Κεφ. 7: Θεωρήματα κυκλωμάτων. Προβλήματα

Transcript

1 Κεφ. 7: Θεωρήματα κυκλωμάτων Προβλήματα 1

2 Πρόβλημα 1 Χρησιμοποιώντας το θεώρημα της υπέρθεσης, υπολογίστε το ρεύμα μέσω της στο κύκλωμα της παρακάτω εικόνας 1.0kΩ 2 V 1.0kΩ 3 V 2.2kΩ Λύση Απομακρύνουμε την πηγή των 3V (την αντικαθιστούμε με βραχυκύκλωμα). Υπολογίζουμε την ολική αντίσταση που βλέπει η πηγή των 2V: 1.0Ω 2.2Ω R T(2V) = = 1.0Ω 1.0Ω 2.2Ω = 1.7Ω 2 V 1.0kΩ I T(2V) 1.0kΩ I 3(2V) 2.2kΩ και το ολικό ρεύμα I T(2V) = 2V 1.7Ω = 1.2A Υπολογίζουμε το ρεύμα στην με τον τύπο του διαιρέτη τάσης I 3(2V) = 1.2A = 0.37A (με φορά προς τα κάτω) Κύκλωμα για τον υπολογισμό του μερικού ρεύματος I3 από την πηγή των 2V 2

3 Λύση (συνέχεια) Απομακρύνουμε την πηγή των 2V (την αντικαθιστούμε με βραχυκύκλωμα). Υπολογίζουμε την ολική αντίσταση που βλέπει η πηγή των 3V: 1.0Ω 2.2Ω R T(3V) = = 1.0Ω 1.0Ω 2.2Ω = 1.7Ω 1.0kΩ I T(3V) 1.0kΩ 3 V I 3(3V) 2.2kΩ και το ολικό ρεύμα I T(3V) = 3V 1.7Ω = 1.8A Υπολογίζουμε το ρεύμα στην με τον τύπο του διαιρέτη τάσης Κύκλωμα για τον υπολογισμό του μερικού ρεύματος I3 από την πηγή των 3V I 3(3V) = 1.8A = 0.55A (με φορά προς τα κάτω) Επομένως, το ρεύμα μέσα από την στο αρχικό κύκλωμα είναι I3 = I3(2V) I3(3V) = 0.37A 0.55A = 0.92 A 3

4 Πρόβλημα 2 Χρησιμοποιώντας το θεώρημα της υπέρθεσης, βρείτε το ρεύμα μέσω της στο κύκλωμα της παρακάτω εικόνας 220Ω V S 10 V 100Ω I S 100 ma Λύση Απομακρύνουμε την πηγή ρεύματος των 100mA (την αντικαθιστούμε με ανοικτό κύκλωμα). 220Ω Σημειώστε ότι όλο το ρεύμα που παράγει η πηγή τάσης V S περνάει από την. V S 10 V I 2(Vs) 100Ω H ολική αντίσταση που βλέπει η πηγή τάσης V S είναι: R T = = 320Ω και το ρεύμα μέσα από την λόγω της V S είναι: I 2(Vs) = V S R T = 10V 320Ω = 31.2 ma (με φορά προς τα κάτω) Κύκλωμα για τον υπολογισμό του μερικού ρεύματος I2 από την πηγή τάσης V S 4

5 Λύση (συνέχεια) Απομακρύνουμε την πηγή τάσης V S (την αντικαθιστούμε με βραχυκύκλωμα) 220Ω Βρίσκουμε το ρεύμα στην λόγω της πηγής ρεύματος I S χρησιμοποιώντας τον τύπο του διαιρέτη τάσης I 2(Is) 100Ω I S 100 ma I 2(Is) = I S = 220Ω 320Ω 100mA = 68.8 ma (με φορά προς τα κάτω) Κύκλωμα για τον υπολογισμό του μερικού ρεύματος I 2 από την πηγή ρεύματος I S Τα δύο ρεύματα μέσω της έχουν την ίδια φορά. Επομένως, το ρεύμα μέσα από την στο αρχικό κύκλωμα είναι I 2 = I 2(Vs) I 2(Is) = 31.2mA 68.8mA = 100 ma V S 10 V 220Ω I 2 100Ω I S 100 ma 5

6 Πρόβλημα 6-20 (R.J. Fowler, σελ. 182) Για το κύκλωμα του Σχήματος 6,25 (a), να υπολογίσετε, με εφαρμογή του θεωρήματος Thevenin, τα ακόλουθα μεγέθη: a) V b) I Λύση V1 24 V 10Ω 20Ω V V 15Ω Σχ (a) Απομακρύνουμε την αντίσταση και υπολογίζουμε το ισοδύναμο κύκλωμα Thevenin μεταξύ των ακροδεκτών ΑΒ. Για την τάση Thevenin, έχουμε: V AB = V A V B = (V A V C ) (V B V C ) = V 2 (V B V C ) = 22,5 V (V B V C ) Η τάση (V B V C ) είναι η τάση V στα άκρα της αντίστασης R 2. Από τον τύπο του διαιρέτη τάσης, παίρνουμε: V = 20Ω V1 = 24V = 16 V 30Ω Επομένως, V AB = 22.5V 16V = 6.5 V V1 24 V C 10Ω 20Ω V V Κύκλωμα για τον υπολογισμό της 6 τάσης Thevenin V AB A B

7 Λύση (συνέχεια) Για την αντίσταση Thevenin, αντικαθιστούμε τις πηγές V1 και V2 με βραχυκυκλώματα και υπολογίζουμε την αντίσταση R ΑΒ μεταξύ των ακροδεκτών Α και Β: C 10Ω A R AB = // = = 6.67 Ω 20Ω Κύκλωμα για τον υπολογισμό της αντίστασης Thevenin V AB B Επομένως, το ισοδύναμο κύκλωμα Thevenin, έχοντας επανατοποθετήσει την αντίσταση μεταξύ των ακροδεκτών AB, είναι όπως στο σχήμα παρακάτω. Από αυτό εύκολα φαίνεται ότι η τάση στην είναι V = R Th V Th = και το ρεύμα στην I = V = 4.3V 15Ω 15Ω 6.2V = 4. 3 V 21.7Ω = A V Th 6.2 V R Th 6.7Ω A B Ισοδύναμο Thevenin 15Ω 7

8 Πρόβλημα 6-21 (R.J. Fowler, σελ. 183) Για το κύκλωμα του Σχήματος 6,25 (b), να υπολογίσετε, με εφαρμογή του θεωρήματος Thevenin, την τάση V V1 10 V 10Ω 25Ω 50Ω V2 7.5 V Λύση Απομακρύνουμε την αντίσταση και υπολογίζουμε το ισοδύναμο κύκλωμα Thevenin μεταξύ των ακροδεκτών ΑΒ. Για την τάση Thevenin, έχουμε: Μπορούμε να βρούμε το ρεύμα I χρησιμοποιώντας το νόμο των τάσεων του Kirchhoff: V1 IR4 V2 I I = 0 R4 15Ω V AB = V A V B = (V A V C ) (V B V C ) = I (7.5V) 10V - I 15Ω 7.5V I50Ω I10Ω = V = I75Ω I = 0.23 A Επομένως, V AB = (0.23Α)(50Ω) (7.5V) = 4.2 V Σχ (b) I V1 10 V I A B 10Ω R4 15Ω 50Ω C Κύκλωμα για τον υπολογισμό της 8 τάσης Thevenin V AB V2 7.5 V

9 Λύση (συνέχεια) Για την αντίσταση Thevenin, αντικαθιστούμε τις πηγές V1 και V2 με βραχυκυκλώματα και υπολογίζουμε την αντίσταση R ΑΒ μεταξύ των ακροδεκτών Α και Β: A 10Ω 50Ω C R AB = (R4)// = 25Ω//50Ω = 16.7 Ω B R4 15Ω Κύκλωμα για τον υπολογισμό της αντίστασης Thevenin V AB Επομένως, το ισοδύναμο κύκλωμα Thevenin, έχοντας επανατοποθετήσει την αντίσταση μεταξύ των ακροδεκτών AB, είναι όπως στο σχήμα παρακάτω. R Th A Από αυτό εύκολα φαίνεται ότι η τάση στην είναι V = R Th V Th = 25Ω 4.2V = 2. 5 V 41.7Ω V Th 4.2 V 16.7Ω B 25Ω V με πολικότητα όπως φαίνεται στο σχήμα δίπλα (V AB = 2.5 V) Ισοδύναμο Thevenin 9

10 Παράδειγμα 5-2 (R.J. Fowler, Ηλεκτροτεχνία AC-DC, Κεφ. 5, σελ. 122) Να βρείτε το ολικό ρεύμα και την ολική αντίσταση του κυκλώματος στο Σχ Επίσης, να καθορίσετε την τάση στα άκρα κάθε αντίστασης. Σημείωση: Στη λύση που δίνεται στο βιβλίο, υπολογίζεται η ολική αντίσταση, στη συνέχεια το ολικό ρεύμα και τέλος η πτώση τάσης (IR) σε κάθε μια αντίσταση. Λύστε το πρόβλημα υπολογίζοντας το ολικό ρεύμα χρησιμοποιώντας το νόμο των τάσεων του Kirchhoff. Λύση Σημειώνουμε αυθαίρετα το ρεύμα I στο κύκλωμα (θεωρούμε συμβατική φορά). Με βάση αυτή τη φορά, σημειώνουμε την πολικότητα της τάσης σε κάθε αντίσταση. Γράφουμε το νόμο των τάσεων του Kirchhoff για το κύκλωμα (έστω ότι διατρέχουμε το βρόχο δεξιόστροφα): 90V I I I = 0 90 V 35Ω Ι 45Ω 90V I 35Ω I70Ω I45Ω = 0 90V I150Ω = 0 90V = I150Ω I = 90V = 0.6 Α 150Ω 70Ω Σχ

11 Λύση (συνέχεια) 90 V 35Ω Ι 70Ω 45Ω Το ρεύμα που θεωρήσαμε, προκύπτει αρνητικό, επομένως, η πραγματική φορά του ρεύματος στο κύκλωμα είναι αντίθετη από αυτή που επιλέξαμε (δηλαδή, αριστερόστροφη). Η πτώση τάσης στην αντίσταση είναι: V1 = I = (0.6A)(35Ω) = 21V, δηλαδή, η τάση στην είναι 21V με πολικότητα αντίθετη από αυτή που επιλέξαμε στο σχήμα. Η πτώση τάσης στην αντίσταση είναι: V2 = I = (0.6A)(70Ω) = 42V, δηλαδή, η τάση στην είναι 42V με πολικότητα αντίθετη από αυτή που επιλέξαμε στο σχήμα. Η πτώση τάσης στην αντίσταση είναι: V3 = I = (0.6A)(45Ω) = 27V, δηλαδή, η τάση στην είναι 27V με πολικότητα αντίθετη από αυτή που επιλέξαμε στο σχήμα. Η ολική αντίσταση του κυκλώματος είναι R T = = 150 Ω Άσκηση: Με βάση αυτό το παράδειγμα, να απαντήσετε στην ερώτηση αυτό-εξέτασης 12β στη σελίδα 125 του βιβλίου. 11

12 Παράδειγμα 5-2 (συνέχεια) Στο ίδιο κύκλωμα του Σχ. 5-11, βρείτε την τάση στα άκρα κάθε αντίστασης χρησιμοποιώντας τον τύπο του διαιρέτη τάσης Λύση Από τον τύπο του διαιρέτη τάσης, η τάση σε κάθε αντίσταση είναι V1 = R T 90V, V2 = R T 90V και V3 = R T 90V Η ολική αντίσταση του κυκλώματος είναι R T = = 150 Ω Επομένως, V1 = 35Ω 90V = 21V, 150Ω 90 V 35Ω 45Ω 70Ω Σχ Ω 45Ω V2 = 90V = 42V και V3 = 90V = 27V 150Ω 150Ω Άσκηση: Με βάση αυτό το παράδειγμα, να απαντήσετε στην ερώτηση αυτό-εξέτασης 12 α και γ στη σελίδα 125 του βιβλίου. 12