οποίο ανήκει και π ο γνωστός αριθµός.

Transcript

1 1 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙ Μήκος τόξου : Το ήκος ενός τόξου ο δίνεται από τον τύπο = πρ όπου ρ η ακτίνα του κύκλου στον οποίο ανήκει και π ο γνωστός αριθός.. Το ακτίνιο (rad): Ονοάζουε τόξο ενός ακτινίου (rad) το τόξο του οποίου το ήκος είναι ίσο ε την ακτίνα του κύκλου στον οποίο το τόξο ανήκει Μήκος τόξου α rad : Το ήκος ενός τόξου α ακτινίων είναι ίσο ε = αρ όπου ρ η ακτίνα του κύκλου στον οποίο βρίσκεται το τόξο. Σχέση οιρών ακτινίων : 180 = α, όπου το έτρο ενός τόξου σε οίρες π και α το έτρο του ίδιου τόξου σε ακτίνια ΣΧΟΛΙ Μετατροπή οιρών σε rad : Χρησιοποιούε το της θεωρίας βάζοντας όπου το δοθέν έτρο σε οίρες και λύνουε ως προς α Συνήθως το π το αφήνουε π και δεν το αντικαθιστούε ε το 3,1. Μετατροπή rad σε οίρες : ν γνωρίζουε το έτρο ενός τόξου σε rad ως συνάρτηση του π, για να το βρούε σε οίρες βάζουε όπου π το 180 και κάνουε πράξεις, ή αλλιώς στη θέση του α στο () της θεωρίας βάζουε το δοθέν έτρο και λύνουε ως προς Ειδικά τόξα : Ο κύκλος είναι τόξο ο ή π rαd Το ηικύκλιο είναι τόξο 180 ο ή π rαd Το τεταρτοκύκλιο είναι τόξο 90 ο ή π rαd

2 ΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε το ήκος ενός τόξου το οποίο αντιστοιχεί στην πλευρά ενός κανονικού δεκαγώνου εγγεγραένου σε κύκλο ακτίνας ρ = 8. Θεωρία ο 1 Η κεντρική γωνία ω του κανονικού δεκαγώνου είναι ίση ε ω = 10 = 36ο Εποένως το τόξο που αντιστοιχεί στην πλευρά του δεκαγώνου έχει έτρο = 36 ο Το ήκος του είναι ίσο ε = πρ 36 = 3,1 8 = 5,0. Σε ένα κύκλο, ένα τόξο 6 ο έχει ήκος 1,56 cm. Να βρεθεί το ήκος του κύκλου στον οποίο ανήκει. = πρ 6 άρα 1,56 = 3,1 ρ οπότε ρ = 10cm Το ήκος L του κύκλου είναι ίσο ε L = πρ = 3,1 10 = 753,6 cm Ένας κύκλος έχει ήκος 18π. Να βρείτε το έτρο της επίκεντρης γωνίας που βαίνει σε τόξο ήκους 6π. L = 18π οπότε πρ = 18π συνεπώς ρ = 9 = πρ άρα 6π = π 9 απ όπου προκύπτει ότι = 10ο. Να βρείτε την περίετρο της πόρτας του διπλανού σχήατος. Η ακτίνα ρ του ηικυκλίου του πάνω έρους της πόρτας είναι ίση ε ρ =,6,1 = 0,5 m. Οπότε το ήκος του ηικυκλίου είναι ίσο ε πρ = πρ = = 3,1 0,5 = = 1,57 m Η περίετρος της πόρτας είναι ίση ε :,1 + 1,57 +,1 + 0,5 = 6,77m,6m,1m

3 3 5. Να συπληρώσετε τον πίνακα π 3π π 3π π π π Τόξο σε rad Τόξο σε οίρες 10 ο 135 ο,5 ο 70 ο 30 ο 5 ο 60 ο ο π 3 rad = 180 = 10 ο ο 3π 3 rad = = 135 ο ο π 8 rad = 180 =,5 ο ο 3π 8 rad = = 70 ο πό τον τύπο 180 = α π, για = 30ο βρίσκουε = 5 ο βρίσκουε α = π rad = 60 ο βρίσκουε α = π 3 rad Συπληρωένος ο πίνακας φαίνεται παραπάνω Σχόλια 1- Θεωρία = α π οπότε α = π 6 rad 6. Σε κύκλο ακτίνας ρ = cm, ένα τόξο έχει ήκος 1,56cm. Να βρείτε το έτρο του τόξου σε οίρες και rad. = πρ οπότε 1,56 = 3,1 πό τον τύπο 180 = α π, για = 36ο βρίσκουε απ όπου βρίσκουε ότι = 36ο = α π οπότε α = π 5 rad 7. Σε ία ευθεία να πάρετε τα διαδοχικά σηεία, Β και Γ. Να γράψετε τα ηικύκλια διαέτρων, και Γ, να αποδείξετε ότι το άθροισα των ηκών των ηικυκλίων ε διαέτρους τα και είναι ίσο ε το ήκος του ηικυκλίου ε διάετρο το Γ. Το ηικύκλιο διαέτρου έχει ήκος = π Το ηικύκλιο διαέτρου έχει ήκος = π Το άθροισα των ηκών των δύο ηικυκλίων είναι + = π + π Όως π Γ = π + π = π( + ) 180 = π = π Γ είναι το ήκος του ηικυκλίου ε διάετρο το Γ.

4 Άρα πράγατι + = Γ 8. Στο διπλανό σχήα, η ακτίνα του κύκλου είναι 1 cm. Να βρείτε το ήκος του τόξου Η εγγεγραένη γωνία Βείναι 8 ο, οπότε το αντίστοιχό της τόξο Γ είναι Γ = 56 ο Με το ίδιο σκεπτικό είναι και = 8 ο Οπότε = ο 56 ο 8 ο = 0 ο Άρα = πρ 0 = 3,1 1 = 6,05 cm περίπου Γ ο 8 ο Β 9. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ε = Γ = cm και τη γωνία της κορυφής του να είναι διπλάσια από κάθε ία των προσκείενων στην βάση του γωνιών. Φέρνουε το ύψος. Με κέντρο το και ακτίνα γράφουε τόξο που τένει την στο Ε και την Γ στο Ζ. Να βρείτε το ήκος της γραής ΕΒ ΓΖ Ε. ν x είναι κάθε ία από τις προσκείενες στη βάση γωνίες, τότε η γωνία της κορυφής είναι = x. Όως x + x + x = 180 ο απ όπου x = 5 o Εποένως = 90 ο Ε Ζ πό το Πυθαγόρειο θεώρηα στο ορθογώνιο τρίγωνο Β έχουε ότι = + Γ = + = 8 οπότε = 8 Στο ισοσκελές τρίγωνο το ύψος που αντιστοιχεί στην βάση είναι και διάεσος δηλαδή Β = 8 =. Και επειδή Β = 5 ο θα είναι και Β = 5 ο, πράγα που σηαίνει ότι = Β = 8 Κάθε ένα από τα τήατα ΕΒ και ΓΖ είναι ίσο ε 8 και το ήκος του τόξου Ε Ζ 8 είναι ίσο ε = 3,1 Οπότε το ήκος της γραής ΕΒ ΓΖ Ε είναι ίσο ε : ΕΒ + + ΓΖ + Ε Ζ = ,1 8 = = + 3,1 8 cm 90 = 3,1 8 Γ

5 5 10. Στο διπλανό σχήα να βρείτε το έτρο της επίκεντρης γωνίας ω, αν το ήκος του τόξου είναι 3cm και το ήκος του κύκλου είναι 9 cm. L = πρ άρα 9 = πρ = πρ οπότε 3 = 9 απ όπου βρίσκουε ότι = 10ο Εποένως ω = 10 ο Ο ω Β