Άσκηση 7 1 Άσκηση 7: Θεώρημα επαλληλίας α) Θεωρητικό μέρος Έχουμε ένα κύκλωμα με δύο διεγέρσεις, δύο πηγές τάσης (Σχήμα 1). Στο κύκλωμα αυτό αναπτύσσονται έξι αποκρίσεις, τρία ρεύματα και τρεις τάσεις, οι οποίες είναι σημειωμένες στο σχήμα. Έχουμε επιλέξει αυθαίρετα τη φορά των ρευμάτων και στη συνέχεια ορίσαμε και την πολικότητα των τάσεων, με τέτοιο τρόπο ώστε τα ρεύματα και οι τάσεις να έχουν ίδιο πρόσημο (δεδομένου ότι μία αντίσταση μπορεί μόνο να καταναλώνει ισχύ, εάν ορίσουμε τη φορά του ρεύματος και την πολικότητα της τάσης με τέτοιο τρόπο που το θετικό πρόσημο της τάσης να βρίσκεται στον ακροδέκτη που εισέρχεται το ρεύμα, τότε το ρεύμα και η τάση θα έχουν οπωσδήποτε το ίδιο πρόσημο). Αφού υπάρχουν δύο ανεξάρτητες πηγές στο κύκλωμα μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα της επαλληλίας για την επίλυσή του. Σύμφωνα με αυτό, όλα τα ρεύματα και οι τάσεις του κυκλώματος ισούνται με το αλγεβρικό άθροισμα των αντίστοιχων μεγεθών που έχουμε στις δύο περιπτώσεις που η κάθε μία πηγή δρα ανεξάρτητα, δηλαδή υπάρχει μόνο η μία πηγή και η άλλη είναι μηδενισμένη. Μηδενισμός πηγής τάσης σημαίνει αντικατάστασή της με βραχυκύκλωμα. Στο πρώτο κύκλωμα (Σχήμα 2) μηδενίζουμε την πηγή και αφήνουμε ενεργή την πηγή V s1. Το κύκλωμα απλοποιείται σημαντικά, καθώς τώρα οι αντιστάσεις και R 3 συνδέονται παράλληλα, και η ισοδύναμή τους συνδέεται σε σειρά με την αντίσταση R 1. Κατά συνέπεια η συνολική αντίσταση που βλέπει η πηγή τάσης είναι: R 1 I 2 V s1 V 3 R 3 V 1 V 2 Σχήμα 1: Κύκλωμα με δύο πηγές τάσης και τρεις αντιστάσεις Α R 1 Α V s1 V 3 R 3 I 2 Α V 1 V 2 Σχήμα 2: Μηδενίζουμε την πηγή και αφήνουμε μόνο την πηγή V s1 ενεργή Κύκλωμα Α R ΟΛ = R 1 R 3 = R 3 R 3 Το ρεύμα που δίνει η πηγή είναι: Ι 1 Α = V s1 R ΟΛ = ( R 3 ) V s1 Τα άλλα δύο ρεύματα υπολογίζονται εύκολα με χρήση της σχέσης του διαιρέτη ρεύματος: Ι Α 2 = R 3 I R 1 = R 3 ( R 3 ) V s1 3 R 3 I R 3 V s1 2 =
2 Θεώρημα επαλληλίας Ι Α 3 = I R 1 = ( R 3 ) V s1 3 R 3 I V s1 3 = Οι τρεις τάσεις στα άκρα των αντιστάσεων υπολογίζονται εύκολα από το νόμο του Ωμ: V 1 = I R 1 ( R 3 ) V s1 1 R 1 = V 2 = I R 3 V s1 2 = V 3 = I R 3 V s1 3 R 3 = Β R 1 Β I 2 Β R 3 V 1 V 2 V 3 Σχήμα 3: Μηδενίζουμε την πηγή V s1 και αφήνουμε μόνο την πηγή ενεργή Κύκλωμα Β Προφανώς οι τάσεις στα άκρα των αντιστάσεων και R 3 είναι ίδιες, αφού συνδέονται παράλληλα. Στη συνέχεια μηδενίζουμε την πηγή V s1 και αφήνουμε ενεργή την πηγή. Το κύκλωμα που προκύπτει είναι παρόμοιο με το προηγούμενο (Σχήμα 3). Προσοχή, οι ζητούμενες τάσεις και τα ρεύματα πρέπει να παραμείνουν με την ίδιες πολικότητες και φορές, παρόλο που κάποια από αυτά τα μεγέθη τώρα θα έχουν αρνητικό πρόσημο. Η συνολική αντίσταση που βλέπει τώρα η πηγή τάσης είναι: R ΟΛ = R 1 R 3 R 1 R 3 Το ρεύμα που δίνει η πηγή είναι: Ι Β 2 = = R ΟΛ R = 1 R 3 R 1 R 3 (R 1 R 3 ) = Τα άλλα δύο ρεύματα υπολογίζονται εύκολα με χρήση της σχέσης του διαιρέτη ρεύματος: Ι 1 Β = R 3 R 1 R 3 I 2 Β = = R 3 (R 1 R 3 ) R 1 R 3 I Β R 3 1 = Ι 3 = R 1 R 1 R 3 (I 2 ) =
Άσκηση 7 3 = R 1 (R 1 R 3 ) R 1 R 3 I R 1 3 = Οι τρεις τάσεις στα άκρα των αντιστάσεων υπολογίζονται εύκολα από το νόμο του Ωμ: V 1 = I R 1 R 3 1 R 1 = V 2 = I (R 1 R 3 ) 2 = V 3 = I R 1 R 3 3 R 3 = Προφανώς οι τάσεις στα άκρα των αντιστάσεων R 1 και R 3 είναι ίδιες, αφού συνδέονται παράλληλα. Τα ρεύματα και οι τάσεις που έχουμε όταν ενεργούν και οι δύο πηγές είναι το αλγεβρικό άθροισμα των αντίστοιχων μεγεθών, όταν ενεργεί η κάθε μία πηγή χωριστά: (R = I 1 I 2 R 3 ) V s1 1 = R 3 = ( R 3 ) V s1 R 3 I 2 = I 2 I R 3 V s1 2 = (R 1 R 3 ) I 2 = R 3 V s1 (R 1 R 3 ) = I 3 I V s1 3 = R 1 V s1 R 1 = V 1 = V 1 V R 1 ( R 3 ) V s1 1 = R 1 R 3
4 Θεώρημα επαλληλίας V 1 = R 1 ( R 3 ) V s1 R 1 R 3 V 2 = V 2 V 2 = R 3 V s1 (R 1 R 3 ) V 2 = R 3 V s1 (R 1 R 3 ) V 3 = V 3 V 3 = R 3 V s1 R 1 R 3 V 3 = R 3 V s1 R 1 R 3 Προσέξτε ότι κάθε τάση και κάθε ρεύμα είναι γραμμικός συνδυασμός των τιμών των πηγών, δηλαδή της μορφής: I i = α i V s1 β i V i = γ i V s1 δ i Οι συντελεστές που πολλαπλασιάζουν τις τιμές των πηγών είναι σταθεροί αριθμοί που εξαρτώνται από τις τιμές των αντιστάσεων και την τοπολογία του κυκλώματος. Για παράδειγμα, για το ρεύμα Ι 2 του παραπάνω κυκλώματος οι συντελεστές είναι: α 2 = (R 1 R 3 ) β 2 = Το σημαντικό συμπέρασμα από την παραπάνω γραμμική μορφή των εξισώσεων που δίνουν τις αποκρίσεις (τα ρεύματα και τις τάσεις) οποιουδήποτε γραμμικού κυκλώματος είναι ότι η συνεισφορά ή η επίδραση κάθε πηγής του κυκλώματος σε κάθε ρεύμα ή τάση του κυκλώματος είναι ανεξάρτητη από τις συνεισφορές των άλλων πηγών. R 3 β) Πειραματικό μέρος Θα κατασκευάσουμε ένα κύκλωμα με δύο πηγές, χρησιμοποιώντας δύο τροφοδοτικά του εργαστηρίου και τρεις αντιστάσεις. Στη συνέχεια θα μετρήσουμε τα ρεύματα και τις τάσεις του κυκλώματος σε τρεις περιπτώσεις: α)
Άσκηση 7 5 Όταν ενεργεί η μία πηγή, β) Όταν ενεργεί η άλλη και γ) Όταν ενεργούν και οι δύο. Τα ρεύματα και οι τάσεις της τρίτης περίπτωσης θα πρέπει να ισούνται με το αλγεβρικό άθροισμα των άλλων δύο περιπτώσεων. 1. Κατασκευάστε το κύκλωμα, το οποίο επαναλαμβάνεται για ευκολία (Σχήμα 4), επιλέγοντας αντιστάσεις της ίδιας τάξης μεγέθους. Συνδέστε δύο τροφοδοτικά συνεχούς τάσης όπως φαίνεται στο σχήμα. 2. Μετρήστε με ένα βολτόμετρο τις δύο τάσεις που δίνουν οι πηγές και σημειώστε τις τιμές τους. 3. Τοποθετήστε ένα αμπερόμετρο στο κύκλωμα ώστε να μετράει το ρεύμα Ι 1 με τη φορά που φαίνεται στο σχήμα (Σχήμα 4). Για να δείχνει θετική ένδειξη το αμπερόμετρο όταν το ρεύμα είναι θετικό, συνδέστε το θετικό ακροδέκτη του αμπερομέτρου στο θετικό ακροδέκτη της πηγής και τον αρνητικό ακροδέκτη του αμπερομέτρου στο ένα άκρο της αντίστασης R 1, όπως φαίνεται στο σχήμα (Σχήμα 5). Καταγράψτε την τιμή που δείχνει το αμπερόμετρο για το ρεύμα Ι 1 και με τις δύο πηγές ενεργές. Η τιμή μπορεί να είναι θετική ή αρνητική. 4. Αποσυνδέστε τους ακροδέκτες από την πηγή και συνδέστε τους μεταξύ τους. Με τον τρόπο αυτό αντικαθιστάτε την πηγή με βραχυκύκλωμα. Η τιμή του ρεύματος που δείχνει τώρα το αμπερόμετρο είναι το ρεύμα που οφείλεται μόνο στην πηγή V s1. Καταγράψτε την στον πίνακα. Η τιμή πρέπει να είναι θετική. 5. Επανασυνδέστε τους ακροδέκτες στην πηγή φτιάχνοντας το αρχικό κύκλωμα. Αποσυνδέστε τώρα τους ακροδέκτες από την πηγή V s1 και συνδέστε τους μεταξύ τους. Με τον τρόπο αυτό αντικαθιστάτε τώρα την πηγή V s1 με βραχυκύκλωμα. Η τιμή του ρεύματος που δείχνει τώρα το αμπερόμετρο είναι το ρεύμα που οφείλεται μόνο στην πηγή. Καταγράψτε την στον πίνακα. Η τιμή τώρα πρέπει να είναι αρνητική. 6. Επανασυνδέστε τους ακροδέκτες στην πηγή V s1 φτιάχνοντας το αρχικό κύκλωμα. Αφαιρέστε το αμπερόμετρο από το κύκλωμα. 7. Τοποθετήστε ένα βολτόμετρο στο κύκλωμα ώστε να μετράει την τιμή της τάσης V 1 με την πολικότητα που φαίνεται στο σχήμα (Σχήμα 6). Για να είναι θετική η ένδειξη του βολτομέτρου όταν η τιμή της τάσης είναι θετική πρέπει να συνδέσετε το θετικό ακροδέκτη του βολτομέτρου στο σημείο που συνδέεται η αντίσταση R 1 I 2 V s1 V 3 R 3 V 1 V 2 Σχήμα 4: Κύκλωμα άσκησης V s1 V 3 R 3 R 1 I 2 V 1 V 2 R 1 I 2 V V 2 V s1 V 1 V 3 R 3 Σχήμα 5: Σύνδεση του αμπερομέτρου ώστε να μετράει το ρεύμα Ι 1 με θετική τη φορά που είναι σημειωμένη στο σχήμα Σχήμα 6: Σύνδεση του βολτομέτρου ώστε να μετράει την τάση V 1 με θετική την πολικότητα που είναι σημειωμένη στο σχήμα
6 Θεώρημα επαλληλίας R 1 με το θετικό ακροδέκτη της πηγής, και τον αρνητικό ακροδέκτη του βολτομέτρου στο σημείο που συνδέεται η αντίσταση R 1 με τις άλλες δύο αντιστάσεις. Καταγράψτε την τιμή που δείχνει το βολτόμετρο για την τάση V 1 και με τις δύο πηγές ενεργές. Η τιμή μπορεί να είναι θετική ή αρνητική, αλλά θα πρέπει να έχει το ίδιο πρόσημο με αυτό που είχε το ρεύμα. 8. Αποσυνδέστε τους ακροδέκτες από την πηγή και συνδέστε τους μεταξύ τους. Με τον τρόπο αυτό αντικαθιστάτε την πηγή με βραχυκύκλωμα. Η τιμή της τάσης που δείχνει τώρα το βολτόμετρο είναι η τάση που οφείλεται μόνο στην πηγή V s1. Καταγράψτε την στον πίνακα. Η τιμή πρέπει να είναι θετική. 9. Επανασυνδέστε τους ακροδέκτες στην πηγή φτιάχνοντας το αρχικό κύκλωμα. Αποσυνδέστε τώρα τους ακροδέκτες από την πηγή V s1 και συνδέστε τους μεταξύ τους. Με τον τρόπο αυτό αντικαθιστάτε τώρα την πηγή V s1 με βραχυκύκλωμα. Η τιμή της τάσης που δείχνει τώρα το βολτόμετρο είναι η τάση που οφείλεται μόνο στην πηγή. Καταγράψτε την στον πίνακα. Η τιμή τώρα πρέπει να είναι αρνητική. 10. Επανασυνδέστε τους ακροδέκτες στην πηγή V s1 φτιάχνοντας το αρχικό κύκλωμα. Αφαιρέστε το βολτόμετρο από το κύκλωμα. 11. Επαναλάβετε την παραπάνω διαδικασία και για τα άλλα δύο ρεύματα του κυκλώματος (Ι 2 και Ι 3 ) και για τις άλλες δύο τάσεις του κυκλώματος (V 2 και V 3 ). Σημειώστε τις μετρήσεις σας στον πίνακα μετρήσεων. Σημειώστε τις τιμές των τάσεων σε Volt και τις τιμές των ρευμάτων σε m με δύο δεκαδικά ψηφία. 12. Μπορείτε να ελέγχετε τις μετρήσεις σας, εξετάζοντας εάν επαληθεύονται οι νόμοι που ισχύουν. Σε κάθε κύκλωμα (δηλαδή είτε είναι η μία πηγή ενεργή, είτε η άλλη, είτε και οι δύο) πρέπει να ισχύει ο νόμος ρευμάτων του Kirchhoff, σύμφωνα με τον οποίο: Ι 1 = Ι 2 Ι 3 Επίσης σε κάθε κύκλωμα πρέπει να ισχύουν οι νόμοι τάσεων του Kirchhoff στους βρόχους που σχηματίζει το κύκλωμα, δηλαδή πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: V s1 = V 1 V 3 V 3 = V 2
Άσκηση 7 7 Στην επαλήθευση των παραπάνω σχέσεων πρέπει να προσέχετε τα πρόσημα των μετρούμενων μεγεθών. 13. Επιλύστε το κύκλωμα θεωρητικά με δεδομένα τις μετρούμενες τιμές των αντιστάσεων και των τάσεων των πηγών. Υπολογίστε τα ρεύματα του κυκλώματος και τις τάσεις στα άκρα των αντιστάσεων θεωρητικά. Καταχωρήστε τις τιμές που υπολογίσατε σε έναν άλλο πίνακα με τις θεωρητικές τιμές. Όσον αφορά τις μονάδες και την ακρίβεια, ακολουθήστε τις εργαστηριακές μετρήσεις. 14. Ελέγξτε τα δεδομένα του πειραματικού πίνακα. Επαληθεύονται οι νόμοι ρευμάτων και τάσεων του Kirchhoff με τις εργαστηριακές μετρήσεις; Συγκρίνετε τα πειραματικά δεδομένα του πειραματικού πίνακα με τα θεωρητικά δεδομένα του θεωρητικού πίνακα. 15. Πόσο απέχουν τα πειραματικά αποτελέσματα από τους θεωρητικούς υπολογισμούς; Εξηγήστε τις αποκλίσεις. Πίνακας μετρήσεων (Πειραματικές τιμές) Τιμές τάσεων πηγών V s1 = Volt = Volt α/α Αντίσταση (kω) 1 R 1 = 2 = I 2 3 R 3 = V s1 μόνο ( =0) Ρεύμα (m) μόνο (V s1 =0) V s1 και α/α Αντίσταση (kω) V s1 μόνο ( =0) Τάση (Volt) μόνο (V s1 =0) V s1 και 1 R 1 = V 1 2 = V 2 3 R 3 = V 3
8 Θεώρημα επαλληλίας Πίνακας αποτελεσμάτων (Θεωρητικές τιμές) Τιμές τάσεων πηγών V s1 = Volt = Volt α/α Αντίσταση (kω) 1 R 1 = 2 = I 2 3 R 3 = V s1 μόνο ( =0) Ρεύμα (m) μόνο (V s1 =0) V s1 και α/α Αντίσταση (kω) V s1 μόνο ( =0) Τάση (Volt) μόνο (V s1 =0) V s1 και 1 R 1 = V 1 2 = V 2 3 R 3 = V 3