3ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 7 Σεπτέµβρη 015 Εξεταζόµενη ύλη: Ταλαντώσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Σώµα µάζας m είναι δεµένο στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθε- ϱάς k και εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση πλάτους Α και περιόδου Τ. Αν υποδιπλασιάσουµε το πλάτος της ταλάντωσης τότε η περίοδος ϑα : (δ) δεν ϑα µεταβληθεί. Α.. Στις ϕθίνουσες ταλαντώσεις στις οποίες η αντιτιθέµενη δύναµη είναι ανάλογη της ταχύτητας, τα ϕυσικά µεγέθη που έχουν πάντα την ίδια ϕορά είναι : (δ) η συνισταµένη δύναµη και η επιτάχυνση. Α.3. Ενα σώµα µετέχει ταυτόχρονα σε δύο αρµονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας που γίνονται γύρω από την ίδια ϑέση ισορ- ϱοπίας. Οι ταλαντώσεις έχουν πλάτη A 1 = 10cm και A = 16cm. Αν οι δύο ταλαντώσεις ϐρίσκονται σε αντίθεση ϕάσης, τότε το πλάτος της συνισταµένης ταλάντωσης είναι : (α) 6cm 1
Α.4. Σώµα µάζας m δεµένο στο κάτω άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k εκτελεί εξαναγκασµένη ταλάντωση µέγιστου πλάτους, υπό την επίδραση περιοδικής δύναµης F = F o συνωt. Αν αντικαταστήσουµε το ελατήριο µε ένα άλλο τετραπλάσιας σταθεράς k = 4k τότε : (ϐ) Η περίοδος της ταλάντωσης ϑα παραµείνει σταθερή και το πλάτος ταλάντωσης ϑα µειωθεί. Α.5. (α) Σε µια απλή αρµονική ταλάντωση, όταν ένα σώµα πλησιάζει προς την ϑέση ισορροπίας τα διανύσµατα ταχύτητας και επιτάχυνσης είναι πάντα οµόρροπα. Σωστό (ϐ) Το σύστηµα ανάρτησης ενός παλιού αυτοκινήτου είναι ένα σύστηµα αποσβεννύµενων ταλαντώσεων µε πολύ µεγάλο b. Λάθος (γ) Σε µια εξαναγκασµένη ταλάντωση δεν υπάρχει δύναµη απόσβεσης. Λάθος (δ) Το αποτέλεσµα της σύνθεσης δύο απλών αρµονικών ταλαντώσεων που γίνονται στην ίδια διεύθυνση, γύρω από την ίδια ϑέση ισορροπίας µε παραπλήσιες συχνότητες είναι µια ιδιόµορφη ταλάντωση που παρουσιάζει περιοδικούς µηδενισµούς του πλάτους. Σωστό (ε) Η περίοδος διακροτήµατος είναι ο χρόνος ανάµεσα σε δύο διαδοχικούς µηδενισµούς της αποµάκρυνσης από την ϑέση ισορροπίας. Λάθος Θέµα Β Β.1. Το πλάτος µιας ϕθίνουσας ταλάντωσης µειώνεται εκθετικά µε τον χρόνο σύµφωνα µε την σχέση A = A o e Λt, όπου Λ µια ϑετική σταθερά και υποδιπλασιάζεται ύστερα από 10 ταλαντώσεις. Προκειµένου το πλάτος να γίνει A = A o ϑα πρέπει να πραγµατοποιηθούν 3 επιπλέον : (ϐ) 40 ταλαντώσεις http://www.perifysikhs.com
Δl Σχολική Χρονιά 015-016 Μετά Ν ταλαντώσεις A o A o = A oe Λ10T 1 = e Λ10T 3 = A oe ΛNT 1 3 = e ΛNT 1 5 = e ΛNT (e Λ10T ) 5 = e ΛNT Αρα έχει πραγµατοποιήσει επιπλέον 40 ταλαντώσεις. 50T = NT N = 50 Β.. Σώµα ϐάρους w = mg ισορροπεί µε την ϐοήθεια κατακόρυφου ιδανικού και µη εκτατού νήµατος, προσδεδεµένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητα στερεωµένο στην οροφής, όπως ϕαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Θ.Φ.Μ. Δl m m Θ.Ι.Τ. Το µέτρο της τάσης του νήµατος είναι διπλάσιο του µέτρου του ϐάρους του σώµατος. Κάποια χρονική στιγµή κόβουµε το νήµα και το σώµα αρχίζει να εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. http://www.perifysikhs.com 3
Β..1. Το πλάτος της ταλάντωσης του σώµατος είναι : (γ) A = mg k Στο σώµα ασκούνται το ϐάρος και η τάση του νήµατος προς τα κάτω και η δύναµη του ελατηρίου προς τα πάνω. Αφού ισορροπεί εφαρµόζω συνθήκη ισορροπίας για να ϐρω την αρχική παραµόρφωση του ελατηρίου ( l): ΣF = 0 T + w = F ελ 3w = k l l = 3w k Η ϑέση ισορροπίας της ταλάντωσης υπολογίζεται από την συνθήκη ισορροπίας. Στην ΘΙΤ στο σώµα ασκούνται το ϐάρος και η δύναµη του ελατηρίου. ΣF = 0 w = F ελ w = k l l = w k Την στιγµή που κόβω το νήµα το σώµα είναι ακίνητο, άρα η αρχική ϑέση ϑα είναι και η ακραία ϑέση της ταλάντωσης του. Οπότε το πλάτος της ταλάντωσης είναι : A = l l = w k = mg k Β... Στην ανώτερη ϑέση της τροχιάς του σώµατος το πηλίκον της δυνα- µικής ενέργειας του ελατηρίου προς την δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης είναι : γ. U ελ U = 1 4 Στην ανώτερη ϑέση της τροχιάς το ελατήριο είναι συµπιεσµένο κατά l = A l. Το Ϲητούµενο πηλίκο ϑα είναι : U ελ U = 1 k l 1 = ( A l ka A ) = 1 4 http://www.perifysikhs.com 4
Β.3. Σώµα εκτελεί ταυτόχρονα και στην ίδια διεύθυνση δύο απλές αρµονικές ταλάντωσης ίδιου πλάτους, γύρω από την ίδια ϑέση ισορροπίας. Οι δύο ταλαντώσεις έχουν παραπλήσιες συχνότητες f 1 και f µε f 1 > f, µε αποτέλεσµα η συνισταµένη ταλάντωση να εµφανίζει διακροτήµατα. Το πλήθος των µηδενισµών της αποµάκρυνσης από την ϑέση ισορροπίας του στο χρονικό διάστηµα µεταξύ του δεύτερου και του τέταρτου µηδενισµού του πλάτους της συνισταµένης ταλάντωσης είναι : (ϐ) (f 1 + f ) f 1 f Ο χρόνος ανάµεσα σε δύο διαδοχικούς µηδενισµούς του πλάτους είναι 1 η περιοδος διακροτήµατος T δ =. Το χρονικό διάστηµα µεταξύ του f 1 f δευτέρου και του τετάρτου µηδενισµού είναι t = T δ. Η αποµάκρυνση από την Θέση ισορροπίας µηδενίζετε κάθε ϕορά που το σώµα διέρχεται από την Θέση ισορροπίας του δηλαδή κάθε t = T, όπου T = 1 f = η f 1 + f περίοδος της ταλάντωσης. N = t = T δ = 4T 1 δ t T T = 4 f 1 f = (f 1 + f ) f 1 +f f 1 f Θέµα Γ Σώµα µάζας m = 0, 5kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις (1) και () µε εξισώσεις στο S.I. x 1 = 0, 4ηµ(4πt) και x = 0, 4 3συν(4πt) Οι δύο ταλαντώσεις εξελίσσονται κατά µήκος του άξονα x Ox και γύρω από την αρχή Ο(x = 0). Εχουµε σύνθεση Α είδους µε φ = π. Η σύνθετη ταλάντωση ϑα έχει εξίσωση αποµάκρυνσης x = Aηµ(4πt + θ). Οπότε : http://www.perifysikhs.com 5
A = (0, 4) + (0, 4 3) + 0, 40, 4 3συν( π ) A = 0, 8m A ηµφ ɛφθ = A 1 + A συνφ = 0, 4 3 θ = π 0, 4 3 rad Αρα η εξίσωση της σύνθετης ταλάντωσης στο S.I. ϑα είναι : x = 0, 8ηµ(4πt + π 3 ) Γ.1 Να υπολογίσετε την µέγιστη αλγεβρική τιµή της δύναµης επαναφοράς που δέχεται το σώµα κατά την κίνηση του. ΣF max = DA = mω A = 64N Γ. Να υπολογίσετε την ορµή του σώµατος τη χρονική στιγµή κατά την οποία η ϕάση της δεύτερης ταλάντωσης ισούται µε 5π 3 rad. 4πt + π = 5π 3 4πt = 7π 6 = π + π 6 P = mυ = mωaσυν(ωt + θ) = 1, 6πσυν(4πt + π 3 ) P = 1, 6πσυν(π + π 6 + π 3 ) P = 0 Γ.3 Να υπολογίσετε την αλγεβρική τιµή της επιτάχυνσης του σώµατος τις χρονικές στιγµές κατά τις οποίες οι επιταχύνσεις που έχει εξαιτίας της πρώτης και της δεύτερης συνιστώσας ταλάντωσης, έχουν την ίδια τιµή, η οποία ισούται µε 3 3m/s. a = ω x a = ω (x 1 + x ) = ω x 1 ω x a = a 1 + a a = α 1 = 64 3m/s http://www.perifysikhs.com 6
Γ.4 Να υπολογίσετε τον ϱυθµό µεταβολής της δυναµικής ενέργειας την χρονική στιγµή κατά την οποία η υναµική και η Κινητική ενέργεια της σύνθετης ταλάντωσης,είναι ίσες για πρώτη ϕορά. E = K + U = U 1 DA = 1 Dx x = ± A E = K + U = K 1 mυ max = 1 mυ υ = ± ωa Την t = 0 το σώµα εξαιτίας της σύνθετης κίνησης ϐρίσκεται στην ϑέση x = Aηµ( π 3 ) = A 3 και έχει ταχύτητα υ = ωaσυν(π 3 ) = +ωa. Η Κινητική και η υναµική Ενέργεια είναι ίσες για πρώτη ϕορά όταν x > 0 και υ < 0. du dt = dk dt = ΣF υ = Dxυ = DA ( ωa ) = 10, 4πJ/s Το σώµα ϑα παραµένει διαρκώς ακίνητο εάν, ταυτόχρονα µε τις ταλαντώσεις (1) και (), εκτελεί και µια επιπλέον κατάλληλη ταλάντωση (3), η ϑέση ι- σορροπίας, η διεύθυνση και η γωνιακή συχνότητα της οποίας είναι ίδιες µε αυτές των ταλαντώσεων (1) και () Γ.5 Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της αποµάκρυνσης του σώµατος από την ϑέση ισορροπίας του εξαιτίας αυτής της κατάλληλης ταλάντωσης (3). Εστω x η σύνθετη ταλάντωση εξαιτίας των 3 ταλαντώσεων. Εφαρµόζω την αρχή της επαλληλίας. x = x + x 3 = 0 x 3 = x = 0, 8ηµ(4πt + π 3 ) = 0, 8ηµ(4πt + π + π 3 ) x 3 = 0, 8ηµ(4πt + 4π 3 ) (S.I.) http://www.perifysikhs.com 7
Θέµα Τα ελατήρια του σχήµατος και τα σώµατα Σ 1, Σ,Σ 3 και Σ 4 ϐρίσκονται στο ίδιο λείο οριζόντιο επίπεδο. Τα ελατήρια έχουν σταθερές k 1 = k = 00N/m k1 1 και τα σώµατα µάζες m 1 = m = 1kg και m 4 = kg. Τα σώµατα Σ 1 και Σ 4 ηρεµούν στερεωµένα στα άκρα των ελατηρίων των οποίων τα άλλα άκρα είναι ακλόνητα στερεωµένα. Η διεύθυνση ταλάντωσης του συστήµατος k Σ 4 σχηµατίζει γωνία φ = 60 o µε την διεύθυνση ταλάντωσης του συστήµατος k 1 Σ. Ακουµπάµε το σώµα Σ στο Σ 1 και συµπιέζουµε αργά το ελατήριο k 1 κατά 0, m. Την στιγµή t = 0 ελευθερώνουµε τα σώµατα Σ 1 και Σ. Το σώµα Σ αποσπάται (χάνει επαφή) από το Σ 1 και συγκρούεται πλαστικά σε απόσταση υ 3 U3 60,3 V k http://www.perifysikhs.com 8
d 1 = 0, πm από το σηµείο που αποσπάστηκε µε το σώµα Σ 3, το οποίο εκινείτο µε σταθερή ταχύτητα υ 3 = 3m/s, σε διεύθυνση κάθετη στη διεύθυνση κίνησης του Σ. Το συσσωµάτωµα που σχηµατίστηκε κινήθηκε σε διεύθυνση που σχη- µατίζει γωνία φ = 60 o µε την αρχική διεύθυνση του Σ και συγκρούεται ελαστικά και κεντρικά µε το Σ 4. Να ϐρείτε :.1 την σταθερά επαναφοράς του Σ πριν χάσει την επαφή του µε το Σ 1 Για το σύστηµα των σωµάτων (1) και () D = k 1 = (m 1 + m )ω ω = 10rad/s. Για το () η σταθερά επαναφοράς ϑα είναι : D = m ω = 100N/m. την ταχύτητα του Σ τη χρονική στιγµή που έχασε την επαφή του µε το Σ 1. Στο () ασκείται µόνο µια οριζόντια δύναµη, η δύναµη επαφής Ν από το σώµα (1). Αυτή η δύναµη παίζει και τον ϱόλο της δύναµης επαναφοράς για την ταλάντωση του (). Αρα ΣF = N = D x. Το () χάνει επαφή µε το (1) στην Θέση που N = 0 x = 0, που είναι η ϑέση ισορροπίας της ταλάντωσης. Η ταχύτητα του σώµατος εκεί ϑα είναι υ = ωa. Το πλάτος της ταλάντωσης του συστήµατος ϑα είναι ίσο µε την αρχική παραµόρφωση του ελατηρίου (A = 0, m). Αρα υ = m/s.3 τη οριζόντια απόσταση του Σ 3,από το σηµείο σύγκρουσης, τη στιγµή που ελευθερώσαµε τα σώµατα Σ 1 και Σ. Το () κινείται µέχρι να συγκρουστεί για χρονικό διάστηµα t = T 4 + d 1 = 3π υ 0 s (κίνηση κατά την ταλάντωση και Ε.Ο.Κ. αφού χάσει επαφή). Στο ίδιο χρονικό διάστηµα το (3) έχει προχωρήσει κατά d 3 = υ 3 t = 0, 3π 3m.4 τη µάζα του σώµατος Σ 3. Για την κρούση εφαρµόζω την Αρχή ιατήρησης της Ενέργειας για κάθε άξονα. Αναλύω την ταχύτητα του συσσωµατώµατος σε δύο κάθετες συνιστώσες. P ολ(πριν)x = P ολ(µετά)x m υ = (m + m 3 )V x V x = m υ m + m 3 http://www.perifysikhs.com 9
P ολ(πριν)y = P ολ(µετά)y m 3 υ 3 = (m + m 3 )V y V y = m 3υ 3 m + m 3 m 3 υ 3 m +m 3 m υ ɛφ(60 o ) = V y = 3 = m 3υ 3 m 3 = 1kg V x m +m 3 m υ Αρα οι ταχύτητα του συσσωµατώµατος µετά την κρούση ϑα είναι : V = V x + Vy V = m/s.5 το λόγο των ενεργειών ταλάντωσης του συστήµατος k 1 Σ 1 και του συστήµατος k Σ 4. Για το σύστηµα k 1 Σ 1 η ενέργεια της ταλάντωσης ϑα είναι : E = 1 m 1υ,γιατί την στιγµή που το () χάνει επαφή το (1) ϐρίσκεται στην Θέση ισορ- ϱοπίας, άρα η κοινή τους ταχύτητα είναι η µέγιστη και για την ταλάντωση του (1). Για το σύστηµα k Σ 4 η ενέργεια της ταλάντωσης ϑα είναι : E = 1 m 4υ 4,γιατί µετά την κρούση η ταχύτητα που ϑα αποκτήσει το (4) είναι και η µέγιστη αφού ϐρίσκεται στην ϑέση Ισορροπίας.. Για την ελαστική κρούση του συσσωµατώµατος µάζας M = m + m 3 = 3kg µε το (4) ισχύει : υ 4 = M V = m/s M + m 4 Ο Ϲητούµενος λόγος των Ενεργειών ϑα είναι : E E = 1 Επιµέλεια : ρ. Μιχάλης Καραδηµητρίου, Φυσικός http://www.perifysikhs.com 10