ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.2-1.6 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τη διάμεσο ΑΔ και μια παράλληλη προς την ΑΔ, η οποία τέμνει τη ΒΓ στο Ε, την ΑΓ στο Ζ και την ΑΒ στο Η. Να αποδείξετε ότι : ΑΗ/ΑΖ=ΑΒ/ΑΓ
2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε παράλληλη της ΒΓ που τέμνει την ΑΒ στο Δ και την ΑΓ στο Ε.Από το Γ φέρνουμε παράλληλη προς την ΒΕ που τέμνει την ΑΒ στο Ζ. Αν ΑΔ =4cm και ΑΖ = 9cm, να υπολογίσετε την πλευρά ΑΒ.
3. Τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Η διχοτόμος της γωνίας Α τέμνει την πλευρά ΒΓ στο Δ και τον κύκλο στο Ε. Να δείξετε ότι: α). Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι όμοια. β). Τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΑΒΕ είναι όμοια. γ). Τα τρίγωνα ΒΕΔ και ΑΒΕ είναι όμοια.
4. Από το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ φέρνουμε κάθετες προς τις ΑΓ και ΑΒ που τις τέμνουν στα σημεία Ε και Δ αντίστοιχα. Αν ΑΗ το ύψος του τρίγωνου, να δείξετε ότι: α). Τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΑΒΗ είναι όμοια β). Τα τρίγωνα ΜΕΓ και ΑΗΓ είναι όμοια γ). ΑΒ ΜΔ = ΜΕ ΑΓ
5. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Α 90 ο ), φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Να αποδείξετε ότι: α). ΑΒ 2 = ΒΔ ΒΓ β). ΑΓ 2 = ΔΓ ΒΓ γ). ΑΔ 2 = ΒΓ ΒΔ ΒΔ 2
6. Δίνονται δύο όμοια τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ με λόγο ομοιότητας AB/ΔΕ 2/5. Αν είναι ΑΒ =8cm, ΒΓ = 10cm και ΓΑ = 12cm, να υπολογίσετε τις πλευρές του ΔΕΖ.
7. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90 0 ) φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΒ, ΑΔΓ είναι όμοια.
8. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Αν Μ, Ν είναι σημεία των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα τέτοια ώστε ΑΜ = ΑΝ και ΜΗ και ΝΚ είναι οι αποστάσεις τους από την πλευρά ΒΓ, τότε: α) Να γίνει το σχήμα και να αποδείξετε ότι: ΜΗ = ΝΚ β) Να δείξετε ότι MN παράλληλη στην ΒΓ και ότι τα τρίγωνα ΑΜΝ και ΑΒΓ είναι όμοια. γ) Αν ΑΒ =12cm, ΑΜ =3cm ΜΝ= 2cm τότε να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών: ΒΓ, ΒΗ.
9. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ), με Ο το σημείο τομής των διαγώνιων. Από το Ο φέρνουμε παράλληλη προς τη ΓΔ που τέμνει τις ΑΔ, ΒΓ στα σημεία Ε και Ζ όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να αποδείξετε ότι : α) Τα τρίγωνα ΑΟΕ και ΑΔΓ είναι όμοια και να γράψετε τους ίσους λόγους β) Τα τρίγωνα ΒΟΖ και ΒΔΓ είναι όμοια και να γράψετε τους ίσους λόγους EA B γ) A
10. Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος με (ΑΓ)=4cm και (ΑΒ)=3cm και (ΒΓ)=5cm. Αν ΑΔ ύψος του, α) να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΑΒΓ είναι όμοια. β) να γράψετε τους ίσους λόγους για το παραπάνω ζεύγος ομοίων τριγώνων. γ) να υπολογίσετε το μήκος (σε cm) του ύψους ΑΔ.
11. Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΔΕ//ΒΓ και ΑΔ=6cm, ΔΒ=2cm, ΑΕ= 9cm και ΒΓ=20cm. α. Να υπολογίσετε το ΕΓ. β. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια. γ. Να υπολογίσετε το ΔΕ.
12. Στο παρακάτω σχήμα είνα ΔΕ ΒΓ και ΑΔ=3χ+1, ΔΒ=χ-1, ΑΕ=χ+7 και ΕΓ=χ-2. Να υπολογίσετε το χ.
13. Αν ΔΕ//ΒΓ, να υπολογίσετε το x, όταν ΑΔ=3cm, ΔΒ=2cm, ΑΕ=x, ΕΓ=3cm.
14. Στο παρακάτω σχήμα ΔΕ// ΒΓ. Αν ΑΔ= 2ω, ΑΕ=3, ΔΒ= ω+1, ΕΓ= 4ω-1 να υπολογιστεί η τιμή του ω.
15. Σε τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ να φέρετε τα ύψη ΑΔ, ΓΕ και Ζ το σημείο τομής των. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕΖ και ΓΔΖ είναι όμοια και να γράψετε τις αναλογίες των πλερών των.
16. Αν τα δύο τρίγωνα ΑΒΓ, Α Β Γ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας λ, να δείξετε ότι και ο λόγος των διχοτόμων ΑΔ και Α Δ δ/δ =λ
17. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο είναι ΜΒ = 2ΜΔ, και ΔΕ = 4 α) Να δειχτεί ότι τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΔΜΕ είναι όμοια και να γραφούν οι ίσοι λόγοι που προκύπτουν από την ομοιότητα β) Να βρεθεί ο λόγος ομοιότητας. γ) Να υπολογιστεί η πλευρά ΑΒ.
18. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΔΕ // ΒΓ και ΕΖ // ΑΒ, ΑΔ=7cm, ΕΓ=6cm, ΑΕ=χ, ΕΖ=3cm. Να υπολογίσετε το χ.
19. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του σχήματος, το ΑΔ είναι ύψος του. α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΒΓ είναι όμοια. β. Να γράψετε τους ίσους λόγους που προκύπτουν από την ομοιότητα του ερωτήματος α. γ. Αν ΑΒ =8cm και BΔ=6,4 cm, τότε να βρείτε το μήκος της ΒΓ.
20. Στο διπλανό σχήμα ισχύει = ω και ΑΒ=6 cm, ΑΓ=8 cm και ΔΕ=4cm. Ι) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΔΕ είναι όμοια ΙΙ) Να υπολογίσετε την πλευρά ΒΕ, αιτιολογώντας το αποτέλεσμα. ω Δ Α Β Ε ω Γ
21. Στο διπλανό σχήμα η ΔΕ//BΓ. Αν ΑΔ = 2, ΑΕ = 3, ΔΒ =x-1, ΕΓ=2x-4, ΔΕ=y και ΒΓ=12, τότε: α) Να υπολογίσετε το x. β) Αφού αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια να γράψετε τους ίσους λόγους που προκύπτουν από την ομοιότητα των τριγώνων αυτών. γ) Να υπολογίσετε το y.
22. Στο σχήμα είναι ΑΒ = 12cm, ΒΓ = 13cm,ΑΓ = 5cm, ΔΕ = 4cm και ΒΔΕ = 90. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΔΕ είναι όμοια. γ) Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος ΒΕ. δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΒΔΕ.
23. Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ είναι: ΑΒ/ /ΚΜ//ΓΔ, ΑΚ = 6m, KΔ=4m, BΛ=ω, ΛΕ=φ, BM=3m και BE=9m. Να υπολογίσετε τα ω, φ και ΒΓ.
24. Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΔΕ//ΒΓ και ΑΔ=4cm, ΔΒ=2cm, ΑΕ= 6cm α. Να υπολογίσετε το ΕΓ. β. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια και να υπολογίσετε το λόγο ομοιότητας των.