HMY 102 Ανασκόπηση της μεταβατικής ανάλυσης Πρωτοτάξια κυκλώματα (RL και RC)

Transcript

1 Ths mag canno currnly b dsplayd. Τρία είναι τα βασικά παθητικά στοιχεία στη θεωρία γραμμικών κυκλωμάτων:, και HMY 12 Ανασκόπηση της μεταβατικής ανάλυσης Πρωτοτάξια κυκλώματα ( και ) απορροφά ενέργεια και αποθηκεύουν ενέργεια (ως μαγνητικό και ηλεκτρικό πεδίο αντίστοιχα) χωρίς απώλειες. Πυκνωτής - d (1) 1 ( ) d ( ) (2) Η τάση δεν μπορεί να αλλάξει στιγμιαία. Στη σταθερή κατάσταση, μοιάζει με ένα ανοικτό κύκλωμα. Πηνίο - d (3) 1 ( ) d ( ) (4) Το ρεύμα δεν μπορεί να αλλάξει στιγμιαία. Στη σταθερή κατάσταση, μοιάζει με ένα βραχυκύκλωμα. 1 2 Στη θεωρία γραμμικών κυκλωμάτων, χρησιμοποιούνται τρεις κύριοι τύποι ανάλυσης: D A (σε σταθερή κατάσταση) Μεταβατική Στη μεταβατική ανάλυση, αντιμετωπίζουμε αλλαγές στις συνθήκες του κυκλώματος, και πιο συγκεκριμένα με αλλαγές σε πηγές τάσης (ή ρεύματος). Για παράδειγμα, μια κοινή περίπτωση είναι η βηματική αλλαγή μιας πηγής τάσης από μια τιμή σε μια άλλη. Αυτό μπορεί να πραγματοποιηθεί με ένα διακόπτη: Ο Διακόπτης Ο διακόπτης κλείνει όταν Ο 3 Μπορούμε έπειτα να αναλύσουμε στο πεδίο του χρόνου το τι γίνεται. Αν το κύκλωμά μας περιέχει αντιστάσεις και πηγές, τα αποτελέσματα δεν είναι πολύ ενδιαφέροντα Αλλά αν συμπεριλάβουμε πυκνωτές ή πηνία, η απόκριση είναι πιο ενδιαφέρουσα επειδή εμπλέκονται οι παράγωγοι! Για παράδειγμα, για ένα κύκλωμα με μηδενική αρχική τάση, η βηματική απόκριση φαίνεται όπως παρακάτω: ( ) Ο διακόπτης κλείνει όταν τ 2τ 3τ 4τ Βηματική είσοδος 1 Tm Μετά από θεωρητικά άπειρο χρόνο, η τάση του πυκνωτή φτάνει την τιμή σταθερής κατάστασης.(σημειώστε ότι μετά από χρόνο ίσο με 4τ, είμαστε ήδη στο 98% της τελικής τιμής, δηλαδή πρακτικά φτάνουμε στη σταθερή κατάσταση μετά από 4τ). / 4

2 Υπάρχουν τρία σημαντικά στοιχεία σχετικά με την απόκριση: Οι αρχικές συνθήκες για = (η στιγμή που εφαρμόζεται η βηματική είσοδος) / / ( ) 1 (5) Οι συνθήκες σταθερής κατάστασης για Η ενδιάμεση περιοχή, δηλαδή η μεταβατική περίοδος Τιμή σταθερής κατάστασης Συνιστώσα μεταβατικής κατάστασης () Αρχικές συνθήκες 1 ( ) / 1 τ 2τ 3τ 4τ Μεταβατική περιοχή Tm Σταθερή κατάσταση 1 / ( ) Η τιμή σταθερής κατάστασης εξαρτάται απλά από τη διέγερση (δηλαδή την πηγή τάσης) συνεπώς μπορούμε να χαρακτηρίσουμε αυτή την τιμή εξαναγκασμένη απόκριση (orcd rspons) Η μεταβατική συνιστώσα εξαρτάται μόνο από τη σταθερά χρόνου,, δηλαδή δεν εξαρτάται από την πηγή. Αυτή η τιμή ονομάζεται φυσική απόκριση (naural rspons). / / ( ) 1 Forcd rspons Naural rspons 5 6 Μικρή σταθερά χρόνου σημαίνει ότι η τάση θα φτάσει στην τιμή σταθερής κατάστασης πιο γρήγορα. Όταν = τ, η τάση φτάνει το 63% της τελικής της τιμής: 1, 1,,8,6,4,2, 1 / Tm (s) αύξηση τ,632 τ =.5 sc τ = 2 sc τ = 4 sc 7 Κοιτώντας το ρεύμα και την τάση στα άκρα του πυκνωτή, μπορούμε να κάνουμε συγκεκριμένες παρατηρήσεις. Ο διακόπτης κλείνει όταν τ 2τ 3τ 4τ ( ) / 1 ( ) / Tm Στο παράδειγμα αυτό, αρχικά δεν υπάρχει διαφορά δυναμικού στα άκρα του πυκνωτή (είναι αφόρτιστος ). Όταν κλείσει ο διακόπτης, σχηματίζεται ένα κύκλωμα. Όμως η τάση δε μπορεί να αλλάξει αμέσως (η τάση στα άκρα ενός πυκνωτή δεν αλλάζει στιγμίαία). Όλη τάση «πέφτει» πάνω στην αντίσταση και το αρχικό ρεύμα είναι /. Καθώς φορτίζει ο πυκνωτής, η τάση στα άκρα του αυξάνεται ενώ το ρεύμα μειώνεται. Στη σταθερή κατάσταση, είναι πλήρως φορτισμένος όλη τάση «πέφτει» τώρα πάνω στον πυκνωτή (ο οποίος συμπεριφέρεται σαν ανοικτό κύκλωμα) και δεν υπάρχει ρεύμα. 8

3 Πως, λοιπόν, μπορούμε να βρούμε τη βηματική απόκριση σε κυκλώματα όπως το σε σειρά? Υπάρχουν τρεις βασικά βήματα: Πως βρίσκουμε την αρχική συμπεριφορά και τη συμπεριφορά σταθερής κατάστασης? Sadysa 1. Βρίσκουμε τη μαθηματική έκφραση της μεταβατικής κατάστασης 2. Βρίσκουμε την τιμή σταθερής κατάστασης 3. Βρίσκουμε την αρχική τιμή Inal condon τ 2τ 3τ 4τ Tm Sadysa Σε συνθήκες σταθερής κατάστασης, ο πυκνωτής συμπεριφέρεται ως ανοικτό κύκλωμα. Transn rgon Σε συνθήκες σταθερής κατάστασης, το πηνίο συμπεριφέρεται ως βραχυκύκλωμα. Inal condon τ 2τ 3τ 4τ Tm Η τάση στα άκρα του πυκνωτή δε μπορεί να αλλάξει στιγμιαία. Το ρεύμα που διαρρέει ένα πηνίο δε μπορεί να αλλάξει στιγμιαία. 9 1 Πως βρίσκουμε τη συμπεριφορά κατά τη μεταβατική περίοδο? τ 2τ 3τ 4τ Transn Tm Παράδειγμα 1 Ι Υποθέτουμε ότι ο διακόπτης του κυκλώματος είναι κλειστός για μεγάλο χρονικό διάστημα. Η πηγή ρεύματος είναι βραχυκλωμένη, συνεπώς δεν διαρρέει ρεύμα ούτε την αντίσταση ούτε το πηνίο. Θα δείξουμε ότι η πλήρης απόκριση για τα και κυκλώματα παίρνει τη μορφή: Όπου είναι μια μεταβλητή του κυκλώματος (π.χ. τάση, ρεύμα, φορτίο). (6) Ι Ο διακόπτης ανοίγει τη στιγμή =, οπότε το ρεύμα μπορεί πλέον να περάσει από τα στοιχεία και. Αλλά το ρεύμα που διαρρέει το πηνίο δε μπορεί να αλλάξει στιγμιαία, οπότε αρχικά δεν θα υπάρχει κανένα ρεύμα στο πηνίο. Αρχική τιμή Τιμή σταθερής κατάστασης Σταθερά χρόνου. Για κυκλώματα είναι, για κυκλώματα είναι /. 11 Ι () () Αυτό είναι το ισοδύναμο κύκλωμα τη στιγμή που ανοίγει ο διακόπτης. I 12

4 Συνέχεια παραδείγματος 1 Ι Ι Αφού ο διακόπτης παραμείνει ανοικτός για μεγάλο διάστημα, το κύκλωμα φτάνει στη σταθερή κατάσταση όπου το πηνίο συμπεριφέρεται σαν βραχυκύκλωμα. Αυτό είναι το ισοδύναμο κύκλωμα στη σταθερή κατάσταση. Το πηνίο τώρα βραχυκυκλώνει την αντίσταση, οπότε το ρεύμα μέσω του πηνίου είναι: I Στη διαφάνεια 11, είπαμε ότι η απόκριση στο πεδίο του χρόνου σε και κυκλώματα για εισόδους όπως η βηματική συνάρτηση παίρνει τη μορφή: Αυτή είναι μια λύση της πρωτοβάθμιας διαφορικής εξίσωσης: d K Η μεταβλητή θα μπορούσε να είναι η τάση, ένταση, το φορτίο ή η μαγνητική ροή, ανάλογα με το υπό ανάλυση κύκλωμα. Όμως, πως βρίσκουμε τη διαφορική εξίσωση για ένα συγκεκριμένο κύκλωμα? (7) Από: I I I Βρίσκοντας τη διαφορική εξίσωση του κυκλώματος σε σειρά Τι γίνεται με άλλα κυκλώματα? Για παράδειγμα, σε σειρά? Κλείνει ο διακόπτης Κλείνει ο διακόπτης Νόμος τάσεων Krchho Νόμος τάσεων Krchho Ρεύμα πυκνωτή d d d (8) d Τάση στα άκρα του πηνίου d / (9) d Αυτός ο όρος πρέπει να έχει διαστάσεις χρόνου ούτως ώστε να είναι σωστή η εξίσωση. Για αυτόν ακριβώς το λόγο η ονομάζεται σταθερά χρόνου. 15 Αυτός ο όρος πρέπει να έχει διαστάσεις χρόνου ούτως ώστε να είναι σωστή η εξίσωση. Για αυτόν ακριβώς το λόγο η / ονομάζεται σταθερά χρόνου. 16

5 παράλληλα? Ι Όταν ο διακόπτης είναι κλειστός, η πηγή ρεύματος βραχυκυκλώνεται Νόμος ρευμάτων Krchho Ρεύμα πυκνωτή I Ανοίγει ο διακόπτης Ι d d I d (1) I παράλληλα? Ι Νόμος τάσεων Krchho Τάση στα άκρα του πηνίου I Ανοίγει ο διακόπτης d Ι d I d I / (11) (Μπορούμε να καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας μετατροπή πηγών και λύνοντας το σε σειρά κύκλωμα) 17 (Μπορούμε να καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας μετατροπή πηγών και λύνοντας το σε σειρά κύκλωμα) 18 Κλείνει ο διακόπτης Κλείνει ο διακόπτης Ι Ανοίγει ο διακόπτης d d / d I Όλες οι προηγούμενες εξισώσεις έχουν την ίδια μαθηματική μορφή: d K Αυτή είναι μια πρώτου βαθμού διαφορική εξίσωση, όπου είναι μια μεταβλητή του κυκλώματος (π.χ. τάση ή ένταση) και το K είναι σχετικό με την πηγή. Αναφερόμαστε στα και κυκλώματα ως πρωτοτάξια κυκλώματα. Ένα πρωτοτάξιο κύκλωμα περιέχει μόνο ένα στοιχείο αποθήκευσης ενέργειας(είτε έναν πυκνωτή είτε ένα πηνίο) μαζί με μια αντίσταση. Οι δύο βασικοί τύποι πρωτοτάξιων κυκλώματων είναι τα και, με αντίστοιχες σταθερές χρόνου (12) (13) Ι Ανοίγει ο διακόπτης d I / 19 2

6 Λύση της πρωτοβάθμιας διαφορικής εξίσωσης (βηματική απόκριση) d K Μετά από άπειρο χρόνο, φτάνουμε στη σταθερή κατάσταση και η παράγωγος είναι μηδέν: (14) d s Δοκιμαστική λύση: (18), d Από (14) και (16): d, K K Τιμή σταθερής κατάστασης (15) (16) d K (17) 21 Παραγωγίζουμε (18): Αντικαθιστούμε την (18) και (19) στη (17): Από την (2): Η είναι γενικά μη μηδενική, οπότε: d s s 1 s s s 1 1 s s (19) (2) (21) (22) 22 s Αντικαθιστούμε την (22) στη (18): (23) Για =, έχουμε: Από (24) και (25): Έστω ότι Αν υπάρχουν μηδενικές αρχικές συνθήκες, τότε η (27) γίνεται: (25) (26) (27) 1 (28) (24) 23 Άρα για το κύκλωμα, έχουμε: Συγκρίνοντας με: d 1 K Ο διακόπτης κλείνει ( ) έχουμε: d K K. 1 24

7 Για το κύκλωμα, έχουμε: Συγκρίνοντας με: d Ο διακόπτης κλείνει K ( ) έχουμε: / d / K Φυσική απόκριση των και κυκλωμάτων Θυμηθείτε ότι ο όρος K σχετίζεται με την πηγή: Και ότι: K Άρα για ένα κύκλωμα χωρίς πηγή, έχουμε: d d και: K K. Ένα κύκλωμα χωρίς πηγές θα έχει απόκριση (την αναφέρουμε ως φυσική απόκριση), δεδομένου ότι υπάρχει μια αρχική συνθήκη/κατάσταση Πως το πετυχαίνουμε αυτό? 26 Φυσική απόκριση του κυκλώματος Α Β Ο διακόπτης είναι στη θέση A για μεγάλο χρονικό διάστημα, τόσο ώστε να έχει φτάσει σε συνθήκες σταθερής κατάστασης και η τάση στον πυκνωτή είναι. Ο πυκνωτής είναι πλήρως φορτισμένος. Χρησιμοποιώντας: γράφουμε: ( ) Α Β ( ) Τη χρονική στιγμή =, ο διακόπτης κινείται στη θέση B και η πηγή δεν ανήκει πλέον στο κυκλωμα. Τη χρονική στιγμή =, το κύκλωμα φαίνεται έτσι ένα κύκλωμα χωρίς πηγή, με αρχική συνθήκη: ( ) 27 Επίσης, από το παραπάνω κύκλωμα μπορούμε να δούμε ότι: ( ) τ 2τ 3τ 4τ Tm / 28

8 Φυσική απόκριση του κυκλώματος Χρησιμοποιώντας: Ι Α Β Ο διακόπτης είναι στη θέση A για μεγάλο χρονικό διάστημα, τόσο ώστε να έχει φτάσει σε συνθήκες σταθερής κατάστασης και το ρεύμα μέσω του πηνίου είναι I. γράφουμε: I Ι Α Β Τη χρονική στιγμή =, ο διακόπτης κινείται στη θέση B και η πηγή δεν ανήκει πλέον στο κυκλωμα. ( ) I I / ( ) I / τ 2τ 3τ 4τ Tm Τη χρονική στιγμή =, το κύκλωμα φαίνεται έτσι ένα κύκλωμα χωρίς πηγή, με αρχική συνθήκη: ( ) I 29 3