ΑΣΚΗΣΗ 6 ΦΟΡΤΙΣΗ ΕΚΦΟΡΤΙΣΗ ΠΥΚΝΩΤΗ

ΑΣΚΗΣΗ 6 ΦΟΡΤΙΣΗ ΕΚΦΟΡΤΙΣΗ ΠΥΚΝΩΤΗ 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή μελετάται η φόρτιση/εκφόρτιση ενός πυκνωτή μέσω αντίστασης στην περίπτωση συνεχούς πηγής (σταθερής τάσης). Συγκεκριμένα, μετράται το ρεύμα συναρτήσει του χρόνου και προσδιορίζεται η επίδραση της χωρητικότητας του πυκνωτή, της αντίστασης και της τάσης στην φόρτιση/εκφόρτιση του πυκνωτή. Εισάγεται η έννοια της "σταθεράς του χρόνου", προσδιορίζεται πειραματικά και συγρίνεται με την τιμή που προβλέπει η θεωρία. ΛΕΞΕΙΣ-ΚΛΕΙΔΙΑ πυκνωτής, ωμική αντίσταση, συνεχές ρεύμα, συνεχής τάση, σύνδεση σε σειρά και παράλληλα, φόρτιση, εκφόρτιση, σταθερά χρόνου, φορτίο, αμπερόμετρο 2 Θεωρία Όταν μια συνεχής τάση (dc) εφαρμόζεται σε έναν πυκνωτή τότε αυτός αρχίζει να φορτίζεται και παρατηρείται ρεύμα φόρτισης ενώ όταν η τάση μειώνεται, ο πυκνωτής εκφορτίζεται. Οι πυκνωτές αποθηκεύουν ηλεκτρική ενέργεια και γι αυτόν το λόγο λειτουργούν και ως μικρές μπαταρίες που μπορούν να αποθηκεύουν ή να παρέχουν ενέργεια κατα περίπτωση. Η φόρτιση και η εκφόρτιση του πυκνωτή δεν αποτελεί μια στιγμιαία διεργασία, αλλά απαιτείται συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Ο χαρακτηριστικός χρόνος που απαιτείται για τη φόρτιση ή την εκφόρτισή του εως ένα ποσοστό της μέγιστης χωρητικότητάς του, ονομάζεται σταθερά του χρόνου τ. 2.1 Φόρτιση πυκνωτή Έστω το κύκλωμα του Σχ. 6.1 με τον πυκνωτή αρχικά αφόρτιστο και τον διακόπτη Δ ανοικτό όπως στην περίπτωση (β). Έστω ότι ο διακόπτης Δ κλείνει την χρονική στιγμή t = 0 όπως στην περίπτωση (α). Εφόσον ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος, η αρχική συνθήκη είναι Q(0) = 0 (1) 1

(α) (β) Σχήμα 6.1: Ηλεκτρικό κύκλωμα συνεχούς ρεύματος για τη φόρτιση (α) και την εκφόρτιση (β) πυκνωτή. Από τον ορισμό της χωρητικότητας C = Q/V C ενός πυκνωτή, η τάση του πυκνωτή ισούται με V C = Q C (2) και επομένως η αρχική της τιμή είναι V C (0) = 0 (3) Για να μελετήσουμε τη συμπεριφορά του κυκλώματος στο Σχ. 6.1α, εφαρμόζουμε τον δεύτερο κανόνα του Kirchhoff ο οποίος μας δίνει U V R V C = 0. Αντικαθιστώντας την Εξ. 2 και χρησιμοποιώντας το νόμο του Ohm V R = IR οδηγεί στο αποτέλεσμα U IR Q C = 0 (4) Μπορούμε να κάνουμε χρήση του ορισμού του ρεύματος Ι = dq/dt στην Εξ. 4 εάν την παραγωγίσουμε ως προς το χρόνο. το αποτέλεσμα είναι di dt 1 RC I = 0 (5) Η παραπάνω είναι μια απλή διαφορική εξίσωση 1 ου βαθμού ως προς το ρεύμα το οποίο θα είναι γενικά μια συνάρτηση του χρόνου I(t). Μπορούμε εύκολα να δούμε ότι η λύση της είναι η όπου η ποσότητα I(t) = I(0)e t/τ (6) τ = RC (7) 2

ονομάζεται "σταθερά του χρόνου" και το Ι(0) είναι η αρχική τιμή του ρεύματος την οποία την βρίσκουμε εύκολα συνδυάζοντας τις Εξ. (1) και (4): I(0) = U/R (8) Αφού το ρεύμα είναι η παράγωγος του φορτίου ως προς ο χρόνο, τότε η ολοκλήρωση του ρεύματος στην Εξ. 6 πρέπει να μας δίνει το φορτίο Q. Λαμβάνοντας υπόψιν την αρχική συνθήκη Εξ. 1, η ολοκλήρωση οδηγεί στην Q(t) = CU(1 e t/τ ) (9) η οποία με την βοήθεια της Εξ.2 οδηγεί στο αποτέλεσμα V C (t) = U(1 e t/τ ) (10) Οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις της V C (t) και του I(t) φαίνονται στο Σχήμα 6.2. Η τάση ξεκινάει από τιμή 0 (αφόρτιστος πυκνωτής) και φτάνει ασυμπτωτικά στην μέγιστη τιμή της U που δεν είναι άλλη από την τάση της πηγής. Το ρεύμα ξεκινάει από την μέγιστη τιμή U/R και πέφτει ασυμπτωτικά στην τιμή 0. Η σταθερά του χρόνου τ ονομάζεται έτσι επειδή έχει μονάδες χρόνου και αριθμητικά είναι ο χρόνος που απαιτείται για να μειωθεί η τιμή του ρεύματος στο 1/e της αρχικής του τιμής. Η πρακτική της σημασία φαίνεται στο Σχήμα 6.2 όπου για χρόνο ίσο με 5 σταθερές χρόνου, δηλαδή 5τ, οι γραφικές παραστάσεις είναι εξαιρετικά κοντά στις ασυμπτωτικές τους τιμές (λιγότερο από 0.7 % οπότε πρακτικώς θεωρούμε ότι έχουν φτάσει σε αυτές). 3

Σχήμα 6.2: Η μεταβολή της τάσης και του ρεύματος του πυκνωτή με τον χρόνο κατά τη φόρτιση. 2.2 Εκφόρτιση πυκνωτή Στο κύκλωμα του Σχ. 6.1, όταν ο διακόπτης έχει παραμείνει στην θέση (α) για μεγάλο χρονικό διάστημα, τότε θα έχει φορτιστεί σε κάποιο φορτίο. Εάν τώρα ο διακόπτης Δ μεταβεί κατά τη στιγμή t = 0 στην θέση (β), τότε ο πυκνωτής θα αρχίσει να εκφορτίζεται δια μέσου της αντίστασης. Εάν η αρχική τιμή του φορτίου είναι Q(0) τότε αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι σχέσεις Και Q(t) = Q(0) e t/τ (11) I(t) = Q(0) e t/τ (12) τ ως (προσέξτε το αρνητικό πρόσημο). Η αντίστοιχη τάση του πυκνωτή προκύπτει από τις Εξ. 2 και 11 V C (t) = Q(0) C e t/τ (13) 4

Εάν θεωρήσουμε ότι η φόρτιση του πυκνωτή είχε διαρκέσει άπειρο χρόνο (δηλαδή πρακτικά για χρόνο μεγαλύτερο του 5τ) τότε κατά τη φόρτιση αυτή ο πυκνωτής θα είχε λάβει την μέγιστη τάση που όπως είδαμε είναι η τάση της πηγής U. Σε αυτή την περίπτωση, η αρχική τιμή για την διαδικασία εκφόρτισης είναι η V C (0) = U (14) η οποία όταν συνδυαστεί με τις Εξισώσεις 13 και 12 οδηγεί στις Q(0) = CU (15) Και I(0) = U R (16) Η εξάρτηση της τάσης και του ρεύματος του πυκνωτή κατά τη εκφόρτιση φαίνεται στο Σχήμα 6.3. Και οι δυο φθίνουν εκθετικά αλλά το ρεύμα είναι αρνητικό. Η σταθερά του χρόνου τ = RC έχει ακριβώς την ίδια φυσική σημασία όπως πριν. Σχήμα 6.3: Η μεταβολή της τάσης και του ρεύματος του πυκνωτή με τον χρόνο κατά την εκφόρτιση. 5

Η σταθερά χρόνου μπορεί να υπολογισθεί σχετικά εύκολα στην περίπτωση φόρτισης με την εξής απλή διαδικασία: Εάν λογαριθμήσουμε την Εξ. 6, τότε αυτή οδηγεί στο αποτέλεσμα lni = lni(0) t τ (17) η οποία είναι μια γραμμική εξίσωση ευθείας y = y 0 λx εάν κάνουμε τις αντιστοιχίες y = lni, y 0 = lni(0) και λ = 1/τ. Επομένως εάν κάνουμε γραφική παράσταση του lni συναρτήσει του t θα πρέπει να προκύψει μια φθίνουσα ευθεία, η κλίση της οποίας (κατ απόλυτη τιμή) είναι ίση με το αντίστροφο της σταθεράς χρόνου. 2.3 Κυκλώματα με αντιστάσεις και πυκνωτές σε σειρά και παράλληλα Για παράλληλη σύνδεση ενός αριθμού Ν αντιστάσεων ισχύει: 1 Ν (18a) R ΟΛ = 1 R n n=1 Για την περίπτωση δυο αντιστάσεων συνδεδεμένων παράλληλα, μπορούμε εύκολα να κάνουμε τα δυο κλάσματα ομώνυμα και να καταλήξουμε στην εξής απλή σχέση: R ΟΛ = R 1R 2 R 1 +R 2 (18β) Για την σύνδεση Ν αντιστάσεων σε σειρά ισχύει: Ν R ΟΛ = R n n=1 (19) εξής Αντιθέτως, ο τύπος για την συνολική χωρητικότητα Ν πυκνωτών σε παράλληλη σύνδεση είναι ο Ν (20) C ΟΛ = C n n=1 ενώ για τη σύνδεση σε σειρά ισχύει 1 Ν (21α) C ΟΛ = 1 C n n=1 με: (δηλαδή αντίθετα με τις αντιστάσεις). Άρα η ολική χωρητικότητα δύο πυκνωτών σε σειρά είναι ίση 6

C ΟΛ = C 1C 2 C 1 +C 2 (21β) 3 Πειραματική διάταξη Το Σχήμα 6.1 παρουσιάζει διαγραμματικά την πειραματική διάταξη. Για τη διεξαγωγή της άσκησης χρησιμοποιούνται τα εξής: Τροφοδοτικό συνεχούς τάσης (DC) Πολύμετρο Χρονόμετρο Πυκνωτές και αντιστάσεις διαφόρων τιμών 4 Πειραματική διαδικασία Μέρος 1. Στον πάγκο σας πρέπει να υπάρχει ένα σύνολο έξι πυκνωτών C 1, C 2 C 6. Σκοπός του μέρους 1 είναι να μετρηθούν οι χωρητικότητές τους με τη βοήθεια του πολυμέτρου. Επίσης, σύμφωνα με τις οδηγίες του επιβλέποντα, ρυθμίστε την τάση του τροφοδοτικού σας μεταξύ 8 και 12 Volts (να μετρηθεί με το πολύμετρο) και να την κρατήσετε σταθερή κατά τη διάρκεια όλου του πειράματος. Μέρος 2. Από το σύνολο των έξι πυκνωτών του πρώτου μέρους, επιλέξτε αυτόν με τη μεγαλύτερη χωρητικότητα. Επίσης επιλέξτε για αυτό το μέρος τις δυο όμοιες αντιστάσεις των 1 ΜΩ και συνδέστε μια από αυτές σε σειρά με τον πυκνωτή και με το αμπερόμετρο To κύκλωμά σας πρέπει να μοιάζει με αυτό του Σχ. 6.1. Ως διακόπτη θα χρησιμοποιείτε τον διακόπτη ON-OFF του τροφοδοτικού το οποίο το ρυθμίζουμε σε τάση U = 10 V. Αρχικά ξεκινούμε με ανοικτό το διακόπτη και βεβαιωνόμαστε ότι ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος βραχυκυκλώνοντας τα άκρα του (ώστε εάν υπάρχουν παραμένοντα φορτία από προηγούμενες μετρήσεις στους δυο οπλισμούς, αυτά να αλληλο-εξουδετερωθούν κατά το βραχυκύκλωμα αφού αυτά είναι ίσα και αντίθετα). Αφού έχουμε εξοικειωθεί με το χρονόμετρο του πειράματος και το έχουμε μηδενίσει, κλείνουμε το διακόπτη (δηλαδή θέτουμε το τροφοδοτικό σε λειτουργία) κατά τη στιγμή t = 0. Προσέχουμε ώστε να διαβάσουμε αμέσως την πρώτη ένδειξη του αμπερομέτρου αφού αυτή θα αλλάζει συνεχώς με το χρόνο. Καταγράφουμε τις τιμές του ρεύματος συναρτήσει του χρόνου (π.χ. κάθε 10 ή 20 sec). Σταματάμε το πείραμα όταν δεν βλέπουμε σημαντικές αλλαγές στη μεταβολή του ρεύματος. Επαναλαμβάνουμε όλα τα παραπάνω αλλά με συνδυασμό των δυο όμοιων αντιστάσεων (σε σειρά και παράλληλα) αντί για μια. Προσοχή: Το αμπερόμετρο συνδέεται πάντα σε σειρά στο κύκλωμα του οποίου θέλουμε να μετρήσουμε την ένταση του ρεύματος. 7

Μέρος 3. Από το σύνολο των έξι πυκνωτών του πρώτου μέρους, επιλέξτε αυτόν με τη μεγαλύτερη χωρητικότητα(c Α ) συν έναν άλλον C B της επιλογής του επιβλέποντα. Αρχικά χρησιμοποιήστε τον C A (βεβαιωθείτε ότι είναι αφόρτιστος όπως στο Μέρος 2) σε σειρά με την αντίσταση των 1 ΜΩ του δεύτερου μέρους αλλά αντικαταστήστε το απλό αμπερόμετρο με το ψηφιακό πολύμετρο MASTECH MS8240D το οποίο επικοινωνεί μέσω καλωδίου με τη θύρα USB του υπολογιστή. Έτσι τα δεδομένα σας Ι και t σε αυτό μέρος δεν χρειάζεται να τα καταγράφετε αφού αυτό γίνεται αυτομάτως από το λογισμικό MASTECH το οποίο πρέπει να εκκινήσετε από την επιφάνεια εργασίας του υπολογιστή. (α) Φόρτιση: Η καταγραφή ξεκινάει μόλις πατήσετε το κουμπί PC- P LINK στο πολύμετρο παρατεταμένα (ώστε το λογισμικό να αρχίσει να καταγράφει τιμές) με το τροφοδοτικό σας ακόμα εκτός λειτουργίας. Έτσι θα πάρετε μερικές μηδενικές μετρήσεις του ρεύματος τις οποίες μπορείτε να τις διαγράψετε αργότερα (όταν ετοιμάζετε την αναφορά στο σπίτι). Ανοίξτε τον διακόπτη ON-OFF του τροφοδοτικού για να ξεκινήσει η φόρτιση. Όταν δεν υπάρχει πρακτικά μεταβολή στα δεδομένα του ρεύματος, ξαναπατήστε το PC-LINK όπως παραπάνω ώστε να σταματήσει η καταγραφή της μέτρησης, και αποθηκεύστε τα αποτελέσματά σας. Προσοχή: Μην κλείσετε το τροφοδοτικό ακόμα! (β) Εκφόρτιση: Όταν είσαστε έτοιμοι, πατήσετε το κουμπί PC-LINK στο πολύμετρο παρατεταμένα (ώστε το λογισμικό να αρχίσει να καταγράφει τιμές) με το τροφοδοτικό ακόμα σε λειτουργία. Έτσι θα πάρετε μερικές μηδενικές μετρήσεις του ρεύματος τις οποίες μπορείτε να τις διαγράψετε αργότερα (όταν ετοιμάζετε την αναφορά στο σπίτι). Κλείστε τον διακόπτη ON-OFF του τροφοδοτικού για να ξεκινήσει η εκφόρτιση. Όταν δεν υπάρχει πρακτικά μεταβολή στα δεδομένα του ρεύματος, ξαναπατήστε το PC-LINK όπως παραπάνω ώστε να σταματήσει η καταγραφή της μέτρησης, και αποθηκεύστε τα αποτελέσματά σας (είναι απαραίτητο να έχετε μαζί σας μια μικρομονάδα αποθήκευσης USB). Επαναλαμβάνουμε όλα τα παραπάνω αλλά με συνδυασμό των δυο πυκνωτών C A και C B (σε σειρά και παράλληλα) αντί για ένα. Με δεδομένη αντίσταση και για 3 διαφορετικές τιμές της χωρητικότητας του πυκνωτή μετράμε την τιμή της έντασης του ρεύματος στη φόρτιση και εκφόρτιση. Στο τροφοδοτικό ρυθμίζουμε U = 10 V και Ι = 1 Α. 5 Εργαστηριακή Αναφορά Στο κομμάτι της θεωρίας απαντήστε μόνο τις παρακάτω ερωτήσεις: (1) Εξηγείστε τις έννοιες πυκνωτής, ωμική αντίσταση, συνεχές ρεύμα, σταθερά χρόνου και φορτίο. Δείξτε ότι η σταθερά το χρόνου RC έχει μονάδες χρόνου. (2) Θεωρήστε ένα κύκλωμα RC και δώστε τυχαίες τιμές τιμές στην αντίσταση (μερικά Ω), στην χωρητικότητα του πυκνωτή (μερικές εκατοντάδες μf) και την τάση της πηγής (μερικά Volts). Ακολούθως σχεδιάστε την γραφική παράσταση του ρεύματος του κυκλώματος και της τάσης του 8

πυκνωτή οι οποίες πρέπει να μοιάζουν με αυτές του Σχήματος 6.2 αλλά με αριθμούς στους άξονες. (3) Τι ισχύει για παράλληλη σύνδεση ενός αριθμού Ν αντιστάσεων; (4) Τι ισχύει για την σύνδεση Ν αντιστάσεων σε σειρά; (5) Τι ισχύει για παράλληλη σύνδεση ενός αριθμού Ν πυκνωτών; (6) Τι ισχύει για την σύνδεση Ν πυκνωτών σε σειρά; Ζητούνται τα ακόλουθα στο κεφάλαιο «αποτελέσματα»: Μέρος 1 (1) Υπολογίστε την ολική χωρητικότητα και την ολική αντίσταση για τους συνδυασμούς που χρησιμοποιήσατε στο Μέρος 2 και 3 αναλυτικά χρησιμοποιώντας τους τύπους της θεωρίας Μέρος 2 (1) Να σχεδιαστούν οι καμπύλες του ρεύματος σαν συνάρτηση του χρόνου για την φόρτιση του πυκνωτή και για διάφορες τιμές της αντίστασης σε γραμμικό και ημιλογαριθμικό διάγραμμα (Σε αυτή την περίπτωση είτε τοποθετείτε τα δεδομένα σας απευθείας σε ημιλογαριθμικό χαρτί, είτε λογαριθμίζετε το ρεύμα και τοποθετείτε τα δεδομένα lni συναρτήσει του t σε κανονικό χαρτί μιλιμετρέ). Προσοχή: Ζητάμε ένα κοινό διάγραμμα I = f(t) με τις τρεις καμπύλες για να μπορεί να γίνει σύγκριση των αποτελεσμάτων, σε χιλιοστομετρικό χαρτί - με το χέρι. Ζητάμε παρομοίως ένα κοινό διάγραμμα lni = f(t) με τις τρεις καμπύλες όπως εξηγήθηκε παραπάνω. Μεμονωμένα διαγράμματα δεν θα γίνουν δεκτά. (2) Να προσδιοριστεί η σταθερά του χρόνου από την κλίση της γραφικής παράστασης lni = f(t) και την αντίστοιχη γραμμική εξίσωση (17) για τις τρεις περιπτώσεις του Μέρους 2. (3) Ποιες είναι οι πειραματικές και οι θεωρητικές τιμές του αρχικού ρεύματος και της σταθεράς του χρόνου για το Μέρος 2; Με τις μετρήσεις και τους υπολογισμούς σας να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα (στα συμπεράσματα). R/MΩ 0,5 1,0 2,0 C/µF σταθερά χρόνου αρχικό ρεύμα θεωρία πείραμα θεωρία πείραμα Μέρος 3 (1) Να σχεδιαστούν οι καμπύλες του ρεύματος συναρτήσει του χρόνου για δεδομένη αντίσταση και για διάφορες τιμές της χωρητικότητας σε γραμμικό διάγραμμα. 9

Προσοχή: Ζητάμε κοινό διάγραμμα με τις τρεις καμπύλες φόρτισης και τις τρεις καμπύλες εκφόρτισης για να μπορεί να γίνει σύγκριση των αποτελεσμάτων. Μεμονωμένα διαγράμματα δεν θα γίνουν δεκτά. Σημείωση: Το λογισμικό MASTECH λαμβάνει ακριβώς δυο μετρήσεις ανά δευτερόλεπτο οπότε πρέπει αναλόγως να κατασκευάσετε την κλίμακα χρόνου. (2) Από τις καμπύλες φόρτισης (ρεύμα σαν συνάρτηση του χρόνου) να προσδιοριστεί το συνολικό φορτίο. Το φορτίο είναι ίσο με το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη και για τον υπολογισμό αυτό μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το λογισμικό ORIGIN του υπολογιστικού κέντρου σύμφωνα με τις οδηγίες που παρέχονται στο eclass. (3) Ποιές είναι οι πειραματικές και θεωρητικές τιμές του φορτίου; Με τις μετρήσεις και τους υπολογισμούς σας να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα (στα συμπεράσματα). (4) Αναφέρατε τα απόλυτα σφάλματα και τυχόν συστηματικά σφάλματα (σε αριθμούς και μονάδες) που εμφανίζονται στις μετρήσεις σας. R/MΩ 1,0 1,0 1,0 C/µF μέγιστο φορτίο του πυκνωτή θεωρία πείραμα 6 Βιβλιογραφία [1] R. A. Serway, Physics for Scientists and Engineers, Volume 2, Saunders College Publishing, 1990. [2] H. D. Young, Πανεπιστημιακή Φυσική, Τόμος Α, Κεφ. 27, εκδόσεις Παπαζήση, Αθήνα, 1994. 10