Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Διατακτικοί αριθμοί. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών

Θεωρία Συνόλων Ενότητα: Διατακτικοί αριθμοί Γιάννης Μοσχοβάκης Τμήμα Μαθηματικών

Θεωρία Συνόλων Σημειώματα Σημειώμα ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.1. Εχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Εκδοση 1.0 διαθέσιμη στο σύνδεσμο http://www.math.ucla.edu/ ynm/lectures/g.pdf Σημείωμα αναφοράς Copyright 2015. Γιάννης Μοσχοβάκης.«Θεωρία Συνόλων». Εκδοση: 1.1. Αθήνα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://opencourses.uoa.gr/courses/math24/ Σημείωμα αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Οχι Παράγωγα Εργα, Μη Εμπορική Χρήση 4.0[1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Εκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο«σημείωμα Χρήσης Εργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: πουδενπεριλαμβάνειάμεσοήέμμεσοοικονομικόόφελοςαπότηχρήσητουέργου,γιατο διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος(π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Θεωρία Συνόλων Διατήρηση σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Εργων Τρίτων(εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

ý ý ½¾ ý ý ý ý ý ý ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ º ¹ µ º ¹ Î º º ÒØÓÖ ¹ º½ º Í ³ º º º ͺ ¹ Í Ù º ô Í ¹ Í º ô Í = Ó Î Í = Î º ÒØÓÖ º ¹ Í = Ó Í ½¾¹½µ ½

½ { } { { }} { { } { { }}} { } ½¾º½º ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ Í : 0 Í 1 Í 2 Í Í Ë Í ( Í )º ¹ Í = Ó Î Í = Î ½¾¹¾µ ÒØÓÖ ½¾¹¾µ Í Ó Î Í Î ó ½¾¹ µ Ü Ü Ü Ü Í Í (Ü)º ô ÒØÓÖ ¹ Í Í ½¾¹½µ ½¾¹ µº ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ Í Í º ½¾º½º ý ÇÖ Ò Ð ÆÙÑ Ö µº ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ¹ Í ( Ð (Í) Í ) ½½¹¾ µ Ú Í (Ü) = {Ú Í (Ý) Ý Í Ü} (Ü Ð (Í)) ½¾¹ µ Í Í ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ÓÖ (Í) = Ú Í [ Ð (Í)] ½¾¹ µ ÇÆ = {«( Í)[«= ÓÖ (Í)]} º ÇÆ(«) «ÇÆ Í : 0 Í 1 Í 2 Í Í Ë Í ( Í ) ½¾¹ µ ½

½¾º ½ 0 Í 1 Í Í µ Ë Í ( Í )º ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ½¾¹ µ µ Ú(0 Í ) = {Ú(Ü) Ü 0 Í } = = 0 Ú(1 Í ) = {Ú(Ü) Ü 1 Í } = { } = 1 Ú(2 Í ) = {Ú(Ü) Ü 2 Í } = { { }} = 2 Ú(3 Í ) = {Ú(Ü) Ü 3 Í } = { { } { { }}} = 3 º Ú( Í ) = {Ú(Ü) Ü Í } = { { } { { }} } = Ú(Ë Í ( Í )) = {Ú(Ü) Ü Ë Í ( Í )} = { } Ú[Í] = {0 1 2 { }} ¹ ½¾º¾º º ý 0 Í ¹ Í Ú Í (0 Í ) = ó Ë(Ü) Ü Í Ú Í (Ë(Ü)) = Ú Í (Ü) {Ú Í (Ü)} ½¾º º º ý Ü Í Ú Í (Ü) «Ú Í (Ü) «{«} Ú Í (Ü) ½¾º º º ý Í ¹ Í = Ú Í ( Í ) = { & ( «)[«{«} ]} ½¾¹ µ = Ú Í ( Í ) Í º Í 0 Í 1 Í ½¾º½ó Ú Í (Ü) Ü Í Ü Í º º Ú º ½¾º º ý µº : Í [Í] Î Í Î ½¾ Ú Î ( (Ü)) = Ú Í (Ü) (Ü Í) ½¾¹ µ ½

½ Í Î Ú Í Ú Î ÓÖ (Í) (Ü) = Ü ÓÖ (Î ) ½¾º¾º ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ º ý º Ü Í Ú Î ( (Ü)) Ú Í (Ü)º Ú Î ( (Ü)) = {Ú Î (Ý) Ý Î (Ü)} = {Ú Î ( (Ø)) Ø Í Ü} = {Ú Í (Ø) Ø Í Ü} Ü = Ú Í (Ü) ܺ Ý Î (Ü) (Ø) Ø Í Üº ½¾º º º ý Í Î Í Ó Î ÓÖ (Í) ÓÖ (Î ) ô Í = Ó Î ÓÖ (Í) = ÓÖ (Î )º ½¾º º ý µº Í Ý Í Ú Í (Ü) = ÓÖ ( Í (Ü)) ½¾¹ µ ô ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ Ú Í (Ü) «ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ Ú Í (Ü) º ý º ý º ½¾º Í (Ü) Í Í Î : Í (Ü) Í Ú Í(Ü)(Ý) = Ú Í(Ü)( (Ý)) = Ú Í (Ý) (Ý Í Ü) Ú Í (Ü) = {Ú Í (Ý) Ý Í Ü} = {Ú Í(Ü)(Ý) Ý Í Ü} = ÓÖ ( Í (Ü)) Î = ËÙ(Í) ¹ Í Ø º½ Í = Î (Ø) ÓÖ (Í) = Ú Î (Ø)º ½

½¾º ½ ô º º ½¾º º ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ µº ý N N ÓÖ (N N ) = ½¾¹ µº Ë (Ò) = Ò {Ò} (Ò ) ( Ë ) È ÒÓ Ú N : N º µ º ( Ë) È ÒÓ º N º ý { { }} 2 ÖÑ ÐÓ {{ }} º È ÒÓº ý º ½¾º º ý µº «Ù «Ú Ù = Ú Ù Ú (Ù Ú «)ó ½¾¹½¼µ «= ÓÖ (Í) Í ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ÚÍ : Í «º ô ¹ º ý º ý ½½º «= ÚÍ[Í] Ú ÚÍ µ Ü Í Ý Ú(Ü) Ú(Ý) ½¾¹½½µ Ü Ý Ú(Ü) Ú(Ý) (Ü Ý Í)ó Ü Ý Ü Í Ý Ý Í ½¾¹½½µ Ú(Ü) Ú(Ý) Ú(Ý) Ú(Ü)ó Ú(Ü) = Ú(Ý) «º ô Ú : Í «½

¾¼¼ Ú «Í Ü Í Ý Ú(Ü) «Ú(Ý) (Ü Ý Í)ó ««Ú º º ¹ ¹ ý ý º ø ««(««) ½¾º Í = Ó ÓÖ (Í) ½¾º½¼º º «ÓÖ («) = «º ½¾º½½º µº «¹ ¹ Ü = Ý Ü Ý Ý Ü (Ü Ý «) ý º ½½º ½¾º º ¹ µ Ü Ý Ü = Ý Ü Ý (Ü Ý ) µ ó Ú : ÓÖ ( ) ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒº Ú Ü ¹ Ú (Ü) Ü Ú (Ü) = {Ú(Ý) Ý Ü} = {Ý Ý Ü} ܵ = {Ý Ý Ü} µ = Ü Ü µ ܺ ô ÓÖ ( ) = Ú [ ] = º ¹ ¹ º ¹ ÒØÓÖ ½¾¹½µ ß ½¾¹ µº ¾¼¼

½¾º ¾¼½ ½¾º½¾º º Í ÓÖ (Í) ¹ Í = Ó ÓÖ (Í) Í Ó Î ÓÖ (Í) ÓÖ (Î ) ÇÆ(«) «= { ÇÆ Ó «} ½¾¹½¾µ ½¾¹½ µ ½¾¹½ µ ý º ½¾¹½¾µ ½¾º º ½¾¹½ µ : Í [Í] Î º ý ½¾º Ú Î [ [Í]] = Ú Í [Í] = ÓÖ (Í)ó Ú Î Î ÓÖ (Î ) ÓÖ (Í) = Ú Í [Í] = Ú Î [ [Í]] ÓÖ (Î ) ½¾¹½ µ «= ÓÖ (Í) «= {Ú Í (Ý) Ý Í} = {ÓÖ ( Í (Ý)) Ý Í} ( ½¾º ) = { ÇÆ Ó «} Ó Í Íº ½¾º½ º º ý Í Î Í = Ó Î ÓÖ (Í) = ÓÖ (Î ) Í «Í = Ó «º ½¾¹½¾µ ½¾¹½ µ ½¾¹½µ ½¾¹ µ Ò¹ ØÓÖº ½¾¹½ µ ¹ ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ Ü½¾º º ó º ³ ¹ º º ½¾º½ º µº ¹ ««Ó «= «««¾¼½

¾¼¾ ý º ¹ º ½µ «Ó «½¾¹½¾µ ½¾¹½ µ «= ÓÖ (Í) = ÓÖ (Î ) Í Ó Î º ¾µ ««µ ««½¾¹½¾µ ½¾¹½ µ º µ ««Ó º «µ «Ó º ¾ó «= Ó ½¾º «= ««Ó º ««Ó («ÇÆ) ½¾¹½ µ ½¾º½ µº µ º ½¾º½ º ÇƵº ½µ ÇÆ ««««& ««& ««= È ««= «( «ÇÆ)È(«) ( «ÇÆ)[È(«) & ( «) È( )] «0 «1 «2 ( Ò)[«Ò = «Ò+1] ½¾¹½ µ ø È(«) «( «ÇÆ)È(«) = min{«çæ È(«)} ¾µ ½¾¹½ µ Ë(«) = ( ÇÆ)[«] = «{«} ½¾¹½ µ µ ÙÔ = ( ÇÆ)( «)[«] = ½¾¹½ µ µ 0 = º ܽ¾º½ ß Ü½¾º º ½¾º½ º º E ( «ÇÆ)[«E] = E ¾¼¾

½¾º ¾¼ Ù ÓÖ ÓÖ Ò Ð µ ¹ Ë(«) Ð Ñ Ø ÓÖ Ò Ð µ 0 «Ë(«) ó Ä Ñ Ø( ) 0 & = ÙÔ {««} ½¾¹¾¼µ ¹ ³ º ½¾º½ º µº ¹ È ( «)[( «)È( ) È(«)] ( «)È(«) ý º «È(«)ó È( ) «È(«) º ½¾º½ º µº ¹ À («) = À( ««) («ÇÆ) ½¾¹¾½µ «{( ( )) «} ( ) «= { «}º ø À(Û «Ü) («Ü) «Ü («Ü) = À({( ( Ü)) «} «Ü) («ÇÆ) ý º ½½º ( ) : («) = À( {Ü Ü «} «) («) = À( ««) ½¾¹¾¾µ º ««(«) = («)ó «½¾¹¾¾µ º ý («) = Ë(«)(«) («) = («) «½¾¹¾¾µ º ¹ º ¾¼

¾¼ ÇÆ º ³ ¹ ½¾º½ º ½¾º½ º µº «+ ««+ 0 = ««+ Ë( ) = Ë(«+ ) «+ = ÙÔ {«+ } Ä Ñ Ø( ) «0 = 0 «Ë( ) = («) + ««= ÙÔ {«} Ä Ñ Ø( ) ½¾¹¾ µ ½¾¹¾ µ ý º «+ = ( «) ( «) ¹ ÇÆ ««= 0 ( «) = Ë( ( «)) = Ë( ) sup{ ( «) } Ä Ñ Ø( ) ý ܽ¾º º ô ½¾¹ µ ½¾º = ÓÖ (N N )º + 1 = Ë( ) + 2 = Ë( + 1) + 3 = Ë( + 2) ³ + = ÙÔ { + Ò Ò } = 2 ½¾¹¾ µ ý º Ò Ò º ý 2 = ÙÔ { Ò Ò } 3 = 2 º º ¹ µ º º º ½¾º¾¼º º ««+ 1 = ÓÖ (ËÙ(«)) ËÙ(È) º½ º ¾¼

½¾º ¾¼ ½¾º¾½º º ««+ = ÓÖ («+ Ó ) º º ô º «+ «+ ½¾¹¾ µ ½¾º¾¾º º ««= ÓÖ («Ó ) º º ô 0 «& ««½¾¹¾ µ ý ¹ ½¾º¾ º µº ¹ ««( + ) = «+ «ý ¹ º ܽ¾º½ º ½¾º¾ º ø º ¹ «0 «1 lim Ò «Ò = sup{«ò Ò = 0 1 } ¹ º ܽ¾º º ¹ ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ¹ º¾¼ º ½¾º º ½¾º¾ º ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒµº = { ( ÇÆ)[ = ] ½¾¹¾ µ ¾¼

¾¼ ¹ º¾½ º ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ Ö Ú ( ) = ½¾¹¾ µ ½¾º¾ º º Ö Ú ( ) ÇÆ( ) & ( «)[ «] Ö Ú = º ý º½½ Ö Ú ( ) Ö Ú ( + ) º½ º¾¼ E ( E) Ö Ú ( ) Ö Ú ( Ò (E)) Ö Ú ( ÙÔ (E))ó ½¾¹½ µ ½¾º½ E ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ Ò (E) = min(e) = E ÙÔ (E) = ÙÔ E = E ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ º º¾½µ ½¾º¾ º º ý = = = ½¾¹ ¼µ E { E} º ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ Ö Ú = = ó ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ¹ º ( ) ( + ) = + = º º º ½¾º¾ º ý º ¹ ÒØÓÖ º½ ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ µ ¾¼

½¾º ¾¼ = ÓÖ ( ) = Ú[ ] ܽ¾º¾ º ø ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ý ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ º õ ý ¹ ¹ º ¹ ¹ µ ý º ý ½¾¹ ¼µ ý ý ø ³ º ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ý º ý ý º ℵ 0 ℵ 1 ℵ 2 (Ò ℵ Ò ) ¹ Ü º½¼º ¹ ý º ¹ ý ¹ º ý ¹ V ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ º ½¾º¾ º µº «ÇÆ ℵ 0 = N = ℵ +1 = ℵ + ℵ = ÙÔ {ℵ } Ä Ñ Ø( ) ½¾¹ ½µ ¾¼

¾¼ ℵ «ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ «ℵ «ℵ («ÇÆ) ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ℵ ««º ý º «ℵ «¹ «µ «ℵ «= ℵ «+1 ℵ «ℵ + «= ℵ «+1 ó = +1 «ℵ «ℵ ℵ µ ó «+ 1 ℵ «ℵ «+1 ℵ º ô ℵ «ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ 0 ó ℵ ℵ ℵ ℵ ℵ º ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ℵ «µ º ý + = + º ô = {«ℵ «} ý ó ℵ «ℵ «+1 ó «ℵ ý = ℵ ««= sup{ℵ ««} = ℵ «ℵ «ý º ½¾º ¼º º ý ( )( «ÇÆ)[ = = ℵ «] ½¾º ½º º µ ¹ À 2 ℵ«= ℵ «+1 («ÇÆ) ½¾º ¾º ý ÙÑÙÐ Ø Ú À Ö Ö Ýµº «V «ÇÆ V 0 = V «+1 = P(V «) V = «V «Ä Ñ Ø( ) ¾¼

½¾º ¾¼ º º º V V V +1 V 1 V 2 ½¾º º ¹ º ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ V «V = «ÇÆ V «= {Ü «ÇÆ Ü V «} ½¾¹ ¾µ V Ö Ò µ Ê Ò (Ü) = ( «ÇÆ)[Ü V «+1] (Ü V) ½¾¹ µ ô V ½¾º º º ½µ V ««V «V ¾µ V 2 ÖÑ ÐÓº µ V Vº µ V ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ º ¹ ý º ½µ ¾µ ¹ Å(Á) Á Ü º º µ ô V Ê Ò [ ] = {Ê Ò (Ü) Ü } º ý ¹ ³ Ü Ê Ò (Ü) Ü V µ = {Ü V Ü } V +1 ¾¼

¾½¼ µ µ V ( Ü )[Ü V] ½¾¹ µ Å Å Vº Å ½¾¹ µ ( Ü Å \ V)( Ý Å \ V)[Ý Ü] ¹ Å º V Ì ( ) Vó V Ì ( ) V º ½½º V ¹ ¹ º ½¾º º º ¹ ý ½½º ¾ Z ÖÑ ÐÓ ¹ ý º V ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ½¾º ¾ ½¾º ¹ º ¹ º Z N 0 = { { } {{ }} } P( ) º ¹ N 0 Z N 0 µ ¹ º V P( ) º V ÇÆ ¹ º ¹ º ¾½¼

½¾º ¾½½ ¹ V N 0 º ý ³ Zº ¹ µ ¹ ĐÓ Ð Ó Òº ô ¹ ¹ µ º ø ¹ º µ ½¾º ¾ ½¾º µ ÒØÓÖº ½¾º º º º¾ ÖÑ ÐÓµ ¹ º º ¹ ¹ µ º º È 1 È È : R R 7 Ø R ¹ È º ó ¹ È 1 È º à ¾½½

¾½¾ º º º º à V 2 [Ã] V 1 [Ã] V [Ã] V +1 [Ã] V [Ã] ½¾º º ý ú V V[Ã] à ½½º º ý ¹ ܽ½º¾¾ó ý ó à V º ܽ¾º ¾º V 0 [Ã] = à V «+1 [Ã] = P(V «[Ã]) V [Ã] = «V «[Ã] Ä Ñ Ø( ) V[Ã] = «V «[Ã] È È ÒÓ º ¹ Ø Ò Ö ³ º ½¾ ܽ¾º½º ½µ ½¾º½ º ܽ¾º¾º ¾µ ½¾º½ º ¾½¾

½¾º ¾½ ܽ¾º º µ ½¾º½ º ܽ¾º º ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒº ô (Î ) ¹ Î = Ó (Î ) Í Ó Î (Í) (Î ) Ð ( (Î )) = { Ð ( (Í)) Í Ó Î } ÓÖ (Î ) = «(Î ) = (««) ܽ¾º º ÇÆ º ܽ¾º º ½¾º½ º ܽ¾º º «Æ 0 + «= ««1 + «= «0 ««+ «& Æ «+ + Æ «& Æ «+ + Æ ««+ + ܽ¾º º ô «0 «1 º lim Ò «Ò º ܽ¾º º ¹ lim Ò («Ò + ) lim Ò «Ò + lim Ò («Ò + Ò ) lim Ò «Ò + lim Ò Ò Ü½¾º½¼º «Æ 0 0 «= 0 0 «& 1 «««& Æ «Æ 0 «& Æ «Æ ««¾½

¾½ ܽ¾º½½ µº ««+ «+ «+ = «+ = ««0 «& «= «= 0 «& «= «= ܽ¾º½¾º «Ò Ò + «= «(«+ 1) Ò = «Ò + 1 (Ò 1) («+ 1) = «Ü½¾º½ º þ «(«+ ) «+ º º ܽ¾º½ º ý Ò Ñ Ò + Ñ = Ñ º ܽ¾º½ ý µº ý «¹ = «+ º ܽ¾º½ º «2 «= Ü + Ý (Ü Ý ) ܽ¾º½ º «Æ Ò Æ Ü Ò «= Ò Ü + º º Ò Ò «Ü Ò Ü «º ܽ¾º½ º ý Æ 0 «Æ «= Ò1 Ü 1 + Ò2 Ü 2 + + Ò Ü + Ü +1 ½¾¹ µ Æ Ò 1 Ò 2 Ò Ü 1 Ü +1 º º Æ º ½¾º º µº ÒÓÖÑ Ðµ «(«) ( ) ( ) = sup{ ( ) } Ä Ñ Ø( ) ܽ¾º½ º ý : ÇÆ ÇÆ ««(«) ( ) º ¾½

½¾º ¾½ ܽ¾º¾¼º «Ë «( ) = «+ È «( ) = ««º ܽ¾º¾½º («) = (À(«)) ¹ º ܽ¾º¾¾º ÓÖ Ò Ð ÜÔÓÒ ÒØ ¹ Ø ÓÒµ ««1µ «0 = 1 «Ë( ) = ««½µ ý ««º «= ÙÔ {«} Ä Ñ Ø( ) ¾µ «1 «( ) = «º µ «( + ) = ««º ( ) µ «= «º º ý ܽ¾º¾¼ ܽ¾º¾½ ¾µ µ µº ܽ¾º¾ º ý «0 ««= + «º º ܽ¾º½ +1 «º ܽ¾º¾ º ½µ ý + = º ¾µ «0 «= + «º ܽ¾º¾ ÒØÓÖµº «0 ¹ ¹ «= 1 + 2 + + ( 1 2 ) ½¾¹ µ «= 1 Ò 1 + 2 Ò 2 + + Ø Ò Ø ( 1 2 Ø Ò Ò 0) ½¾¹ µ º 1 2 = 1 + 2 + + + º ¾½

¾½ 0 (««) ÒØÓÖ 0 = 0 = 0 = ø 0 ÒØÓÖ µ ¹ º ܽ¾º¾ º þ ÒØÓÖ ( + 1) + ( + 1) º ܽ¾º¾ º ÖÑ ÐÓ Z º ܽ¾º¾ º ý = Ú Í [ ] ¹ ¹ ( ) ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ º ܽ¾º¾ º Ö Ú ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ º ܽ¾º ¼º µ ℶ «ℶ µ ÇÆ ℶ 0 = ℵ 0 = N = ℶ +1 = 2 ℶ ℶ = ÙÔ {ℶ } Ä Ñ Ø( ) «V +«= ℶ «Ü½¾º ½º «Ê Ò («) = «º ½¾¹ µ ܽ¾º ¾º à («V «[Ã]) ¹ ½µ V «[Ã] à «V «[Ã] V [Ã] ¾µ ý 2 V [Ã] ÖÑ ÐÓº µ à V[Ã] V[Ã]º µ V[Ã] ¹ ú ܽ¾º º à «V «= V «[Ã] {Ü Ü } ܽ¾º º ô : à à ú : V[Ã] V[Ã] ¹ V[Ã] Ü Ý (Ü) (Ý) (Ü Ý V[Ã]) ¾½

½¾º ¾½ ½¾º º µº Å ÇÆ ÙÒ ÓÙÒ µ ( ÇÆ)( «ÇÆ)[ «& «Å]ó ÐÓ µ Å sup Å ½¾º º º ô Å «0 «1 («Ò Å) ź lim Ò «Ò ź ܽ¾º º Å 1 Å 2 Å 1 Å 2 º ܽ¾º º «(«) = «ó Ô(Å) = {«ÇÆ («) = «} º º «0 = 0 «Ò+1 = («Ò ) (lim Ò «Ò ) = lim Ò «Ò º ܽ¾º º ½µ ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ = ℵ ¾µ µ ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ = ℶ ½¾º º º º : «Ó Ò Ðµ ÙÔ { ( ) «} = ( ) (Ò ℵ Ò ) ℵ º ¹ º º¾ µ º ܽ¾º º ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ( ) = min{«: «} ܽ¾º º ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ : ( ) = ( )º ܽ¾º ¼º (ℵ ) = º ¾½

¾½ ܽ¾º ½º ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ¹ º ܽ¾º ¾º ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ( ) ℵ 1 V ÖÑ ÐÓ ý ý Ü V (Ü) V [ ] V V º ½¾º ¼º º µ ¹ ØÖÓÒ ÐÝ Ò Ð µ 2 ܽ¾º º µ ý V ¹ º ܽ¾º º µ ý Å ¹ Å = V º ½¾º ½º Ö º ÒØÓÖ = ½¾¹ µ Ö º Ö º º 1 º ¹ = = ½¾¹ ¼µ µ = ¹ = Ü º º Ö = { = } ½¾¹ ½µ { = } µ ¹ µ Ö º ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ½¾¹ µ ½¾¹ ¼µ ³ ÒØÓÖ Ö ¹ ý º ܽ¾º ËÓØØ Ö ý µ ¾½

½¾º ¾½ º ËÓØØ Ö ¹ ý µ ¹ º Ö º ½¾º ¾º º ÕÙ Ú Ð Ò ÓÒ Ø ÓÒµ ¹ Ü Ý Þ Ü Ü Ü Ý Ý Ü Ü Ý & Ý Þ Ü Þ Ü Ý (Ü) = (Ý) (Ü Ý )ó µ [ ] = { (Ü) Ü } º º = Ó ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ÓÖ (Í) ¹ ³ ÇÆ º = ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ³ ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ º ³ º º½¾ ³ Ö 1 º ܽ¾º º ËÓØص ô ¹ Ü (Ü) = ( «ÇÆ)( Ý V «)[Ý Ü] (Ü) = {Ý V (Ü) Ý Ü} º ܽ¾º º ËÓØص ËÓØØ = = ¾½