ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (DC) (ΚΕΦ 26)

Transcript

1 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (DC) (ΚΕΦ 26)

2 ΒΑΣΗ για την ΑΝΑΛΥΣΗ: R = V/I, V = R I, I = V/R (Νόμος Ohm) ΙΔΑΝΙΚΟ ΚΥΚΛΩΜΑ: Αντίσταση συρμάτων και Aμπερομέτρου (A) =, ενώ του Βολτομέτρου (V) =. Εάν η εσωτερική αντίσταση r της πηγής emf δεν είναι αμελητέα, τότε V = r I.

3 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ Αντιστάσεις σε σειρά: Συνεπώς Αντιστάσεις παράλληλα: Συνεπώς

4 Πηγές Αντιστάσεις ΑΡΧΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Τυπικό καθήκον: Δοθέντων των δυναμικών στους ακροδέκτες των μπαταριών (πηγών) και τις αντιστάσεις να βρεθούν τα ρεύματα και τα δυναμικά για όλα τα στοιχεία του κυκλώματος. Πρώτο βήμα: Σε κάθε περίπτωση, εισάγουμε αυθαίρετα (αλλά βολικά) κατευθυνόμενα ρεύματα. Δεύτερο βήμα (κανόνες του Kirchhoff): Κανόνας των κόμβων Σε κόμβους Σ Ι = Σε κάθε στοιχείο και με βάση τη φορά των ρευμάτων που υποθέσαμε, το δυναμικό είναι χαμηλότερο προς τα εκεί που ρέει το ρεύμα. Τα πρόσημα στους ακροδέκτες της πηγής δίνονται από την πολικότητά της. Αντιστάσεις Πηγές Κανόνας των βρόχων Σε βρόχους Σ ΔV= Ορίζουμε φορά άθροισης των διαφορών δυναμικού στο βρόχο. Εάν το ρεύμα ρέει ομόρροπα (αντίρροπα) με τη φορά που καθορίσαμε τότε η πτώση τάσης είναι αρνητική (θετική). Εάν η φορά διαγραφής που ορίσαμε «πέφτει» στο («+») μίας πηγής τότε η ΗΕΔ της πηγής είναι θετική (αρνητική).

5 Σύμβαση προσδιορισμού του ΔV πορεία πορεία υψηλότερο χαμηλότερο χαμηλότερο υψηλότερο πορεία πορεία χαμηλότερο υψηλότερο υψηλότερο χαμηλότερο

6 ΚΑΝΟΝΕΣ KIRCHHOFF 1. Κανόνας κόμβων: (αρχή διατήρησης φορτίου) Σ I = (για κάθε κόμβο) ή Σ I in =Σ I out ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Άγνωστοι: I, I 1, I 2, V + - V R Ι V Ι 1 Ι 2 R 1 R 2 Κόμβος: Ι =Ι 1 +Ι 2 Διαφορές Δυναμικού στα στοιχεία του κυκλώματος: V=I 1 R 1 V=I 2 R 2 V -V=I R

7 ΚΑΝΟΝΕΣ KIRCHΗOFF 2. Κανόνας βρόχων: (διατηρητικό πεδίο) Σ ΔV = (για κάθε βρόχο) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Άγνωστοι: I, I 1, I V R Ι V Ι 1 Ι 2 R 1 R 2 (1) Δεξιός βρόχος: -Ι 2 R 2 + I 1 R 1 = (2) Αριστερός βρόχος: -Ι R -I 1 R 1 +V = (3) Μεγάλος βρόχος: -R I R 2 I 2 + V =

8 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΠΥΚΝΩΤΩΝ πορεία πορεία χαμηλότερο Υψηλότερο υψηλότερο χαμηλότερο

9 ΕΚΦΟΡΤΙΣΗ ΠΥΚΝΩΤΗ ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ: i(t) Για t <, το C συνδέεται στο V, οπότε Q = C V. Για t =, C συνδέεται στο R, όποτε αρχίζει η εκφόρτιση. Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Για t >, το q (στο (+) πλακίδιο) ελαττώνεται με το χρόνο, q = q(t), με q() = Q. Με q = q(t), το δυναμικό V = V(t) στους ακροδέκτες του πυκνωτή και το ρεύμα i = i(t) στην αντίσταση ελαττώνεται με το χρόνο. Ζητούμενο: q = q(t), V = V(t) και i = i(t). Σημείωση: Κατά την εκφόρτιση (το (+) πλακίδιο του πυκνωτή χάνει φορτίο) dq <, ενώ το ρεύμα i στην αντίσταση είναι θετικό, συνεπώς i = - dq/dt.

10 Καταστρώνοντας τη διαφορική εξίσωση για q = q(t). Εφαρμογή του κανόνα των βρόχων του Kirchhoff ΣΔV =, στο κύκλωμα: -R i + q/c = Συνεπώς: R (dq/dt) = -q/c i(t) dq q q = = dt RC τ όπου τ = RC είναι η σταθερά χρόνου της διαδικασίας εκφόρτισης. Ολοκληρώνουμε χωρίζοντας τις μεταβλητές t t () [ ln q] ln () = τ = dq dt dq t q t t = = = = q τ q τ Q τ V C =V R =V(t) qt () Q V() t erc VeRC i C =i R =i(t) V = = = it () = erc = ie C C R qt Qe Qe RC q=q(t) RC

11 Αρχικές Συνθήκες C συνδέεται μέσω της R και του διακόπτη S, στην πηγή με ΗΕΔ V f (ο δείκτης f για final, επειδή V f είναι το δυναμικό στους ακροδέκτες του C όταν είναι πλήρως φορτισμένος). Για t < (S ανοικτός) C δεν έχει φορτίο, συνεπώς καθόλου δυναμικό στα άκρα του. Για t = (S κλείνει) υπάρχει στιγμιαίο ρεύμα I = V f /R στην R, μεταφέροντας φορτίο q στον C με ρυθμό dq/dt =i, που ελαττώνεται με τον χρόνο από i() = i σε i( ) =. ΦΟΡΤΙΣΗ ΠΥΚΝΩΤΗ Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Το φορτίο q(t) αυξάνει με το χρόνο στους ακροδέκτες του C, όπως επίσης και το δυναμικό V. Ταυτόχρονα το δυναμικό στα άκρα της R ελαττώνεται όπως επίσης και το ρεύμα i = i(t) στην αντίσταση.

12 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΓΙΑ ΤΟ q = q(t) Εφαρμογή του κανόνα των βρόχων του Kirchhoff ΣΔV =, στο κύκλωμα -R i - q/c +V f =, Συνεπώς R (dq/dt)+q/c=v f και διαιρώντας με το R: V f dq q dq q + = + = = i dt RC dt τ R όπου τ = RC είναι η σταθερά χρόνου της διαδικασίας φόρτισης. Όμως και i=i(t) και q=q(t). Αν όμως παραγωγίζουμε ως t: () 1 () 1 it () + q = i di t dq t + = di + i= RC dt RC dt dt RC Η τελευταία έχει λύση την it () = ie RC όπου t = i()=i. ενώ t i( )=

13 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΓΙΑ ΤΟ q = q(t) Για να βρούμε το q(t) αντικαθιστούμε το i(t) στην αρχική εξίσωση: V f dq q + = = dt RC R i t q q ierc RC + = i = i ie q= irc 1 erc = RC RC = Q 1 RC f e Για να βρούμε το V(t) αντικαθιστούμε το i(t) στην αρχική εξίσωση: V V i() t + = V () t = V Ri() t = V Ri e = V 1 e R R f RC f f f RC