ΜΑ 1 Μ.2 Ν ΟΙ ΠΑΡ ΓΩΓΟΙ fx ΚΑΙ fy ΥΠ ΡΧΟΥΝ ΚΑΙ ε ΝΑΙ ΙΑφΟΡ ΣΙΜε Σε Κ ΠΟΙΑ ΠεΡΙΟΧ ΤΟΥ a, b Τ Τε ΝΑ ΑΠΟ ειχθε ΤΙ fxy fyx. Α εξετ ΣεΤε ΑΝ fxy fyx ΣΤΟ 0, 0 ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ f x, y xy x2 y 2 ΓΙΑ x, y 0, 0 ΚΑΙ f 0, 0 0. x 2 y2 Π ειξη ε ΡΗΜΑ 2 ΣεΛ Α 228 ΙΒΛ Ο L. Brand ΤΟΥΜε φ x f x, b k f x, b ΚΑΙ ΧΟΥΜε F h, k φ a h φ a hφ' a hθ, 0 Θ 1 ΑΠ ΤΟ ε ΡΗΜΑ ΤΗ Μ ΣΗ ΤΙΜ ΡΑ F h, k h fx a Θh, b k fx a Θh, b h fx a Θh, b k fx a, b h fx a Θh, b f a, b επει Η fx ΚΑΙ fy ε ΝΑΙ ΙΑφΟΡ ΣΙΜε ΣΤΟ a, b ΧΟΥΜε fx a Θh, b k fx a, b Θhfxx a, b kfxy a, b n1hθ n2k fx a Θh, b f a, b Θhfxx a, b n3θh ΓΙΑ ΛΑ ΤΑ n1, n2, n3 0 ΚΑΘ h, k 0. ΡΑ F h, k h kfxy a, b n1hθ n2k n3θh ΓΙΑ k h ΒΡ ΣΚΟΥΜε Lim h0 F h, h h 2 ΠΑΝΑΛΑΜΒ ΝΟΥΜε ΤΙ Ρ ΣΚΟΥΜε Lim h0 f h, h h 2 Lim fxy a, b n1 n3 Θ n2 fxy a, b h0 fyx a, b Ιε ΣΧ ΣεΙ Θ ΤΟΝΤΑ Ψ y f a h, y f a, b ΡΑ fxy a, b fyx a, b ΚΑΙ ΤΟ Θε ΡΗΜΑ ΑΠΟ ε ΧΘΗΚε ΙΑ ΤΟ ε ΤεΡΟ Μ ΛΟ ΤΟΥ Θ ΜΑΤΟ ΤΑ Ο ΡΙΑ ε ΝΑΙ ΙΑφΟΡεΤΙΚ ΠΡ ΓΜΑΤΙ fx 0, y Lim h0 fxy 0, 0 Lim k0 ΛΛ ΜΩ fy x, 0 Lim k0 fyx 0, 0 Lim h0 ΡΑ f h, y f 0, y h fx 0, k fx 0, 0 k f x, k f x, 0 k fy h, 0 fy 0, 0 h fyx 0, 0 fxy 0, 0 Lim h0 Lim k0 Lim k0 Lim h0 hy h2 y 2 h 2 y 2 h k k kx x2 k 2 x 2 k 2 k h h 1 1 y x
2 lpa3.nb ΜΑ 2 Μ. 1.5 Α ΑΠΟ ειξετε ΤΙ ΤΟ Ι ΝΥΣΜΑ f r ε ΝΑΙ Κ ΘεΤΟ ΣΤΗΝ επιφ ΝεΙΑ f r c. NΑ ΒΡε Τε ΤΟ ΜΟΝΑ ΙΑ Ο Κ ΘεΤΟ Ι ΝΥΣΜΑ ΣΤΗΝ επιφ ΝεΙΑ x 2 y 2 x z 4 ΣΤΟ ΣΗΜε Ο P 2, 2, 3. Π ειξη ΙΑφΟΡ ΖΟΥΜε ΤΗΝ ΣΧ ΣΗ f r c ΚΑΙ ΒΡ ΣΚΟΥΜε 0 df x, y, z f f f dx dy x y z dz f r d r 0 f x, f y, f z dx, dy, dz Ο Ι ΝΥΣΜΑ ΜΩ d r ε ΝΑΙ εφαπτομενικ ΤΗ επιφ ΝεΙΑ ΡΑ ΤΟ f r ε ΝΑΙ Κ ΘεΤΟ ΣΤΗΝ επιφ ΝεΙΑ Ο ΜΟΝΑ ΙΑ Ο Κ ΘεΤΟ Ι ΝΥΣΜΑ ε ΝΑΙ ΤΟ f r f r. Ρ ΣΚΟΥΜε ΤΟ f r ΣΤΟ ΟΣΜ ΝΟ ΣΗΜε Ο fx_, y_, z_ x 2 y 2 x z 4 ttt ReplaceAll Dfx, y, z, x, Dfx, y, z, y, Dfx, y, z, z, x 2, y 2, z 3 2, 4, 4 Ο Μ ΚΟ ΤΟΥ ΙΑΝ ΣΜΑΤΟ ε ΝΑΙ 2 2 4 2 4 2 6 ttt 6 1 3, 2 3, 2 3 Normalize2, 4, 4 1 3, 2 3, 2 3 1 3, 2 3, 2 3 ε ΝΑΙ ΤΟ ΖΗΤΟ ΜεΝΟ Ι ΝΥΣΜΑ ΜΑ 3 Μ.1 Α ΜεΛεΤΗΘε Η ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ f x, y a x 2 b y 2 Ω ΠΡΟ ΤΑ ΑΚΡ ΤΑΤΑ ΓΙΑ ΤΙ Ι φορε ΤΙΜ ΤΩΝ a ΚΑΙ b. ΣΗ fx_, y_ a x 2 b y 2 a x 2 b y 2 Α ΠΙΘΑΝ ΑΚΡ ΤΑΤΑ ε ΝΑΙ ΟΙ Λ ΣεΙ ΤΩΝ εξισ ΣεΩΝ
lpa3.nb 3 fxx, y 0 fyx, y 0 Ρ ΣΚΟΥΜε SolveDfx, y, x 0, Dfx, y, y 0, x, y x 0, y 0 ΙΑ ΝΑ Ο Με ΤΙ ε ΟΥ ΑΚΡ ΤΑΤΑ ε ΝΑΙ ΤΑ ΣΗΜε Α ΑΥΤ ΒΡ ΣΚΟΥΜε ΤΗΝ ΟΡ ΖΟΥΣΑ ΤΟΥ Π ΝΑΚΑ tt fxx, fxy, fyx, fyy MatrixForm h fxx fyx fxy fyy h DetDDfx, y, x, x, DDfx, y, x y, DDfx, y, y, x, DDfx, y, y, y 4 a b ΡΑ 1. Ν h 4 a b ε ΝΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚ Τ Τε ΤΟ ΣΗΜε Ο 0, 0 ε ΝΑΙ ΣΑΓΜΑΤΙΚ ΣΗΜε Ο ΚΑΙ h 4 a b 0 ΑΝ a ΚΑΙ b ε ΝΑΙ ετερ ΣΗΜΑ ΗΛΑ a 0, b 0 ΚΑΙ a 0, b 0 2. Ν h 4 a b a ΚΑΙ b ΟΜ ΣΗΜΑ ε ΝΑΙ ΘεΤΙΚ ΚΑΙ a 0 ΚΑΙ b 0 ΤΟ ΣΗΜε Ο 0, 0 ε ΝΑΙ ΤΟΠΙΚ ελ ΧΙΣΤΟ 3. Ν h 4 a b a ΚΑΙ b ΟΜ ΣΗΜΑ ε ΝΑΙ ΘεΤΙΚ ΚΑΙ a 0 ΚΑΙ b 0 ΤΟ ΣΗΜε Ο 0, 0 ε ΝΑΙ ΤΟΠΙΚ ΜεΓΙΣΤΟ. ΜΑ 4 Μ.1 Α ΒΡεΘε ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ g ΣΤε F g ΠΟΥ F E1, E2, E3. ΣΗ ΠΟΛΟΓ ΖΟΥΜε ΤΟΝ ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜ ΤΟΥ ΙΑΝ ΣΜΑΤΟ g g1, g2, g3 ΠΟΥ ε ΝΑΙ Η ΟΡ ΖΟΥΣΑ ΤΟΥ Π ΝΑΚΑ aa i j k x y z g1 g2 g3 ΚΑΙ ΤΟΝ εξισ ΝΟΥΜε Με ΤΟ Ι ΝΥΣΜΑ F. Ρ ΣΚΟΥΜε ΤΟ Σ ΣΤΗΜΑ ΤΩΝ εξισ ΣεΩΝ g3 y z g1 z x g2 x y g2 E1 g3 E2 g1 E3 Α ΛΥΣΟΥΜε ΤΟ Σ ΣΤΗΜΑ ΑΥΤ. ΙΑ ΝΑ ΒΡΟ Με ΜΙΑ ΜεΡΙΚ Λ ΣΗ Θ ΤΟΥΜε g3 0 Ο Σ ΣΤΗΜΑ Γ ΝεΤΑΙ z g2 E1 g1 E1 z g2 x y g1 E1
4 lpa3.nb ΛΟΚΛΗΡ ΝΟΥΜε ΤΙ Ο ΠΡ Τε g2 E1 z g1 E2 z E1 z E2 z ΡΑ g2 E1 z h1x, y g1 E2 z h2x, y E1 z h1x, y E2 z h2x, y Ι Λ ΣεΙ ΑΥΤ ΤΙ ΑΝΤΙΚΑΘΙΣΤΟ Με ΣΤΗΝ ΤΡ ΤΗ ΑΠ ΤΙ ΙΑφΟΡΙΚ εξισ ΣεΙ E1 z h1 x, y E2 z h2 x, y E3 x y h1 x, y h2 x, y E3 x y ΠεΙ Ψ ΧΝΟΥΜε ΓΙΑ ΜεΡΙΚ Λ ΣΗ Θ ΤΟΥΜε h2 x, y 0 h1 x, y E3 x ΛΟΚΛΗΡ ΝΟΥΜε ΚΑΙ ΒΡ ΣΚΟΥΜε h1 E3 x ΡΑ ΤΟ Ι ΝΥΣΜΑ ε ΝΑΙ g E2 z, E1 z E3 x, 0 ΝΟΥΜε ΜΙΑ επαλλ ΘεΥΣΗ DE1 z E3 x, z E1 DE2 z, z E2 DE1 z E3 x, x DE2 z, y E3 True True True Ν G ε ΝΑΙ Η ΓεΝΙΚ Λ ΣΗ Τ Τε G g φ r E2 z φx r, E1 z E3 x φy r, φz r ΠΟΥ φ r ΜΙΑ ΟΠΟΙΑ ΠΟΤε ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ ΤΟΥ r Ρ ΓΜΑΤΙ επει φ r 0 ΧΟΥΜε G g φ r g φ r g
lpa3.nb 5 ΜΑ 5 Μ.2 Α ΑΠΟ ειχθε ΤΙ ΑΝ Η ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ r t ε ΝΑΙ Κ ΘεΤΗ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓ ΤΗ Τ Τε ΧεΙ ΣΤΑΘεΡ Μ ΤΡΟ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡ φω. Π ΣΗ ΝΑ ΑΠΟ ειχθε ΤΙ Η ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ r t ΧεΙ ΣΤΑΘεΡ Ιε ΘΥΝΣΗ ε Ν ΚΑΙ Μ ΝΟ ε Ν ε ΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΠΡΟ ΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓ ΤΗ. Π ειξη Ν Η ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ ε ΝΑΙ Κ ΘεΤΗ ΣΤΗΝ ΠΑΡ ΓΩΓ ΤΗ Τ Τε r t r t 0 Ο ΟΛΟΚΛ ΡΩΜΑ ΤΗ ΣΧ ΣΗ ΑΥΤ ε ΝΑΙ 1 2 r 2 c ΡΑ r 2 c ΝΤ ΣΤΡΟφΑ. ΠΟΘ ΤΟΥΜε ΤΙ ΤΟ Ι ΝΥΣΜΑ ΧεΙ ΣΤΑΘεΡ Μ ΤΡΟ r 2 c ΗΛΑ 1 2 r2 c ΑΡΑΓΩΓ ΖΟΥΜε ΚΑΙ ΒΡ ΣΚΟΥΜε r t r t 0 ΡΑ ΤΑ ΙΑΝ ΣΜΑΤΑ r t ΚΑΙ r t ε ΝΑΙ Κ ΘεΤΑ ΜεΤΑΞ ΤΟΥ ΙΑ ΤΟ ε ΤεΡΟ ΣΚ ΛΟ ΤΟΥ Θ ΜΑΤΟ ΥΠΟΘ ΤΟΥΜε ΤΙ ΤΟ Ι ΝΥΣΜΑ r t ΧεΙ ΣΤΑΘεΡ Ιε ΘΥΝΣΗ. Ο Ι ΝΥΣΜΑ r t r t ε ΝΑΙ ΑΝΑΛΟΓΟ ΤΟΥ r t ΡΑ ΧεΙ ΚΑΙ ΑΥΤ ΣΤΑΘεΡ Ιε ΘΥΝΣΗ. ΠΙ ΠΛ ΟΝ ΧεΙ Μ ΤΡΟ ΣΟ Με ΤΗΝ ΜΟΝ Α. ΡΑ ε ΝΑΙ ΣΤΑΘεΡ ΚΑΙ επομ ΝΩ Η ΠΑΡΑΓΩΓ ΤΟΥ ε ΝΑΙ ΜΗ Ν. ΧΟΥΜε d dt r r 1 r 2 r d dt r r d dt r 0 r d dt r r d dt r 0 ΟΛΛΑΠΛΑΣΙ ΖΟΥΜε ΤΗΝ εξ ΣΩΣΗ ΑΥΤ εξωτερικ Με ΤΟ Ι ΝΥΣΜΑ r ΚΑΙ ΠΑ ΡΝΟΥΜε r r d dt r r d dt r r r d dt r r r d dt r r r d dt r 0 ΚΑΙ επομ ΝΩ r d dt r 0 ΝΤ ΣΤΡΟφΑ ΥΠΟΘ ΤΟΥΜε ΤΙ r d dt r 0 Ο Ι ΝΥΣΜΑ r t r t ΧεΙ ΣΤΑΘεΡ Μ ΤΡΟ ΣΟ Με ΤΗΝ ΜΟΝ Α ΑΝ ΑΠΟ ε ΞΟΥΜε ΤΙ ε ΝΑΙ ΣΤΑΘεΡ Τ Τε ΧεΙ ΚΑΙ ΣΤΑΘεΡ Ιε ΘΥΝΣΗ ΚΑΙ επομ ΝΩ ΚΑΙ ΤΟ r t ΧεΙ ΣΤΑΘεΡ Ιε ΘΥΝΣΗ. ΑΡΑΓΩΓ ΖΟΥΜε ΚΑΙ ΧΟΥΜε d dt r r 1 r 2 dr dt r 1 r d dt r 1 r d 2 r 3 dt r dr r r dt 1 r d 2 r 3 dt r dr r r dt 1 r r d r 3 dt r r d r dt r 1 r d r r 3 dt r 0 ΡΑ ΧεΙ ΣΤΑΘεΡ Ιε ΘΥΝΣΗ. ΤΙ ΠΑΡΑΠ ΝΩ εξισ ΣεΙ Κ ΝΑΜε ΧΡ ΣΗ ΤΩΝ ΣΧ ΣεΩΝ r r r 2 ΚΑΙ r d r dt r d r ΠΟΥ ΒΓΑ ΝεΙ ΑΝ ΠΑΡΑΓΩΓ ΣΟΥΜε ΤΗΝ ΠΡ ΤΗ. dt
6 lpa3.nb ΜΑ 6 Μ.3 ΝεΤΑΙ Η επιφ ΝεΙΑ Με Ι ΝΥΣΜΑ Θ ΣΗ r r u, v xu, v hu Cosv, yu, v hu Sinv, zu, v f u Α ε ΞεΤε ΤΙ Η επιφ ΝεΙΑ ΠΑΡΙΣΤ ΝεΙ ΤΗΝ ΠεΡΙΣΤΡΟφ ΤΗ ΚΑΜΠ ΛΗ y hu, zu fu ΣΤΟ YOZ επ Πε Ο, Γ ΡΩ ΑΠ ΤΟΝ ΞΟΝΑ. Α ΒΡεΘε Η επιφ ΝεΙΑ ΑΝ Η ΚΑΜΠ ΛΗ ΑΥΤ ε ΝΑΙ ΝΑ Κ ΚΛΟ Κ ΝΤΡΟΥ 0, a, 0 ΚΑΙ ΑΚΤ ΝΑ Ρ a Τ ΡΟ. Α ΒΡε Τε ΤΟ Κ ΘεΤΟ Ι ΝΥΣΜΑ ΣΤΗΝ επιφ ΝεΙΑ ΤΟΥ Τ ΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟ εμβα ΟΝ ΤΗ επιφ ΝεΙΑ. Π ΝΤΗΣΗ Α ΒΡΟ Με ΤΙ ΠΡΟΒΟΛ ΤΗ επιφ ΝεΙΑ ΣΤΑ ΣΥΝΤεΤΑΓΜ ΝΑ επ Πε Α. xu, v hu Cosv yu, v hu Sinv zu, v fu Cosv hu hu Sinv fu ΤΟ επ Πε Ο XOZ ΧΟΥΜε y 0 ΚΑΙ ΡΑ ΧΟΥΜε Solveyu, v 0, v Solve::ifun: Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. v 0 ΙΑ v 0 ΟΙ εξισ ΣεΙ ΤΙ επιφ ΝεΙΑ Γ ΝΟΝΤΑΙ xxu, v ReplaceAllhu Cosv, v 0 yyu, v ReplaceAllhu Sinv, v 0 zzu, v ReplaceAllfu, v 0 hu 0 fu ΠΟΜ ΝΩ Η ΠΡΟΒΟΛ ΤΗ επιφ ΝεΙΑ ΧεΙ Ι ΝΥΣΜΑ Θ ΣΗ r hu, 0, fu ΗΛΑ ΜΙΑ ΚΑΜΠ ΛΗ. ΤΟ επ Πε Ο YOZ ΧΟΥΜε x 0 ΚΑΙ ΡΑ ΧΟΥΜε Solvexu, v 0, v Solve::ifun: Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. v Π 2, v Π 2 ΙΑ v Π ΟΙ εξισ ΣεΙ ΤΙ επιφ ΝεΙΑ Γ ΝΟΝΤΑΙ 2
lpa3.nb 7 xxu, v ReplaceAllhu Cosv, v Π 2 yyu, v ReplaceAllhu Sinv, v Π 2 zzu, v ReplaceAllfu, v Π 2 0 hu fu ΚΑΙ Η ΠΡΟΒΟΛ ΤΗ επιφ ΝεΙΑ ΧεΙ Ι ΝΥΣΜΑ Θ ΣΗ r 0, hu, fu ΗΛΑ Η ΙΑ ΚΑΜΠ ΛΗ. Ο ε ΤεΡΟ ερ ΤΗΜΑ. Κ ΚΛΟ ΧεΙ ΤΗΝ εξ ΣΩΣΗ Ρ a y a 2 z 2 Ρ 2 Ρ φουμε ΤΗΝ ΠεΡΙφ ΡεΙΑ ΑΥΤ Σε ΠΑΡΑΜεΤΡΙΚ ΜΟΡφ yu Ρ Cosu a zu Ρ Sinu a Ρ Cosu Ρ Sinu Ρ ΓΜΑΤΙ ΑΥΤ ε ΝΑΙ Η ΣΩΣΤ Ι ΤΙ Simplifyyu a 2 zu 2 Ρ 2 True ΠΟΜ ΝΩ Η ΟΣΜ ΝΗ ΒΡ ΣΚεΤΑΙ ΑΝ Θ ΣΟΥΜε fu Ρ Sinu hu a Ρ Cosu Ρ Sinu a Ρ Cosu Ι ΠΑΡΑΜεΤΡΙΚ εξισ ΣεΙ ΤΟΥ Τ ΡΟΥ ε ΝΑΙ xu, v a Ρ Cosu Cosv yu, v a Ρ Cosu Sinv zu, v Ρ Sinu a Ρ Cosu Cosv a Ρ Cosu Sinv Ρ Sinu Ρ ΣΚΟΥΜε ΤΟ Κ ΘεΤΟ Ι ΝΥΣΜΑ ΠΟΥ ε ΝΑΙ ΤΟ Dxu, v, yu, v, zu, v, u Dxu, v, yu, v, zu, v, v r u r v Ρ ΣΚΟΥΜε Ρ Cosv Sinu, Ρ Sinu Sinv, Ρ Cosu a Ρ Cosu Sinv, a Ρ Cosu Cosv, 0 r u Ρ Cosv Sinu, Ρ Sinu Sinv, Ρ Cosu r v a Ρ Cosu Sinv, a Ρ Cosu Cosv, 0 Ο εξωτερικ ΓΙΝ ΜεΝΟ ΤΩΝ Ο ΙΑΝΥΣΜ ΤΩΝ ε ΝΑΙ Η ΟΡ ΖΟΥΣΑ ΤΟΥ Π ΝΑΚΑ
8 lpa3.nb MatrixFormi, j, k, Ρ Cosv Sinu, Ρ Sinu Sinv, Ρ Cosu, a Ρ Cosu Sinv, a Ρ Cosu Cosv, 0 i j k Ρ Cosv Sinu Ρ Sinu Sinv Ρ Cosu a Ρ Cosu Sinv a Ρ Cosu Cosv 0 aa i j k Ρ Cosv Sinu Ρ Sinu Sinv Ρ Cosu a Ρ Cosu Sinv a Ρ Cosu Cosv 0 i, j, k, Ρ Cosv Sinu, Ρ Sinu Sinv, Ρ Cosu, a Ρ Cosu Sinv, a Ρ Cosu Cosv, 0 CollectDetaa, i, j, k, Simplify i Ρ Cosu a Ρ Cosu Cosv k Ρ a Ρ Cosu Sinu j Ρ Cosu a Ρ Cosu Sinv aaa Ρ Cosu a Ρ Cosu Cosv, Ρ Cosu a Ρ Cosu Sinv, Ρ a Ρ Cosu Sinu Ρ Cosu a Ρ Cosu Cosv, Ρ Cosu a Ρ Cosu Sinv, Ρ a Ρ Cosu Sinu Ο Κ ΘεΤΟ Ι ΝΥΣΜΑ ε ΝΑΙ aaa Ρ Cosu a Ρ Cosu Cosv, Ρ Cosu a Ρ Cosu Sinv, Ρ a Ρ Cosu Sinu Ο Μ ΚΟ ΤΟΥ ΙΑΝ ΣΜΑΤΟ ΑΥΤΟ ε ΝΑΙ SimplifyΡ Cosu a Ρ Cosu Cosv 2 Ρ Cosu a Ρ Cosu Sinv 2 Ρ a Ρ Cosu Sinu 2 Ρ 2 a Ρ Cosu 2 Ο ΖΗΤΟ ΜεΝΟ εμβα Ν ε ΝΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛ ΡΩΜΑ ΤΗ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ ΑΥΤ. Ρ ΣΚΟΥΜε IntegrateΡ a Ρ Cosu, u, 0, 2 Π, v, 0, 2 Π 4 a Π 2 Ρ 4 a Π 2 Ρ 2 ΠΑ 2 ΠΡ