ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο : ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο : ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ

2 Ο βασικός στόχος του θεωρήματος αυτού είναι η μετατροπή της συνδεσμολογίας τύπου αστέρα σε τρίγωνα και το αντίθετο έτσι ώστε τα δίκτυα α και β να είναι ισοδύναμα μεταξύ τους. 2

3 Για τις τιμές των συνθετών αντιστάσεων έχουμε: Στην ιδική περίπτωση συμμετρικών δικτύων ισχύουν :

4 Το θεώρημα της επαλληλίας ή της υπέρθεσης έχει ως εξής: Η απόκριση σε ένα στοιχείο ενός γραμμικού ηλεκτρικού κυκλώματος, που έχει περισσότερες από μια πηγές (διεγέρσεις), είναι το διανυσματικό άθροισμα των αποκρίσεων που οφείλονται σε κάθε πηγή χωριστά. Το θεώρημα αυτό μας βοηθά γιατί μπορούμε να υπολογίσουμε τις μερικές αποκρίσεις που οφείλονται σε κάθε πηγή και να τις αθροίσουμε διανυσματικά. Αυτό μπορεί να γίνει ως εξής: Διακόπτουμε τη λειτουργία των υπολοίπων πηγών και κρατάμε μόνο τη πηγή της οποίας τη μερική απόκριση θέλουμε να υπολογίσουμε. Έτσι όλες οι πηγές τάσης μπορούν να αντικατασταθούν από ένα βραχυκύκλωμα ενώ όλες οι πηγές ρεύματος από ανοιχτό κύκλωμα. 4

5 Σύμφωνα με το θεώρημα Thevenin ένα δικτύωμα Α μπορεί να αντικατασταθεί από το ισοδύναμο κατά Thevenin δικτύωμα το οποίο αποτελείται από μια ιδανική πηγή τάση και μια σύνθετη αντίσταση Η είναι η σύνθετη μιγαδική αντίσταση όπως προκύπτει από το ουδέτερο δικτύωμα το οποίο προκύπτει αντικαθιστώντας τις πηγές τάσεις με βραχυκύκλωμα και τις πηγές ρεύματος με ανοιχτοκύκλωμα. U Το ισοδύναμο κατά Thevenin είναι μόνο ισοδύναμο μεταξύ των ακροδεκτών α και β του ενεργού δικτυώματος Α. 5

6 Σύμφωνα με το θεώρημα Norton ένα δικτύωμα Α μπορεί να αντικατασταθεί από το ισοδύναμο κατά Norton δικτύωμα το οποίο αποτελείται από μια ιδανική πηγή ρεύματος και μια σύνθετη αγωγιμότητα I N N Αν το ισοδύναμο κατά Thevenin είναι γνωστό τότε το ισοδύναμο Norton θα προκύψει κάνοντας μετατροπή της πηγής τάσης σε πηγή ρεύματος: U I N και Αν το ισοδύναμο κατά Thevenin δεν είναι μόνο γνωστό τότε το είναι το ρεύμα βραχυκύκλωσης μεταξύ των ακροδεκτών α και β του ενεργού δικτυώματος Α και η η σύνθετη μιγαδική αγωγιμότητα του ουδέτερου δικτυώματος Α N I N N είναι 6

7 Με το θεώρημα αυτό μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της σύνθετης μιγαδικής αντίστασης L έτσι ώστε η ισχύς που μεταφέρεται στο φορτίο να είναι η μέγιστη δυνατή που μπορεί να δώσει η πηγή. Το θεώρημα αυτό είναι γνωστό και ως θεώρημα προσαρμογής γιατί καθορίζει τις συνθήκες προσαρμογής του φορτίου L έτσι ώστε η μέση ισχύς που καταναλώνεται σ αυτό να είναι η μέγιστη δυνατή. Το θεώρημα αυτό έχει ως εξής: Για να είναι μέγιστη η ισχύς που καταναλώνεται σε ένα φορτίο L που συνδέεται στους ακροδέκτες α και β ενός ενεργού δικτυώματος θα πρέπει: L Το ρεύμα και η μέγιστη ισχύς έχουν ως εξής: I LMAX U U 2 cos 2R * P LMAX 2 U 4 cos 7

8 Το θεώρημα αυτό εφαρμόζεται σ ένα κύκλωμα που αποτελείται από πολλούς παράλληλους κλάδους, όπου σε κάθε κλάδο υπάρχει πηγή τάσης και σύνθετη μιγαδική αντίσταση. Στο πιο πάνω σχήμα φαίνονται όλες οι μετατροπές που πρέπει να γίνουν έτσι ώστε να καταλήξουμε σε ένα απλό κύκλωμα με μια πηγή τάσης και μια σύνθετη μιγαδική αντίσταση έτσι έχουμε : i n και n i i i i n n i i i i 8

9 Έστω ότι έχουμε ένα γραμμικό και παθητικό δικτύωμα που αποτελείται από στοιχεία RCL και έστω ότι τροφοδοτείται από μια και μόνο πηγή τάσης Ε στα άκρα,. Έστω ότι στα σημεία 2, 2 υπάρχει βραχυκύκλωμα και το ρεύμα του κλάδου αυτού είναι Ι 2. Αν μεταφερθεί η πηγή τάσης από τα σημεία, στα σημεία 2, 2 και βραχυκυκλωθούν τα άκρα, τότε το ρεύμα Ι που διαρρέει τον κλάδο αυτό είναι ίσο με το Ι 2. Η απόδειξη έχει ως εξής: I 2 ( ) όταν 2 U'

10 Όπου το μέγεθος ονομάζεται σύνθετη μιγαδική αγωγιμότητα μεταφοράς, αντίστοιχα για το δεύτερο κύκλωμα έχουμε: I 2( ) όπου 2 2 Επειδή το δικτύωμα δεν περιέχει άλλες πηγές τότε ισχύει ( ) ( ) 2 2 U' 0 Τελικά με συνδυασμό των σχέσεων έχουμε: I I 2 2 0

11 Όταν μια σύνθετη μιγαδική αντίσταση διαρρέεται από ρεύμα I έχει πτώση τάσης στα άκρα ίση με I σύμφωνα με το θεώρημα αυτό η σύνθετη μιγαδική αντίσταση μπορεί να αντικατασταθεί από πηγή τάσης που ονομάζεται πηγή αντιστάθμισης με τάση ίση με I Όμοια αν η τάση στα άκρα ενός κλάδου η μιας σύνθετης μιγαδικής αντίστασης είναι ίση με U τότε ο κλάδος ή το στοιχείο μπορεί να αντικατασταθεί από πηγή ρεύματος I U Το θεώρημα αντιστάθμισης έχει πρακτικές εφαρμογές σε διάφορα κυκλώματα, έτσι χρησιμοποιείται,στην περίπτωση όπου μια σύνθετη μιγαδική αντίσταση μεταβληθεί,για τον προσδιορισμό της αντίστοιχη μεταβολής του ρεύματος και της τάσης του κλάδου του κυκλώματος.