να αποδείξετε ότι Β = 3 Β. Να υπολογίσετε τη Β. Άσκηση η ίνονται οι παραστάσεις: Α = 4 = = Α. Να παραγοντοποιηθούν οι παραπάνω παραστάσεις. 30 Β. Να λυθεί η εξίσωση: 1 Α + 1 Β + 1 = 0 Σε τρίγωνο ΑΒ φέρνουμε τη διχοτόμο Α της γωνίας Α και από την κορυφή Β φέρνουμε τη ΒΚ κάθετο στη διχοτόμο Α η οποία τέμνει την Α στο Ε. Α. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΕ είναι K ισοσκελές. Β. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΒΕ είναι ισοσκελές.