Επίδραση της Καταστατικής Εξίσωσης της Πυρηνικής Ύλης στην Εκπομπή Βαρυτικών Κυμάτων από τους Αστέρες Νετρονίων

Α Π Θ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Επίδραση της Καταστατικής Εξίσωσης της Πυρηνικής Ύλης στην Εκπομπή Βαρυτικών Κυμάτων από τους Αστέρες Νετρονίων Ιωάννα Παπαβέργου Α.Ε.Μ. 12916 Επιβλέπων Καθηγητής: Χαράλαμπος Μουστακίδης Θεσσαλονίκη 2014

Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Επίκουρο Καθηγητή κ. Χαράλαμπo Μουστακίδη για την υπόδειξη του θέματος της εργασίας αλλά και για τον χρόνο που αφιέρωσε καθώς και για την καθοδήγηση και την βοήθεια που μου προσέφερε κατά τη διάρκεια της εκπόνησής της. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω τον συμφοιτητή μου Μουσελίμη Σωτήρη για την βοήθεια και την συμπαράστασή του. Ιωάννα Παπαβέργου 1

Περιεχόμενα 1 Στάδια εξέλιξης των αστέρων 5 1.1 Αστρική εξέλιξη........................ 5 1.2 Γενικά για τους αστέρες νετρονίων............. 8 2 Καταστατική εξίσωση πυρηνικής ύλης αστέρων νετρονίων 13 2.1 Γενικά για την καταστατική εξίσωση των αστέρων νετρονίων 13 2.2 Ενέργεια σύνδεσης και ενέργεια συμμετρίας........ 14 2.3 Κλάσμα πρωτονίων στην πυρηνική ύλη........... 16 2.4 Καταστατική εξίσωση πυρηνικής ύλης για β-σταθερή ύλη 17 3 Βαρυτικά κύματα 19 3.1 Γενικά για τα βαρυτικά κύματα............... 19 3.2 Γιατί τα βαρυτικά κύματα παρουσιάζουν ενδιαφέρον... 21 3.3 Ιδιότητες των βαρυτικών κυμάτων.............. 22 3.4 Ανίχνευση βαρυτικών κυμάτων................ 23 4 Τρόποι ταλάντωσης του αστέρα 27 4.1 Ειδικά για τον r-τρόπο ταλάντωσης............. 28 4.2 Αστάθεια του r-τρόπου ταλάντωσης............. 29 4.3 Χρονική εξέλιξη της r ταλάντωσης.............. 31 5 Διαγραμματική αναπαράσταση και πίνακες 35 5.1 Μεταβολή της κρίσιμης συχνότητας περιστροφής των αστέρων νετρονίων με την θερμοκρασία............. 35 5.2 Εξέλιξη συχνότητας της r ταλάντωσης συναρτήσει του χρόνου 38 5.3 Εξέλιξη της μεταβολής της συχνότητας της r ταλάντωσης συναρτήσει του χρόνου.................... 47 5.4 Εξάρτηση της ισχύος της βαρυτικής ακτινοβολίας από τον χρόνο.............................. 49 2

Περίληψη Η εργασία αυτή πραγματοποιήθηκε με σκοπό να ερευνηθεί η επίδραση της καταστατικής εξίσωσης της πυρηνικής ύλης στη εξέλιξη των αστέρων νετρονίων και ειδικότερα στην εκπομπή βαρυτικών κυμάτων. Τα βαρυτικά κύματα αποτελούν ένα σπουδαίο και χρήσιμο μέσο παρατήρησης και αποκωδικοποίησης του σύμπαντος αφού οι πληροφορίες που μεταφέρουν είναι μοναδικές. Στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας γίνεται αναφορά στα 3 τελικά στάδια εξέλιξης των αστέρων και ειδικότερα στα χαρακτηριστικά των αστέρων νετρονίων που αποτελούν μία από τις σημαντικότερες πηγές βαρυτικών κυμάτων. Στη συνέχεια γίνεται αναφορά στην καταστατική εξίσωση της πυρηνικής ύλη, συνάρτηση ιδιαιτέρα σημαντική αφού συνδέει χαρακτηριστικά μεγέθη του αστέρα. Το τρίτο κεφάλαιο της εργασίας αναφέρεται γενικά στα βαρυτικά κύματα και τη συνεισφορά τους στην μελέτη του σύμπαντος. Επίσης αναλύονται οι ιδιότητες τους και οι τρόποι ανίχνευσης τους. Στο επόμενο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι διάφοροι τρόποι ταλάντωσης της μάζας του αστέρα και ειδικότερα η r ταλάντωση η οποία επηρεάζει σημαντικά την δημιουργία και την εκπομπή των βαρυτικών κυμάτων. Προκειμένου να εξαχθούν συμπεράσματα για την επίδραση της καταστατικής εξίσωσης στην εκπομπή των κυμάτων μελετήθηκε η χρονική μεταβολή χαρακτηριστικών μεγεθών του αστέρα όπως η συχνότητα και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του, για διαφορετικές καταστατικές εξισώσεις. Όπως αναλύεται και στα συμπεράσματα η επίδραση της καταστατικής εξίσωσης της πυρηνικής ύλης επηρεάζει την εκπομπή βαρυτικών κυμάτων η οποία όμως επηρεάζεται και από άλλους παράγοντες όπως ο συντελεστής απόσβεσης, η δομή και η κατάσταση της κρούστας του αστέρα, το ενδιάμεσο στρώμα ανάμεσα στην κρούστα και στον πυρήνα. 3

Abstract The purpose of this thesis is to investigate the effects of the equation of state of nuclear matter on the evolution of neutron stars and especially on the emission of gravitational waves from the star. Gravitational waves form a great way of understanding and decoding the universe, due to the unique information they carry. The first unit of the study is referred to the 3 final stages of the evolution of the stars and particularly at the features of the neutron stars which are one of the most important sources of gravitational waves. Subsequently there is a reference on the equation of state of the nuclear matter, which is a very important equation linking characteristic values of the star. In the third chapter of the study there is a brief introduction to the gravitational waves, their properties and the way they will be detected as well as their contribution to the study of the universe. The next unit of the thesis is dedicated to the r-mode oscillation of the star which seems to affect the creation and emission of the gravitational waves. In order to draw conclusions on how the equation of state of the nuclear matter affects the emission of the gravitational waves there was a study on the evolution of some characteristic values of the star like frequency and angular momentum for different equation of state. As it is indicated at the conclusion the equation of state of the nuclear matter affects the emission of the waves. However there are some other factors which affect the emission of the waves such as the damping factor, the structure of the star s crust and the boundary line between the core and the crust. 4

Κεφάλαιο 1 Στάδια εξέλιξης των αστέρων 1.1 Αστρική εξέλιξη Στο κεφάλαιο αυτό αναφέρεται ο τρόπος με τον οποίο ταξινομούνται οι αστέρες σε διάγραμμα σύμφωνα με κάποια βασικά τους χαρακτηριστικά, πως εξελίσσονται με τον χρόνο και οι τελικές καταστάσεις ενός αστέρα. Αναλύονται συγκεκριμένα οι αστέρες νετρονίων, τα μεγέθη που τους χαρακτηρίζουν και γιατί θεωρούνται σημαντικές πηγές βαρυτικών κυμάτων. Τέλος αναφέρονται τα διπλά συστήματα αστέρων που επίσης θεωρούνται βασικές πηγές βαρυτικών κυμάτων. Στην προσπάθεια τους οι επιστήμονες, να κατατάξουν τους αστέρες με γνωστούς φασματικούς τύπους σε διαγράμματα έτσι ώστε να παρουσιάζουν κανονικότητες οδηγήθηκαν στη δημιουργία του διαγράμματος Hertzsprung-Russell (Η-R). Ο Δανός χημικός και αστρονόμος Ejnar Hertzsprung και ο αμερικάνος αστρονόμος Henry Norris Russell τοποθέτησαν τους αστέρες με γνωστά φάσματα σε διάγραμμα με τετμημένη την θερμοκρασία και τεταγμένη την φωτεινότητα. Διαπίστωσαν έτσι ότι τα περισσότερα σημεία που αντιστοιχούσαν στους αστέρες βρίσκονταν συγκεντρωμένα σε μια ζώνη που διατρέχει το διάγραμμα διαγώνια αλλά και σε άλλες παράπλευρες ζώνες. 5

Σχήμα 1.1: Διάγραμμα Hertzsprung - Russell Ο οριζόντιος άξονας του διαγράμματος παριστάνει την θερμοκρασία η οποία αυξάνεται προς τα αριστερά. Ο κατακόρυφος άξονας παριστάνει την φωτεινότητα, μέγεθος που ορίζεται ως το γινόμενο της ολικής ροής της ηλεκτρομαγνητικής ισχύος F στην επιφάνεια του αστέρα επί του εμβαδού της επιφάνειας του αστέρα 4πR 2 (θεωρείται σφαιρική), επομένως L = 4πR 2 F. Οι περισσότεροι αστέρες βρίσκονται στη ζώνη που διατρέχει διαγώνια το διάγραμμα και ονομάζεται κύρια ακολουθία. Οι αστέρες περνάνε το 80% την ζωής τους στην κύρια ακολουθία μέχρι να μεταπέσουν στην τελική τους κατάσταση. Επάνω δεξιά στο διάγραμμα βρίσκονται οι γίγαντες και οι υπεργίγαντες. Πρόκειται για μεταβατικές καταστάσεις των αστέρων. Κάτω δεξιά στο διάγραμμα βρίσκονται οι λευκοί νάνοι. [1] Ο τρόπος με τον οποίο θα εξελιχθούν οι αστέρες από τη στιγμή που θα βρεθούν στην κύρια ακολουθία εξαρτάται από τη μάζα τους. Ενδεικτικά σενάρια εξέλιξης αστέρων αφού εγκαταλείψουν την κύρια ακολουθία, σύμφωνα με τη μάζα τους φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. [1] Μάζα στην φάση της Χαρακτηριστικό Πιθανή τελική κατάσταση κύριας ακολουθίας παρατηρούμενο φαινόμενο M < 0.8M Λευκός νάνος He Πλανητικό νεφέλωμα 0.8M < M < 3M Λευκός νάνος C-O Πλανητικό νεφέλωμα 3M < M < 10M Αστέρας νετρονίων ΥΚΦ τύπου ΙΙ 10M < M Μελανή οπή ; Πίνακας 1.1: Εξέλιξη των αστέρων σύμφωμα με την μάζα τους 6

Όπως φαίνεται και στον πίνακα οι πιθανές τελικές καταστάσεις ενός αστέρα αφού φύγει από την κύρια ακολουθία είναι τρείς. Ο λευκός νάνος, ο αστέρας νετρονίων και η μελανή οπή. Θα αναφέρουμε μερικά βασικά χαρακτηριστικά της κάθε μίας κατάστασης. [1] Λευκός Νάνος : Αποτελείται από τον εκφυλισμένο γυμνό πυρήνα αστέρα με σχετικά μικρή μάζα.η αρχική θερμοκρασία του λευκού νάνου είναι υψηλή, με την πάροδο του χρόνου όμως μειώνεται έως ότου σταματήσει να ακτινοβολεί θερμικά. Ο αστέρας βρίσκεται σε υδροστατική ισορροπία επειδή η βαρυτική πίεση εξισορροπείται από την πίεση των ηλεκτρονίων του. Η μάζα ενός τυπικού λευκού νάνου είναι περίπου όσο και η ηλιακή μάζα και η ακτίνα του είναι περίπου 10 9 cm. Αστέρας Νετρονίων : Είναι ο εκφυλισμένος γυμνός πυρήνας αστέρα με αρχικά μεγάλη μάζα. Η θερμοκρασία του αστέρα εξελίσσεται όπως και στους λευκούς νάνους. Η υδροστατική πίεση εξασφαλίζεται από την πίεση των νετρονίων του αστέρα. Οι αστέρες νετρονίων έχουν μάζα 1.4-2 ηλιακές μάζες και ακτίνα περίπου 10Km. Μελανές Οπές : Η υδροστατική πίεση του αστέρα καταρρίπτεται διότι η εσωτερική πίεση δεν επαρκεί για να αντισταθμίσει την βαρυτική. Η μάζα του αστέρα καταρρέει και δημιουργείται ένα αντικείμενο εξαιρετικά μεγάλης πυκνότητας. Το μήκος R s ονομάζεται ακτίνα Schwarchild και δίνεται από τον τύπο R s = 2GM/c 2. Η ακτίνα Schwarchild είναι ένα χαρακτηριστικό μέγεθος της μελανής οπής. Το βαρυτικό πεδίο της μελανής οπής είναι τόσο ισχυρό ώστε σε ακτίνα R < R s ούτε το φως δεν μπορεί να διαφύγει. Για τον λόγο αυτό δεν μπορούμε να έχουμε πληροφορίες για αυτήν την περιοχή. Η μάζα των μελανών οπών ξεπερνά τις 2 ηλιακές μάζες. 7

1.2 Γενικά για τους αστέρες νετρονίων O αστέρας νετρονίων είναι ένα από τα τρία τελικά στάδια εξέλιξης ενός αστέρα, μαζί με τους λευκούς νάνους και τις μελανές οπές όπως αναφέραμε και νωρίτερα. Ονομάζεται αστέρας νετρονίων διότι αποτελείται κυρίως από νετρόνια των οποίων η πίεση εξισορροπεί την βαρυτική πίεση που προσπαθεί να συνθλίψει τον αστέρα. Όταν αυτές οι 2 αντίθετες πιέσεις εξισωθούν ο αστέρας βρίσκεται σε υδροστατική ισορροπία και ισχύει η σχέση: dp/dz = ρ z (1.1) Η μάζα ενός τυπικού αστέρα νετρονίων κυμαίνεται από 1.4 έως 3 ηλιακές μάζες (περίπου 5.967 10 30 Kg) και η ακτίνα του είναι περίπου 10 Km.Πρόκειται δηλαδή για αστέρες με τρομερά μεγάλη πυκνότητα (8 10 13 2 10 15 gr/cm3). Οι αστέρες νετρονίων περιστρέφονται με εξαιρετικά μεγάλη γωνιακή ταχύτητα (περίπου 1000 στροφές/sec). Το μαγνητικό πεδίο των αστέρων νετρονίων έχει στη επιφάνεια τους ένταση 10 8 10 14 T περίπου 5 10 18 φορές μεγαλύτερη από αυτή του γήινου μαγνητικού πεδίου. Σχήμα 1.2: Εσωτερική δομή αστέρα νετρονίων Από το σχήμα φαίνεται η εσωτερική δομή ενός τυπικού αστέρα νετρονίων. 8

Αναλυτικά η δομή είναι: [2] (1) επιφάνεια (ρ F e = 7.9g/cm 3 < ρ < 10 6 g/cm 3 ). Η ύλη σε αυτήν την περιοχή του αστέρα αποτελείται από πυρήνες 56 F e (βαρείς πυρήνες). Οσο η πυκνότητα αυξάνεται όλο και περισσότερα ηλεκτρόνια αποσπώνται από τους πυρήνες τους. (2) εξωτερική κρούστα (10 6 g/cm 3 < ρ < 4.3 10 11 g/cm 3 ). Η εξωτερική κρούστα του αστέρα αποτελείται από πολύ βαρείς πυρήνες (A > 56) σε ισσοροπία με εκφυλισμένο αέριο Fermi. Πηγαίνοντας βαθύτερα προς το εσωτερικό της κρούστας (υψηλότερες πυκνότητες) οι πυρήνες που συναντάμε αποτελούνται από περισσότερα νετρόνια εξαιτίας της σύλληψης ηλεκτρονίων e + p n + ν e. (3) εσωτερική κρούστα (4.3 10 11 g/cm 3 < ρ < ρ NM ). Σε πυκνότητες πάνω από την ρ drip = 4.3 10 11 g/cm 3 η κρούστα αποτελείται από πυρήνες πλούσιους σε νετρόνια οι οποίοι βρίσκονται ενσωματωμένοι σε αέριο ηλεκτρονίων και σε αέριο νετρονίων. Στην περιοχή αυτή αναμένεται τα νετρόνια να σχηματίσουν ζεύγος Cooper και να βρίσκονται σε υπέρρευστη κατάσταση. (4) πυρήνας αστέρα που αποτελέιται από πυρηνική ύλη (ρ < ρ < ρ exo ), όταν η πυκνότητα πάρει την τιμή ρ = (1.8 2.2) 10 14 g/cm 3 οι πυρήνες ενώνονται και η ύλη βρίσκεται σε μία μεταβατική κατάσταση. Η κατάσταση αυτή αποτελεί ένα ενδιάμεσο στάδιο κατά το οποίο η άμορφη μάζα νετρονικής ύλης που βρίσκεται ενσωματωμένη σε αέριο νετρονίων και ηλεκτρονίων μετατρέπεται σε μπαλόνια γεμάτα αέριο νετρονίων και ηλεκτρονίων τα οποία περιβάλλονται από νετρονική ύλη (swiss cheese phase). (5) εξωτικός πυρήνας (ρ > ρ exo ). Σε πυκνότητες μεγαλύτερες από ρ exo έχουμε τον πυρήνα που αποτελείται από εξωτική ύλη. Η ύπαρξη, οι ιδιότητες και η ακριβής σύνθεση του εξωτικού πυρήνα εξαρτώνται ισχυρά από την καταστατική εξίσωση της ύλης. Για την συγκεκριμένη εργασία είναι πολύ σημαντικός ο προσδιορισμός της θερμοκρασίας του πυρήνα ενός αστέρα νετρονίων. Η διαδικασία αυτή είναι αρκετά πολύπλοκη καθώς μόνο η επιφανειακή θερμοκρασία του αστέρα μπορεί να μετρηθεί απευθείας από έναν παρατηρητή. Για να προσδιοριστεί η θερμοκρασία του πυρήνα χρησιμοποιούνται παρατηρήσεις ακτίνων Χ από διπλά συστήματα αστέρων σε ισορροπία και κάποια παρατηρησιακά δεδομένα θερμικών φασμάτων σε UV κάποιων pulsars. [3] Τελικά η θερμοκρασία του πυρήνα που έχει υπολογιστεί είναι της τάξης των 10 8 K. 9

Πολλά από τα αστέρια νετρονίων που παρατηρούνται στον ουρανό είναι Pulsars. Γενικά την ύπαρξη των αστέρων νετρονίων υπέθεσαν οι Baade και Zwicky και την απέδειξαν οι Landau, Oppenheimer και Vοlkoff. Το 1967 οι Bell και Ηewish παρατήρησαν ραδιοπηγές που πάλλονταν ακολουθώντας μια περιοδικότητα. Ονόμασαν τα αστέρια αυτά Pulsars. Πρόκειται λοιπόν για αστέρες νετρονίων με πολύ ισχυρό μαγνητικό πεδίο που περιστρέφονται γύρω από τον άξονά τους εκπέμποντας δέσμες φωτονίων από τους μαγνητικούς τους πόλους. Κάθε φορά που ο κώνος της ακτινοβολίας έρχεται σε ευθεία με τη γη παρατηρούμε παλμό ραδιοκυμάτων ή ακτινών χ. Τέτοιου είδους παρατηρήσεις μας δίνουν πληροφορίες για το πόσο γρήγορα κινείται και περιστρέφεται το αστέρι. Σχήμα 1.3: Άξονας περιστροφής και μαγνητικού πεδίου Pulsar Εκτός από τα απομονωμένα αστέρια νετρονίων υπάρχουν και τα διπλά συστήματα αστέρων που αποτελούνται είτε από δύο αστέρες νετρονίων είτε από αστέρα νετρονίων και άλλο συνοδό αστέρα. Τέτοια συστήματα είναι γνωστά σαν χαμηλής μάζας διπλό σύστημα ακτινών Χ (Low Mass X-Ray Binary LMXB). Στα διπλά αυτά συστήματα αφού ο συνοδός αστέρα συμπληρώσει το λοβό του Roche χάνει μάζα η οποία επικάθεται στο δίσκο προσαύξησης του αστέρα νετρονίων. Κατά το φαινόμενο αυτό εκπέμπονται ακτίνες Χ. Το πρόσθετο υλικό προσθέτει μάζα και στροφορμή στο αστέρι και η ταχύτητα περιστροφής του αυξάνεται σημαντικά. Παρόλα αυτά το pulsar έχει ρυθμό περιστροφής πολύ μικρότερο από το φυγοκεντρικό όριο διάλυσης. 10

Το γεγονός αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι κάποιος μηχανισμός εμποδίζει την περαιτέρω αύξηση του ρυθμού περιστροφής κατά την εξέλιξη του συστήματος. Η πιο δημοφιλής εξήγηση του φαινομένου, είναι η εκπομπή βαρυτικών κυμάτων από τον αστέρα νετρονίων. Για αυτό και τα διπλά συστήματα αστέρων θεωρούνται μία από τις βασικές πηγές βαρυτικής ακτινοβολίας. Στους αστέρες νετρονίων παρατηρείται μεγάλος αριθμός ασταθειών οι οποίες συνδέονται με ασταθείς μορφές ταλάντωσης. Η εργασία αυτή επικεντρώνεται στην αστάθεια του r τρόπου ταλάντωσης. Η βαρυτική ακτινοβολία που προέρχεται από την αστάθεια των τρόπων ταλάντωσης ευθύνεται όπως αναφέραμε παραπάνω για τις χαμηλές συχνότητες περιστροφής των αστέρων νετρονίων που ανήκουν σε LMXBs. Σχήμα 1.4: Διπλό σύστημα αστέρων, επικάθηση μάζας Στα συστήματα αυτά η περιστροφική κίνηση των αστέρων διαμορφώνει τη συχνότητα του παλμού που εκπέμπεται. Το παρατηρούμενο redshift του φάσματος των αστέρων, η περίοδος και η εξέλιξη της τροχιάς του συστήματος, μας επιτρέπει τον προσδιορισμό των μαζών των δύο αστεριών. Επίσης μετρήσεις των παλμών των δύο αστέρων μας δίνουν πληροφορίες για την δυναμική των τροχιών και έτσι μπορούμε να προσδιορίσουμε τη ροπή αδράνειας των αστέρων νετρονίων. 11

Θεωρείται ότι η τροχιά που ακολουθούν τα αστέρια είναι κυκλική αν και γενικά η τροχιά δύο σωμάτων είναι σχεδόν ελλειπτική. Έχει παρατηρηθεί ότι αρκετά πριν την ένωση των δύο αστέρων η τροχιά γίνεται κυκλική λόγω της εκπομπής των βαρυτικών κυμάτων. Το πρώτο διπλό σύστημα pulsars που παρατηρήθηκε ήταν το PSR J0737-3039 το 2004 στο παρατηρητήριο Parkes της Αυστραλίας. Σχήμα 1.5: Εικόνα του PSR J0737-3039 από το τηλεσκόπιο Hubble. 12

Κεφάλαιο 2 Καταστατική εξίσωση πυρηνικής ύλης αστέρων νετρονίων 2.1 Γενικά για την καταστατική εξίσωση των αστέρων νετρονίων Στην προσπάθεια μας να κατανοήσουμε τη φύση των αστέρων νετρονίων και κατ επέκταση την εκπομπή των βαρυτικών κυμάτων είναι ιδιαίτερα σημαντικό να προσδιορίσουμε κάποιες από τις ιδιότητες του αστέρα. Κάνοντας παρατηρήσεις των αστέρων νετρονίων μπορούμε να εξάγουμε συμπεράσματα για τη μάζα, το σπιν, το μέγεθος και τη ροπή αδράνειας του. Τα μεγέθη αυτά εξαρτώνται από την εσωτερική δομή του κάθε αστέρα. Εξαιτίας του μεγάλου αριθμού των αστέρων αλλά και τις αδυναμίας μας να κάνουμε ακριβείς μετρήσεις για αυτά τα μεγέθη φτιάχνουμε διάφορα μοντέλα που περιλαμβάνουν αυτές τις παραμέτρους. Έτσι όλες αυτές οι ιδιότητες του αστέρα περιγράφονται από την καταστατική εξίσωση γνωστή ως EOS (equation of state), που περιγράφει τη σχέση ανάμεσα στην πίεση,την ενεργειακή πυκνότητα και την θερμοκρασία του αστέρα. Σε αντιστοιχία με τους νόμους του Νεύτωνα για την μηχανική, η καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων αποτελεί τον θεμελιώδη νόμο της θερμοδυναμικής. Συγκρίνοντας τα διάφορα θεωρητικά μας μοντέλα με τα παρατηρησιακά δεδομένα κρίνουμε αν τα μοντέλα μας είναι σωστά και ανταποκρίνονται στη πραγματικότητα ή όχι οπότε τα βελτιώνουμε. Η καταστατική εξίσωση μπορεί να διαχωριστεί σε μαλακή και σκληρή ανάλογα με την συμπιεστότητα της ύλης. Ανάλογα με τις καταστατικές εξισώσεις μπορούμε να προσεγγίσουμε όπως είπαμε και προηγουμένως τα διαφορετικά αστρικά μοντέλα. Για παράδειγμα αστέρι με μάζα 1.4 ηλιακές μάζες έχει μαλακότερη καταστατική εξίσωση από αστέρι με μάζα 2.5 ηλιακές μάζες που έχει σκληρότερη καταστατική εξίσωση. 13

Είναι πολύ σημαντική η επίδραση της καταστατικής εξίσωσης στην αστάθεια του r τρόπου ταλάντωσης σε αστέρα με τελείως άκαμπτη κρούστα. Για την ακρίβεια η καταστατική εξίσωση επηρεάζει τη χρονική κλίμακα που σχετίζεται με την r ταλάντωση με δύο τρόπους : [5] α) καθορίζει την εξάρτηση της πυκνότητας από την ακτίνα, ρ(r), η οποία είναι πολύ σημαντικό μέγεθος για τα σχετικά ολοκληρώματα. β) Προσδιορίζει την μεταβατική πυκνότητα ρ c ανάμεσα στον πυρήνα και την κρούστα καθώς και την πυρηνική ακτίνα R c που αποτελεί το άνω όριο των ολοκληρωμάτων που θα χρησιμοποιηθούν. 2.2 Ενέργεια σύνδεσης και ενέργεια συμμετρίας Ως ενέργεια σύνδεσης ορίζεται η ενέργεια που απαιτείται για να ενωθούν τα νουκλεόνια προς το σχηματισμό του πυρήνα. Η μάζα ενός πυρήνα είναι μικρότερη από το άθροισμα των μαζών των προϊόντων του. Αυτό το έλλειμμα της μάζας οφείλεται στην ενέργεια που ξοδεύτηκε για την σύνδεση των συστατικών του. Η καταστατική εξίσωση μπορεί να γραφτεί συναρτήσει της ενέργειας σύνδεσης ανά νουκλεόνιο η οποία είναι: E b (n, I) = E b (n, I = 0) + E sym,2 (n)i 2 + E sym,4 (n)i 4... + E sym,2k (n)i 2k +.. (2.1) όπου Ι είναι το ισοσπίν I = (n n n p )/(n n + n p ) (κβαντικός αριθμός νουκλεονίου) και ισούται με 1 όταν υπάρχουν μόνο νετρόνια και με 0 όταν ο αριθμός των πρωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των νετρονίων και E sym η ενέργεια συμμετρίας. Ως ενέργεια συμμετρίας ορίζεται το ποσό της ενέργειας που πρέπει να ξοδέψει ένα νουκλεόνιο για να μετατρέψει όλα τα πρωτόνια σε νετρόνια. Εκφράζεται ως : E sym,2k = 1 2k E b (n, I) (2k)! I 2k (I=0) (2.2) 14

Σχήμα 2.1: Ενέργεια ανά βαρυόνιο (α) για συμμετρική πυρηνική μάζα και (β) για καθαρά νετρονική μάζα, συναρτήσει της πυκνότητας βαρυονίων για διάφορα μοντέλα. Ένα πολύ σημαντικό μέγεθος που παίζει καθοριστικό ρόλο στου υπολογισμούς μας είναι ο παράγοντας κλίσης της ενέργειας συμμετρίας L, ο οποίος για την πυκνότητα κορεσμού n 0 εκφράζεται ως: E sym (n) L = 3n o n=n0 (2.3) n Για τους σκοπούς της εργασίας χρησιμοποιήσαμε ένα θεωρητικό μοντέλο για τη ενέργεια ανά βαρυόνιο. Διαλέγοντας κατάλληλα την παραμετροποίηση για το συγκεκριμένο μοντέλο λάβαμε διαφορετικές μορφές της εξάρτησης της ενέργειας συμμετρίας με την πυκνότητα μεταβάλλοντας κατάλληλα τον παράγοντα κλίσης L στο διάστημα από 50M ev έως 110eV. 15

2.3 Κλάσμα πρωτονίων στην πυρηνική ύλη Η ύλη που συνθέτει τους αστέρες νετρονίων χαρακτηρίζεται από ουδετερότητα φορτίου και ισορροπία όσον αφορά τις ασθενείς αλληλεπιδράσεις. Θεωρούμε ότι οι αστέρες νετρονίων αποτελούνται κυρίως από νετρόνια, πρωτόνια και ηλεκτρόνια. [2], [5]. Η ισορροπία των ασθενών αλληλεπιδράσεων καθορίζεται από τις: n p + e + v e p + e n + v e θεωρώντας ότι τα νετρίνα που παράγονται από αυτές τις διαδικασίες εγκαταλείπουν τον σύστημα και επομένως ισχύει ότι µ νe = µ νe = 0 καταλήγουμε στο: µ = µ n µ p = µ e Προκειμένου το σύστημα να βρίσκεται σε ισορροπία ισχύουν οι σχέσεις: x (E b(n, x) + E e (n, x)) = 0 (2.4) E b x = ( E e x ) n = µ e (2.5) To χημικό δυναμικό των ηλεκτρονίων δίνεται από τη σχέση: Και επομένως: µ e = κ 2 F e c2 + m 2 ec 4 κ F e c ħc(3π 2 nx) 1/3 (2.6) ( E b x ) n = c(3π 2 nx) 1/3 (2.7) Έχει παρατηρηθεί ότι για μικρές τιμές του παράγοντα κλίσης L ο αστέρας νετρονίων αποτελείται κυρίως από νετρόνια και πολύ λίγα πρωτόνια (χ πολύ μικρό). Με την αύξηση του L αυξάνεται και το κλάσμα των πρωτονίων. Οι τιμές του κλάσματος των πρωτονίων είναι χρήσιμες διότι προσδιορίζουν τον τρόπο με τον οποίο ψύχεται το αστέρι. 16

Για παράδειγμα είναι γνωστό ότι το άμεσο φαινόμενο URCA συμβαίνει σε αστέρες νετρονίων αν η συγκέντρωση των πρωτονίων έχει τιμή πάνω από την x crit =0.11 για νετρονική ύλη που περιλαμβάνει ηλεκτρόνια και πάνω από x crit =0.148 για ύλη που συνυπάρχουν ηλεκτρόνια και μυόνια. Σχήμα 2.2: Η ενέργεια συμμετρίας και και το κλάσμα πρωτονίων συναρτήσει του αριθμού n/n 0 για διάφορες τιμές του παράγοντα κλίσης L. 2.4 Καταστατική εξίσωση πυρηνικής ύλης για β-σταθερή ύλη Η συνολική πίεση P(n,x) στον πυρήνα του αστέρα είναι το άθροισμα της πίεσης των βαρυονίων και των ηλεκτρονίων: P (n, x) = P b (n, x) + P e (n, x) (2.8) Όπου P b (n, x) = n 2 ( b(n, x) n ) (2.9) 17

Η συνολική πυκνότητα ενέργειας και η πίεση των ηλεκτρονίων είναι: ϵ e (n, x) = c 4π 2 (3π2 xn) 4/3 (2.10) P e (n, x) = c 12π 2 (3π2 xn) 4/3 (2.11) Και η συνολική πυκνότητα ενέργειας και πίεση είναι: ϵ tot = ϵ b + ϵ e (2.12) P tot = P b + P e (2.13) Από τις δύο τελευταίες εξισώσεις μπορούμε να κατασκευάσουμε την καταστατική εξίσωση ϵ = ϵ(p ) η οποία μας δίνει την πυκνότητα της ενέργειας συναρτήσει της πίεσης της ύλης. 18

Κεφάλαιο 3 Βαρυτικά κύματα 3.1 Γενικά για τα βαρυτικά κύματα Με τον όρο βαρυτικά κύματα αναφερόμαστε σε αναταραχές του βαρυτικού πεδίου που προκαλούν διακυμάνσεις στον χωροχρόνο. Τέτοιου είδους διακυμάνσεις προκαλούνται από κινούμενα σώματα μεγάλης μάζας όπως οι αστέρες που μελετάμε [6]. Οι διακυμάνσεις αυτές ταξιδεύουν με την ταχύτητα του φωτός είναι όμως πολύ ασθενείς και αλληλεπιδρούν ελάχιστα με την ύλη για αυτό και είναι πολύ δύσκολη η διαδικασία ανίχνευσης τους. Επίσης τα κύματα βαρυτικής φύσης προέρχονται από πολύ μακρινές πηγές γεγονός που καθιστά ακόμη πιο δύσκολη την παρατήρηση και την ανίχνευσή τους. Παράλληλα όμως παρουσιάζουν τεράστιο ενδιαφέρον διότι η ανίχνευση τους θα μας δώσει πληροφορίες για το εσωτερικό του αστέρα και την αντοχή της ύλης σε ακραίες συνθήκες σαν αυτές που επικρατούν στο εσωτερικό του αστέρα. Η ύπαρξη των βαρυτικών κυμάτων προτάθηκε από τον Einstein το 1915 με την διατύπωση της γενικής θεωρίας της σχετικότητας. Σύμφωνα με την γενική θεωρία της σχετικότητας οι μάζες μεταβάλλουν την γεωμετρία του χωροχρόνου μέσα στον οποίο κινούνται και επομένως επηρεάζουν και τις ιδιότητες του. Η διαταραχή αυτή του χωροχρόνου ονομάζεται βαρύτητα. Τα σώματα ακολουθούν πάντα τη συντομότερη τροχιά στο χωροχρόνο η οποία εξαιτίας της αλλαγής στη γεωμετρία του καμπυλώνεται. Η θεωρία του Einstein επιβεβαιώθηκε με την παρατήρηση του διπλού συστήματος PSR J0348+0432 που αποτελείται από έναν αστέρα νετρονίων και έναν λευκό νάνο. Παρατηρήθηκε ότι η τροχιά του λευκού νάνου ελαττώνεται με τον χρόνο εξαιτίας του ισχυρού βαρυτικού πεδίου που εκπέμπεται από τον αστέρα νετρονίων. 19

Σχήμα 3.1: Πτυχώσεις στον χωροχρόνο εξαιτίας του αστέρα νετρονίων. Η ακτίνα της τροχιάς του λευκού νάνου ελαττώνεται. Σχήμα 3.2: Καμπύλωση του χωροχρόνου εξαιτίας του αστέρα νετρονίων και του λευκού νάνου. 20

3.2 Γιατί τα βαρυτικά κύματα παρουσιάζουν ενδιαφέρον Τόσο τα αρχέγονα βαρυτικά κύματα όσο και τα βαρυτικά κύματα που δημιουργούνται από τα αστέρια νετρονίων παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον διότι: Τα βαρυτικά κύματα δεν σκεδάζονται στην ύλη σε αντίθεση με τα ηλεκτρομαγνητικά. Για τον λόγο αυτό είναι και δύσκολη η ανίχνευσή τους. Μπορούν όμως να δώσουν πληροφορίες για σημεία του σύμπαντος που είναι αδιαφανή για τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Θα μας δώσουν πληροφορίες για τον ιστό του χωροχρόνου γύρω από τις μελανές οπές. Επίσης θα μας βοηθήσουν να παρατηρήσουμε τον σχηματισμό των μελανών οπών και την συνένωση των διπλών συστημάτων που αποτελούνται από μελανές οπές ή από αστέρες νετρονίων. Θα βοηθήσουν στην κατανόηση των βασικών αρχών της φυσικής και στην ανακάλυψη των πρώτων στιγμών της δημιουργίας του σύμπαντος. Η ύπαρξή τους θα επιβεβαιώσει την πρόβλεψη της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Θα επιβεβαιωθεί η θεωρία του Einstein ότι τα βαρυτικά κύματα και το φώς ταξιδεύουν με την ίδια ταχύτητα. Η ανακάλυψη των βαρυτικών κυμάτων θα βοηθήσει στην εξέλιξη της τεχνολογίας και την βελτιστοποίηση της ευαισθησίας των ανιχνευτών. H φωτεινότητα της βαρυτικής ακτινοβολίας ενός συστήματος είναι [6]: L GR = de dt = 32Gµ2 α 4 Ω 6 5c 5 = 32G4 M 3 µ 2 5c 5 α 5 (3.1) Όπου έχει χρησιμοποιηθεί ο τρίτος νόμος του Kepler: Ω 2 = GM α 3 (3.2) Καθώς το σύστημα χάνει ενέργεια εκπέμποντας ακτινοβολία η απόσταση ανάμεσα στα δύο σώματα ελαττώνεται με ρυθμό: dα dt = µm 2 64G3 5c 5 α 3 (3.3) 21

Αν η αρχική απόσταση των 2 αστέρων είναι α 0 το σύστημα θα ενωθεί μετά από χρόνο: τ = 5c5 α 0 4 256G 3 µm 2 (3.4) Το πλάτος του εκπεμπόμενου βαρυτικού κύματος θα είναι: h = 5 10 22 M ( ) 2/3 2/3 µ f ( )( 2.8M 0.7M 100Hz ) ( 15Mpc ) (3.5) r 3.3 Ιδιότητες των βαρυτικών κυμάτων Τα βαρυτικά κύματα από τη στιγμή της δημιουργίας τους διαδίδονται σχεδόν ανεμπόδιστα. Η μόνη αξιοσημείωτη μεταβολή που υφίστανται είναι η μείωση στο πλάτος τους και η μετατόπιση Doppler (προς το ερυθρό) καθώς απομακρύνονται από την πηγή τους [6]. Μία άλλη ιδιότητα που χαρακτηρίζει τα βαρυτικά κύματα είναι η απορρόφηση από την μεσοαστρική ύλη. Το φαινόμενο αυτό βέβαια παρατηρείται σπάνια και αυτός είναι και ένας από τους λόγους που είναι δύσκολη η ανίχνευση τέτοιων κυμάτων. Άλλες ιδιότητες των βαρυτικών κυμάτων οι οποίες επίσης δεν παίζουν καθοριστικό ρόλο στη διάδοση τους είναι η σκέδαση και η διασπορά. Όπως γίνεται αντιληπτό υπάρχει μια συσχέτιση των βαρυτικών και των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων καθώς έχουν κοινές κυματικές ιδιότητες [6]. Ωστόσο έχουν βασικές διαφορές. Τα βαρυτικά κύματα εκπέμπονται από συνεχή μάζα σε κίνηση ή από καμπύλωση του χωροχρόνου σε αντίθεση με τα κοσμικά ηλεκτρομαγνητικά κύματα που εκπέμπονται κυρίως από άτομα ή φορτισμένα σωματίδια. Έτσι από την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία μπορούμε να πάρουμε πληροφορίες για την ύλη σε διάφορα σημεία του σύμπαντος και ειδικότερα για τη θερμοκρασία την πυκνότητα της ύλης ή ακόμα και για την ύπαρξη μαγνητικών πεδίων. Τα βαρυτικά κύματα εκπέμπονται από περιοχές που χωροχρόνου όπου η βαρύτητα είναι πολύ ισχυρή και η ταχύτητα που κινούνται οι μάζες είναι πολύ μεγάλη. Συνήθως τέτοιου είδους περιοχές περιβάλλονται από πολλά στρώματα ύλης που απορροφούν την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, έτσι ο μόνος τρόπος για να πάρουμε πληροφορίες για αυτές τις περιοχές του σύμπαντος είναι μέσω των βαρυτικών κυμάτων. 22

3.4 Ανίχνευση βαρυτικών κυμάτων Το σήμα που μεταφέρει ένα βαρυτικό κύμα είναι άμεσα συνδεδεμένο με τις αλλαγές που λαμβάνουν χώρα στο βαρυτικό πεδίο της πηγής από την οποία προέρχεται. Κάθε σώμα πού θα βρεθεί στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος θα ταλαντωθεί κάθετα σε αυτήν. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να μεταβληθεί η απόσταση ανάμεσα σε ελεύθερα κινούμενες μάζες που βρίσκονται σε επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση ταλάντωσης. Μετρώντας αυτές τις πολύ μικρές μεταβολές στις αποστάσεις των μαζών μπορούμε να ανιχνεύσουμε βαρυτικά κύματα. Σχήμα 3.3: Βαρυτικό κύμα που διαπερνά σωματίδια μεταβάλλει την μεταξύ τους απόσταση. Η μεταβολή εξαρτάται από την πόλωση του κύματος. Οι μεταβολές αυτές στην απόσταση ανάμεσα στις μάζες είναι εξαιρετικά μικρές. Για παράδειγμα όταν το διπλό σύστημα Hulse-Taylor (που ανακαλύφθηκε από τους Russell Hulse και Joseph Tayler το 1974) ενωθεί, η ισχυρή βαρυτική ακτινοβολία που θα εκπεμφθεί θα μειώσει την απόσταση ανάμεσα σε δύο σωματίδια στη Γη που απέχουν μεταξύ τους απόσταση πάνω από 1 Km, λιγότερο από το μέγεθος ενός ατομικού πυρήνα. Επομένως η ανίχνευση τόσο ασθενών μεταβολών απαιτεί πολύ ευαίσθητους ανιχνευτές. Η πρώτη προσπάθεια για κατασκευή ανιχνευτή βαρυτικών κυμάτων έγινε από τον Joseph Weber το 1960, ο οποίος κατασκεύασε ένα πρώτο είδος ανιχνευτών με συζευγμένες μάζες με ελατήριο. Ο ίδιος πίστευε μάλιστα ότι ανιχνεύει βαρυτικά κύματα καθημερινά. Στην πραγματικότητα τα σήματα που λάμβανε οφείλονταν σε ένα λάθος στη συσκευή του. Στην συνέχεια ερευνητές χρησιμοποίησαν κυλινδρικό ή και σφαιρικό μεταλλικό σώμα το οποίο έψυξαν σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες κοντά στο απόλυτο μηδέν. Όταν βαρυτικό κύμα διαπεράσει το σώμα, αυτό δονείται. 23

Μετρώντας αυτήν την ταλάντωση μπορούμε να εξάγουμε συμπεράσματα για το κύμα ή ακόμα και να ανακατασκευάσουμε την αρχική κυματομορφή που προσέκρουσε στο σώμα. Σχήμα 3.4: Ο ανιχνευτής AURIGA στην Ιταλία αποτελείται από αλουμινένιο κύλινδρο 3m σε πολύ χαμηλή θερμοκρασία και μονωμένο από άλλου είδους δονήσεις και διαταραχές προκειμένου να ανιχνεύσει βαρυτικής φύσης διακυμάνσεις Τέτοιου είδους ανιχνευτές κατασκευάζονται από το 1990 και έχουν καταφέρει να φτάσουν σε ευαισθησία της τάξης του 10 21. Παρόλαυτα δεν υπάρχουν ξεκάθαρα στοιχεία ύπαρξης των βαρυτικών κυμάτων. Οι πιο γνωστοί ανιχνευτές αυτού του είδους είναι οι: Allegro ( Los Angeles) Auriga ( Ιταλία) Explorer (CERN, Ελβετία) Nautilus ( Ιταλία) Niobe ( Αυστραλία) 24

Στην προσπάθεια περαιτέρω εξέλιξης των ανιχνευτών, το ελατήριο που συνέδεε τα δύο σώματα αντικαταστάθηκε με εκκρεμές. Σε αυτού του είδους τους ανιχνευτές η διαταραχή που προκαλείται από το κύμα ανιχνεύεται μέσω παρακολούθησης με συμβολόμετρο με laser το οποίο μας βοηθά να μετρήσουμε την απόσταση ανάμεσα στα σώματα. Η συμβολομετρία έπαιξε σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη των ανιχνευτών. Σχήμα 3.5: Συμβολόμετρο, αποτελείται από τις μάζες Μ1 και Μ2 στους 2 καθρέφτες και τη μάζα Μ0 στον διαχωριστή. Μία δέσμη Laser και μία φωτοδίοδο Βαρυτικά κύματα που διαδίδονται κάθετα στο επίπεδο του συμβολομέτρου θα αυξάνουν το μήκος της απόστασης της μάζας Μ1 από τον διαχωριστή και θα ελαττώσουν το μήκος της απόστασης της Μ2 από τον διαχωριστή. Η τεχνική αυτή βασίζεται στο συμβολόμετρο του Michelson. Οι τρείς μάζες (M1,M2,M0) αιωρούνται ελεύθερα. Ο καθρέφτης που είναι τοποθετημένος πάνω από την M0 διαχωρίζει τη δέσμη σε δύο κάθετες διευθύνσεις, η δέσμη αντανακλάται στους δύο καθρέφτες πάνω από τις μάζες Μ1 και Μ2 και επιστρέφει στον διαχωριστή. Ο διαχωριστής μεταδίδει μέρος της δέσμης και αντανακλά το υπόλοιπο. Μέρος της δέσμης επιστρέφει στο Laser και όλα τα υπόλοιπα μέρη της συνδυάζονται και φτάνουν στην φωτοδίοδο όπου και αποτυπώνονται οι κροσσοί. Αν η βαρυτική ακτινοβολία έχει επηρεάσει την απόσταση ανάμεσα στις δύο μάζες θα έχει επηρεαστεί και η εικόνα των κροσσών. 25

Έτσι παρατηρώντας τη μεταβολή στους κροσσούς μπορούμε να μετρήσουμε την αλλαγή στην απόσταση των δύο μαζών και επομένως να βγάλουμε συμπεράσματα για την βαρυτική ακτινοβολία. Τέτοιοι ανιχνευτές που η λειτουργία τους στηρίζεται στην συμβολομετρία είναι οι: LIGO (Αμερική) Virgo (Ιταλία) GEO600 (Γερμανία) LISA (θα αποτελείται από 3 διαστημικά οχήματα τοποθετημένα στις κορυφές ισόπλευρου τριγώνου. Το σύστημα θα τοποθετηθεί σε ηλιοκεντρική τροχιά παρόμοια με αυτή της Γης αλλά περίπου 20 o πίσω από αυτήν.) Σχήμα 3.6: Ανιχνευτής LISA σε ηλιοκεντρική τροχιά 26

Κεφάλαιο 4 Τρόποι ταλάντωσης του αστέρα Υπάρχουν διάφορες μορφές ταλάντωσης στη μάζα των αστέρων νετρονίων. Οι ταλαντώσεις αυτές μπορούν να διαχωριστούν σε τοροϊδείς και σφαιρικές ή με βάση τη δύναμη επαναφοράς που επιδρά σε αυτές. [7] 1. f ταλαντώσεις, θεμελιώδης τρόπος ταλάντωσης, σχετίζεται με την ταλάντωση του ρευστού σε συχνότητες 2-100 Hz. 2. g τρόπος ταλάντωσης ή βαρυτική ταλάντωση, σχετίζεται με την άνωση στο ρευστό, συχνότητες 1-10 khz. 3. p τρόπος ταλάντωσης, σχετίζεται με την πίεση του ρευστού, σε συχνότητες μερικών khz. 4. r τρόποι ταλάντωσης, η δύναμη Coriolis λειτουργεί ως δύναμη επαναφοράς στην περίπτωση αυτή. Η συχνότητα της ταλάντωσης αυτής εξαρτάται από τη συχνότητα περιστροφής του αστέρα. 5. w τρόπος ταλάντωσης, πρόκειται για αμιγώς ρελατιβιστικά, βαρυτικά κύματα που σχετίζονται με την καμπύλωση του χωροχρόνου, με συχνότητες μεγαλύτερες των 7 khz. 27

4.1 Ειδικά για τον r-τρόπο ταλάντωσης Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής Ω κ αποτελεί ένα άνω όριο για τις ταχύτητες περιστροφής του αστέρα. Για γωνιακές ταχύτητες μεγαλύτερες της Ω κ το αστέρι αρχίζει να χάνει ύλη από τον ισημερινό του. Υπάρχουν παρατηρησιακά δεδομένα που δείχνουν ότι η αύξηση στη γωνιακή ταχύτητα του αστέρα σε διπλά συστήματα περιορίζεται σε Ω/Ω κ < 0.1. Μια πιθανή και δημοφιλής εξήγηση της σχετικά μικρής αυτής τιμής είναι η αστάθεια στην r ταλάντωση (αστάθεια Chandrasekhar-Friedman- Schutz,CFS). H αστάθεια αυτή παίζει σημαντικό ρόλο στην εκπομπή βαρυτικών κυμάτων από τα αστέρια που μελετάμε. [8] Υπάρχει ένα άνω όριο στην ταχύτητα περιστροφής του αστέρα πέρα από το οποίο ο r-τρόπος ταλάντωσης καθίσταται ασταθής και εκπέμπεται βαρυτική ακτινοβολία. Η βαρυτική ακτινοβολία αυξάνει το πλάτος της r ταλάντωσης ενώ το ιξώδες της μάζας του αστεριού, που λειτουργεί ως μηχανισμός απόσβεσης, μειώνει το πλάτος της ταλάντωσης. Επομένως η αστάθεια της r ταλάντωσης υφίσταται όταν τ GR < τ ν, δηλαδή ο χρόνος που χρειάζεται για να εκπεμφθεί η βαρυτική ακτινοβολία να είναι μικρότερος από τον χρόνο που χρειάζεται για να κατασταλεί η βαρυτική ακτινοβολία από τους διάφορους μηχανισμούς απόσβεσης όπως το ιξώδες. Όταν τ GR = τ ν η γωνιακά ταχύτητα είναι η κρίσιμη Ωc. Για νέους αστέρες με θερμοκρασία μεγαλύτερη των 10 9 Κ ο κυριότερος μηχανισμός απόσβεσης είναι η σκέδαση νετρονίου-νετρονίου. Καθώς η θερμοκρασία μειώνεται ο κυριότερος μηχανισμός απόσβεσης είναι οι σκεδάσεις ηλεκτρονίου-ηλεκτρονίου. Θεωρούμε ότι το αστέρι που μελετάμε έχει τελείως άκαμπτη κρούστα και ότι ο κύριος μηχανισμός απόσβεσης που επικρατεί στη μάζα του αστεριού είναι οι σκεδάσεις ηλεκτρονίου-ηλεκτρονίου. Ο χρόνος που απαιτείται για την διάδοση των βαρυτικών κυμάτων, τ GR, όσο και ο χρόνος απόσβεσης λόγω σκεδάσεων, τ ee, εξαρτώνται από τη μάζα του αστέρα και έχουν φθίνουσα και αύξουσα τάση αντίστοιχα. Και οι δύο ποσότητες εξαρτώνται ισχυρά από τις ιδιότητες του ενδιάμεσου στρώματος που διαχωρίζει την πυρήνα από την κρούστα. 28

Σχήμα 4.1: Μεταβολή των τ GR και τ ee συναρτήσει της μάζας για διάφορα μοντέλα 4.2 Αστάθεια του r-τρόπου ταλάντωσης H r ταλάντωση ενός περιστρεφόμενου αστέρα προσδιορίζεται ως η λύση της εξίσωσης ενός διαταραγμένου υγρού με ταχύτητα διαταραχής της μορφής: δυ = RΩf( r R )Y B lm eiωt (4.1) όπου R είναι η ακτίνα, Ω η γωνιακή ταχύτητα του αστέρα, f(r/r) αυθαίρετη αδιάστατη συνάρτηση: f( r R ) = α( r R )l Y B lm (4.2) Ylm B η σφαιρική αρμονική που δίνεται από τον τύπο: Η συχνότητα των διαταραχών είναι: Y B lm = [l(l + 1)] 1/2 r (r Y B lm ) (4.3) ω = (l 1)(l + 2) Ω (4.4) l + 1 29

Σχέση του r τρόπου ταλάντωσης με τον χρόνο. t Η εξέλιξη της r ταλάντωσης γίνεται σύμφωνα με την e iωt τ. Ο παράγοντας 1 αναλύεται ως: τ 1 τ(ω) = 1 τ GR (Ω) + 1 τ s (Ω) + 1 τ B (Ω) (4.5) 1 : συνεισφορά λόγω της βαρυτικής ακτινοβολίας, τ GR (Ω) 1 : συνεισφορά λόγω ιξώδους στην διαχωριστική επιφάνεια, τ s (Ω) 1 : συνεισφορά λόγω ιξώδους του συνολικού όγκου του αστέρα. τ B (Ω) Ο τελευταίος όρος αν και συνδέεται άμεσα με την θερμοκρασία δεν επηρεάζει αισθητά τις ποσότητες που μας ενδιαφέρουν, όπως ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας του αστέρα. Για τον λόγο αυτό δεν τον λαμβάνουμε υπόψη μας στου υπολογισμούς μας. Ο χρονικός παράγοντας, τ υ, καθορίζεται από την σχέση [5]: τ υ = τ υ ( Ω 0 T Ω )1/2 ( 10 8 K ) (4.6) Ο χρονικός παράγοντας συνεισφοράς λόγω βαρυτικής ακτινοβολίας δίνεται από την εξίσωση: 1 = 32πGΩ2m+2 (m 1) 2m τ GR c 2m+3 [(2m + 1)!] 2 (m + 2 Rc m + 1 )2m+2 ρ(r)r 2m+2 dr(4.7) 0 τ GR = τ GR ( Ω 0 Ω )2m+2 (4.8) Η κρίσιμη γωνιακή ταχύτητα Ω c πάνω από την οποία η r ταλάντωση αντιμετωπίζει αστάθειες, καθορίζεται από την συνθήκη τ GR = τ υ και δίνεται από τον τύπο (για m=2): Ω c = ( τ GR ) 2/11 ( 108 K Ω 0 τ υ T )2/11 (4.9) 30

Η μέγιστη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του αστέρα είναι η Ω k (γωνιακή ταχύτητα Kepler). Αν το αστέρι περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ίση ή μεγαλύτερη από την γωνιακή ταχύτητα Kepler αρχίζει να χάνει ύλη από τον ισημερινό του. Η γωνιακή ταχύητα Kepler είναι ίση με 2 3 Ω 0. Επιπλέον υπάρχει μιά κρίσιμη θερμοκρασία του αστέρα κάτω από την οποία η αστάθεια λόγω βαρυτικής ακτινοβολία καταστέλλεται εξαιτίας του ιξώδους. T 10 8 K = ( Ω 0 ) 11/2 ( τ GR Ω k τ υ ) = ( 3 2 )11/2 ( τ GR τ υ ) (4.10) Επομένως σύμφωνα με τις 4.10 και 4.9 η εξίσωση της κρίσιμης γωνιακής ταχύτητας του αστέρα παίρνει τη μορφή: Ω c Ω 0 = Ω k Ω 0 ( T c T )2/11 = 2 3 (T c T )2/11 (4.11) 4.3 Χρονική εξέλιξη της r ταλάντωσης Για να γίνει ο προσδιορισμός της κυματομορφής που θα δημιουργηθεί λόγω αστάθειας του r-τρόπου ταλάντωσης πρέπει να εκτιμηθεί η εξέλιξη του αστέρα καθώς εξελίσσεται η αστάθεια. Αρχικά η ταλάντωση θα είναι μία μικρή διαταραχή που μπορεί να περιγραφεί γραμμικά. Καθώς όμως η ταλάντωση εξελίσσεται αρχίζουν να κυριαρχούν μη γραμμικά φαινόμενα. Θεωρώντας ότι το αστέρι έχει δύο βαθμούς ελευθερίας: 1. γωνιακή ταχύτητα Ω 2. το πλάτος α της r ταλάντωσης Η συνολική στροφορμή J δίνεται από τον τύπο: J = IΩ + J c (4.12) Οπού Ι είναι η ροπή αδράνειας του αστέρα και J c η ροπή αδράνειας της ταλάντωσης. Η συνολική στροφορμή είναι συνάρτηση των Ω και α. 31

Η ροπή αδράνειας του αστέρα δίνεται από τον τύπο: 1 J c = 2(ω + lω) ρδυδυ d 3 x (4.13) Για l=2 J c = 3 2 Ωα2 JMR 2 (4.14) όπου J = 1 MR 4 R H ροπή αδράνειας επίσης μπορεί να γραφτεί ως: όπου 0 ρr 6 dr (4.15) I = ĨMR2 (4.16) Ĩ = 8 3MR 2 R Επομένως η συνολική στροφορμή παίρνει την μορφή: 0 ρr 4 dr (4.17) Η ενέργεια σε αυτή την φάση θα είναι: J(Ω, α) = (Ĩ 3 2 Jα 2 )ΩMR 2 (4.18) Ẽ = 1 2 α2 Ω 2 MR 2 J (4.19) Και η μεταβολή της με τον χρόνο θα δίνεται από την: dẽ dt = 2Ẽ( 1 τ GR + 1 τ ν ) (4.20) 32

Η εξέλιξη της γωνιακής ταχύτητας του αστέρα και του πλάτους της ταλάντωσης προκύπτει από την σχέση: Ω dα dt + αdω dt = αω( 1 τ GR + 1 τ ν ) (4.21) dω dt = 2Ω α 2 Q 1 + α 2 Q τ ν dα dt = α α 1 α 2 Q τ GR τ ν 1 + α 2 Q (4.22) (4.23) Η παράμετρος Q εξαρτάται από την καταστατική εξίσωση του αστέρα και ορίζεται ως: Q = 3 J (4.24) 2Ĩ Κατά τα αρχικά στάδια εξέλιξης του αστέρα η γωνιακή ταχύτητα Ω είναι σχεδόν σταθερή και εξελίσσεται σύμφωνα με την σχέση 4.22.Το πλάτος της ταλάντωσης αυξάνει εκθετικά. Με την πάροδο του χρόνου το πλάτος μεγαλώνει τόσο πολύ που πρέπει να λάβουμε υπόψη μας και μη γραμμικά φαινόμενα. Κατά τη φάση αυτή το α αυξάνεται εκθετικά έως ότου φτάσει μια σταθερή τιμή και στη συνέχεια σταθεροποιείται. Το αστέρι υποβάλλεται σε μια καινούργια κατάσταση ισορροπίας με χαμηλότερη στροφορμή. Όταν (κ είναι σταθερά) θέτουμε dα dt μορφή: dω dt = 2Ω τ GR α 2 = k (4.25) = 0 και επομένως η 4.22 παίρνει την kq 1 kq (4.26) Άρα το αστέρι στη φάση αυτή θα εξελίσσεται σύμφωνα με τις 4.25 και 4.26. Το αστέρι θα χάσει σχεδόν όλη τη στροφορμή του και θα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα πολύ μικρότερη από την Ω k = 2 3 πg ρ. Τελικά με το πέρασμα του χρόνου το αστέρι θα καταλήξει να έχει πολύ χαμηλή θερμοκρασία και θα περιστρέφεται αρκετά αργά ώστε η r ταλάντωση δεν θα είναι πλέον ασταθής. 33

Συνοψίζοντας, η εξέλιξη της r ταλάντωσης χαρακτηρίζεται από τρείς φάσεις. [4] 1. Ζεστό, νέο αστέρι που γεννιέται ταχέως περιστρεφόμενο με μικρή αρχική διέγερση στην r ταλάντωση. Η φάση αυτή περιγράφεται από τις 4.22,4.23 και η αύξηση είναι εκθετική. 2. Το πλάτος α της ταλάντωσης έρχεται σε μια οριακή τιμή. Το μεγαλύτερο μέρος της στροφορμής έχει εκπεμφθεί μέσω βαρυτικής ακτινοβολίας. Η φάση αυτή περιγράφεται μέσω των σχέσεων 4.25,4.26. 3. Η τελική φάση κατά την οποία ισχύει ότι da/dt < 0 όπου η ταλάντωση αποσβένεται και το σύστημα εξελίσσεται και πάλι σύμφωνα με τις 4.22,4.23. 34

Κεφάλαιο 5 Διαγραμματική αναπαράσταση και πίνακες 5.1 Μεταβολή της κρίσιμης συχνότητας περιστροφής των αστέρων νετρονίων με την θερμοκρασία Στην εργασία αυτή προσπαθούμε να εξάγουμε κάποια συμπεράσματα για το πόσο επηρεάζει η πυρηνική φυσική την εκπομπή των βαρυτικών κυμάτων από τους αστέρες αλλά και γενική την εξέλιξη των αστέρων. Για των σκοπό αυτό υπολογίσαμε για 5 διαφορετικές τιμές του παράγοντα κλίσης της ενέργειας συμμετρίας, την εξάρτηση της κρίσιμης συχνότητας του αστέρα από την θερμοκρασία. Τοποθετώντας στο ίδιο διάγραμμα τα παρατηρητικά δεδομένα αστέρων και τους υπολογισμούς εξάγονται συμπεράσματα για την ευστάθεια ή αστάθεια του αστεριού αλλά και για το αν θα εκπέμψει βαρυτικά κύματα ή όχι. Επιπλέον μπορούμε να βγάλουμε συμπεράσματα για την ακρίβεια των θεωρητικών μας μοντέλων. Για να βρούμε την εξάρτηση της συχνότητας με τον χρόνο χρησιμοποιήσαμε τους τύπους: Ω c = Ω 0 ( τ GR τ ee ) 2/11 ( 108 K T )2/11 (5.1) Ω 0 = πg ρ (5.2) ρ = 3M 4πR 3 (5.3) 35

Η κρίσιμη συχνότητα της ταλάντωσης συνδέεται με την κρίσιμη γωνιακή ταχύτητα Ω c με τον τύπο: ν c = 2 3π Ω c (5.4) Η μάζα δίνεται σε Kg*(10 30 ), η ακτίνα του πυρήνα R c σε Km, πυκνότητα ρ σε 10 27 (Kg/Km 3 ), τ GR και τ ee σε s και Ω 0 σε rad s 1. Τα παρατηρησιακά δεδομένα που χρησιμοποιήσαμε είναι τα εξής: Ονομασία Αστέρα v (Hz) T core (10 8 K) J0437-4715 174 0.018 Swift J1756-2508 182 0.78 XTE J0929-314 185 0.26 XTE J1807 294 190 0.27 J2124-3358 203 0.17 J0030+0451 205 0.7 NGC 6440 X-2 205 0.12 IGR J17511-3057 245 1.10 IGR J17191-2821 294 0.6 XTE J1814-338 314 0.51 SAX J1808.4-3658 401 0.33 XTE J1751-305 435 0.54 SAX J1748.9-2021 442 0.89 Swift J1749.4-2807 518 1.61 KS 1731-260 526 0.42 Aq1 X-1 550 1.08 EXO 0748-676 552 1.58 MXB 1659-298 556 0.31 IGR 00291+5934 599 0.54 SAX J1750.8-2900 601 3.38 4U 1608-52 620 4.55 4U 1608 620 3-4.6 4U1636 581 3.6-5.1 MXB 1658 567 3.4-4.9 Πίνακας 5.1: Παρατηρησιακά δεδομένα 36

Για μάζα 1.4M L R c M ρ τ GR τ ee Ω 0 65 10.956 2.751 0.4996 2.417 30.855 0.3235 72.5 11.631 2.751 0.4162 3.484 32.254 0.2953 80 11.898 2.751 0.3885 3.986 33.833 0.2853 95 12.385 2.751 0.3456 4.615 41.125 0.2691 110 12.805 2.751 0.3160 4.468 56.977 0.2573 Πίνακας 5.2: Πινακάς δεδομένων για αστέρια μάζας 1.4M Για μάζα 1.8M L R c M ρ τ GR τ ee Ω 0 65 10.287 3.566 78.243 0.512 35.520 0.404 72.5 11.328 3.566 58.429 0.870 36.686 0.349 80 11.584 3.566 54.640 0.992 38.415 0.338 95 12.052 3.566 48.628 1.182 46.613 0.319 110 12.444 3.566 44.325 1.241 64.628 0.347 Πίνακας 5.3: Πινακάς δεδομένων για αστέρια μάζας 1.8M Από τους παραπάνω πίνακες προκύπτουν τα διαγράμματα: Σχήμα 5.1: : Κρίσιμη συχνότητα περιστροφής του αστέρα συναρτήσει της θερμοκρασίας. Στο διάγραμμα φαίνονται οι 5 διαφορετικές καμπύλες που αντιστοιχούν σε 5 διαφορετικές τιμές του L και τα σημεία που αντιστοιχούν σε αστέρια που έχουν παρατηρηθεί. α)για μάζα 1.4M, β)για μάζα 1.8M. 37

Από το σχήμα 5.1 γίνεται σύγκριση της περιοχής αστάθειας, για 5 διαφορετικές καταστατικές εξισώσεις, με κάποια παρατηρησιακά δεδομένα αστέρων για μάζα ίση με 1.4 και 1.8 ηλιακές μάζες. Όπως φαίνεται στο διάγραμμα η περιοχή αστάθειας μειώνεται περίπου 20-40Hz όταν η μάζα μεταβάλλεται από 1.4 σε 1.8 M. Συμπεραίνεται επομένως ότι περισσότερα αστέρια βρίσκονται στην περιοχή αστάθειας για μοντέλο μάζας 1.8 M από ότι στην περίπτωση της μάζας 1.4M. 5.2 Εξέλιξη συχνότητας της r ταλάντωσης συναρτήσει του χρόνου Η συχνότητα της ταλάντωσης συνδέεται με την γωνιακή ταχύτητα του αστέρα με την σχέση: f = 2 3π Ω (5.5) Η σχέση που συνδέει τη συχνότητα με τον χρόνο είναι η: όπου 1 f = ( f0 6 6kt )1/6 (5.6) k = 2.5290 10 65 MR 4 α 2 ( J 2 Ĩ )2 (5.7) Τα ολοκληρώματα J 2 και Ĩ εξαρτώνται από την μάζα, την ακτίνα και την πυκνότητα ενέργειας και δίνονται από τους τύπους: J 2 = 8.94877 10 7 MR 2 Km R 0 ϵ(r)r 6 dr (5.8) Ĩ = 7.4966904 10 6 MR 2 Km R 0 ϵ(r)r 4 dr (5.9) Τα ολοκληρώματα αυτά, όπως φαίνεται εξαρτώνται από την καταστατική εξίσωση που θα χρησιμοποιήσουμε. Θεωρώντας το α μονάδα και υπολογίζοντας την μάζα σε Kg, την ακτίνα σε m και τον χρόνο σε s έτσι ώστε η συχνότητα f να υπολογίζεται σε s 1 προκύπτει οι πίνακες 5.4 και 5.5. 38

Για μάζα αστέρα 1.4M L M 10 30 (Kg) R(m) J2 Ĩ J 2 Ĩ k 10 21 65 2.7846 11884 0.0177 0.278 0.00401-5.632 72.5 2.7846 12726 0.0175 0.276 0.004-7.388 80 2.7846 13041 0.0173 0.275 0.00396-8.066 95 2.7846 13491 0.0173 0.275 0.00397-9.261 110 2.7846 13647 0.0184 0.283 0.00421-10.283 Πίνακας 5.4: Πίνακας δεδομένων για αστέρια μάζας 1.4M 2 Σχήμα 5.2: Εξάρτηση της συχνότητας της r ταλάντωσης από την χρόνο. Η συχνότητα δίνεται σε Hz και ο χρόνος σε yr. Στο διάγραμμα παρουσιάζονται οι 5 διαφορετικές συναρτήσεις για τις 5 διαφορετικές τιμές που δώσαμε στον παράγοντα L. Το διάγραμμα αυτό έγινε για μάζα ίση με 1.4 M. 39

Για μάζα αστέρα 1.8M L M 10 30 (Kg) R(m) J2 Ĩ J 2 Ĩ k 10 21 65 3.5802 10764 0.0181 0.2778 0.0042-5.105 72.5 3.5802 11965 0.0183 0.2801 0.0042-7.793 80 3.5802 12256 0.0181 0.2790 0.0042-8.580 95 3.5802 12709 0.018 0.2783 0.0042-9.920 110 3.5802 12950 0.0186 0.2827 0.0043-10.695 Πίνακας 5.5: Πίνακας δεδομένων για αστέρια μάζας 1.8M 2 Σχήμα 5.3: Εξάρτηση της συχνότητας της r ταλάντωσης από την χρόνο. Η συχνότητα δίνεται σε Hz και ο χρόνος σε yr. Στο διάγραμμα παρουσιάζονται οι 5 διαφορετικές συναρτήσεις για τις 5 διαφορετικές τιμές που δώσαμε στον παράγοντα L. Το διάγραμμα αυτό έγινε για μάζα ίση με 1.8 M. Όπως αναφέρεται παραπάνω, η γωνιακή ταχύτητα του αστέρα συνδέεται με την συχνότητα της ταλάντωση μέσω της σχέσης f = 2 Ω. Επομένως 3π είναι εύκολο να υπολογίσουμε και την εξέλιξη της γωνιακής ταχύτητας του αστέρα με τον χρόνο. Οι υπολογισμοί αυτοί έγιναν για διάφορες τιμές του πλάτους της ταλάντωσης α το οποίο επηρεάζει την ποσότητα κ, όπως φαίνεται στη σχέση (5.7). Τα αποτελέσματα φαίνονται στα διαγράμματα 5.4 έως 5.13. 40

Σχήμα 5.4: Χρονική εξέλιξη της γωνιακής ταχύτητας του αστέρα Ω. Η γωνιακή ταχύτητα μετράται σε rad/s και ο χρόνος σε yr. Το πλάτος της ταλάντωσης α στο συγκεκριμένο διάγραμμα θεωρήθηκε ίσο με 1, η μάζα είναι ίση με M = 1.4M. Σχήμα 5.5: Χρονική εξέλιξη της γωνιακής ταχύτητας του αστέρα Ω. Η γωνιακή ταχύτητα μετράται σε rad/s και ο χρόνος σε yr. Το πλάτος της ταλάντωσης α στο συγκεκριμένο διάγραμμα θεωρήθηκε ίσο με 1, η μάζα είναι ίση με M = 1.8M. 41

Σχήμα 5.6: Xρονική εξέλιξη της γωνιακής ταχύτητας του αστέρα. Η γωνιακή ταχύτητα του αστέρα δίνεται σε rad/s και ο χρόνος σε yr. Το πλάτος της ταλάντωσης α στο συγκεκριμένο διάγραμμα θεωρήθηκε ίσο με 10 1, η μάζα είναι ίση με M = 1.4M. Σχήμα 5.7: Xρονική εξέλιξη της γωνιακής ταχύτητας του αστέρα. Η γωνιακή ταχύτητα του αστέρα δίνεται σε rad/s και ο χρόνος σε yr. Το πλάτος της ταλάντωσης α στο συγκεκριμένο διάγραμμα θεωρήθηκε ίσο με 10 1, η μάζα είναι ίση με M = 1.8M. 42

Σχήμα 5.8: Xρονική εξέλιξη της γωνιακής ταχύτητας του αστέρα. Η γωνιακή ταχύτητα του αστέρα δίνεται σε Hz και ο χρόνος σε yr. Το πλάτος της ταλάντωσης α στο συγκεκριμένο διάγραμμα θεωρήθηκε ίσο με 10 2, η μάζα είναι ίση με M = 1.4M. Σχήμα 5.9: Xρονική εξέλιξη της γωνιακής ταχύτητας του αστέρα. Η γωνιακή ταχύτητα του αστέρα δίνεται σε rad/s και ο χρόνος σε yr. Το πλάτος της ταλάντωσης α στο συγκεκριμένο διάγραμμα θεωρήθηκε ίσο με 10 2, η μάζα είναι ίση με M = 1.8M. 43

Το παρακάτω διάγραμμα απεικονίζει την εξάρτηση της γωνιακής ταχύτητας του αστέρα από τον χρόνο για τις διάφορες τιμές του πλάτους της ταλάντωσης α. Η καμπύλες έχουν σχεδιαστεί για συγκεκριμένη τιμή του παράγοντα κλίσης ίση με 72,5. Σχήμα 5.14: Xρονική εξέλιξη της γωνιακής ταχύτητας του αστέρα. Η γωνιακή ταχύτητα του αστέρα δίνεται σε rad/s και ο χρόνος σε yr. Οι 5 καμπύλες αντιστοιχούν στις 5 διαφορετικές τιμές του πλάτους της ταλάντωσης α. 46

5.3 Εξέλιξη της μεταβολής της συχνότητας της r ταλάντωσης συναρτήσει του χρόνου Η μεταβολή της συχνότητας συναρτήσει του χρόνου δίνεται από τη σχέση: f = 2.5290 10 65 MR 4 α 2 ( J 2 Ĩ 2 )f 7 (5.10) Για μάζα 1.4M προκύπτει ο πίνακας: L (MeV) M (Kg) R (m) ( J 2 Ĩ ) 2 65 2.7846 11884 0.00401 72.5 2.7846 12726 0.00400 80 2.7846 13041 0.00396 95 2.7846 13491 0.00397 110 2.7846 13647 0.00421 Πίνακας 5.6: Πίνακας δεδομένων για μάζα 1.4M Και το αντίστοιχο διάγραμμα: Σχήμα 5.15: Χρονική συνάρτηση της μεταβολής της συχνότητας της r ταλάντωσης. Η μεταβολή της συχνότητας δίνεται σε Hz/s και ο χρόνος σε yr. Παρουσιάζονται πέντε διαφορετικές καμπύλες για τις πέντε διαφορετικές τιμές του παράγοντα κλίσης L. To α θεωρήθηκε ίσο με την μονάδα.η μάζα ισούται με 1.4M 47

Στη συνέχεια γίνονται οι ίδιοι υπολογισμοί για μάζα ίση με 1.8M L (MeV) M (Kg) R (m) ( J 2 Ĩ ) 2 65 3.5802 10764 0.0042 72.5 3.5802 11965 0.0042 80 3.5802 12256 0.0042 95 3.5802 12709 0.0042 110 3.5802 12950 0.0043 Πίνακας 5.7: Πίνακας δεδομένων για μάζα 1.8M Και το αντίστοιχο διάγραμμα: Σχήμα 5.16: Χρονική συνάρτηση της μεταβολής της συχνότητας της r ταλάντωσης. Η μεταβολή της συχνότητας δίνεται σε Hz/s και ο χρόνος σε yr. Παρουσιάζονται πέντε διαφορετικές καμπύλες για τις πέντε διαφορετικές τιμές του παράγοντα κλίσης L. To α θεωρήθηκε ίσο με την μονάδα.η μάζα είναι ίση με 1.8M 48

5.4 Εξάρτηση της ισχύος της βαρυτικής ακτινοβολίας από τον χρόνο Μία ακόμη συνάρτηση που μπορούμε να υπολογίσουμε είναι αυτή που συνδέει την ισχύ των βαρυτικών κυμάτων με την χρόνο. Η ισχύς των βαρυτικών κυμάτων δίνεται από τη σχέση: Ė GR = 1.8720 10 64 M 2 R 6 α 2 J 2 2 f 8 (5.11) Τα διαγράμματα που δείχνουν την μεταβολή της ισχύος με τον χρόνο είναι: Σχήμα 5.17: Χρονική μεταβολή της ισχύος της βαρυτικής ακτινοβολίας. Η ισχύς δίνεται σε J/s και ο χρόνος σε yr.η μάζα ισούται με 1.4M 49