ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι Κεφάλαιο 4. Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων

Transcript

1 ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι Κεφάλαιο 4 Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Συστήματα εξισώσεων - Ορίζουσες Η μέθοδος των ρευμάτων των κλάδων Η μέθοδος των ρευμάτων βρόχων Η μέθοδος των τάσεων κόμβων

2 Συστήματα εξισώσεων Τα συστήματα εξισώσεων αποτελούνται από μια ομάδα N εξισώσεων οι οποίες περιλαμβάνουν N αγνώστους. N είναι ένας αριθμός με τιμή 2 ή μεγαλύτερη 2

3 Η στάνταρ μορφή ενός συστήματος εξισώσεων 2 ης τάξης Ένα σύστημα εξισώσεων 2 ης τάξης γραμμένο σε στάνταρ μορφή είναι: όπου: a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 x 1 και x 2 είναι οι άγνωστες ποσότητες (π.χ.: τα ρεύματα I 1 και Ι 2 ) τα a είναι οι συντελεστές των αγνώστων (αντιπροσωπεύουν τις τιμές αντιστάσεων του κυκλώματος) και τα b είναι οι σταθερές (αντιπροσωπεύουν τις τιμές των πηγών τάσης στο κύκλωμα) 3

4 Παράδειγμα ενός συστήματος εξισώσεων 2 ης τάξης Υποθέστε ότι οι παρακάτω δύο εξισώσεις 2I 1 = 8 5I 2 4I 2 5I = 0 περιγράφουν ένα ορισμένο κύκλωμα με δύο άγνωστα ρεύματα I 1 και I 2. Οι συντελεστές των I 1 και I 2 είναι τιμές αντιστάσεων και οι σταθερές είναι τάσεις στο κύκλωμα). Αναδιατάσσουμε τις εξισώσεις σε στάνταρ μορφή ως εξής: 2I 1 + 5I 2 = 8 5I 1 + 4I 2 = 6 4

5 Η στάνταρ μορφή ενός συστήματος εξισώσεων 3 ης τάξης Ένα σύστημα εξισώσεων 3 ης τάξης γραμμένο σε στάνταρ μορφή είναι: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 5

6 Παράδειγμα ενός συστήματος εξισώσεων 3 ης τάξης Υποθέστε ότι οι παρακάτω τρεις εξισώσεις 4I 3 + 2I 2 + 7I 1 = 0 5I 1 + 6I 2 + 9I 3 7 = 0 8 = I 1 + 2I 2 + 5I 3 περιγράφουν ένα ορισμένο κύκλωμα με τρία άγνωστα ρεύματα I 1, I 2 και I 3. Αναδιατάσσουμε τις εξισώσεις σε στάνταρ μορφή ως εξής: 7I 1 + 2I 2 + 4I 3 = 0 5I 1 + 6I 2 + 9I 3 = 7 I 1 + 2I 2 + 5I 3 = 8 6

7 Λύση ενός συστήματος εξισώσεων Λύση με αντικατάσταση Λύση με ορίζουσες Λύση με τη βοήθεια υπολογιστή (PC ή χειρός) 7

8 Παράδειγμα λύσης ενός συστήματος εξισώσεων 2 ης τάξης με αντικατάσταση Έστω το παρακάτω σύστημα δύο εξισώσεων 2x 1 + 6x 2 = 8 (εξίσωση 1) 3x 1 + 6x 2 = 2 (εξίσωση 2) Λύνουμε την 1 η εξίσωση ως προς x 1 2x 1 = 8 6x 2 x 1 = 8 6x 2 2 x 1 = 4 3x 2 Αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα για το x 1 στη 2 η εξίσωση και λύνουμε ως προς x x 2 + 6x 2 = x 2 + 6x 2 = x 2 = 2 3x 2 = 2 12 x 2 = 10 3 = 10 3 Τέλος, αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα για το x 2 στην εξίσωση για το x 1 και το υπολογίζουμε, x 1 = = 6 8

9 Παράδειγμα λύσης ενός συστήματος εξισώσεων 2 ης τάξης με ορίζουσες Ας λύσουμε το προηγούμενο σύστημα εξισώσεων με χρήση οριζουσών (determinants) 2x 1 + 6x 2 = 8 3x 1 + 6x 2 = 2 x 2 Βήμα 1: Φτιάχνουμε τη χαρακτηριστική ορίζουσα των συντελεστών των άγνωστων x 1, 1 η στήλη 2 η στήλη η γραμμή η γραμμή και υπολογίζουμε την τιμή της πολλαπλασιάζοντας χιαστί τους αριθμούς και αφαιρώντας τα δύο γινόμενα = = 6 9

10 Παράδειγμα λύσης ενός συστήματος εξισώσεων 2 ης τάξης με ορίζουσες (... συνέχεια) Βήμα 2: Φτιάχνουμε την ορίζουσα του πρώτου αγνώστου x 1, αντικαθιστώντας στην ορίζουσα των συντελεστών την 1η στήλη με τους σταθερούς αριθμούς στο δεξιό μέλος των εξισώσεων Η ορίζουσα του x 1 είναι 2x 1 + 6x 2 = 8 3x 1 + 6x 2 = και η τιμή της υπολογίζεται όπως πριν = = 36 10

11 Παράδειγμα λύσης ενός συστήματος εξισώσεων 2 ης τάξης με ορίζουσες (... συνέχεια) Βήμα 3: Λύνουμε για τον άγνωστο x 1 διαιρώντας την ορίζουσά του δια της ορίζουσας των συντελεστών: x 1 = 36 6 = 6 Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε και την τιμή του δεύτερου αγνώστου του συστήματος Δηλαδή, 2x 1 + 6x 2 = 8 3x 1 + 6x 2 = 2 x 2 = = (3)(8) = =

12 Παράδειγμα 4-1 Λύστε το παρακάτω σύστημα εξισώσεων για τα άγνωστα ρεύματα I 1 και I 2 : Λύση 2I 1 5I 2 = 10 6I I 2 = 20 Υπολογίζουμε την τιμή της χαρακτηριστικής ορίζουσας των συντελεστών: = = 50 Λύνουμε για το ρεύμα I 1 : I 1 = = = = = 4 A Ομοίως, λύνουμε για το ρεύμα I 2 : I 2 = = = = = 0. 4 A 12

13 Παράδειγμα λύσης ενός συστήματος εξισώσεων 3 ης τάξης με ορίζουσες Ας βρούμε τα άγνωστα ρεύματα I 1, I 2 και I 3 στο παρακάτω σύστημα τριών εξισώσεων I 1 + 3I 2 2I 3 = 7 4I 2 + I 3 = 8 5I 1 + I 2 + 6I 3 = 9 Βήμα 1: Φτιάχνουμε τη χαρακτηριστική ορίζουσα των συντελεστών των άγνωστων I 1, I 2 και I 3 Συντελεστές του I 2 Συντελεστές του I 1 Συντελεστές του I

14 Παράδειγμα λύσης ενός συστήματος εξισώσεων 3 ης τάξης με ορίζουσες (... συνέχεια) Βήμα 2: Ξαναγράφουμε τις δύο πρώτες στήλες στα δεξιά της ορίζουσας Βήμα 3: Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς κάθε διαγώνιου προς τα κάτω και προσθέτουμε τα τρία γινόμενο, (1)(4)(6) + (3)(1)(-5) + (-2)(0)(1) = 9

15 Παράδειγμα λύσης ενός συστήματος εξισώσεων 3 ης τάξης με ορίζουσες ( συνέχεια) Βήμα 3: Ομοίως, πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς κάθε διαγώνιου προς τα πάνω και προσθέτουμε τα τρία γινόμενο, (-5)(4)(-2) + (1)(1)(1) + (6)(0)(3) = 41 Αφαιρούμε τα δύο παραπάνω αποτελέσματα, 9 41= Αυτή είναι η τιμή της ορίζουσας των συντελεστών, δηλαδή: = 32 15

16 Παράδειγμα λύσης ενός συστήματος εξισώσεων 3 ης τάξης με ορίζουσες ( συνέχεια) Βήμα 4: Κατασκευάζουμε την ορίζουσα για το ρεύμα I 1 (όπως στα συστήματα 2 ης τάξης) και την υπολογίζουμε με τον ίδιο τρόπο = (7)(4)(6) + (3)(1)(9) + (-2)(8)(1) (9)(4)(-2) (1)(1)(7) (6)(8)(3)= =100 16

17 Παράδειγμα λύσης ενός συστήματος εξισώσεων 3 ης τάξης με ορίζουσες ( συνέχεια) Βήμα 5: Η τιμή του ρεύματος I 1 είναι το πηλίκο της τιμής της ορίζουσας του I 1 δια της ορίζουσας των συντελεστών: I 1 = = Με όμοιο τρόπο υπολογίζουμε τα υπόλοιπα ρεύματα, I 2 και I 3. = A 17

18 Παράδειγμα 4-2 Λύση Βρείτε την τιμή του ρεύματος I 2 από το παρακάτω σύστημα εξισώσεων: 2I I 2 + I 3 = I 1 + 2I 3 = 1.5 3I I 2 = 1 Η χαρακτηριστική ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων ρευμάτων I 1, I 2 και I 3 είναι Το ζητούμενο ρεύμα I 2 δίνεται από το κλάσμα: I 2 =

19 Λύση ( συνέχεια) I 2 = Η ορίζουσα του αριθμητή υπολογίζεται = = = 9.25 Η ορίζουσα του παρονομαστή είναι = (3) (2) = 2.35 Επομένως, I 2 = = A 19

20 Η μέθοδος των ρευμάτων των κλάδων Η μέθοδος των ρευμάτων κλάδων (branch-current method) χρησιμοποιεί το νόμο των τάσεων και το νόμο των ρευμάτων του Kirchhoff για να βρει το ρεύμα σε κάθε κλάδο (brunch current) ενός κυκλώματος. Το κύκλωμα του σχήματος έχει δύο ελάχιστους βρόχους (Βρόχος 1 και Βρόχος 2) δύο κόμβους, Α και Β τρεις κλάδους (τον κλάδο με την πηγή V S1 και την αντίσταση R 1, τον κλάδο με την αντίσταση R 3 και τον κλάδο με την πηγή V S2 και την αντίσταση R 2 20

21 Η μέθοδος των ρευμάτων των κλάδων ( συνέχεια) R 1 R I 1 I 2 V S1 + I 3 + R 3 + V S2 Βήμα 1. Σχεδιάζουμε ένα ρεύμα με αυθαίρετη κατεύθυνση σε κάθε κλάδο του κυκλώματος Βήμα 2. Σημειώνουμε τις πολικότητες των τάσεων στις αντιστάσεις σύμφωνα με την κατεύθυνση των ρευμάτων κλάδων που επιλέξαμε στο Βήμα 1. Βήμα 3. Εφαρμόζουμε τον κανόνα των τάσεων του Kirchhoff γύρω από κάθε κλειστό βρόχο (αλγεβρικό άθροισμα των τάσεων ίσο με μηδέν) Βήμα 4. Εφαρμόζουμε τον κανόνα των ρευμάτων του Kirchhoff στον ελάχιστο αριθμό κόμβων έτσι ώστε να να περιλαμβάνονται όλα τα ρεύματα των κλάδων (αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων σε ένα κόμβο ίσο με μηδέν). Βήμα 5. Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων που προκύπτει από τα βήματα 3 και 4. 21

22 Παράδειγμα 4-3 Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ρευμάτων των κλάδων, βρείτε το ρεύμα κάθε κλάδου στο παρακάτω κύκλωμα : Λύση I 1 + I 3 I 2 Σχεδιάζουμε τα ρεύματα των κλάδων (με αυθαίρετη κατεύθυνση) και σημειώνουμε τις πολικότητες των τάσεων στις αντιστάσεις. Εφαρμόζουμε τον κανόνα των τάσεων του Kirchhoff γύρω από τον αριστερό βρόχο (διατρέχοντάς τον, π.χ., δεξιόστροφα) I 1 220I 2 = 0 470I I 2 = 10 και γύρω από το δεξιό βρόχο (διατρέχοντάς τον, π.χ., αριστερόστροφα), 5 820I 3 220I 2 = 0 220I I 3 = 5 22

23 Λύση ( συνέχεια) Εφαρμόζουμε τον κανόνα των ρευμάτων του Kirchhoff, π.χ., στον κόμβο Α, I 1 I 2 + I 3 = 0 Λύνουμε το σύστημα των τριών εξισώσεων είτε με αντικατάσταση είτε με ορίζουσες. Λύνοντας με ορίζουσες, έχουμε I 1 = = I 1 I 2 + I 3 = 0 470I I 2 = I I 3 = (5) (0) (0) (1) I 1 = = A = ma 23

24 Λύση ( συνέχεια) I 1 I 2 + I 3 = 0 470I I 2 = I I 3 = 5 Ομοίως, έχουμε I 2 = = (0) (1) I 2 = = A = ma Τέλος, το I 3 μπορούμε να βρούμε από την I 3 = ή, πιο εύκολα, από την εξίσωση I 1 I 2 + I 3 = 0 I 3 = I 1 + I 2 I 3 = 13.9 ma ma = ma 24

25 Η μέθοδος των ρευμάτων βρόχων (Mech-Current Method) Εργαζόμαστε με τα ρεύματα βρόχων (mech currents) αντί για τα πραγματικά ρεύματα των κλάδων I 1, I 2 και I 3 είναι τα πραγματικά ρεύματα των κλάδων I Α και I Β είναι τα ρεύματα βρόχων Τα ρεύματα βρόχων είναι μαθηματικές ποσότητες Χρησιμεύουν για την ευκολότερη ανάλυση του κυκλώματος Οδηγεί σε απλούστερα (μικρότερα) συστήματα εξισώσεων 25

26 Η μέθοδος των ρευμάτων βρόχων (... συνέχεια) Εφ όσον υπολογίσουμε τα ρεύματα των βρόχων I Α και I Β, εύκολα υπολογίζουμε τα πραγματικά ρεύματα των κλάδων I 1, I 2 και I 3 Π.χ., στο κύκλωμα παραπάνω I 1 = I A I 2 = I A I B I 3 = I B Η μέθοδος των ρευμάτων βρόχων χρησιμοποιείται για να λύνουμε κυκλώματα που περιλαμβάνουν τόσο πηγές τάσης όσο και πηγές ρεύματος. 26

27 Η μέθοδος των ρευμάτων βρόχων : Τα βήματα R 1 R V S1 + I A + + R 2 I B + V S2 Βήμα 1. Σημειώνουμε ένα ρεύμα σε κάθε ελάχιστο βρόχο του κυκλώματος Η διεύθυνση είναι αυθαίρετη (συνήθως CW) Βήμα 2. Σημειώνουμε την πολικότητα (+ και ) της πτώσης τάσης σε κάθε αντίσταση Καθορίζεται από τις διευθύνσεις των ρευμάτων βρόχων που επιλέξαμε στο Βήμα 1. 27

28 Η μέθοδος των ρευμάτων βρόχων: Τα βήματα (συνέχεια) Βήμα 3. Εφαρμόζουμε το νόμο των τάσεων του Kirchhoff σε κάθε βρόχο. Προκύπτει μια εξίσωση για κάθε βρόχο. Για το βρόχο Α: V S1 R 1 I A R 2 I A + R 2 I B = 0 (Εξίσωση 1) Για το βρόχο B: V S2 R 2 I Β + R 2 I A + R 3 I B = 0 (Εξίσωση 2) Βήμα 4. Συνδυάζουμε τους όμοιους όρους. Φέρνουμε το σύστημα των εξισώσεων σε στάνταρ μορφή. (R 1 +R 2 )I A R 2 I B = V S1 (Εξίσωση 1) R 2 I A + (R 2 +R 3 )I B = V S2 (Εξίσωση 2) 28

29 Η μέθοδος των ρευμάτων βρόχων: Τα βήματα (συνέχεια) Βήμα 5. Τέλος, λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (R 1 +R 2 )I A R 2 I B = V S1 (Εξίσωση 1) R 2 I A + (R 2 +R 3 )I B = V S2 (Εξίσωση 2) είτε με αντικατάσταση είτε με ορίζουσες και υπολογίζουμε τα ρεύματα των βρόχων I A και I Β

30 Ένας συνοπτικός κανόνας για την εφαρμογή της μεθόδου των ρευμάτων βρόχων σε κυκλώματα με πηγές τάσης Αν οι πηγές στο κύκλωμα είναι πηγές τάσης (ανεξάρτητες ή εξαρτημένες) και όχι πηγές ρεύματος τα βήματα 1 4 της μεθόδου των ρευμάτων βρόχων οδηγούν στον εξής συνοπτικό κανόνα (Άθροισμα αντιστάσεων στο βρόχο) (ρεύμα βρόχου) (κάθε αντίσταση κοινή σε δύο βρόχους) (ρεύμα γειτονικού βρόχου ) = (πηγή τάσης στο βρόχο) Προσοχή: Κατά την εφαρμογή του παραπάνω συνοπτικού κανόνα, θεωρούμε ότι τα ρεύματα των βρόχων είναι σημειωμένα δεξιόστροφα (CW)

31 Παράδειγμα 4-4 Βρείτε τα ρεύματα των κλάδων στο παρακάτω κύκλωμα, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ρευμάτων βρόχων + + I A I B Λύση Σημειώνουμε τα ρεύματα βρόχων I A και I B δεξιόστροφα (CW). Χρησιμοποιούμε το συνοπτικό κανόνα της προηγούμενης σελίδας για να φτιάξουμε τις εξισώσεις των βρόχων ( )I A 220I B = I B 220I A = 5 Συνδυάζουμε του όμοιους όρους και γράφουμε τις δύο εξισώσεις στη στάνταρ μορφή 690I A 220I B = I A I B = 5 31

32 Λύση ( συνέχεια) Έχουμε το σύστημα Το λύνουμε για τα δυο ρεύματα βροχών I A και I B χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των οριζουσών I A = 690I A 220I B = I A I B = = ( 5)( 220) ( 220)( 220) = = A = 13.9 ma και I B = = ( 220)(10) = = A = 1.87 ma 32

33 Λύση ( συνέχεια) Από τις τιμές των ρευμάτων βρόχων, I A = 13.9 ma και I B = 1.87 ma, εύκολα υπολογίζουμε τα πραγματικά ρεύματα των κλάδων I 1, I 2 και I 3 I 1 I 3 I 2 I A I B Στην R 1 : Στην R 3 : Στην R 2 : I 1 = I A = ma I 3 = I B = 1.87 ma = ma I 2 = I A I B = (13.9 ma) 1.87 ma = m 33

34 Παράδειγμα 4-5 Για το κύκλωμα της εικόνας (γέφυρα Wheatstone), βρείτε το ρεύμα σε κάθε αντίσταση (ρεύμα κλάδου), χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ρευμάτων βρόχων. Λύση Το κύκλωμα έχει τρεις ελάχιστους βρόχους. Σημειώνουμε τα ρεύματα των τριών βρόχων I A, I B και I C δεξιόστροφα (CW). Φτιάχνουμε τις τρεις εξισώσεις των βρόχων I A I B I C Για το βρόχο του ρεύματος I A : ( )I A 330I B 300I C = 12 Για το βρόχο του ρεύματος I B : I B 330I A 1000I C = 0 Για το βρόχο του ρεύματος I C : I C 300I A 1000I B = 0 Συνδυάζουμε τους όμοιους όρους και γράφουμε τις τρεις εξισώσεις στη στάνταρ μορφή 630I A 330I B 300I C = I A I B 1000I C = 0 300I A 1000I B I C = 0 34

35 Λύση ( συνέχεια) Έχουμε το σύστημα 630I A 330I B 300I C = I A I B 1000I C = 0 300I A 1000I B I C = 0 Λύνουμε το σύστημα για τα τρία ρεύματα των βρόχων βροχών I A, I B και I C χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των οριζουσών Το ρεύμα I A είναι I A = Η τιμή της ορίζουσας του παρονομαστή είναι = ( 300)( 330)( 1000) (1690)( 330)( 330) =

36 Λύση ( συνέχεια) Η τιμή της ορίζουσας του αριθμητή είναι = = ( 300)(0)(0) (1690)(0)( 330) = Οπότε η τιμή του ρεύματος βρόχου I A είναι I A = = A = 35.1 ma Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε το ρεύμα I Β I B = = (1690)( 330)(12) = 16.2 mα 36

37 Λύση ( συνέχεια) Το ρεύμα I C είναι I C = I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 = ( 300)(1690)(12) = 15.8 mα Από τις τιμές των ρευμάτων βρόχων I A = 35.1 ma, I B = 16.2 ma και I C = 15.8 ma υπολογίζουμε τα πραγματικά ρεύματα των κλάδων I 1, I 2, I 3, I 4, I 5 και I 6. Στην πηγή V S : I 1 = I A = ma Στην R 1 : Στην R 2 : Στην R 3 : Στην R 4 : Στην 1 kω: I 2 = I A I B = (35.1 ma) 16.2 ma = ma I 5 = I A I C = (35.1 ma) 15.8 ma = ma I 3 = I B = ma I 6 = I C = ma I 4 = I C I B = 15.8 ma 16.2 ma = 0. 4 ma 37

38 Παράδειγμα 4-6 Η εικόνα δείχνει ένα κύκλωμα γέφυρας Τ (bridged-t circuit) τριών βρόχων. Κατασκευάστε τη στάνταρ μορφή των εξισώσεων για τα ρεύματα βρόχων και βρείτε το ρεύμα σε κάθε αντίσταση. I A Λύση Σημειώνουμε τα ρεύματα των τριών ελάχιστων βρόχων I A, I B και I C δεξιόστροφα (CW). Οι τρεις εξισώσεις των βρόχων είναι: στο βρόχο του I A : (22k + 15k + 7.5k)I A 22k I B 7.5k I C = 0 στο βρόχο του I B : 22k + 8.2k I B 22k I A 8.2k I C = 12 I B I C στο βρόχο του I C : 8.2k + 7.5k + 10k I C 7.5k I A 8.2k I B = 0 Συνδυάζουμε τους όμοιους όρους και γράφουμε τις τρεις εξισώσεις στη στάνταρ μορφή 44.5k I A 22k I B 7.5k I C = 0 22k I A k I B 8.2k I C = k I A 8.2k I B k I C = 0 38

39 Λύση ( συνέχεια) Έχουμε το σύστημα 44.5k I A 22k I B 7.5k I C = 0 22k I A k I B 8.2k I C = k I A 8.2k I B k I C = 0 Λύνουμε το σύστημα για τα τρία ρεύματα των βρόχων I A, I B και I C χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των οριζουσών Το ρεύμα I A είναι I A = 0 22k 7.5k k 8.2k 0 8.2k 25.7k 44.5k 22k 7.5k 22k 30.2k 8.2k 7.5k 8.2k 25.7k Η τιμή της ορίζουσας του παρονομαστή είναι 44.5k 22k 7.5k 22k 30.2k 8.2k 7.5k 8.2k 25.7k = 44.5k 30.2k 25.7k + 22k 8.2k 7.5k + ( 7.5k)( 22k)( 8.2k) 7.5k 30.2k 7.5k 8.2k 8.2k 44.5k (27.5k)( 22k)( 22k) = k 3 39

40 Λύση ( συνέχεια) Η τιμή της ορίζουσας του αριθμητή είναι 0 22k 7.5k k 8.2k 0 8.2k 25.7k = = k 25.7k + 22k 8.2k 0 + ( 7.5k)(12)( 8.2k) k 7.5k 8.2k 8.2k 0 (25.7k)(12)( 22k) = k 2 Οπότε η τιμή του ρεύματος βρόχου I A είναι I A = k k 3 = 0.54 k A = A = 0.54 ma Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε το ρεύμα I Β I B = 44.5k 0 7.5k 22k k 7.5k k 44.5k 22k 7.5k 22k 30.2k 8.2k 7.5k 8.2k 25.7k = 44.5k k ( 7.5k)(12)( 7.5k) k 3 = 0.94 k A = A = 0.94 ma = k k 3 40

41 = Λύση Το ρεύμα I C είναι I C = ( συνέχεια) Στην πηγή V S : Στην R 1 : Στην R 2 : Στην R 3 : Στην R 4 : ΣτηνR L : 44.5k 22k 0 22k 30.2k k 8.2k k 22k 7.5k 22k 30.2k 8.2k 7.5k 8.2k 25.7k 22k k ( 8.2k)(12)(44.5k) k 3 = A = A = 0.46 ma k 1000 Από τις τιμές των ρευμάτων βρόχων I A = 0.54 ma, I B = 0.94 ma και I C = 0.46 ma υπολογίζουμε τα πραγματικά ρεύματα των κλάδων I 1, I 2, I 3, I 4, I L και I S. I S = I B = ma I 1 = I A = ma I 2 = I B I A = 0.94 ma 0.54 ma = ma I 3 = I C I A = 0.46 ma 0.54 ma = ma I 4 = I B I C = 0.94 ma 0.46 ma = ma I L = I C = ma = k k 3 I S I 1 I 2 I 3 I I 4 L 41

42 Παράδειγμα 4-7 Η εικόνα (Σχήμα 4-6, σελ. 102, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων ) δείχνει ένα κύκλωμα που περιλαμβάνει μια εξαρτημένη πηγή τάσης. Εφαρμόστε τη μέθοδο των ρευμάτων βρόχων και υπολογίστε το ρεύμα στην αντίσταση R 1. I 1 I 2 Λύση Η μέθοδος των ρευμάτων (ελαχίστων) βρόχων μπορεί να εφαρμοστεί και όταν έχουμε εξαρτημένες πηγές τάσης. Το κύκλωμα στην εικόνα δίπλα περιλαμβάνει μια εξαρτημένη πηγή τάσης (V = 5 I x ) που ελέγχεται από το ρεύμα I x στον κλάδο της αντίστασης R 2 και της πηγής 10 V. Σημειώνουμε τα ρεύματα I 1 και I 2 στους δύο ελάχιστους βρόχους (δεξιόστροφα, CW). Γράφουμε τις δύο εξισώσεις των βρόχων: στο βρόχο του I 1 : R 1 I 1 R 1 I 2 = 5 I x 15 I 1 15 I 2 = 5 I x στο βρόχο του I 2 : R 1 + R 2 I 2 R 1 I 1 = I 2 15 I 1 = 10 Όμως, κοιτάζοντας της φορές των ρευμάτων στο δεξιά βρόχο, βλέπουμε ότι I x = I 2, επομένως, το σύστημα των εξισώσεων γίνεται και 15 I 1 15 I 2 = 5 I 2 15 I I 2 = I 1 10 I 2 = 0 42

43 Λύση ( συνέχεια) Έχουμε το σύστημα 15 I 1 10 I 2 = 0 15 I I 2 = 10 Λύνουμε το σύστημα για τα δύο ρεύματα των βρόχων I 1 και I 2 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των οριζουσών Το ρεύμα I 1 είναι I 1 = = 0 25 ( 10)( 10) ( 15)( 10) = = 0,44 A και το ρεύμα I 2 I 2 = = ( 15)(0) 225 = = 0,67 A 43

44 Λύση ( συνέχεια) I S Από τις τιμές των ρευμάτων βρόχων I R1 I 1 = 0.44 A και I 2 = 0.67 A υπολογίζουμε το ρεύμα I R1 στην αντίσταση R 1 : I R1 = I 1 I 2 = 0.44 A 0.67 A = A Εκτός από το ρεύμα στην R 1, εύκολα μπορούμε να βρούμε και τα υπόλοιπα στοιχεία στο κύκλωμα Το ρεύμα στην R 2 : I x = I 2 = 0.67 A = 0.67 A Τη τιμή της εξαρτημένης πηγής τάσης: V = 5 I x = = 3.35 V Το ρεύμα που τη διαρρέει: I S = I 1 = 0.44 A = 0.44 A και η ισχύς που καταναλώνει (γιατί ;) είναι P = V I S = 3.35 V 0.44 A = W 44

45 Παράδειγμα 4-8 Η εικόνα (Σχήμα 4-4, σελ. 100, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων ) δείχνει ένα κύκλωμα που περιλαμβάνει σε έναν βρόχο του μια πηγή ρεύματος (1A). Εφαρμόστε τη μέθοδο των ρευμάτων βρόχων και υπολογίστε το ρεύμα στην αντίσταση R 1. Λύση Σημειώνουμε τα δύο ρεύματα I 1 και I 2 των (ελάχιστων) βρόχων στο κύκλωμα + I 1 I Το κύκλωμα περιλαμβάνει μια πηγή ρεύματος (1A) στον αριστερό βρόχο. Η τάση στα άκρα μιας πηγής ρεύματος είναι άγνωστη, οπότε, δεν εξυπηρετεί να εφαρμόσουμε τον νόμο τάσεων του Kirchhoff σε αυτόν το βρόχο. Αντί αυτού, όμως, έχουμε την εξίσωση ορισμού της πηγής ρεύματος: I 1 = 1 A (εξίσωση 1) Η δεύτερη εξίσωση προκύπτει από την εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchhoff στο δεύτερο βρόχο: R 1 I 2 + R 1 I 1 R 2 I 2 10V = 0 R 1 I 1 R 1 + R 2 I 2 = 10V (εξίσωση 2) 45

46 Λύση ( συνέχεια) Έχουμε το σύστημα I 1 = 1 A (εξίσωση 1) R 1 I 1 R 1 + R 2 I 2 = 10V 15 I 1 25 I 2 = 10 (εξίσωση 2) I R1 I R2 Αντικαθιστώντας από την 1 η εξίσωση την τιμή του I 1 στη 2 η εξίσωση, βρίσκουμε το ρεύμα βρόχου I 2 : I 2 = 10 I 2 = = 0.2 A Από τις τιμές των ρευμάτων βρόχων I 1 = 1 A και I 2 = 0.2 A μπορούμε να υπολογίσουμε το ρεύμα I R1 στην αντίσταση R 1 : I R1 = I 1 I 2 = 0. 8 A αλλά, και το ρεύμα I R2 στην αντίσταση R 2 : I R2 = I 2 = 0.2 A

47 Παράδειγμα 4-9 Εφαρμόστε τη μέθοδο των ρευμάτων βρόχων και υπολογίστε τα ρεύματα βρόχων I 1 και I 2 στο κύκλωμα της διπλανής εικόνας (Σχήμα 4-5, σελ. 101, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων ). Λύση Εάν η πηγή ρεύματος βρίσκεται σε ένα κλάδο που είναι κοινός σε δύο βρόχους, τότε δεν μπορούμε να γράψουμε τις εξισώσεις του νόμου τάσεων του Kirchhoff σε κανέναν από τους δύο βρόχους Ω I 1 I 2 Πάλι ξεκινάμε από την εξίσωση ορισμού της πηγής ρεύματος: I 2 I 1 = 1 A (εξίσωση 1) Η δεύτερη εξίσωση προκύπτει από την εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchhoff σε έναν βρόχο που δεν διατρέχει την πηγή ρεύματος (γιατί;). Ο μόνος τέτοιος βρόχος, σε αυτό το κύκλωμα, είναι ο εξωτερικός μη-ελάχιστος βρόχος (που περιλαμβάνει τους δύο ελάχιστους βρόχους των I 1 και I 2 ) R 1 I 1 R 2 I 2 10V = 0 15 I 1 10 I 2 = 10V (εξίσωση 2) 47

48 Λύση ( συνέχεια) Έχουμε το σύστημα I 1 I 2 = 1 15 I I 2 = 10 I R1 Λύνουμε το σύστημα για τα δύο ρεύματα των βρόχων I 1 και I 2 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των οριζουσών και I 1 = I 2 = = = 1 10 ( 10)( 1) 1 10 (15)( 1) 1 10 (15)( 1) 25 = Έχοντας γνωρίσει τα ρεύματα βρόχων I 1 και I 2, μπορούμε, εύκολα, να υπολογίσουμε κάθε άλλο μέγεθος στο κύκλωμα, π.χ., το ρεύμα I R1 και την ισχύ P 1 στην αντίσταση R 1 : I R1 = I 1 = 0.8 A = 0, 8 A = 5 = 0, 2 A 25 P 1 = I 2 R1 R 1 = = 0.6 W 48

49 Παράδειγμα 4-10 Το κύκλωμα της εικόνας (Σχήμα 4-7, σελ. 102, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων ) περιλαμβάνει πηγή ρεύματος εξαρτώμενη από τάση (0.5 V x ). Υπολογίστε τα δύο ρεύματα βρόχων I 1 και I 2 εφαρμόζοντας τη μέθοδο των ρευμάτων βρόχων. Λύση Τα κυκλώματα με εξαρτημένη πηγή ρεύματος αντιμετωπίζουμε όπως τα κυκλώματα με ανεξάρτητη πηγή ρεύματος. Με την πολικότητα που δίνεται η τάση V x και τη φορά του ρεύματος βρόχου I 2, η τιμή της είναι V x = I 2 R 2 = 10 I 2 (γιατί;) (1) Στον αριστερό βρόχο, η τιμής της εξαρτημένης πηγής ρεύματος είναι 0.5 V x = I 1 που, αντικαθιστώντας από την (1), γίνεται I 2 = I 1 I 1 = 5 I 2 I 1 +5 I 2 = 0 (εξίσωση 1 η ) 49

50 Λύση (... συνέχεια) Η δεύτερη εξίσωση προκύπτει από την εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchhoff σε έναν βρόχο που δεν διατρέχει την πηγή ρεύματος, τον δεξιό βρόχο. R 1 I 1 R 1 I 2 R 2 I 2 10V = 0 15 I 1 15 I 2 10 I 2 = 10 Έχουμε το σύστημα 15 I 1 25 I 2 = 10 (εξίσωση 2 η ) I I 2 = 0 15 I 1 25 I 2 = 10 το οποίο λύνουμε (με ορίζουσες) 0 5 I 1 = = I 2 = = 0 25 (10)(5) 1 25 (15)(5) = (15)(0) 100 = = 0. 5A = 0. 1 A 50

51 Παράδειγμα 4-11 Υπολογίστε το ρεύμα I x και την τάση V x στο κύκλωμα (Σχήμα 4-8, σελ. 103, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων ) Λύση Στο κύκλωμα περιλαμβάνονται μια εξαρτημένη πηγή τάσης που ελέγχεται από ρεύμα (5 I x ) και μια εξαρτημένη πηγή ρεύματος που ελέγχεται από τάση (0.5 V x ) Το κύκλωμα έχει 3 βρόχους. Σημειώνουμε τα ρεύματα I 1, I 2 και I 3 των τριών βρόχων. Γράφουμε τις τιμές των εξαρτημένων πηγών συναρτήσει των τριών ρευμάτων βρόχων. Η τιμή της εξαρτημένης πηγής ρεύματος είναι: I = 0.5 V x = 0.5 [R 2 I 3 I 2 ] I = I 3 I 2 I = 5 I 3 I 2 Η τιμή της εξαρτημένης πηγής τάσης είναι: V = 5 I x = 5 (I 3 I 1 ) Η πρώτη εξίσωση προκύπτει από την πηγή ρεύματος στον αριστερά βρόχο 5 I 3 I 2 = I 1 I 3 I 1 I 2 I I 2 5 I 3 = 0 (εξίσωση 1 η ) 51

52 Λύση (... συνέχεια) Από το δεξί βρόχο (του I 2 ) προκύπτει η 2 η εξίσωση με εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchhoff R 3 I 2 + R 3 I 1 R 2 I 2 + R 2 I 3 10V = 0 20 I I 1 10 I I 3 = I 1 30 I I 3 = 10 2 I 1 3 I 2 + I 3 = 1 (εξίσωση 2 η ) Η 3 η εξίσωση προκύπτει από τον πάνω βρόχο (του I 3 ) με εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchhoff R 2 I 3 + R 2 I 2 R 1 I 3 + R 1 I 1 5 (I 3 I 1 ) = 0 10 I I 2 5 I I 1 5 (I 3 I 1 ) = 0 10 I I 2 20 I 3 = 0 I 1 + I 2 2 I 3 = 0 (εξίσωση 3 η ) 52

53 Λύση (... συνέχεια) Έχουμε το σύστημα των τριών εξισώσεων I I 2 5 I 3 = 0 2 I 1 3 I 2 + I 3 = 1 I 1 + I 2 2 I 3 = 0 το οποίο λύνουμε με τη μέθοδο των οριζουσών I 1 = = 5 5 = 1 A I 2 = = 3 5 = 0.6 A I 3 = = 4 5 = 0.8 A Επομένως, οι ζητούμενοι άγνωστοι είναι: I x = I 3 I 1 = 0.8A 1A = 0. 2 A και V x = R 2 I 3 I 2 = = 2 V 53

54 Η μέθοδος των κόμβων χρησιμοποιεί για αγνώστους τις τάσεις των κόμβων Η μέθοδος των τάσεων κόμβων (Node-Voltage Method) Βήμα 1 Σημειώνουμε τους κόμβους στο κύκλωμα Π.χ., Α, B και Γ V 1 V 2 Α Β Βήμα 2 Ορίζουμε έναν από αυτούς σαν κόμβο αναφοράς Συνήθως, τον σημειώνουμε με το σύμβολο της ψηφιακής γείωσης ( ) Η επιλογή είναι αυθαίρετη Ο κόμβος με τους περισσότερους κλάδους είναι μια καλή επιλογή (Π.χ., ο κόμβος Γ) Γ Γ Βήμα 3 Ορίζουμε σαν αγνώστους τις τάσεις των υπολοίπων κόμβων ως προς τον κόμβο αναφοράς. Π.χ., V 1 και V 2 Ως τάση ενός κόμβου ορίζεται η τάση του ως προς τον κόμβο αναφοράς 54

55 Η μέθοδος των τάσεων κόμβων Βήμα 4 Φτιάχνουμε τις εξισώσεις των τάσεων των κόμβων. Ξεκινάμε σημειώνοντας το ρεύμα σε κάθε κλάδο που αφήνει έναν κόμβο. Φτιάχνουμε την εξίσωση κάθε κόμβου χρησιμοποιώντας το νόμο των ρευμάτων του Kirchhoff. Π.χ., για τον κόμβο Α: I 1 + I 2 1A = 0 για τον κόμβο B: I 2 + I 3 2A = 0 (... συνέχεια) + I 1 I 2 I Χρησιμοποιώντας τον νόμο του Ohm, εκφράζουμε κάθε ρεύμα σαν συνάρτηση της τάσης του κόμβου. Έχουμε, I 1 = V 1 R 1, I 2 = V 1 V 2 R 2 και I 3 = V 2 R 3 Η εξίσωση για τον κόμβο Α γίνεται: V 1 R 1 + V 1 V 2 R 2 1 = 0 3 V 1 2 V 2 = 10 και για τον κόμβο B: V 1 V 2 R 2 + V 2 R 3 2 = 0 2 V 1 3 V 2 = 20 Βήμα 5 Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων ως προς τις άγνωστες τάσεις V 1 και V 2 των κόμβων. 55

56 Η μέθοδος των τάσεων κόμβων Λύση του συστήματος των εξισώσεων V 1 = 3 V 1 2 V 2 = 10 2 V 1 3 V 2 = ( 20)( 2) = (2)( 2) 2 3 = 70 5 = 14 V (... συνέχεια) V 2 = = 3 20 (2)(10) 5 = 80 5 = 16 V Από τις τάσεις V 1 και V 2 των κόμβων υπολογίζουμε εύκολα τα ρεύματα του κυκλώματος: I 1 = V 1 R 1 = I 2 = V 1 V 2 R 2 14 V = 1.4 A 10 Ω = I 3 = V 2 R 3 = 16 V 10 Ω 14V 16V 5 Ω = 1.6 A = 0.4 A 56

57 Παράδειγμα 4-12 Υπολογίστε τα ρεύματα που διαρρέουν τις αντιστάσεις του κυκλώματος (Σχήμα 4-16, σελ. 113, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων ). Λύση Το κύκλωμα έχει τέσσερις κόμβους, Α, Β, Γ και Δ. Θεωρούμε τον Δ ως κόμβο αναφοράς. Σημειώνουμε τα ρεύματα I 1, I 2, I 3 και I 4 στους κόμβους. + R 4 =5 Ω I 4 R 1 =1 Ω R 2 =5 Ω V A+ V 2 + Γ 1 V3 B 2A I 1 + I 3 3A R 3 =2 Ω I 2 Δ Στον κόμβο Α, ο νόμος του Kirchhoff γράφεται 2A + I 1 + I 4 = 0 Από το νόμο του Ohm, έχουμε για τα ρεύματα: I 1 = V 1 V 2 R 1 και I 4 = V 1 V 3 R 4 Αντικαθιστώντας στην εξίσωση των ρευμάτων, παίρνουμε την εξίσωση των τάσεων V 1 V 2 R 1 + V 1 V 3 R 4 = 2 V 1 V V 1 V 3 5 = 2 6 V 1 5 V 2 V 3 = 10 57

58 Λύση (... συνέχεια) Στον κόμβο Β, ο νόμος του Kirchhoff γράφεται I 1 + I 2 + I 3 = 0 Επίσης, από το νόμο του Ohm, έχουμε για τα ρεύματα: I 2 = V 2 R 3 και I 3 = V 2 V 3 R 2 Αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση των ρευμάτων, παίρνουμε τη δεύτερη εξίσωση των τάσεων V 1 V 2 + V 2 + V 2 V 3 = 0 V 1 V 2 R 1 R 3 R 2 1 Στον κόμβο Γ, ο νόμος του Kirchhoff γράφεται + V V 2 V 3 5 = 0 10 V V 2 2 V 3 = 0 I 3 3 Α I 4 = 0 Αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση των ρευμάτων, παίρνουμε την Τρίτη εξίσωση των τάσεων V 2 V 3 3 V 1 V 3 = 0 V 2 V 3 R 2 R 4 5 V 1 V 3 5 = 3 V 1 V 2 2 V 3 = 10 58

59 Λύση (... συνέχεια) Έχουμε το σύστημα των εξισώσεων 6 V 1 5 V 2 V 3 = V 1 17 V V 3 = 0 V 1 + V V 3 = 10 Το οποίο λύνουμε με τη μέθοδο των οριζουσών V 1 = = = 13.2 V V 2 = = = 10 V V 3 = = = 19.1 V 59

60 Παράδειγμα 4-13 Επιλύστε το κύκλωμα με τη μέθοδο κόμβων (Σχήμα 4-16, σελ. 113, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων ). Α I 2 I Σημείωση: το κύκλωμα αυτό έχει λυθεί με τη μέθοδο των βρόχων (βλ., παράδειγμα 4-8) αλλά και με τη μέθοδο αντικατάστασης πηγών (βλ. παράδειγμα 3-17, κεφ. 3) Λύση Το κύκλωμα έχει δύο κόμβους, τους Α και Β. Θεωρούμε τον Β κόμβο αναφοράς. Άγνωστός μας είναι η τάση V A (ή V AB ) του κόμβου Α. Σημειώνουμε τα ρεύματα στον κόμβο Α και γράφουμε το νόμο του Kirchhoff για τα ρεύματα στον κόμβο Α 1A + I 1 + I 2 = 0 Από το νόμο του Ohm, έχουμε για τα ρεύματα: I 1 = V A R 1 και I 2 = V A 10V R 2 (γιατί;) Αντικαθιστώντας στην εξίσωση των ρευμάτων, παίρνουμε 1 + V A + V A 10 = V A R 1 R V A 10 = V 10 A + 3 V A 30 = 0 5 V A = 60 V A = 12 V Β 60

61 Λύση ( συνέχεια) Από την τάση του κόμβου, V A = 10 V, μπορούμε να υπολογίσουμε οποιοδήποτε μέγεθος στο κύκλωμα. Π.χ.: το ρεύμα στην αντίσταση R 1 : I 1 = V A R 1 = 12 V 15 Ω = 0.8 A το ρεύμα στην αντίσταση R 2 : I 2 = V A 10V R 2 = 12 V 10 V 10 Ω = 0.2 A την ισχύ που παρέχει στο κύκλωμα (γιατί;) η πηγή ρεύματος 1Α: P 1A = V AB 1 A = 12 W την ισχύ που καταναλώνει (γιατί;) η πηγή τάσης 10 V: P 10V = 10 V I 2 = 2 W

62 Παράδειγμα 4-13 Επιλύστε το κύκλωμα με τη μέθοδο κόμβων (Σχήμα 4-17, σελ. 115, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων ). Σημείωση: Το κύκλωμα αυτό μπορείτε να βρείτε λυμένο με τη μέθοδο των βρόχων (βλ., Σχ. 4-2, σελ. 96, Κ. Παπαδόπουλου Ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων ) Λύση + + I 1 I 2 I 3 + Από τους δύο κόμβους, Α και Β, θεωρούμε τον Β σαν κόμβο αναφοράς. Σημειώνουμε τα ρεύματα στον κόμβο Α, και γράφουμε το νόμο του Kirchhoff για τα ρεύματα σ αυτόν τον κόμβο I 1 + I 2 + I 3 = 0 Από το νόμο του Ohm, έχουμε για τα ρεύματα: I 1 = V A 20V, I R 3 = V A και I 1 R 2 = V A 10V 3 R 2 Αντικαθιστώντας στην εξίσωση των ρευμάτων, παίρνουμε V A 20V + V A + V A 10V = 0 R 3 R 2 R 1 2(V A 20) + V A + 2(V A 10) = 0 V A V A 20 + V A = 0 5 V A = 60 V A = 12 V 62

63 Λύση ( συνέχεια) Από την τάση του κόμβου, V A = 12 V, μπορούμε να υπολογίσουμε οποιοδήποτε μέγεθος στο κύκλωμα, π.χ., τα τρία ρεύματα των κλάδων: I 1 = V A 20V R 1 = 12 V 20 V 10 Ω = 0.8 A I 2 = V A R 2 = 12 V 20 Ω = 0.6 A I 3 = V A 10V R 3 = 12 V 10 V 10 Ω = 0.2 A